Dans ce recueil, nous proposons 20 exercices résolus sur les limites de suites numériques, en accordant une attention particulière à la distinction entre les suites convergentes, les suites divergentes vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) et les suites qui n'admettent pas de limite.
Chaque exercice est résolu pas à pas : on y rappelle les définitions fondamentales et l'on montre comment reconnaître le comportement de la suite lorsque l'entier \(n\) tend vers \(+\infty\).
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite est convergente et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Résolution
La suite est définie par
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Ses premiers termes sont
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \ldots \]
Lorsque \(n\) croît, le dénominateur devient de plus en plus grand tandis que le numérateur reste égal à \(1\). Les termes deviennent donc de plus en plus petits et se rapprochent de \(0\).
Pour le démontrer à l'aide de la définition, fixons un nombre arbitraire
\[ \varepsilon>0. \]
Cherchons un rang \(n_\varepsilon\) tel que, pour tout \(n\geq n_\varepsilon\), on ait
\[ \left|\frac1n-0\right|<\varepsilon. \]
Comme
\[ \left|\frac1n-0\right|=\frac1n, \]
il suffit d'imposer
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Cette inégalité équivaut à
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Choisissons donc \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tel que
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon. \]
Alors, pour tout \(n\geq n_\varepsilon\), on a
\[ n\geq n_\varepsilon>\frac1\varepsilon, \]
et donc
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
On a ainsi montré que, pour tout \(\varepsilon>0\), à partir d'un certain rang tous les termes de la suite sont à une distance de \(0\) inférieure à \(\varepsilon\).
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac1n=0. \]
La suite est donc convergente.
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite est convergente et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Réécrivons le terme général de la manière suivante :
\[ \frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Comme
\[ \frac{1}{n+1}\to0 \]
lorsque \(n\to+\infty\), on s'attend à ce que
\[ 1-\frac{1}{n+1}\to1. \]
Vérifions-le à l'aide de la définition. Étudions la distance entre \(a_n\) et \(1\) :
\[ |a_n-1|=\left|\frac{n}{n+1}-1\right|. \]
On calcule :
\[ \frac{n}{n+1}-1=\frac{n-(n+1)}{n+1}=-\frac{1}{n+1}. \]
Par conséquent
\[ |a_n-1|=\left|-\frac{1}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}. \]
Pour \(\varepsilon>0\) fixé, on veut que
\[ \frac{1}{n+1}<\varepsilon. \]
Cette inégalité est vérifiée lorsque
\[ n+1>\frac1\varepsilon, \]
c'est-à-dire lorsque
\[ n>\frac1\varepsilon-1. \]
En choisissant \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tel que
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon-1, \]
on obtient, pour tout \(n\geq n_\varepsilon\),
\[ |a_n-1|<\varepsilon. \]
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
La suite est convergente.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=3. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite est convergente et
\[ \lim_{n\to+\infty}3=3. \]
Résolution
La suite est constante :
\[ a_n=3 \]
pour tout \(n\in\mathbb N^*\).
Tous les termes de la suite sont égaux à \(3\). La suite ne se rapproche donc pas simplement de \(3\) : elle est toujours exactement égale à \(3\).
Vérifions-le à l'aide de la définition. Montrons que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un rang \(n_\varepsilon\) tel que, pour tout \(n\geq n_\varepsilon\),
\[ |a_n-3|<\varepsilon. \]
Comme \(a_n=3\), on a
\[ |a_n-3|=|3-3|=0. \]
Or
\[ 0<\varepsilon \]
pour tout \(\varepsilon>0\).
L'inégalité est donc vérifiée pour tout \(n\). On peut choisir, par exemple,
\[ n_\varepsilon=1. \]
Il en résulte que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=3. \]
La suite est donc convergente.
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=\frac{2n+1}{n}. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite est convergente et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n}=2. \]
Résolution
Réécrivons le terme général en séparant les fractions :
\[ a_n=\frac{2n+1}{n}=\frac{2n}{n}+\frac1n=2+\frac1n. \]
Comme
\[ \frac1n\to0, \]
on s'attend à ce que
\[ 2+\frac1n\to2. \]
Calculons la distance à \(2\) :
\[ |a_n-2|=\left|2+\frac1n-2\right|=\frac1n. \]
Pour \(\varepsilon>0\) fixé, on veut que
\[ |a_n-2|<\varepsilon. \]
Comme
\[ |a_n-2|=\frac1n, \]
il suffit d'imposer
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Cette inégalité est vérifiée si
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Choisissons donc \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tel que
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon. \]
Alors, pour tout \(n\geq n_\varepsilon\), on a
\[ |a_n-2|<\varepsilon. \]
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n}=2. \]
La suite est convergente.
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=\frac{3n-2}{2n+5}. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite est convergente et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n-2}{2n+5}=\frac32. \]
Résolution
Considérons
\[ a_n=\frac{3n-2}{2n+5}. \]
Le numérateur et le dénominateur sont des polynômes du premier degré en \(n\). Lorsque \(n\to+\infty\), le comportement est gouverné par les termes de plus haut degré :
\[ 3n \quad \text{et} \quad 2n. \]
Divisons le numérateur et le dénominateur par \(n\) :
\[ \frac{3n-2}{2n+5}=\frac{3-\displaystyle \frac2n}{2+\displaystyle \frac5n}. \]
Comme
\[ \frac2n\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac5n\to0, \]
on obtient
\[ \frac{3-\displaystyle \frac2n}{2+\displaystyle \frac5n}\to\frac{3-0}{2+0}=\frac32. \]
Ainsi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n-2}{2n+5}=\frac32. \]
Comme la limite est un nombre réel fini, la suite est convergente.
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=n. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite diverge vers \(+\infty\) et
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Résolution
La suite est définie par
\[ a_n=n. \]
Ses termes sont
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots \]
et deviennent arbitrairement grands.
Pour démontrer que
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty, \]
on utilise la définition de la divergence vers \(+\infty\). Montrons que, pour tout \(M>0\), il existe \(n_M\in\mathbb N\) tel que, pour tout \(n\geq n_M\),
\[ a_n>M. \]
Comme \(a_n=n\), on doit obtenir
\[ n>M. \]
Choisissons \(n_M\in\mathbb N\) tel que
\[ n_M>M. \]
Alors, si \(n\geq n_M\), on a
\[ n\geq n_M>M. \]
Par conséquent
\[ a_n=n>M. \]
Ceci montre que la suite diverge vers \(+\infty\).
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=n^2. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite diverge vers \(+\infty\) et
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
Résolution
La suite est définie par
\[ a_n=n^2. \]
Ses premiers termes sont
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots \]
et croissent sans borne.
Montrons que la suite diverge vers \(+\infty\). Fixons un nombre arbitraire \(M>0\). Cherchons un rang \(n_M\) tel que, pour tout \(n\geq n_M\),
\[ n^2>M. \]
Comme \(n\) est positif, l'inégalité
\[ n^2>M \]
est vérifiée lorsque
\[ n>\sqrt{M}. \]
Choisissons donc \(n_M\in\mathbb N\) tel que
\[ n_M>\sqrt{M}. \]
Alors, pour tout \(n\geq n_M\), on a
\[ n\geq n_M>\sqrt{M}. \]
En élevant au carré, on obtient
\[ n^2>M. \]
Ainsi, pour tout seuil positif \(M\), à partir d'un certain rang les termes de la suite dépassent \(M\).
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
La suite diverge vers \(+\infty\).
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=-n. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite diverge vers \(-\infty\) et
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Résolution
La suite est définie par
\[ a_n=-n. \]
Ses termes sont
\[ -1,\ -2,\ -3,\ -4,\ \ldots \]
et deviennent de plus en plus petits.
Pour démontrer que
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty, \]
on utilise la définition de la divergence vers \(-\infty\). Fixons \(M>0\). Cherchons \(n_M\in\mathbb N\) tel que, pour tout \(n\geq n_M\),
\[ -n<-M. \]
En multipliant les deux membres par \(-1\), le sens de l'inégalité change :
\[ n>M. \]
Choisissons alors \(n_M\in\mathbb N\) tel que
\[ n_M>M. \]
Si \(n\geq n_M\), alors
\[ n\geq n_M>M. \]
Par conséquent
\[ -n<-M. \]
Ceci montre que les termes de la suite deviennent inférieurs à tout seuil négatif.
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
La suite diverge vers \(-\infty\).
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=-2n+5. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite diverge vers \(-\infty\) et
\[ \lim_{n\to+\infty}(-2n+5)=-\infty. \]
Résolution
La suite est définie par
\[ a_n=-2n+5. \]
Le terme dominant est \(-2n\), qui tend vers \(-\infty\). Le terme constant \(5\) ne modifie pas le comportement à l'infini.
Démontrons-le à l'aide de la définition. Fixons \(M>0\). Cherchons \(n_M\) tel que, pour tout \(n\geq n_M\),
\[ -2n+5<-M. \]
Résolvons l'inégalité :
\[ -2n+5<-M. \]
En retranchant \(5\) aux deux membres, on obtient
\[ -2n<-M-5. \]
En divisant par \(-2\), le sens de l'inégalité change :
\[ n>\frac{M+5}{2}. \]
Choisissons \(n_M\in\mathbb N\) tel que
\[ n_M>\frac{M+5}{2}. \]
Alors, pour tout \(n\geq n_M\), on a
\[ -2n+5<-M. \]
La suite diverge donc vers \(-\infty\).
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}(-2n+5)=-\infty. \]
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=(-1)^n. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite n'admet pas de limite.
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n. \]
Ses termes sont
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
La suite oscille entre les valeurs \(-1\) et \(1\) ; elle ne semble donc pas se rapprocher d'un unique nombre réel.
Considérons les rangs pairs. Si \(n=2k\), alors
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
La suite extraite des termes de rang pair est donc constante, égale à \(1\) ; par suite
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
Considérons à présent les rangs impairs. Si \(n=2k-1\), alors
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Par conséquent
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
On a ainsi trouvé deux suites extraites convergeant vers des limites différentes :
\[ 1 \qquad\text{et}\qquad -1. \]
La suite ne peut donc pas être convergente.
De plus, elle est bornée, car pour tout \(n\in\mathbb N^*\) on a
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Étant bornée, elle ne peut diverger ni vers \(+\infty\) ni vers \(-\infty\).
Ainsi la suite ne converge pas et ne tend pas vers l'infini. Elle n'admet donc pas de limite.
Exercice 11 — niveau ★★☆☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=1+(-1)^n. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite n'admet pas de limite.
Résolution
La suite est définie par
\[ a_n=1+(-1)^n. \]
Étudions séparément les rangs pairs et les rangs impairs.
Si \(n=2k\), alors
\[ a_{2k}=1+(-1)^{2k}=1+1=2. \]
Par conséquent
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=2. \]
Si en revanche \(n=2k-1\), alors
\[ a_{2k-1}=1+(-1)^{2k-1}=1-1=0. \]
Par conséquent
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=0. \]
La suite possède deux suites extraites de limites différentes :
\[ 2 \qquad\text{et}\qquad 0. \]
La suite n'est donc pas convergente.
De plus, ses termes ne prennent que les valeurs \(0\) et \(2\). La suite est donc bornée :
\[ 0\leq a_n\leq 2 \]
pour tout \(n\in\mathbb N^*\).
Comme elle est bornée, elle ne peut diverger ni vers \(+\infty\) ni vers \(-\infty\).
Par conséquent, la suite n'admet pas de limite.
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite est convergente et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Résolution
La suite est définie par
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Le facteur \((-1)^n\) fait osciller le signe des termes, mais le dénominateur \(n\) devient de plus en plus grand.
Étudions la valeur absolue :
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{|(-1)^n|}{n}. \]
Comme
\[ |(-1)^n|=1, \]
on a
\[ |a_n|=\frac1n. \]
Comme
\[ \frac1n\to0, \]
\(a_n\) tend lui aussi vers \(0\).
Vérifions-le directement. Pour \(\varepsilon>0\) fixé, on veut que
\[ |a_n-0|<\varepsilon. \]
Or
\[ |a_n-0|=|a_n|=\frac1n. \]
Il suffit donc d'imposer
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Comme on l'a déjà vu, cette condition est vérifiée pour
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
En choisissant \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tel que
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon, \]
on a, pour tout \(n\geq n_\varepsilon\),
\[ |a_n-0|<\varepsilon. \]
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
La suite est convergente. Cet exemple montre qu'une suite peut osciller en signe et néanmoins converger, pourvu que l'amplitude de l'oscillation tende vers zéro.
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n}. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite diverge vers \(+\infty\) et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n}=+\infty. \]
Résolution
Réécrivons le terme général :
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n}=n+\frac1n. \]
Le terme \(n\) tend vers \(+\infty\), tandis que le terme \(\displaystyle \frac1n\) tend vers \(0\). Le comportement est donc dominé par celui de \(n\).
Montrons que \(a_n\to+\infty\). Pour \(M>0\) fixé, on veut que
\[ n+\frac1n>M. \]
Comme
\[ \frac1n>0 \]
pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on a
\[ n+\frac1n>n. \]
Ainsi, si l'on impose
\[ n>M, \]
on obtient automatiquement
\[ n+\frac1n>M. \]
Choisissons \(n_M\in\mathbb N\) tel que
\[ n_M>M. \]
Alors, pour tout \(n\geq n_M\), on a
\[ a_n=n+\frac1n>n\geq n_M>M. \]
La suite diverge donc vers \(+\infty\).
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1}. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite est convergente et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n^2+1}=0. \]
Résolution
Considérons
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1}. \]
Le dénominateur est de degré \(2\), tandis que le numérateur est de degré \(1\). Lorsque \(n\to+\infty\), le dénominateur croît plus vite que le numérateur.
Divisons le numérateur et le dénominateur par \(n^2\) :
\[ \frac{n}{n^2+1} = \frac{\frac1n}{1+\frac1{n^2}}. \]
Comme
\[ \frac1n\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac1{n^2}\to0, \]
on obtient
\[ \frac{\frac1n}{1+\frac1{n^2}}\to\frac0{1+0}=0. \]
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n^2+1}=0. \]
La limite est finie ; la suite est donc convergente.
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite n'admet pas de limite.
Résolution
Considérons
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Calculons quelques termes :
\[ a_1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \]
\[ a_2=\sin(\pi)=0, \]
\[ a_3=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1, \]
\[ a_4=\sin(2\pi)=0. \]
Les termes se répètent donc selon le schéma
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots \]
La suite ne se rapproche pas d'un unique nombre réel.
En effet, en considérant les rangs de la forme \(4k+1\), on obtient
\[ a_{4k+1}=1. \]
Par conséquent
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+1}=1. \]
En considérant en revanche les rangs de la forme \(4k+2\), on obtient
\[ a_{4k+2}=0. \]
Par conséquent
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+2}=0. \]
La suite possède deux suites extraites convergeant vers des limites différentes. Elle n'est par conséquent pas convergente.
De plus, pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on a
\[ -1\leq a_n\leq 1. \]
La suite est donc bornée et ne peut diverger ni vers \(+\infty\) ni vers \(-\infty\).
Elle n'admet donc pas de limite.
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=n(-1)^n. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite n'admet pas de limite.
Résolution
La suite est définie par
\[ a_n=n(-1)^n. \]
Étudions séparément les rangs pairs et les rangs impairs.
Si \(n=2k\), alors
\[ a_{2k}=2k(-1)^{2k}=2k. \]
Par conséquent
\[ a_{2k}\to+\infty \]
lorsque \(k\to+\infty\).
Si en revanche \(n=2k-1\), alors
\[ a_{2k-1}=(2k-1)(-1)^{2k-1}=-(2k-1). \]
Par conséquent
\[ a_{2k-1}\to-\infty \]
lorsque \(k\to+\infty\).
La suite ne peut converger vers un nombre réel, car une partie de ses termes croît au-delà de toute borne tandis qu'une autre décroît au-dessous de toute borne.
Elle ne diverge pas vers \(+\infty\), car les termes de rang impair deviennent de plus en plus négatifs : ils ne peuvent donc, à partir d'un certain rang, être supérieurs à tout seuil positif fixé.
Elle ne diverge pas non plus vers \(-\infty\), car les termes de rang pair deviennent de plus en plus positifs : ils ne peuvent donc, à partir d'un certain rang, être inférieurs à tout seuil négatif fixé.
Ainsi la suite ne converge pas et ne diverge ni vers \(+\infty\) ni vers \(-\infty\).
Elle n'admet donc pas de limite.
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite n'admet pas de limite.
Résolution
Considérons
\[ a_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Le facteur
\[ \frac{n}{n+1} \]
tend vers \(1\), tandis que le facteur \((-1)^n\) en change alternativement le signe.
Étudions les suites extraites de rangs pairs et impairs.
Si \(n=2k\), alors
\[ a_{2k}=\frac{(-1)^{2k}\,2k}{2k+1}=\frac{2k}{2k+1}. \]
Comme
\[ \frac{2k}{2k+1}\to1, \]
on a
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
Si en revanche \(n=2k-1\), alors
\[ a_{2k-1}=\frac{(-1)^{2k-1}(2k-1)}{2k}=-\frac{2k-1}{2k}. \]
Comme
\[ \frac{2k-1}{2k}\to1, \]
on obtient
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
La suite possède donc deux suites extraites convergeant vers des limites différentes :
\[ 1 \qquad\text{et}\qquad -1. \]
La suite n'est par conséquent pas convergente.
De plus, elle est bornée, car
\[ \left|\frac{(-1)^n n}{n+1}\right|=\frac{n}{n+1}<1. \]
Étant bornée, elle ne diverge ni vers \(+\infty\) ni vers \(-\infty\).
La suite n'admet donc pas de limite.
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=\frac{n^2+3n}{2n^2-1}. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite est convergente et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-1}=\frac12. \]
Résolution
Considérons
\[ a_n=\frac{n^2+3n}{2n^2-1}. \]
Le numérateur et le dénominateur sont des polynômes de même degré, à savoir de degré \(2\).
Dans ce cas, la limite est le rapport des coefficients des termes de plus haut degré. Vérifions-le en divisant le numérateur et le dénominateur par \(n^2\) :
\[ \frac{n^2+3n}{2n^2-1} = \frac{1+\frac3n}{2-\frac1{n^2}}. \]
Or
\[ \frac3n\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac1{n^2}\to0. \]
Par conséquent
\[ \frac{1+\frac3n}{2-\frac1{n^2}}\to\frac{1+0}{2-0}=\frac12. \]
Ainsi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-1}=\frac12. \]
Comme la limite est réelle et finie, la suite est convergente.
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}. \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite diverge vers \(+\infty\).
Résolution
Considérons
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}. \]
Le numérateur est de degré \(3\), tandis que le dénominateur est de degré \(2\). Le numérateur croît donc plus vite que le dénominateur.
Divisons le numérateur et le dénominateur par \(n^2\) :
\[ \frac{n^3+1}{n^2+1} = \frac{n+\frac1{n^2}}{1+\frac1{n^2}}. \]
Lorsque \(n\to+\infty\), on a
\[ n+\frac1{n^2}\to+\infty \]
et
\[ 1+\frac1{n^2}\to1. \]
La suite tend donc vers \(+\infty\).
Établissons également une minoration simple. Pour tout \(n\geq1\), on a
\[ n^2+1\leq 2n^2. \]
De plus
\[ n^3+1\geq n^3. \]
Par conséquent
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}\geq\frac{n^3}{2n^2}=\frac n2. \]
Comme
\[ \frac n2\to+\infty, \]
on a aussi \(a_n\to+\infty\).
Ainsi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^3+1}{n^2+1}=+\infty. \]
La suite diverge vers \(+\infty\).
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Étudier le comportement de la suite
\[ a_n= \begin{cases} \dfrac{1}{n} & \text{si } n \text{ est pair},\\[6pt] 2+\dfrac{1}{n} & \text{si } n \text{ est impair}. \end{cases} \]
Préciser si elle converge, si elle diverge vers l'infini ou si elle n'admet pas de limite.
Résultat
La suite n'admet pas de limite.
Résolution
La suite est définie différemment selon que le rang \(n\) est pair ou impair :
\[ a_n= \begin{cases} \dfrac{1}{n} & \text{si } n \text{ est pair},\\[6pt] 2+\dfrac{1}{n} & \text{si } n \text{ est impair}. \end{cases} \]
Étudions la suite extraite des rangs pairs. Si \(n=2k\), alors
\[ a_{2k}=\frac{1}{2k}. \]
Comme
\[ \frac{1}{2k}\to0 \]
lorsque \(k\to+\infty\), on obtient
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=0. \]
Étudions à présent la suite extraite des rangs impairs. Si \(n=2k-1\), alors
\[ a_{2k-1}=2+\frac{1}{2k-1}. \]
Comme
\[ \frac{1}{2k-1}\to0, \]
il s'ensuit que
\[ 2+\frac{1}{2k-1}\to2. \]
Par conséquent
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=2. \]
La suite possède donc deux suites extraites convergeant vers des limites différentes :
\[ 0 \qquad\text{et}\qquad 2. \]
Pour cette raison, la suite ne peut pas être convergente.
De plus, la suite est bornée. En effet, pour \(n\) pair on a
\[ a_n=\frac1n, \]
donc \(0<a_n\leq \frac12\), tandis que pour \(n\) impair on a
\[ a_n=2+\frac1n, \]
donc \(2<a_n\leq3\).
Dans tous les cas, les termes restent contenus dans un intervalle borné. Par exemple,
\[ 0<a_n\leq3 \]
pour tout \(n\in\mathbb N^*\).
Étant bornée, la suite ne peut diverger ni vers \(+\infty\) ni vers \(-\infty\).
Ainsi la suite ne converge pas et ne tend pas vers l'infini.
Elle n'admet donc pas de limite.