Sur cette page, nous proposons 20 exercices résolus pas à pas sur les suites bornées. Ces exercices ont pour but d’aider à reconnaître quand une suite est majorée, minorée ou à la fois minorée et majorée.
Dans chaque exercice, nous travaillerons avec des suites réelles définies sur \(\mathbb{N}\), où
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}. \]
Rappelons qu'une suite \((a_n)\) est majorée s'il existe \(M\in\mathbb{R}\) tel que
\[ a_n\le M \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). De même, elle est minorée s'il existe \(m\in\mathbb{R}\) tel que
\[ a_n\ge m \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Enfin, une suite est bornée si elle est à la fois minorée et majorée. De façon équivalente, \((a_n)\) est bornée s'il existe \(K>0\) tel que
\[ |a_n|\le K \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{1}{n+1} \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite est bornée. Plus précisément,
\[ 0\le a_n\le 1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Résolution
La suite est définie par
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Puisque, dans ce recueil d'exercices, nous supposons
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}, \]
on a
\[ n\ge 0. \]
En ajoutant \(1\) aux deux membres, nous obtenons
\[ n+1\ge 1. \]
Ainsi, le dénominateur \(n+1\) est toujours strictement positif et au moins égal à \(1\).
De \(n+1\ge 1\), il résulte que
\[ 0<\frac{1}{n+1}\le 1. \]
Comme
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \]
nous pouvons écrire
\[ 0<a_n\le 1. \]
En particulier, de \(a_n\le 1\) il résulte que \(1\) est un majorant de la suite. La suite est donc majorée.
De plus, de \(a_n>0\) il résulte aussi que
\[ a_n\ge 0. \]
Ainsi, \(0\) est un minorant de la suite, et la suite est minorée.
La suite est donc bornée.
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite est bornée. Plus précisément,
\[ 0\le a_n<1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). En particulier, \(0\) est un minorant et \(1\) est un majorant.
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Puisque \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ n\ge 0. \]
De plus
\[ n+1>0. \]
Le numérateur est donc positif ou nul, tandis que le dénominateur est strictement positif. Par conséquent
\[ \frac{n}{n+1}\ge 0. \]
Ainsi
\[ a_n\ge 0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Ceci montre que la suite est minorée.
Étudions maintenant si elle est majorée. Comme
\[ n<n+1 \]
et puisque \(n+1>0\), en divisant les deux membres par \(n+1\) nous obtenons
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Par suite
\[ a_n<1. \]
En particulier, \(1\) est un majorant de la suite, car chaque terme est strictement inférieur à \(1\). La suite est donc majorée.
Nous avons montré que
\[ 0\le a_n<1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
La suite est donc bornée.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n+1} \]
est bornée.
Résultat
La suite est bornée. En effet,
\[ |a_n|\le 1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Ainsi
\[ -1\le a_n\le 1. \]
Résolution
La suite est
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n+1}. \]
Pour déterminer si elle est bornée, il est commode d'estimer la valeur absolue de ses termes.
Calculons :
\[ |a_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n+1}\right|. \]
La valeur absolue d'un quotient est le quotient des valeurs absolues, donc
\[ |a_n| = \frac{|(-1)^n|}{|n+1|}. \]
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ |(-1)^n|=1. \]
De plus, puisque \(n+1>0\), on a
\[ |n+1|=n+1. \]
Ainsi
\[ |a_n|=\frac{1}{n+1}. \]
Comme \(n+1\ge 1\), on a
\[ \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Par suite
\[ |a_n|\le 1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
D'après la caractérisation au moyen de la valeur absolue, une suite réelle est bornée s'il existe \(K>0\) tel que
\[ |a_n|\le K \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Ici, nous pouvons choisir \(K=1\).
La suite est donc bornée.
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=n+3 \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite est minorée, mais elle n'est pas majorée. Elle n'est donc pas bornée.
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=n+3. \]
Puisque \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ n\ge 0. \]
En ajoutant \(3\) aux deux membres, nous obtenons
\[ n+3\ge 3. \]
Comme \(a_n=n+3\), il résulte que
\[ a_n\ge 3 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Ainsi, \(3\) est un minorant de la suite, et la suite est donc minorée.
Vérifions maintenant si la suite est majorée.
Pour qu'elle soit majorée, il devrait exister un nombre réel \(M\) tel que
\[ a_n\le M \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Montrons que tel n'est pas le cas.
Soit \(M\in\mathbb{R}\) un nombre réel quelconque. Comme les entiers naturels ne sont pas majorés, nous pouvons choisir \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ n>M-3. \]
En ajoutant \(3\) aux deux membres, nous obtenons
\[ n+3>M. \]
Or \(a_n=n+3\), donc
\[ a_n>M. \]
Nous avons montré que, quel que soit \(M\in\mathbb{R}\), il existe un terme de la suite strictement supérieur à \(M\). La suite n'est donc pas majorée.
Comme elle est minorée mais non majorée, la suite n'est pas bornée.
Exercice 5 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=-n^2 \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite est majorée, mais elle n'est pas minorée. Elle n'est donc pas bornée.
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=-n^2. \]
Comme le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) on a
\[ n^2\ge 0. \]
En multipliant les deux membres par \(-1\), le sens de l'inégalité change. Nous obtenons donc
\[ -n^2\le 0. \]
Comme \(a_n=-n^2\), il résulte que
\[ a_n\le 0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Ainsi, \(0\) est un majorant de la suite, et la suite est donc majorée.
Étudions maintenant si la suite est minorée.
Pour qu'elle soit minorée, il devrait exister un nombre réel \(m\) tel que
\[ a_n\ge m \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Montrons qu'aucun nombre réel \(m\) ne peut être un minorant.
Soit \(m\in\mathbb{R}\). Nous cherchons un indice \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ a_n<m. \]
Il suffit de choisir \(n\in\mathbb{N}\) assez grand pour que
\[ n^2>|m|+1. \]
Ce choix est possible, car \(n^2\) croît sans borne lorsque \(n\) augmente.
De
\[ n^2>|m|+1 \]
il résulte en particulier que
\[ n^2>|m|. \]
Comme \(|m|\ge -m\) pour tout \(m\in\mathbb{R}\), nous obtenons
\[ n^2>-m. \]
En multipliant par \(-1\), le sens de l'inégalité change :
\[ -n^2<m. \]
Comme \(a_n=-n^2\), il résulte que
\[ a_n<m. \]
Nous avons montré que, pour tout \(m\in\mathbb{R}\), il existe un terme de la suite strictement inférieur à \(m\). La suite n'est donc pas minorée.
Comme elle est majorée mais non minorée, la suite n'est pas bornée.
Exercice 6 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1} \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite est bornée. Plus précisément,
\[ 0\le a_n<1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). En particulier, \(0\) est un minorant et \(1\) est un majorant.
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1}. \]
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ n^2\ge 0. \]
De plus
\[ n^2+1>0. \]
Le numérateur est donc positif ou nul, tandis que le dénominateur est strictement positif. Par conséquent
\[ \frac{n^2}{n^2+1}\ge 0. \]
Ainsi
\[ a_n\ge 0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Ceci montre que la suite est minorée.
Étudions maintenant si elle est majorée. Comme
\[ n^2<n^2+1 \]
et puisque \(n^2+1>0\), en divisant les deux membres par \(n^2+1\) nous obtenons
\[ \frac{n^2}{n^2+1}<1. \]
Ainsi
\[ a_n<1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). En particulier, \(1\) est un majorant de la suite, et la suite est donc majorée.
Nous avons montré que
\[ 0\le a_n<1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
La suite est donc bornée.
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=(-1)^n n \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite n'est ni majorée ni minorée. Elle n'est donc pas bornée.
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n n. \]
Le facteur \((-1)^n\) change de signe selon la parité de \(n\).
Si \(n\) est pair, alors \((-1)^n=1\), et donc
\[ a_n=n. \]
Si, au contraire, \(n\) est impair, alors \((-1)^n=-1\), et donc
\[ a_n=-n. \]
Étudions d'abord si la suite est majorée.
Pour démontrer que la suite n'est pas majorée, nous devons montrer que, quel que soit \(M\in\mathbb{R}\), il existe un indice \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ a_n>M. \]
Soit donc \(M\in\mathbb{R}\). Choisissons un indice pair \(n=2q\) suffisamment grand pour que
\[ 2q>M. \]
Ce choix est possible, car les entiers naturels pairs croissent sans borne.
Pour cet indice \(n=2q\), \(n\) étant pair, on a
\[ (-1)^n=1. \]
Ainsi
\[ a_n=(-1)^n n=n=2q>M. \]
Nous avons donc montré qu'aucun nombre réel \(M\) ne peut être un majorant. La suite n'est pas majorée.
Étudions maintenant si la suite est minorée.
Pour démontrer que la suite n'est pas minorée, nous devons montrer que, quel que soit \(m\in\mathbb{R}\), il existe un indice \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ a_n<m. \]
Soit donc \(m\in\mathbb{R}\). Choisissons un indice impair \(n=2q+1\) suffisamment grand pour que
\[ -(2q+1)<m. \]
Ce choix est possible, car les nombres de la forme \(-(2q+1)\) décroissent sans borne lorsque \(q\) augmente.
Pour cet indice \(n=2q+1\), \(n\) étant impair, on a
\[ (-1)^n=-1. \]
Ainsi
\[ a_n=(-1)^n n=-n=-(2q+1)<m. \]
Nous avons donc montré qu'aucun nombre réel \(m\) ne peut être un minorant. La suite n'est pas minorée.
Comme la suite n'est ni majorée ni minorée, elle n'est pas bornée.
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1} \]
est bornée.
Résultat
La suite est bornée. En effet,
\[ |a_n|<1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Ainsi, en particulier,
\[ -1\le a_n\le 1. \]
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1}. \]
Comme la suite contient le facteur alternant \((-1)^n\), il est naturel d'estimer la valeur absolue de ses termes.
Calculons :
\[ |a_n| = \left|(-1)^n\frac{n}{n+1}\right|. \]
En utilisant les propriétés de la valeur absolue, nous obtenons
\[ |a_n| = |(-1)^n|\left|\frac{n}{n+1}\right|. \]
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ |(-1)^n|=1. \]
De plus \(n\ge 0\) et \(n+1>0\), donc
\[ \left|\frac{n}{n+1}\right|=\frac{n}{n+1}. \]
Ainsi
\[ |a_n|=\frac{n}{n+1}. \]
Comme
\[ n<n+1 \]
et \(n+1>0\), en divisant par \(n+1\) nous obtenons
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Ainsi
\[ |a_n|<1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
En particulier, on a aussi
\[ |a_n|\le 1. \]
D'après la caractérisation au moyen de la valeur absolue, comme il existe \(K>0\), par exemple \(K=1\), tel que
\[ |a_n|\le K \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la suite est bornée.
De l'inégalité \(|a_n|\le 1\) il résulte aussi que
\[ -1\le a_n\le 1. \]
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+2} \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite est bornée. Plus précisément,
\[ \frac{1}{2}\le a_n<2 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+2}. \]
Pour étudier si elle est bornée, réécrivons le numérateur en fonction du dénominateur. Observons que
\[ 2n+1=2(n+2)-3. \]
En effet
\[ 2(n+2)-3=2n+4-3=2n+1. \]
Ainsi
\[ a_n=\frac{2(n+2)-3}{n+2}. \]
En séparant la fraction, nous obtenons
\[ a_n = \frac{2(n+2)}{n+2}-\frac{3}{n+2} = 2-\frac{3}{n+2}. \]
Puisque \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ n+2\ge 2. \]
Ainsi
\[ \frac{3}{n+2}>0. \]
De
\[ a_n=2-\frac{3}{n+2} \]
et de \(\displaystyle\frac{3}{n+2}>0\), il résulte que
\[ a_n<2. \]
Ainsi, \(2\) est un majorant de la suite, et la suite est majorée.
Cherchons maintenant un minorant. Comme \(n+2\ge 2\), en divisant \(3\) par un nombre supérieur ou égal à \(2\), nous obtenons
\[ \frac{3}{n+2}\le \frac{3}{2}. \]
En changeant de signe, le sens de l'inégalité s'inverse :
\[ -\frac{3}{n+2}\ge -\frac{3}{2}. \]
En ajoutant \(2\) aux deux membres, nous obtenons
\[ 2-\frac{3}{n+2}\ge 2-\frac{3}{2}. \]
Comme
\[ 2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}, \]
il résulte que
\[ a_n\ge \frac{1}{2}. \]
Ainsi, \(\displaystyle\frac{1}{2}\) est un minorant de la suite, et la suite est minorée.
Nous avons montré que
\[ \frac{1}{2}\le a_n<2 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). La suite est donc bornée.
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{n^2+3}{n^2+1} \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite est bornée. Plus précisément,
\[ 1<a_n\le 3 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{n^2+3}{n^2+1}. \]
Pour étudier si elle est bornée, réécrivons le numérateur de manière à faire apparaître le dénominateur :
\[ n^2+3=(n^2+1)+2. \]
Ainsi
\[ a_n=\frac{(n^2+1)+2}{n^2+1}. \]
En séparant la fraction, nous obtenons
\[ a_n = \frac{n^2+1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} = 1+\frac{2}{n^2+1}. \]
Comme \(n^2\ge 0\), on a
\[ n^2+1\ge 1. \]
Par conséquent
\[ \frac{2}{n^2+1}>0. \]
De
\[ a_n=1+\frac{2}{n^2+1} \]
il s'ensuit alors que
\[ a_n>1. \]
En particulier, \(1\) est un minorant de la suite, et la suite est donc minorée.
Cherchons maintenant un majorant. De \(n^2+1\ge 1\) il résulte que
\[ \frac{2}{n^2+1}\le 2. \]
En ajoutant \(1\) aux deux membres, nous obtenons
\[ 1+\frac{2}{n^2+1}\le 3. \]
Comme
\[ a_n=1+\frac{2}{n^2+1}, \]
il résulte que
\[ a_n\le 3. \]
Ainsi, \(3\) est un majorant de la suite, et la suite est majorée.
Nous avons montré que
\[ 1<a_n\le 3 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). La suite est donc bornée.
Exercice 11 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{3n^2-2}{n^2+1} \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite est bornée. Plus précisément,
\[ -2\le a_n<3 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{3n^2-2}{n^2+1}. \]
Pour étudier si elle est bornée, réécrivons le numérateur de manière à faire apparaître le dénominateur. Observons que
\[ 3n^2-2=3(n^2+1)-5. \]
En effet
\[ 3(n^2+1)-5=3n^2+3-5=3n^2-2. \]
Ainsi
\[ a_n=\frac{3(n^2+1)-5}{n^2+1}. \]
En séparant la fraction, nous obtenons
\[ a_n = \frac{3(n^2+1)}{n^2+1}-\frac{5}{n^2+1} = 3-\frac{5}{n^2+1}. \]
Comme \(n^2\ge 0\), on a
\[ n^2+1\ge 1. \]
En particulier, le dénominateur \(n^2+1\) est toujours strictement positif. Ainsi
\[ \frac{5}{n^2+1}>0. \]
De
\[ a_n=3-\frac{5}{n^2+1} \]
et de \(\displaystyle\frac{5}{n^2+1}>0\), il résulte que
\[ a_n<3. \]
Ainsi, \(3\) est un majorant de la suite, et la suite est majorée.
Cherchons maintenant un minorant. De \(n^2+1\ge 1\) il résulte que
\[ \frac{5}{n^2+1}\le 5. \]
En changeant de signe, le sens de l'inégalité s'inverse :
\[ -\frac{5}{n^2+1}\ge -5. \]
En ajoutant \(3\) aux deux membres, nous obtenons
\[ 3-\frac{5}{n^2+1}\ge 3-5. \]
Comme
\[ 3-5=-2, \]
il résulte que
\[ a_n\ge -2. \]
Ainsi, \(-2\) est un minorant de la suite, et la suite est minorée.
Nous avons montré que
\[ -2\le a_n<3 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). La suite est donc bornée.
Exercice 12 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1} \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite est bornée. Plus précisément,
\[ 0\le a_n\le \frac{1}{2} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1}. \]
Puisque \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ n\ge 0. \]
De plus
\[ n^2+1>0. \]
Le numérateur est positif ou nul, tandis que le dénominateur est strictement positif. Par conséquent
\[ \frac{n}{n^2+1}\ge 0. \]
Ainsi
\[ a_n\ge 0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). La suite est donc minorée.
Étudions maintenant si elle est majorée. Nous voulons montrer que
\[ \frac{n}{n^2+1}\le \frac{1}{2}. \]
Comme \(n^2+1>0\), nous pouvons multiplier les deux membres par \(2(n^2+1)\), qui est strictement positif. L'inégalité précédente équivaut à
\[ 2n\le n^2+1. \]
En passant tout au second membre, nous obtenons
\[ 0\le n^2-2n+1. \]
Or
\[ n^2-2n+1=(n-1)^2. \]
Ainsi, l'inégalité devient
\[ 0\le (n-1)^2. \]
Ceci est toujours vrai, car le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.
Ainsi
\[ \frac{n}{n^2+1}\le \frac{1}{2} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Par suite, \(\displaystyle\frac{1}{2}\) est un majorant de la suite, et la suite est majorée.
Nous avons montré que
\[ 0\le a_n\le \frac{1}{2} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). La suite est donc bornée.
Exercice 13 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=(-1)^n\frac{n+2}{n+1} \]
est bornée.
Résultat
La suite est bornée. En effet,
\[ |a_n|\le 2 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Ainsi
\[ -2\le a_n\le 2. \]
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n\frac{n+2}{n+1}. \]
Comme le facteur alternant \((-1)^n\) est présent, il convient d'étudier la valeur absolue des termes.
Calculons :
\[ |a_n| = \left|(-1)^n\frac{n+2}{n+1}\right|. \]
En utilisant les propriétés de la valeur absolue, nous obtenons
\[ |a_n| = |(-1)^n|\left|\frac{n+2}{n+1}\right|. \]
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ |(-1)^n|=1. \]
De plus \(n+1>0\) et \(n+2>0\), donc
\[ \left|\frac{n+2}{n+1}\right|=\frac{n+2}{n+1}. \]
Par suite
\[ |a_n|=\frac{n+2}{n+1}. \]
Réécrivons maintenant la fraction :
\[ \frac{n+2}{n+1} = \frac{(n+1)+1}{n+1} = 1+\frac{1}{n+1}. \]
Comme \(n+1\ge 1\), on a
\[ \frac{1}{n+1}\le 1. \]
En ajoutant \(1\) aux deux membres, nous obtenons
\[ 1+\frac{1}{n+1}\le 2. \]
Comme
\[ |a_n|=1+\frac{1}{n+1}, \]
il résulte que
\[ |a_n|\le 2. \]
D'après la caractérisation au moyen de la valeur absolue, comme il existe \(K>0\), par exemple \(K=2\), tel que
\[ |a_n|\le K \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la suite est bornée.
En particulier, de l'inégalité \(|a_n|\le 2\) il résulte que
\[ -2\le a_n\le 2. \]
Exercice 14 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{n^3}{n^2+1} \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite est minorée, mais elle n'est pas majorée. Elle n'est donc pas bornée.
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{n^3}{n^2+1}. \]
Puisque \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ n\ge 0. \]
Ainsi
\[ n^3\ge 0. \]
De plus
\[ n^2+1>0. \]
Le numérateur est positif ou nul, tandis que le dénominateur est strictement positif. Par suite
\[ \frac{n^3}{n^2+1}\ge 0. \]
Ainsi
\[ a_n\ge 0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). La suite est donc minorée.
Montrons maintenant que la suite n'est pas majorée.
Pour \(n\ge 1\), on a
\[ n^2+1\le 2n^2. \]
En effet, si \(n\ge 1\), alors \(1\le n^2\), et donc
\[ n^2+1\le n^2+n^2=2n^2. \]
Comme \(n^2+1\le 2n^2\) et que toutes les quantités en jeu sont strictement positives, en passant aux inverses le sens de l'inégalité s'inverse :
\[ \frac{1}{n^2+1}\ge \frac{1}{2n^2}. \]
En multipliant par \(n^3\ge 0\), nous obtenons
\[ \frac{n^3}{n^2+1}\ge \frac{n^3}{2n^2}. \]
En simplifiant,
\[ \frac{n^3}{2n^2}=\frac{n}{2}. \]
Ainsi, pour tout \(n\ge 1\),
\[ a_n\ge \frac{n}{2}. \]
Soit maintenant \(M\in\mathbb{R}\). Nous cherchons un indice \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ a_n>M. \]
Choisissons \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ n\ge 1 \qquad \text{et} \qquad \frac{n}{2}>M. \]
Ce choix est possible, car \(\displaystyle\frac{n}{2}\) croît sans borne lorsque \(n\) augmente.
Pour cet indice, en utilisant l'estimation précédente, on a
\[ a_n\ge \frac{n}{2}>M. \]
Nous avons donc montré que, quel que soit \(M\in\mathbb{R}\), il existe un terme de la suite strictement supérieur à \(M\). La suite n'est donc pas majorée.
Comme la suite est minorée mais non majorée, elle n'est pas bornée.
Exercice 15 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=n^2-4n \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite est minorée, mais elle n'est pas majorée. Elle n'est donc pas bornée.
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=n^2-4n. \]
Pour étudier si la suite est minorée, complétons le carré :
\[ n^2-4n=n^2-4n+4-4. \]
Comme
\[ n^2-4n+4=(n-2)^2, \]
nous obtenons
\[ a_n=(n-2)^2-4. \]
Or, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), le carré \((n-2)^2\) est positif ou nul. Ainsi
\[ (n-2)^2\ge 0. \]
En retranchant \(4\) aux deux membres, nous obtenons
\[ (n-2)^2-4\ge -4. \]
Comme
\[ a_n=(n-2)^2-4, \]
il résulte que
\[ a_n\ge -4. \]
Ainsi, \(-4\) est un minorant de la suite, et la suite est minorée.
Montrons maintenant que la suite n'est pas majorée.
Pour \(n\ge 8\), on a
\[ n^2-4n\ge \frac{n^2}{2}. \]
Vérifions cette estimation. L'inégalité
\[ n^2-4n\ge \frac{n^2}{2} \]
équivaut à
\[ \frac{n^2}{2}-4n\ge 0. \]
En mettant \(n\) en facteur, nous obtenons
\[ n\left(\frac{n}{2}-4\right)\ge 0. \]
Si \(n\ge 8\), alors
\[ \frac{n}{2}-4\ge 0, \]
et, comme \(n\ge 0\), le produit est positif ou nul. Ainsi, pour tout \(n\ge 8\),
\[ a_n=n^2-4n\ge \frac{n^2}{2}. \]
Soit maintenant \(M\in\mathbb{R}\). Nous cherchons un indice \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ a_n>M. \]
Comme \(\displaystyle\frac{n^2}{2}\) croît sans borne lorsque \(n\) augmente, nous pouvons choisir \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ n\ge 8 \qquad \text{et} \qquad \frac{n^2}{2}>M. \]
Pour cet indice, de l'estimation précédente il résulte que
\[ a_n\ge \frac{n^2}{2}>M. \]
Ainsi, quel que soit \(M\in\mathbb{R}\), il existe un terme de la suite strictement supérieur à \(M\). La suite n'est donc pas majorée.
Comme la suite est minorée mais non majorée, elle n'est pas bornée.
Exercice 16 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite est bornée. Plus précisément,
\[ 0<a_n\le 1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}. \]
Comme \(n+1>n\) et que la fonction racine carrée est croissante sur \([0,+\infty)\), on a
\[ \sqrt{n+1}>\sqrt{n}. \]
En retranchant \(\sqrt{n}\) aux deux membres, nous obtenons
\[ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}>0. \]
Ainsi
\[ a_n>0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). En particulier, \(0\) est un minorant de la suite, et la suite est donc minorée.
Étudions maintenant si elle est majorée. Pour estimer \(a_n\), multiplions par l'expression conjuguée :
\[ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}. \]
Au numérateur, nous utilisons l'identité remarquable
\[ (x-y)(x+y)=x^2-y^2. \]
Nous obtenons ainsi
\[ a_n= \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}. \]
Comme \(n\ge 0\), on a
\[ \sqrt{n+1}\ge 1 \qquad \text{et} \qquad \sqrt{n}\ge 0. \]
Ainsi
\[ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\ge 1. \]
Par conséquent
\[ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\le 1. \]
Comme
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}, \]
il résulte que
\[ a_n\le 1. \]
Ainsi, \(1\) est un majorant de la suite, et la suite est majorée.
Nous avons montré que
\[ 0<a_n\le 1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
La suite est donc bornée.
Exercice 17 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\sqrt{n^2+1}-n \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite est bornée. Plus précisément,
\[ 0<a_n\le 1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=\sqrt{n^2+1}-n. \]
Comme
\[ n^2+1>n^2, \]
et puisque la racine carrée est croissante sur \([0,+\infty)\), nous obtenons
\[ \sqrt{n^2+1}>\sqrt{n^2}. \]
Puisque \(n\in\mathbb{N}\), on a \(n\ge 0\), donc
\[ \sqrt{n^2}=n. \]
Par suite
\[ \sqrt{n^2+1}>n. \]
En retranchant \(n\) aux deux membres, il résulte que
\[ \sqrt{n^2+1}-n>0. \]
Ainsi
\[ a_n>0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). La suite est donc minorée, par exemple par \(0\).
Étudions maintenant si elle est majorée. Multiplions par l'expression conjuguée :
\[ a_n=\sqrt{n^2+1}-n = \frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}. \]
Au numérateur, nous obtenons
\[ (\sqrt{n^2+1})^2-n^2=n^2+1-n^2=1. \]
Ainsi
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}. \]
Comme \(n\ge 0\), on a
\[ \sqrt{n^2+1}\ge 1 \qquad \text{et} \qquad n\ge 0. \]
Ainsi
\[ \sqrt{n^2+1}+n\ge 1. \]
Il en résulte que
\[ \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\le 1. \]
Comme
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}, \]
nous obtenons
\[ a_n\le 1. \]
Ainsi, \(1\) est un majorant de la suite, et la suite est majorée.
Nous avons montré que
\[ 0<a_n\le 1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). La suite est donc bornée.
Exercice 18 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1} \]
est bornée.
Résultat
La suite est bornée. Par exemple,
\[ -1\le a_n\le 2 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}. \]
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), le terme \((-1)^n\) ne peut prendre que les valeurs \(1\) et \(-1\). Ainsi
\[ -1\le (-1)^n\le 1. \]
De plus, comme \(n+1\ge 1\), on a
\[ 0<\frac{1}{n+1}\le 1. \]
Il en résulte en particulier que
\[ 0\le \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Additionnons maintenant les deux encadrements :
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
et
\[ 0\le \frac{1}{n+1}\le 1. \]
En additionnant membre à membre, nous obtenons
\[ -1+0\le (-1)^n+\frac{1}{n+1}\le 1+1. \]
Ainsi
\[ -1\le (-1)^n+\frac{1}{n+1}\le 2. \]
Comme
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}, \]
il résulte que
\[ -1\le a_n\le 2 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Ainsi, \(-1\) est un minorant et \(2\) est un majorant de la suite. La suite est donc bornée.
Exercice 19 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=\frac{(-1)^n n^2+n}{n^2+1} \]
est bornée.
Résultat
La suite est bornée. Par exemple,
\[ |a_n|\le 2 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{(-1)^n n^2+n}{n^2+1}. \]
Pour démontrer que la suite est bornée, estimons la valeur absolue :
\[ |a_n| = \left|\frac{(-1)^n n^2+n}{n^2+1}\right|. \]
Comme \(n^2+1>0\), nous pouvons écrire
\[ |a_n| = \frac{|(-1)^n n^2+n|}{n^2+1}. \]
Utilisons maintenant l'inégalité triangulaire :
\[ |x+y|\le |x|+|y|. \]
Dans notre cas,
\[ |(-1)^n n^2+n| \le |(-1)^n n^2|+|n|. \]
Comme
\[ |(-1)^n|=1 \]
et \(n\ge 0\), nous obtenons
\[ |(-1)^n n^2|=n^2 \qquad \text{et} \qquad |n|=n. \]
Ainsi
\[ |(-1)^n n^2+n|\le n^2+n. \]
Par conséquent
\[ |a_n| \le \frac{n^2+n}{n^2+1}. \]
Nous voulons maintenant majorer cette fraction. Puisque \(n\in\mathbb{N}\), pour tout \(n\) on a
\[ n\le n^2+1. \]
En effet, cette inégalité équivaut à
\[ n^2-n+1\ge 0, \]
et elle est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Par exemple, si \(n=0\) elle est immédiate, tandis que si \(n\ge 1\) alors \(n^2\ge n\), d'où \(n^2+1\ge n\).
De \(n\le n^2+1\), il résulte que
\[ n^2+n\le n^2+(n^2+1)=2n^2+1. \]
Comme
\[ 2n^2+1\le 2n^2+2=2(n^2+1), \]
nous obtenons
\[ n^2+n\le 2(n^2+1). \]
En divisant par \(n^2+1>0\), il résulte que
\[ \frac{n^2+n}{n^2+1}\le 2. \]
Par suite
\[ |a_n|\le 2. \]
Comme il existe \(K>0\), par exemple \(K=2\), tel que
\[ |a_n|\le K \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la suite est bornée.
Exercice 20 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=(-1)^n n+\frac{1}{n+1} \]
est majorée, minorée et bornée.
Résultat
La suite n'est ni majorée ni minorée. Elle n'est donc pas bornée.
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n n+\frac{1}{n+1}. \]
Le terme principal est \((-1)^n n\), qui prend des valeurs positives de plus en plus grandes aux indices pairs et des valeurs de plus en plus négatives aux indices impairs. Le terme
\[ \frac{1}{n+1} \]
est, quant à lui, toujours strictement positif et compris entre \(0\) et \(1\). Montrons de manière rigoureuse que la suite n'est ni majorée ni minorée.
Étudions d'abord si la suite est majorée. Soit \(M\in\mathbb{R}\). Nous cherchons un indice \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ a_n>M. \]
Choisissons un indice pair \(n=2q\). Alors
\[ (-1)^n=(-1)^{2q}=1. \]
Pour de tels indices, les termes correspondants s'écrivent
\[ a_{2q}=2q+\frac{1}{2q+1}. \]
Comme
\[ \frac{1}{2q+1}>0, \]
il résulte que
\[ a_{2q}=2q+\frac{1}{2q+1}>2q. \]
Choisissons maintenant \(q\in\mathbb{N}\) suffisamment grand pour que
\[ 2q>M. \]
Alors
\[ a_{2q}>2q>M. \]
Nous avons montré que, quel que soit \(M\in\mathbb{R}\), il existe un terme de la suite strictement supérieur à \(M\). La suite n'est donc pas majorée.
Étudions maintenant si la suite est minorée. Soit \(m\in\mathbb{R}\). Nous cherchons un indice \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ a_n<m. \]
Choisissons un indice impair \(n=2q+1\). Alors
\[ (-1)^n=(-1)^{2q+1}=-1. \]
Pour de tels indices, les termes correspondants s'écrivent
\[ a_{2q+1}=-(2q+1)+\frac{1}{2q+2}. \]
Comme
\[ 0<\frac{1}{2q+2}\le 1, \]
nous obtenons
\[ a_{2q+1} = -(2q+1)+\frac{1}{2q+2} \le -(2q+1)+1. \]
Ainsi
\[ a_{2q+1}\le -2q. \]
Choisissons maintenant \(q\in\mathbb{N}\) suffisamment grand pour que
\[ -2q<m. \]
Ce choix est possible, car \(-2q\) tend vers \(-\infty\) lorsque \(q\) augmente.
Pour ce choix de \(q\), on a
\[ a_{2q+1}\le -2q<m. \]
Nous avons montré que, quel que soit \(m\in\mathbb{R}\), il existe un terme de la suite strictement inférieur à \(m\). La suite n'est donc pas minorée.
Comme la suite n'est ni majorée ni minorée, elle n'est pas bornée.