Le théorème de Bolzano-Weierstrass affirme que, de toute suite réelle bornée, il est toujours possible d'extraire au moins une sous-suite convergente.
Dans les exercices qui suivent, nous appliquerons ce résultat à des suites bornées et non bornées, à des exemples oscillants, à des points d'accumulation et à des propriétés des sous-suites.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ x_n=(-1)^n \]
satisfait les hypothèses du théorème de Bolzano-Weierstrass et, dans l'affirmative, déterminer deux sous-suites convergentes.
Résultat
La suite est bornée. Deux sous-suites convergentes sont
\[ x_{2k}=1 \longrightarrow 1 \]
et
\[ x_{2k-1}=-1 \longrightarrow -1. \]
Résolution
La suite prend alternativement les valeurs \(1\) et \(-1\). En effet, si \(n\) est pair, alors
\[ x_n=(-1)^n=1, \]
tandis que, si \(n\) est impair,
\[ x_n=(-1)^n=-1. \]
Tous les termes de la suite appartiennent donc à l'intervalle fermé et borné \([-1,1]\). En particulier,
\[ -1\leq x_n\leq 1 \]
pour tout \(n\in\mathbb N\). La suite est donc bornée.
D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet au moins une sous-suite convergente. Dans ce cas, nous pouvons en exhiber deux de façon explicite.
En considérant les indices pairs, on obtient
\[ x_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
La sous-suite \((x_{2k})\) est constante, donc elle converge vers \(1\).
En considérant au contraire les indices impairs, on obtient
\[ x_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Cette sous-suite est elle aussi constante, donc elle converge vers \(-1\).
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ x_n=\frac{1}{n} \]
admet une sous-suite convergente.
Résultat
Oui. La suite est bornée et converge elle-même vers \(0\). Par conséquent, chacune de ses sous-suites converge vers \(0\).
Résolution
Pour tout \(n\in\mathbb N\), avec \(n\geq 1\), on a
\[ 0<\frac{1}{n}\leq 1. \]
Donc
\[ x_n\in(0,1] \]
pour tout \(n\geq 1\). La suite est par conséquent bornée.
D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, toute suite réelle bornée admet au moins une sous-suite convergente. Ici, on peut dire davantage : la suite entière converge.
En effet,
\[ \frac{1}{n}\longrightarrow 0. \]
Il s'ensuit que, si \((x_{n_k})\) est une sous-suite quelconque, alors
\[ x_{n_k}=\frac{1}{n_k}. \]
Comme \(n_k\to+\infty\), on a
\[ \frac{1}{n_k}\longrightarrow 0. \]
Toute sous-suite converge donc vers la même limite \(0\).
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ x_n=n \]
admet une sous-suite convergente dans \(\mathbb R\).
Résultat
Non. La suite n'est pas bornée et aucune de ses sous-suites ne converge vers un nombre réel.
Résolution
La suite est donnée par
\[ x_n=n. \]
Elle n'est pas majorée, car, quel que soit le nombre réel \(M\) fixé, il existe toujours un indice \(n\) tel que
\[ n>M. \]
Il n'existe donc aucun intervalle fermé et borné \([a,b]\) contenant tous les termes de la suite.
Considérons à présent une sous-suite \((x_{n_k})\) quelconque. Elle est de la forme
\[ x_{n_k}=n_k, \]
où
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots. \]
Comme les indices \(n_k\) forment une suite strictement croissante d'entiers naturels, on a nécessairement
\[ n_k\longrightarrow+\infty. \]
Par conséquent,
\[ x_{n_k}=n_k\longrightarrow+\infty. \]
Aucune sous-suite ne peut donc converger vers un nombre réel. Cela montre que l'hypothèse de bornitude dans le théorème de Bolzano-Weierstrass est essentielle.
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Considérer la suite
\[ x_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Déterminer si elle est bornée et calculer la limite de l'une de ses sous-suites convergentes.
Résultat
La suite est bornée et converge vers \(0\). Chacune de ses sous-suites converge donc vers \(0\).
Résolution
Pour tout \(n\geq 1\) on a
\[ |x_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n}\leq 1. \]
Donc
\[ -1\leq x_n\leq 1 \]
pour tout \(n\geq 1\). La suite est bornée.
D'après Bolzano-Weierstrass, elle admet au moins une sous-suite convergente. En réalité, dans ce cas aussi, c'est la suite tout entière qui converge.
En effet,
\[ |x_n-0|=|x_n|=\frac{1}{n}\longrightarrow 0. \]
Donc
\[ x_n\longrightarrow 0. \]
Par conséquent, pour toute suite croissante d'indices \((n_k)\), on a
\[ x_{n_k}=\frac{(-1)^{n_k}}{n_k}\longrightarrow 0. \]
Exercice 5 — niveau ★☆☆☆☆
Soit \((x_n)\) une suite telle que
\[ 2\leq x_n\leq 5 \]
pour tout \(n\in\mathbb N\). Démontrer que \((x_n)\) admet une sous-suite convergente.
Résultat
La suite est bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet au moins une sous-suite convergente.
Résolution
L'hypothèse
\[ 2\leq x_n\leq 5 \]
pour tout \(n\in\mathbb N\) signifie que tous les termes de la suite appartiennent au même intervalle fermé et borné :
\[ x_n\in[2,5]. \]
La suite est donc minorée par \(2\) et majorée par \(5\).
Comme \((x_n)\) est une suite réelle bornée, nous pouvons appliquer directement le théorème de Bolzano-Weierstrass.
Il existe donc une suite strictement croissante d'indices
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots \]
et un nombre réel \(x_0\) tels que
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
De plus, comme tous les termes de la sous-suite appartiennent à \([2,5]\), la limite doit appartenir au même intervalle :
\[ x_0\in[2,5]. \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Considérer la suite
\[ x_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Déterminer deux sous-suites convergentes ainsi que leurs limites respectives.
Résultat
On a
\[ x_{2k}=\frac{2k}{2k+1}\longrightarrow 1 \]
et
\[ x_{2k-1}=-\frac{2k-1}{2k}\longrightarrow -1. \]
Résolution
La suite est
\[ x_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Comme
\[ \left|x_n\right|=\left|\frac{(-1)^n n}{n+1}\right|=\frac{n}{n+1}<1, \]
on a
\[ -1<x_n<1 \]
pour tout \(n\in\mathbb N\). La suite est donc bornée.
Étudions maintenant séparément les indices pairs et les indices impairs.
Si \(n=2k\), alors
\[ x_{2k}=\frac{(-1)^{2k}\,2k}{2k+1}=\frac{2k}{2k+1}. \]
Comme
\[ \frac{2k}{2k+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{2k}}, \]
il en résulte que
\[ x_{2k}\longrightarrow 1. \]
Si en revanche \(n=2k-1\), alors
\[ x_{2k-1} = \frac{(-1)^{2k-1}(2k-1)}{2k} = -\frac{2k-1}{2k}. \]
Comme
\[ \frac{2k-1}{2k}=1-\frac{1}{2k}\longrightarrow 1, \]
on obtient
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
La suite ne converge donc pas, mais elle possède au moins deux sous-suites convergentes, l'une de limite \(1\) et l'autre de limite \(-1\).
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Considérer la suite
\[ x_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Démontrer qu'elle admet des sous-suites convergentes et déterminer toutes les valeurs d'adhérence obtenues à partir des classes d'indices modulo \(4\).
Résultat
Les valeurs de la suite se répètent périodiquement :
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ldots \]
Les sous-suites constantes convergent respectivement vers \(1\), \(0\) et \(-1\).
Résolution
Calculons les valeurs de la suite en distinguant les indices selon le reste de la division par \(4\).
Si \(n=4k+1\), alors
\[ x_{4k+1}=\sin\left(\frac{(4k+1)\pi}{2}\right) = \sin\left(2k\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1. \]
Si \(n=4k+2\), alors
\[ x_{4k+2}=\sin\left(2k\pi+\pi\right)=0. \]
Si \(n=4k+3\), alors
\[ x_{4k+3}=\sin\left(2k\pi+\frac{3\pi}{2}\right)=-1. \]
Enfin, si \(n=4k\), alors
\[ x_{4k}=\sin(2k\pi)=0. \]
La suite ne prend donc que les valeurs \(-1\), \(0\), \(1\), et elle est assurément bornée.
D'après Bolzano-Weierstrass, elle admet au moins une sous-suite convergente. En réalité, nous en exhibons immédiatement plusieurs :
\[ x_{4k+1}=1\longrightarrow 1, \]
\[ x_{4k+3}=-1\longrightarrow -1, \]
et
\[ x_{4k}=0\longrightarrow 0. \]
Chaque sous-suite constante converge vers la valeur constante qu'elle prend.
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Soit \((x_n)\) une suite réelle bornée. Démontrer que toute sous-suite \((x_{n_k})\) est elle aussi bornée.
Résultat
Toute sous-suite d'une suite bornée est bornée.
Résolution
Comme \((x_n)\) est bornée, il existe deux nombres réels \(a\) et \(b\), avec \(a\leq b\), tels que
\[ a\leq x_n\leq b \]
pour tout \(n\in\mathbb N\).
Soit à présent \((x_{n_k})\) une sous-suite de \((x_n)\). Par définition, chaque terme de la sous-suite est aussi un terme de la suite initiale.
En effet, \(n_k\in\mathbb N\) pour tout \(k\), de sorte que la bornitude de \((x_n)\) entraîne
\[ a\leq x_{n_k}\leq b \]
pour tout \(k\in\mathbb N\).
Par conséquent, tous les termes de la sous-suite appartiennent au même intervalle fermé et borné \([a,b]\).
Donc \((x_{n_k})\) est bornée.
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ x_n=(-1)^n+\frac{1}{n} \]
admet des sous-suites convergentes et en exhiber deux.
Résultat
On a
\[ x_{2k}=1+\frac{1}{2k}\longrightarrow 1 \]
et
\[ x_{2k-1}=-1+\frac{1}{2k-1}\longrightarrow -1. \]
Résolution
La suite est donnée par
\[ x_n=(-1)^n+\frac{1}{n}. \]
Comme
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1 \]
et
\[ 0<\frac{1}{n}\leq 1, \]
on obtient
\[ -1<x_n\leq 2. \]
La suite est donc bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet au moins une sous-suite convergente.
Exhibons-en deux de façon explicite. Si \(n=2k\), alors
\[ x_{2k}=(-1)^{2k}+\frac{1}{2k} = 1+\frac{1}{2k}. \]
Comme
\[ \frac{1}{2k}\longrightarrow 0, \]
il en résulte que
\[ x_{2k}\longrightarrow 1. \]
Si en revanche \(n=2k-1\), alors
\[ x_{2k-1}=(-1)^{2k-1}+\frac{1}{2k-1} = -1+\frac{1}{2k-1}. \]
Comme
\[ \frac{1}{2k-1}\longrightarrow 0, \]
on obtient
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Soit \((x_n)\) une suite réelle telle que \(x_n\in[0,1]\) pour tout \(n\in\mathbb N\). Démontrer qu'il existe une sous-suite convergente dont la limite appartient à \([0,1]\).
Résultat
Il existe une sous-suite \((x_{n_k})\) telle que
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0 \]
avec \(x_0\in[0,1]\).
Résolution
L'hypothèse \(x_n\in[0,1]\) pour tout \(n\in\mathbb N\) signifie que
\[ 0\leq x_n\leq 1 \]
pour tout \(n\in\mathbb N\). La suite est donc bornée.
D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une suite croissante d'indices
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots \]
et un nombre réel \(x_0\) tels que
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
Il reste à observer que la limite \(x_0\) appartient à \([0,1]\).
En effet, chaque terme de la sous-suite vérifie
\[ 0\leq x_{n_k}\leq 1. \]
En passant à la limite dans les inégalités, on obtient
\[ 0\leq x_0\leq 1. \]
Donc
\[ x_0\in[0,1]. \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Démontrer que, si une suite réelle bornée ne prend qu'un nombre fini de valeurs, alors elle possède une sous-suite constante.
Résultat
L'une au moins des valeurs prises par la suite apparaît une infinité de fois. En choisissant les indices correspondants, on obtient une sous-suite constante, donc convergente.
Résolution
Supposons que la suite \((x_n)\) ne prenne que les valeurs
\[ a_1,a_2,\ldots,a_m. \]
Cela signifie que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ x_n\in\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}. \]
Comme la suite a une infinité de termes mais ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs, l'une au moins de ces valeurs doit être prise une infinité de fois.
En effet, si chacune des valeurs \(a_1,\ldots,a_m\) n'était prise qu'un nombre fini de fois, la suite n'aurait au total qu'un nombre fini de termes, ce qui est absurde.
Il existe donc une valeur \(a_j\) telle que
\[ x_n=a_j \]
pour une infinité d'indices \(n\).
Nous pouvons alors choisir une suite strictement croissante d'indices
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots \]
telle que
\[ x_{n_k}=a_j \]
pour tout \(k\in\mathbb N\).
La sous-suite \((x_{n_k})\) est donc constante :
\[ x_{n_k}=a_j. \]
Par conséquent,
\[ x_{n_k}\longrightarrow a_j. \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Soit \((x_n)\) une suite convergeant vers \(L\). Démontrer que toute sous-suite de \((x_n)\) converge encore vers \(L\).
Résultat
Toute sous-suite d'une suite convergente converge vers la même limite que la suite initiale.
Résolution
Supposons que
\[ x_n\longrightarrow L. \]
Par définition de la limite, pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(N\in\mathbb N\) tel que, pour tout \(n\geq N\),
\[ |x_n-L|<\varepsilon. \]
Soit à présent \((x_{n_k})\) une sous-suite de \((x_n)\). Les indices \(n_k\) sont strictement croissants, donc
\[ n_k\longrightarrow+\infty. \]
En particulier, il existe \(K\in\mathbb N\) tel que, pour tout \(k\geq K\),
\[ n_k\geq N. \]
Par conséquent, pour tout \(k\geq K\), on a
\[ |x_{n_k}-L|<\varepsilon. \]
Cela démontre que
\[ x_{n_k}\longrightarrow L. \]
Toute sous-suite d'une suite convergente converge donc vers la même limite.
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Démontrer que la suite
\[ x_n=\cos(n\pi) \]
ne converge pas, mais admet des sous-suites convergentes.
Résultat
Comme
\[ \cos(n\pi)=(-1)^n, \]
la suite ne converge pas. Toutefois,
\[ x_{2k}=1\longrightarrow 1 \]
et
\[ x_{2k-1}=-1\longrightarrow -1. \]
Résolution
Rappelons que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ \cos(n\pi)=(-1)^n. \]
La suite est donc
\[ x_n=(-1)^n. \]
Elle prend alternativement les valeurs \(1\) et \(-1\). En particulier, elle est bornée, car
\[ -1\leq x_n\leq 1. \]
D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle doit admettre au moins une sous-suite convergente.
Montrons cependant que la suite tout entière ne converge pas. Si elle convergeait vers une limite \(L\), alors chacune de ses sous-suites devrait converger vers la même limite \(L\).
Or, en considérant les indices pairs, on a
\[ x_{2k}=\cos(2k\pi)=1, \]
donc
\[ x_{2k}\longrightarrow 1. \]
En considérant au contraire les indices impairs, on a
\[ x_{2k-1}=\cos((2k-1)\pi)=-1, \]
donc
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
Comme une suite convergente ne peut posséder deux sous-suites convergeant vers des limites différentes, la suite \((x_n)\) ne converge pas.
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Soit \((x_n)\) une suite réelle bornée. Démontrer qu'il existe au moins un nombre réel \(L\) et une sous-suite \((x_{n_k})\) tels que
\[ |x_{n_k}-L|<\frac{1}{k} \]
à partir d'un certain rang.
Résultat
D'après Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite convergente \(x_{n_k}\to L\). De la convergence il découle que, en passant éventuellement à une sous-suite ultérieure, on peut obtenir
\[ |x_{n_k}-L|<\frac{1}{k}. \]
Résolution
Comme \((x_n)\) est bornée, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass il existe une sous-suite \((x_{m_k})\) et un nombre réel \(L\) tels que
\[ x_{m_k}\longrightarrow L. \]
Par définition de la convergence, pour tout \(\varepsilon>0\) il existe un rang au-delà duquel tous les termes de la sous-suite sont distants de \(L\) de moins de \(\varepsilon\).
Nous voulons maintenant construire une sous-suite encore plus précise, en imposant l'estimation
\[ |x_{n_k}-L|<\frac{1}{k}. \]
Comme \(x_{m_j}\to L\), pour \(\varepsilon=1\) il existe un indice \(j_1\) tel que
\[ |x_{m_{j_1}}-L|<1. \]
Pour \(\varepsilon=\displaystyle\frac12\), il existe un indice \(j_2>j_1\) tel que
\[ |x_{m_{j_2}}-L|<\frac12. \]
En procédant par récurrence, une fois \(j_k\) choisi, nous pouvons choisir \(j_{k+1}>j_k\) tel que
\[ |x_{m_{j_{k+1}}}-L|<\frac{1}{k+1}. \]
Posons maintenant
\[ n_k=m_{j_k}. \]
Nous obtenons une sous-suite \((x_{n_k})\) telle que
\[ |x_{n_k}-L|<\frac{1}{k} \]
pour tout \(k\in\mathbb N\). Cela achève la démonstration.
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Soit \((x_n)\) une suite réelle bornée et supposons que chacune de ses sous-suites convergentes ait pour limite \(L\). Démontrer que \(x_n\to L\).
Résultat
Si une suite bornée ne convergeait pas vers \(L\), on pourrait en extraire une sous-suite restant éloignée de \(L\). En appliquant Bolzano-Weierstrass à cette sous-suite, on obtiendrait une sous-suite convergente de limite différente de \(L\), contrairement à l'hypothèse.
Résolution
Nous voulons démontrer que
\[ x_n\longrightarrow L. \]
Raisonnons par l'absurde. Supposons que \((x_n)\) ne converge pas vers \(L\).
Alors il existe un nombre \(\varepsilon_0>0\) tel que, pour tout \(N\in\mathbb N\), il existe \(n\geq N\) avec
\[ |x_n-L|\geq \varepsilon_0. \]
Cela signifie qu'on peut trouver une infinité de termes de la suite qui restent à une distance d'au moins \(\varepsilon_0\) de \(L\).
Construisons alors une sous-suite \((x_{n_k})\) telle que
\[ |x_{n_k}-L|\geq \varepsilon_0 \]
pour tout \(k\in\mathbb N\).
Comme \((x_n)\) est bornée, la sous-suite \((x_{n_k})\) est elle aussi bornée.
D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, \((x_{n_k})\) admet une sous-suite convergente. Notons-la
\[ x_{n_{k_j}}\longrightarrow M. \]
Par hypothèse, toute sous-suite convergente de \((x_n)\) doit avoir pour limite \(L\). On devrait donc avoir
\[ M=L. \]
Cependant, comme pour tout \(j\) on a
\[ |x_{n_{k_j}}-L|\geq \varepsilon_0, \]
en passant à la limite on obtient
\[ |M-L|\geq \varepsilon_0. \]
En particulier \(M\neq L\), ce qui est une contradiction.
L'hypothèse absurde était donc fausse, et par conséquent
\[ x_n\longrightarrow L. \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Démontrer que tout ensemble infini et borné \(A\subseteq\mathbb R\) possède au moins un point d'accumulation.
Résultat
On choisit une suite d'éléments distincts de \(A\). Elle est bornée, donc, d'après Bolzano-Weierstrass, elle admet une sous-suite convergente. La limite de cette sous-suite est un point d'accumulation de \(A\).
Résolution
Soit \(A\subseteq\mathbb R\) un ensemble infini et borné.
Comme \(A\) est infini, nous pouvons choisir une suite d'éléments distincts de \(A\) :
\[ x_1,x_2,x_3,\ldots \]
avec
\[ x_n\in A \]
pour tout \(n\), et
\[ x_n\neq x_m \]
si \(n\neq m\).
Comme \(A\) est borné, il existe \(a,b\in\mathbb R\), avec \(a\leq b\), tels que
\[ A\subseteq [a,b]. \]
Par conséquent,
\[ x_n\in[a,b] \]
pour tout \(n\). La suite \((x_n)\) est donc bornée.
D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite \((x_{n_k})\) et un nombre réel \(x_0\) tels que
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
Démontrons que \(x_0\) est un point d'accumulation de \(A\).
Soit \(r>0\). Comme \(x_{n_k}\to x_0\), il existe \(K\in\mathbb N\) tel que, pour tout \(k\geq K\),
\[ |x_{n_k}-x_0|<r. \]
Donc
\[ x_{n_k}\in(x_0-r,x_0+r) \]
pour tout \(k\geq K\).
Comme les termes \(x_{n_k}\) sont des éléments distincts de \(A\), tout voisinage de \(x_0\) contient une infinité de points de \(A\). En particulier, il contient des points de \(A\) distincts de \(x_0\).
Donc \(x_0\) est un point d'accumulation de \(A\).
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Démontrer, à l'aide du théorème de Bolzano-Weierstrass, qu'une suite réelle bornée ne peut avoir pour unique comportement celui de « fuir vers l'infini ».
Résultat
Une suite bornée possède toujours une sous-suite convergeant vers un nombre réel. Toutes ses sous-suites ne peuvent donc pas diverger vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\).
Résolution
Dire qu'une suite « fuit vers l'infini » signifie, de manière précise, que ses termes deviennent arbitrairement grands en valeur absolue.
Mais si \((x_n)\) est bornée, il existe \(M>0\) tel que
\[ |x_n|\leq M \]
pour tout \(n\in\mathbb N\).
Tous les termes de la suite appartiennent donc à l'intervalle fermé et borné
\[ [-M,M]. \]
D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite \((x_{n_k})\) et un nombre réel \(L\) tels que
\[ x_{n_k}\longrightarrow L. \]
Cette sous-suite ne fuit pas vers l'infini, puisqu'elle converge vers un nombre réel.
Ainsi, une suite réelle bornée peut osciller, peut ne pas converger globalement, peut avoir plusieurs valeurs d'adhérence, mais elle ne peut être dépourvue de tout comportement convergent en son sein.
Le théorème de Bolzano-Weierstrass formalise précisément ce fait : de toute suite réelle bornée, on peut toujours extraire une sous-suite convergente.
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Construire explicitement, au moyen d'intervalles emboîtés, une sous-suite convergente d'une suite \((x_n)\) contenue dans \([0,1]\).
Résultat
En partageant à plusieurs reprises \([0,1]\) en deux moitiés et en choisissant à chaque fois un sous-intervalle contenant une infinité de termes de la suite, on obtient une famille d'intervalles emboîtés dont la longueur tend vers \(0\). Leur unique point commun est la limite de la sous-suite construite.
Résolution
Supposons que
\[ x_n\in[0,1] \]
pour tout \(n\in\mathbb N\).
Posons
\[ I_1=[0,1]. \]
L'intervalle \(I_1\) contient tous les termes de la suite, donc il contient une infinité de termes de la suite.
Partageons \(I_1\) en deux intervalles fermés :
\[ \left[0,\frac12\right], \qquad \left[\frac12,1\right]. \]
L'un au moins des deux contient une infinité de termes de la suite. Choisissons-le et appelons-le \(I_2\).
Répétons le procédé. Une fois \(I_k\) construit, partageons-le en deux intervalles fermés de même longueur. L'un au moins des deux contient une infinité de termes de la suite. Choisissons-le et appelons-le \(I_{k+1}\).
Nous obtenons ainsi une suite d'intervalles fermés et bornés
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots \]
telle que chaque \(I_k\) contient une infinité de termes de la suite.
De plus, la longueur de \(I_k\) est
\[ \frac{1}{2^{k-1}}, \]
et tend donc vers \(0\).
D'après le théorème des intervalles emboîtés, il existe un unique point \(x_0\in\mathbb R\) tel que
\[ \bigcap_{k=1}^{+\infty}I_k=\{x_0\}. \]
Construisons à présent la sous-suite. Comme \(I_1\) contient une infinité de termes, choisissons \(n_1\) tel que
\[ x_{n_1}\in I_1. \]
Comme \(I_2\) contient une infinité de termes, nous pouvons choisir \(n_2>n_1\) tel que
\[ x_{n_2}\in I_2. \]
En poursuivant par récurrence, choisissons \(n_k\) de sorte que
\[ n_1<n_2<\cdots<n_k<\cdots \]
et
\[ x_{n_k}\in I_k. \]
Comme \(x_0\in I_k\) également, la distance entre \(x_{n_k}\) et \(x_0\) est au plus la longueur de \(I_k\) :
\[ |x_{n_k}-x_0|\leq \frac{1}{2^{k-1}}. \]
Comme
\[ \frac{1}{2^{k-1}}\longrightarrow 0, \]
il en résulte, par comparaison, que
\[ |x_{n_k}-x_0|\longrightarrow 0. \]
Donc
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Soit \((x_n)\) une suite réelle bornée. Démontrer que l'ensemble des limites de ses sous-suites convergentes est non vide et borné.
Résultat
L'ensemble est non vide d'après Bolzano-Weierstrass. Il est borné car toute limite de sous-suite doit appartenir à tout intervalle fermé contenant l'ensemble des termes de la suite.
Résolution
Soit \((x_n)\) une suite réelle bornée. Alors il existe \(a,b\in\mathbb R\), avec \(a\leq b\), tels que
\[ a\leq x_n\leq b \]
pour tout \(n\in\mathbb N\).
Considérons l'ensemble
\[ E=\{L\in\mathbb R:\text{ il existe une sous-suite }(x_{n_k})\text{ telle que }x_{n_k}\to L\}. \]
Nous devons démontrer que \(E\) est non vide et borné.
Comme \((x_n)\) est bornée, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass il existe au moins une sous-suite convergente. Il existe donc au moins un nombre réel \(L\) tel que
\[ x_{n_k}\longrightarrow L. \]
Par conséquent,
\[ E\neq\varnothing. \]
Démontrons à présent que \(E\) est borné. Soit \(L\in E\). Par définition de \(E\), il existe une sous-suite \((x_{n_k})\) telle que
\[ x_{n_k}\longrightarrow L. \]
Comme pour tout \(k\) on a
\[ a\leq x_{n_k}\leq b, \]
en passant à la limite on obtient
\[ a\leq L\leq b. \]
Tout élément de \(E\) appartient donc à l'intervalle \([a,b]\). Ainsi,
\[ E\subseteq[a,b]. \]
Il en résulte que \(E\) est borné.
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Soit \((x_n)\) une suite réelle bornée et soient
\[ \alpha=\liminf_{n\to+\infty}x_n, \qquad \beta=\limsup_{n\to+\infty}x_n. \]
Démontrer qu'il existe deux sous-suites \((x_{n_k})\) et \((x_{m_k})\) telles que
\[ x_{n_k}\longrightarrow \alpha \]
et
\[ x_{m_k}\longrightarrow \beta. \]
Résultat
La limite inférieure et la limite supérieure d'une suite réelle bornée sont toujours limites de sous-suites convenables.
Résolution
Comme la suite \((x_n)\) est bornée, les quantités
\[ \alpha=\liminf_{n\to+\infty}x_n \]
et
\[ \beta=\limsup_{n\to+\infty}x_n \]
sont des nombres réels.
Démontrons d'abord l'existence d'une sous-suite qui converge vers \(\beta\).
Par définition de la limite supérieure, pour tout \(k\in\mathbb N\) il existe des indices \(n\) arbitrairement grands tels que
\[ x_n>\beta-\frac{1}{k}. \]
De plus, comme \(\beta=\limsup_{n\to+\infty}x_n\), à partir d'un certain rang on a
\[ x_n<\beta+\frac{1}{k}. \]
Nous pouvons donc choisir des indices strictement croissants \(m_k\) tels que
\[ \beta-\frac{1}{k}<x_{m_k}<\beta+\frac{1}{k}. \]
Autrement dit,
\[ |x_{m_k}-\beta|<\frac{1}{k}. \]
Comme
\[ \frac{1}{k}\longrightarrow 0, \]
il en résulte que
\[ x_{m_k}\longrightarrow \beta. \]
Le raisonnement pour \(\alpha\) est analogue. Par définition de la limite inférieure, pour tout \(k\in\mathbb N\) il existe des indices \(n\) arbitrairement grands tels que
\[ x_n<\alpha+\frac{1}{k}. \]
De plus, comme \(\alpha=\liminf_{n\to+\infty}x_n\), à partir d'un certain rang on a
\[ x_n>\alpha-\frac{1}{k}. \]
Nous pouvons donc choisir des indices strictement croissants \(n_k\) tels que
\[ \alpha-\frac{1}{k}<x_{n_k}<\alpha+\frac{1}{k}. \]
De façon équivalente,
\[ |x_{n_k}-\alpha|<\frac{1}{k}. \]
En passant à la limite lorsque \(k\to+\infty\), on obtient
\[ x_{n_k}\longrightarrow \alpha. \]
La limite inférieure et la limite supérieure sont donc toutes deux limites de sous-suites convenables de la suite initiale.