Guide Pas à Pas : Apprenez à résoudre les systèmes d'inéquations linéaires et du second degré à l'aide du tableau de signes, de l'intersection des ensembles solution et de l'écriture correcte des intervalles en notation ensembliste.
Exercice 1 — niveau ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 2x - 4 > 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ 2 < x < 3 \]
Résolution
Première inéquation
\(2x-4>0 \implies x>2\)
Deuxième inéquation
\(x-3<0 \implies x<3\)
Tableau de signes
La ligne Syst. apparaît en vert là où les deux conditions sont simultanément vérifiées.
Solution
\[ S = (2,\,3) \]
Résultat
\[ \boxed{2 < x < 3} \]
Exercice 2 — niveau ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ x - 5 < 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ -2 < x < 5 \]
Résolution
Première inéquation
\(x+2>0 \implies x>-2\)
Deuxième inéquation
\(x-5<0 \implies x<5\)
Tableau de signes
Solution
\[ S = (-2,\,5) \]
Résultat
\[ \boxed{-2 < x < 5} \]
Exercice 3 — niveau ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 3x + 1 \geq 0 \\ 2x - 4 \leq 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ -\dfrac{1}{3} \leq x \leq 2 \]
Résolution
Première inéquation
\(3x+1\geq0 \implies x\geq-\tfrac{1}{3}\)
Deuxième inéquation
\(2x-4\leq0 \implies x\leq2\)
Tableau de signes
Les cercles pleins indiquent les bornes incluses.
Solution
\[ S = \left[-\tfrac{1}{3},\,2\right] \]
Résultat
\[ \boxed{-\dfrac{1}{3} \leq x \leq 2} \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 4 < 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ \text{Aucune solution} \quad (S = \emptyset) \]
Résolution
Première inéquation
\(x-1>0 \implies x>1\)
Deuxième inéquation
\(x+4<0 \implies x<-4\)
Remarque
Les deux conditions \(x>1\) et \(x<-4\) sont incompatibles : il n'existe aucun réel \(x\) qui les vérifie toutes les deux.
Tableau de signes
La ligne Syst. est entièrement grise : aucune région n'est solution.
Résultat
\[ \boxed{S = \emptyset} \]
Exercice 5 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ -3 < x < -2 \quad \text{ou} \quad x > 2 \]
Résolution
Première inéquation : \(x^2-4>0\)
\[ (x-2)(x+2)>0 \implies x < -2 \;\text{ ou }\; x>2 \]
Deuxième inéquation : \(x+3>0\)
\[ x > -3 \]
Tableau de signes
Solution
\[ S = (-3,\,-2)\cup(2,\,+\infty) \]
Résultat
\[ \boxed{-3 < x < -2 \quad \text{ou} \quad x > 2} \]
Exercice 6 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} x^2 - 9 \leq 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ 1 < x \leq 3 \]
Résolution
Première inéquation : \(x^2-9\leq0\)
\[ (x-3)(x+3)\leq0 \implies -3\leq x\leq3 \]
Deuxième inéquation : \(x-1>0\)
\[ x > 1 \]
Tableau de signes
Le cercle plein en \(x=3\) indique que la borne de droite est incluse (puisque la première inéquation est au sens \(\leq\)).
Solution
\[ S = (1,\,3] \]
Résultat
\[ \boxed{1 < x \leq 3} \]
Exercice 7 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 > 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ x < 1 \]
Résolution
Première inéquation : \(x^2-3x+2>0\)
\[ (x-1)(x-2)>0 \implies x < 1 \;\text{ ou }\; x>2 \]
Deuxième inéquation : \(x-2<0\)
\[ x < 2 \]
Tableau de signes
Intersection : \((x<1\text{ ou }x>2)\cap(x<2) = x<1\).
Solution
\[ S = (-\infty,\,1) \]
Résultat
\[ \boxed{x < 1} \]
Exercice 8 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 \leq 0 \\ x^2 - 4 \geq 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ 2 \leq x \leq 3 \]
Résolution
Première inéquation : \(x^2-5x+6\leq0\)
\[ (x-2)(x-3)\leq0 \implies 2\leq x\leq3 \]
Deuxième inéquation : \(x^2-4\geq0\)
\[ (x-2)(x+2)\geq0 \implies x\leq-2 \;\text{ ou }\; x\geq2 \]
Tableau de signes
Intersection : \([2,3]\cap(x\leq-2\text{ ou }x\geq2)=[2,3]\).
Solution
\[ S = [2,\,3] \]
Résultat
\[ \boxed{2 \leq x \leq 3} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x^2 - x - 1 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 \leq 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ 1 < x \leq 3 \]
Résolution
Première inéquation : \(2x^2-x-1>0\)
\[ (2x+1)(x-1)>0 \implies x < -\tfrac{1}{2} \;\text{ ou }\; x>1 \]
Deuxième inéquation : \(x^2-4x+3\leq0\)
\[ (x-1)(x-3)\leq0 \implies 1\leq x\leq3 \]
Tableau de signes
Intersection : \((x<-\tfrac{1}{2}\text{ ou }x>1)\cap[1,3]=(1,3]\). Le point \(x=1\) est exclu, car la première inéquation est stricte.
Solution
\[ S = (1,\,3] \]
Résultat
\[ \boxed{1 < x \leq 3} \]
Exercice 10 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} x^2 - x - 6 < 0 \\ x + 1 \geq 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ -1 \leq x < 3 \]
Résolution
Première inéquation : \(x^2-x-6<0\)
\[ (x-3)(x+2)<0 \implies -2 < x < 3 \]
Deuxième inéquation : \(x+1\geq0\)
\[ x \geq -1 \]
Tableau de signes
Intersection : \((-2,3)\cap[-1,+\infty)=[-1,3)\). Le cercle plein en \(x=-1\) est inclus (deuxième inéquation \(\geq\)) ; \(x=3\) est exclu (première, stricte).
Solution
\[ S = [-1,\,3) \]
Résultat
\[ \boxed{-1 \leq x < 3} \]
Exercice 11 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} x^2 - 2x - 3 \geq 0 \\ x^2 + x - 6 < 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ -3 < x \leq -1 \]
Résolution
Première inéquation : \(x^2-2x-3\geq0\)
\[ (x-3)(x+1)\geq0 \implies x\leq-1 \;\text{ ou }\; x\geq3 \]
Deuxième inéquation : \(x^2+x-6<0\)
\[ (x+3)(x-2)<0 \implies -3 < x < 2 \]
Tableau de signes
Intersection : \((x\leq-1\text{ ou }x\geq3)\cap(-3,2)=(-3,-1]\). Le cercle plein en \(x=-1\) est inclus ; \(x=-3\) est exclu (deuxième, stricte).
Solution
\[ S = (-3,\,-1] \]
Résultat
\[ \boxed{-3 < x \leq -1} \]
Exercice 12 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x-1}{x+2} > 0 \\[6pt] x^2 - 9 < 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ -3 < x < -2 \quad \text{ou} \quad 1 < x < 3 \]
Résolution
Première inéquation
\[ \frac{x-1}{x+2}>0 \implies x < -2 \;\text{ ou }\; x>1 \quad (x\neq-2) \]
Deuxième inéquation : \(x^2-9<0\)
\[ (x-3)(x+3)<0 \implies -3 < x < 3 \]
Tableau de signes
Solution
\[ S = (-3,\,-2)\cup(1,\,3) \]
Résultat
\[ \boxed{-3 < x < -2 \quad \text{ou} \quad 1 < x < 3} \]
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} (x-2)^2 > 0 \\ x^2 - 1 < 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ -1 < x < 1 \]
Résolution
Première inéquation : \((x-2)^2>0\)
Le carré est toujours \(\geq0\) ; il vaut \(=0\) uniquement en \(x=2\). Par conséquent, \((x-2)^2>0\) pour tout \(x\neq2\).
Deuxième inéquation : \(x^2-1<0\)
\[ (x-1)(x+1)<0 \implies -1 < x < 1 \]
Tableau de signes
La première condition est vérifiée partout sauf en \(x=2\), qui n'appartient pas à \((-1,1)\). L'intersection est donc \((-1,1)\) elle-même.
Solution
\[ S = (-1,\,1) \]
Résultat
\[ \boxed{-1 < x < 1} \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} x^2 + x - 2 \geq 0 \\ x^2 - x - 6 \leq 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ x = -2 \quad \text{ou} \quad 1 \leq x \leq 3 \]
Résolution
Première inéquation : \(x^2+x-2\geq0\)
\[ (x+2)(x-1)\geq0 \implies x\leq-2 \;\text{ ou }\; x\geq1 \]
Deuxième inéquation : \(x^2-x-6\leq0\)
\[ (x-3)(x+2)\leq0 \implies -2\leq x\leq3 \]
Tableau de signes
Intersection : \((x\leq-2\text{ ou }x\geq1)\cap[-2,3]=\{-2\}\cup[1,3]\).
Le point isolé \(x=-2\) appartient aux deux ensembles : \(x=-2\leq-2\) ✓ et \(-2\leq-2\leq3\) ✓.
Solution
\[ S = \{-2\}\cup[1,\,3] \]
Résultat
\[ \boxed{x=-2 \quad \text{ou} \quad 1\leq x\leq3} \]
Exercice 15 — niveau ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 < 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ 1 < x < 2 \]
Résolution
Première inéquation : \(x^2-5x+6>0\)
\[ (x-2)(x-3)>0 \implies x < 2 \;\text{ ou }\; x>3 \]
Deuxième inéquation : \(x^2-4x+3<0\)
\[ (x-1)(x-3)<0 \implies 1 < x < 3 \]
Tableau de signes
Intersection : \((x<2\text{ ou }x>3)\cap(1<x<3)=(1,2)\).
Solution
\[ S = (1,\,2) \]
Résultat
\[ \boxed{1 < x < 2} \]
Exercice 16 — niveau ★★★★★
\[ \begin{cases} x(x-3) > 0 \\ (x-1)(x-4) \leq 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ 3 < x \leq 4 \]
Résolution
Première inéquation : \(x(x-3)>0\)
\[ x<0 \;\text{ ou }\; x>3 \]
Deuxième inéquation : \((x-1)(x-4)\leq0\)
\[ 1\leq x\leq4 \]
Tableau de signes
Intersection : \((x<0\text{ ou }x>3)\cap[1,4]=(3,4]\). Le cercle plein en \(x=4\) est inclus.
Solution
\[ S = (3,\,4] \]
Résultat
\[ \boxed{3 < x \leq 4} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★★
\[ \begin{cases} (x+2)(x-1) > 0 \\ (x-4)(x+1) < 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ 1 < x < 4 \]
Résolution
Première inéquation
\[ (x+2)(x-1)>0 \implies x < -2 \;\text{ ou }\; x>1 \]
Deuxième inéquation
\[ (x-4)(x+1)<0 \implies -1 < x < 4 \]
Tableau de signes
Intersection : \((x<-2\text{ ou }x>1)\cap(-1,4)=(1,4)\). Remarquons que \((-\infty,-2)\cap(-1,4)=\emptyset\).
Solution
\[ S = (1,\,4) \]
Résultat
\[ \boxed{1 < x < 4} \]
Exercice 18 — niveau ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2 - 9 \geq 0 \\ x^2 - 4x - 5 < 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ 3 \leq x < 5 \]
Résolution
Première inéquation : \(x^2-9\geq0\)
\[ (x-3)(x+3)\geq0 \implies x\leq-3 \;\text{ ou }\; x\geq3 \]
Deuxième inéquation : \(x^2-4x-5<0\)
\[ (x-5)(x+1)<0 \implies -1 < x < 5 \]
Tableau de signes
Intersection : \((x\leq-3\text{ ou }x\geq3)\cap(-1,5)=[3,5)\). Le cercle plein en \(x=3\) est inclus ; \(x=5\) est exclu.
Solution
\[ S = [3,\,5) \]
Résultat
\[ \boxed{3 \leq x < 5} \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
\[ \begin{cases} |x - 2| < 3 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ 1 < x < 5 \]
Résolution
Première inéquation : \(|x-2|<3\)
\[ -3 < x-2 < 3 \implies -1 < x < 5 \]
Équivaut à \((x+1)(x-5)<0\).
Deuxième inéquation : \(x^2-1>0\)
\[ (x-1)(x+1)>0 \implies x < -1 \;\text{ ou }\; x>1 \]
Tableau de signes
Intersection : \((-1,5)\cap(x<-1\text{ ou }x>1)=(1,5)\).
Solution
\[ S = (1,\,5) \]
Résultat
\[ \boxed{1 < x < 5} \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2 - x - 2 \leq 0 \\ x(x-3) > 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ -1 \leq x < 0 \]
Résolution
Première inéquation : \(x^2-x-2\leq0\)
\[ (x-2)(x+1)\leq0 \implies -1\leq x\leq2 \]
Deuxième inéquation : \(x(x-3)>0\)
\[ x<0 \;\text{ ou }\; x>3 \]
Tableau de signes
Intersection : \([-1,2]\cap(x<0\text{ ou }x>3)=[-1,0)\). Le cercle plein en \(x=-1\) est inclus (première inéquation \(\leq\)) ; \(x=0\) est exclu (deuxième, stricte).
Solution
\[ S = [-1,\,0) \]
Résultat
\[ \boxed{-1 \leq x < 0} \]