Les exercices qui suivent permettent de consolider les notions fondamentales relatives aux suites : définition, notation, terme général, récurrence, monotonie, caractère borné, suites arithmétiques et géométriques, représentation graphique et première approche des suites extraites.
Dans chaque exercice, nous appliquerons explicitement les définitions, afin de mettre en évidence non seulement le résultat final, mais aussi la démarche correcte à suivre.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Écrire les cinq premiers termes de la suite définie par
\[ a_n=2n-1,\qquad n\ge 1. \]
Résultat
Les cinq premiers termes sont
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9. \]
Résolution
La suite est donnée par son terme général
\[ a_n=2n-1. \]
Pour obtenir les cinq premiers termes, on substitue à \(n\) les valeurs \(1,2,3,4,5\).
Pour \(n=1\), on obtient
\[ a_1=2\cdot 1-1=1. \]
Pour \(n=2\), on obtient
\[ a_2=2\cdot 2-1=3. \]
Pour \(n=3\), on obtient
\[ a_3=2\cdot 3-1=5. \]
De même,
\[ a_4=2\cdot 4-1=7, \qquad a_5=2\cdot 5-1=9. \]
Ainsi, les cinq premiers termes de la suite sont
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9. \]
On remarque qu'il s'agit des premiers entiers naturels impairs. Toutefois, la suite n'est pas simplement l'ensemble des nombres impairs : c'est une liste ordonnée, dans laquelle le premier terme est \(1\), le deuxième \(3\), le troisième \(5\), et ainsi de suite.
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer les quatre premiers termes de la suite
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \]
dans les deux cas suivants :
- \(n\ge 0\) ;
- \(n\ge 1\).
Résultat
Si \(n\ge 0\), les quatre premiers termes sont
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14. \]
Si \(n\ge 1\), les quatre premiers termes sont
\[ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \frac15. \]
Résolution
La formule du terme général est la même dans les deux cas :
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Ce qui change, en revanche, c'est l'indice de départ de la suite.
Si \(n\ge 0\), le premier indice est \(0\). Les quatre premiers termes correspondent donc à \(n=0,1,2,3\).
On calcule :
\[ a_0=\frac{1}{0+1}=1, \]
\[ a_1=\frac{1}{1+1}=\frac12, \]
\[ a_2=\frac{1}{2+1}=\frac13, \]
\[ a_3=\frac{1}{3+1}=\frac14. \]
Ainsi, si \(n\ge 0\), la suite commence par
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Si, en revanche, \(n\ge 1\), le premier indice est \(1\). Les quatre premiers termes correspondent alors à \(n=1,2,3,4\).
On calcule :
\[ a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac13,\qquad a_3=\frac14,\qquad a_4=\frac15. \]
Ainsi, si \(n\ge 1\), la suite commence par
\[ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \frac15,\ldots \]
Cet exercice montre qu'une même formule peut engendrer des suites différentes selon l'ensemble des indices choisi.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la formule
\[ a_n=\frac{1}{n-2} \]
définit une suite réelle pour tout \(n\ge 1\). Dans le cas contraire, indiquer à partir de quel indice elle peut être considérée.
Résultat
La formule ne définit pas une suite réelle pour tout \(n\ge 1\), car pour \(n=2\) le dénominateur s'annule. Elle peut être considérée, par exemple, pour \(n\ge 3\).
Résolution
Pour définir une suite réelle, le terme \(a_n\) doit être un nombre réel pour tout indice admissible.
La formule est
\[ a_n=\frac{1}{n-2}. \]
Le dénominateur est
\[ n-2. \]
Ce dénominateur s'annule lorsque
\[ n-2=0. \]
Donc
\[ n=2. \]
Pour \(n=2\), on aurait
\[ a_2=\frac{1}{2-2}=\frac10, \]
qui n'est pas défini.
Par conséquent, la formule ne définit pas une suite réelle pour tous les indices \(n\ge 1\).
Pour éviter cette difficulté, on peut considérer la suite à partir de \(n=3\). Dans ce cas, on obtient
\[ a_3=1,\qquad a_4=\frac12,\qquad a_5=\frac13,\qquad a_6=\frac14,\ldots \]
Ainsi, la formule définit correctement une suite réelle si l'on prend, par exemple,
\[ n\ge 3. \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
On considère la suite
\[ a_n=\frac{n+1}{n}, \qquad n\ge 1. \]
Écrire les quatre premiers termes et réécrire le terme général sous la forme \(\displaystyle 1+\frac1n\).
Résultat
Les quatre premiers termes sont
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54. \]
De plus,
\[ a_n=1+\frac1n. \]
Résolution
On calcule les premiers termes en substituant \(n=1,2,3,4\).
Pour \(n=1\),
\[ a_1=\frac{1+1}{1}=2. \]
Pour \(n=2\),
\[ a_2=\frac{2+1}{2}=\frac32. \]
Pour \(n=3\),
\[ a_3=\frac{3+1}{3}=\frac43. \]
Pour \(n=4\),
\[ a_4=\frac{4+1}{4}=\frac54. \]
Ainsi, les quatre premiers termes sont
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54. \]
Réécrivons maintenant le terme général :
\[ \frac{n+1}{n}=\frac{n}{n}+\frac{1}{n}. \]
Comme
\[ \frac{n}{n}=1, \]
on obtient
\[ a_n=1+\frac1n. \]
Cette forme est souvent plus parlante que la forme initiale, car elle montre que chaque terme s'obtient en ajoutant à \(1\) la quantité \(\displaystyle \frac1n\).
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
On considère la suite définie par récurrence par
\[ a_1=4,\qquad a_{n+1}=a_n+5\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Écrire les cinq premiers termes et trouver une formule explicite pour \(a_n\).
Résultat
Les cinq premiers termes sont
\[ 4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24. \]
La formule explicite est
\[ a_n=4+5(n-1). \]
De manière équivalente,
\[ a_n=5n-1. \]
Résolution
La suite est définie par récurrence. Cela signifie que chaque terme s'obtient à partir du précédent.
On sait que
\[ a_1=4. \]
De plus,
\[ a_{n+1}=a_n+5. \]
Ainsi, chaque terme suivant s'obtient en ajoutant \(5\) au terme précédent.
On calcule :
\[ a_2=a_1+5=4+5=9, \]
\[ a_3=a_2+5=9+5=14, \]
\[ a_4=a_3+5=14+5=19, \]
\[ a_5=a_4+5=19+5=24. \]
Les cinq premiers termes sont donc
\[ 4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24. \]
Pour trouver la formule explicite, observons que, pour passer de \(a_1\) à \(a_n\), on ajoute \(5\) exactement \(n-1\) fois.
Par conséquent,
\[ a_n=4+5(n-1). \]
En développant,
\[ a_n=4+5n-5=5n-1. \]
Ainsi, une formule explicite de la suite est
\[ a_n=5n-1. \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
On considère la suite définie par
\[ b_1=3,\qquad b_{n+1}=2b_n\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Écrire les cinq premiers termes et reconnaître le type de suite.
Résultat
Les cinq premiers termes sont
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48. \]
Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme \(3\) et de raison \(2\).
Résolution
La suite est définie par récurrence :
\[ b_1=3, \qquad b_{n+1}=2b_n. \]
Cela signifie que chaque terme suivant s'obtient en multipliant le terme précédent par \(2\).
On calcule :
\[ b_2=2b_1=2\cdot 3=6, \]
\[ b_3=2b_2=2\cdot 6=12, \]
\[ b_4=2b_3=2\cdot 12=24, \]
\[ b_5=2b_4=2\cdot 24=48. \]
Ainsi, les cinq premiers termes sont
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48. \]
Puisque chaque terme s'obtient du précédent en multipliant toujours par le même nombre, la suite est géométrique.
Le premier terme est
\[ b_1=3, \]
tandis que la raison est
\[ q=2. \]
La formule explicite est donc
\[ b_n=3\cdot 2^{n-1}. \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=7,\qquad n\ge 1, \]
est croissante, décroissante, et déterminer si elle est bornée.
Résultat
La suite est constante. Elle est donc croissante et décroissante au sens large. De plus, elle est bornée.
Résolution
La suite est
\[ a_n=7\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Cela signifie que tous ses termes sont égaux à \(7\) :
\[ 7,\ 7,\ 7,\ 7,\ldots \]
Pour vérifier si elle est croissante, il faut contrôler si
\[ a_n\le a_{n+1}\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Dans ce cas,
\[ a_n=7 \qquad \text{et} \qquad a_{n+1}=7. \]
Donc
\[ a_n=a_{n+1}. \]
En particulier,
\[ a_n\le a_{n+1}. \]
La suite est donc croissante au sens large.
De même, puisque
\[ a_n=a_{n+1}, \]
on a aussi
\[ a_n\ge a_{n+1}. \]
La suite est donc également décroissante au sens large.
Enfin, la suite est bornée, car tous ses termes coïncident avec \(7\). Par exemple, on peut écrire
\[ 6\le a_n\le 8\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
En réalité, l'ensemble des valeurs prises par la suite est simplement
\[ \{7\}. \]
Cela suffit pour conclure que la suite est bornée : en effet, tous ses termes restent toujours égaux à \(7\).
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Montrer que la suite
\[ a_n=n^2+1, \qquad n\ge 1, \]
est strictement croissante.
Résultat
La suite est strictement croissante.
Résolution
Pour montrer qu'une suite est strictement croissante, il faut prouver que
\[ a_n<a_{n+1}\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
De manière équivalente, on peut montrer que
\[ a_{n+1}-a_n>0\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Dans notre cas,
\[ a_n=n^2+1. \]
Calculons le terme suivant :
\[ a_{n+1}=(n+1)^2+1. \]
Donc
\[ a_{n+1}-a_n=\bigl((n+1)^2+1\bigr)-(n^2+1). \]
Développons :
\[ (n+1)^2+1=n^2+2n+1+1=n^2+2n+2. \]
On a alors
\[ a_{n+1}-a_n=(n^2+2n+2)-(n^2+1)=2n+1. \]
Puisque \(n\ge 1\), on a
\[ 2n+1>0. \]
Par conséquent,
\[ a_{n+1}-a_n>0\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
En conséquence,
\[ a_n<a_{n+1}\quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
et la suite est strictement croissante.
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Montrer que la suite
\[ a_n=\frac1n, \qquad n\ge 1, \]
est strictement décroissante.
Résultat
La suite est strictement décroissante.
Résolution
Pour montrer qu'une suite est strictement décroissante, il faut prouver que
\[ a_{n+1}<a_n\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Dans notre cas,
\[ a_n=\frac1n. \]
Le terme suivant est
\[ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}. \]
Comme
\[ n+1>n \]
et comme \(n\) et \(n+1\) sont positifs, en passant aux inverses le sens de l'inégalité s'inverse :
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n. \]
Autrement dit,
\[ a_{n+1}<a_n\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
La suite
\[ \left(\frac1n\right)_{n\ge 1} \]
est donc strictement décroissante.
Cet exemple est important, car il montre qu'une suite décroissante n'a pas nécessairement à devenir négative : en effet, tous les termes de la suite sont positifs.
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=(-1)^n, \qquad n\ge 1, \]
est croissante, décroissante ou monotone.
Résultat
La suite n'est ni croissante ni décroissante. Elle n'est donc pas monotone.
Résolution
Calculons les premiers termes de la suite :
\[ a_1=(-1)^1=-1, \]
\[ a_2=(-1)^2=1, \]
\[ a_3=(-1)^3=-1, \]
\[ a_4=(-1)^4=1. \]
Ainsi, la suite est
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Pour qu'elle soit croissante, il faudrait que l'on ait
\[ a_n\le a_{n+1}\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Or, pour \(n=2\), on a
\[ a_2=1 \qquad \text{et} \qquad a_3=-1. \]
Donc
\[ a_2>a_3. \]
Cela suffit pour conclure que la suite n'est pas croissante.
Pour qu'elle soit décroissante, il faudrait que l'on ait
\[ a_n\ge a_{n+1}\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Or, pour \(n=1\), on a
\[ a_1=-1 \qquad \text{et} \qquad a_2=1. \]
Donc
\[ a_1<a_2. \]
Cela suffit pour conclure que la suite n'est pas décroissante.
Puisqu'une suite monotone est une suite croissante ou décroissante, la suite donnée n'est pas monotone.
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Étudier le caractère borné de la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1}, \qquad n\ge 1. \]
Déterminer un minorant, un majorant, la borne inférieure et la borne supérieure de l'ensemble des valeurs prises.
Résultat
La suite est bornée. On a
\[ 0<a_n<1\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Un minorant est \(0\), un majorant est \(1\). De plus,
\[ \inf\{a_n:n\ge 1\}=\frac12, \qquad \sup\{a_n:n\ge 1\}=1. \]
Résolution
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Puisque \(n\ge 1\), \(n\) et \(n+1\) sont tous deux positifs. Donc
\[ \frac{n}{n+1}>0. \]
Ainsi, \(0\) est un minorant de la suite.
De plus, comme
\[ n<n+1, \]
en divisant par \(n+1>0\), on obtient
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Ainsi, \(1\) est un majorant de la suite.
On a donc
\[ 0<a_n<1\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
En particulier, la suite est bornée.
Déterminons maintenant la borne inférieure et la borne supérieure de l'ensemble des valeurs prises.
On calcule les premiers termes :
\[ a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac23,\qquad a_3=\frac34,\qquad a_4=\frac45. \]
La suite est croissante, car
\[ a_n=1-\frac{1}{n+1}. \]
Lorsque \(n\) croît, la quantité \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\) décroît ; donc \(\displaystyle 1-\frac{1}{n+1}\) croît.
Le premier terme est
\[ a_1=\frac12. \]
Comme la suite est croissante, la plus petite valeur prise est \(\displaystyle \frac12\). Par conséquent,
\[ \inf\{a_n:n\ge 1\}=\frac12. \]
D'autre part, tous les termes sont inférieurs à \(1\), mais s'en rapprochent autant que l'on veut. Ainsi, \(1\) est le plus petit de tous les majorants.
Par conséquent,
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}=1. \]
On remarque que la borne supérieure n'est pas un terme de la suite, car il n'existe aucun \(n\ge 1\) tel que
\[ \frac{n}{n+1}=1. \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Montrer que la suite
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}, \qquad n\ge 1, \]
est bornée.
Résultat
La suite est bornée. En effet,
\[ |a_n|\le 1\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Résolution
Pour montrer qu'une suite est bornée, on peut utiliser le critère de la valeur absolue.
Une suite \((a_n)\) est bornée s'il existe un nombre réel \(K>0\) tel que
\[ |a_n|\le K\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Dans notre cas,
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Calculons la valeur absolue :
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|. \]
Comme
\[ |(-1)^n|=1 \]
pour tout \(n\ge 1\), on obtient
\[ |a_n|=\frac1n. \]
Comme \(n\ge 1\), on a
\[ \frac1n\le 1. \]
Donc
\[ |a_n|\le 1\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
En choisissant \(K=1\), on conclut que la suite est bornée.
Les premiers termes sont
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
Ils changent de signe, mais restent tous compris entre \(-1\) et \(1\).
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la suite
\[ a_n=n^2-3n, \qquad n\ge 1, \]
est majorée, minorée ou bornée.
Résultat
La suite est minorée, mais elle n'est pas majorée. Elle n'est donc pas bornée.
Résolution
Considérons
\[ a_n=n^2-3n. \]
Calculons quelques termes :
\[ a_1=1-3=-2, \]
\[ a_2=4-6=-2, \]
\[ a_3=9-9=0, \]
\[ a_4=16-12=4. \]
Les termes débutent donc ainsi :
\[ -2,\ -2,\ 0,\ 4,\ldots \]
Pour étudier le caractère borné, réécrivons le terme général sous sa forme canonique :
\[ n^2-3n=\left(n-\frac32\right)^2-\frac94. \]
Puisqu'un carré est toujours positif ou nul, on a
\[ \left(n-\frac32\right)^2\ge 0. \]
Donc
\[ a_n=\left(n-\frac32\right)^2-\frac94\ge -\frac94. \]
Ceci montre que la suite est minorée.
En réalité, comme \(n\) est un entier naturel, la plus petite valeur prise est \(-2\), atteinte pour \(n=1\) et \(n=2\). En effet,
\[ a_1=a_2=-2. \]
Demandons-nous maintenant si la suite est majorée.
Pour les grandes valeurs de \(n\), le terme dominant est \(n^2\). Le terme \(-3n\) croît en valeur absolue beaucoup plus lentement que \(n^2\).
On peut rendre cela rigoureux en observant que, pour \(n\ge 6\), on a
\[ 3n\le \frac{n^2}{2}. \]
En effet, cette inégalité équivaut à
\[ 6n\le n^2, \]
c'est-à-dire
\[ 6\le n. \]
Donc, pour \(n\ge 6\),
\[ a_n=n^2-3n\ge n^2-\frac{n^2}{2}=\frac{n^2}{2}. \]
La quantité \(\displaystyle \frac{n^2}{2}\) dépasse n'importe quel nombre réel fixé, pourvu que l'on choisisse \(n\) assez grand.
Par conséquent, la suite n'est pas majorée.
Nous concluons que la suite est minorée, mais non majorée. Elle n'est donc pas bornée.
Exercice 14 — niveau ★★☆☆☆
Vérifier que la suite
\[ 5,\ 8,\ 11,\ 14,\ldots \]
est arithmétique et en déterminer le terme général.
Résultat
La suite est arithmétique, de premier terme \(a_1=5\) et de raison \(d=3\). Le terme général est
\[ a_n=5+3(n-1). \]
De manière équivalente,
\[ a_n=3n+2. \]
Résolution
Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante.
Calculons les différences :
\[ 8-5=3, \]
\[ 11-8=3, \]
\[ 14-11=3. \]
La différence entre termes consécutifs vaut toujours \(3\). La suite est donc arithmétique.
Le premier terme est
\[ a_1=5, \]
et la raison est
\[ d=3. \]
Le terme général d'une suite arithmétique est
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
En remplaçant \(a_1=5\) et \(d=3\), on obtient
\[ a_n=5+3(n-1). \]
En développant,
\[ a_n=5+3n-3=3n+2. \]
Donc
\[ a_n=3n+2. \]
Exercice 15 — niveau ★★☆☆☆
Vérifier que la suite
\[ 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots \]
est géométrique et en déterminer le terme général.
Résultat
La suite est géométrique, de premier terme \(a_1=2\) et de raison \(q=3\). Le terme général est
\[ a_n=2\cdot 3^{n-1}. \]
Résolution
Une suite est géométrique si chaque terme s'obtient du précédent en multipliant toujours par le même nombre.
Calculons les rapports entre termes consécutifs :
\[ \frac62=3, \]
\[ \frac{18}{6}=3, \]
\[ \frac{54}{18}=3. \]
Le rapport est constant et égal à \(3\). La suite est donc géométrique.
Le premier terme est
\[ a_1=2, \]
et la raison est
\[ q=3. \]
Le terme général d'une suite géométrique est
\[ a_n=a_1q^{n-1}. \]
En remplaçant \(a_1=2\) et \(q=3\), on obtient
\[ a_n=2\cdot 3^{n-1}. \]
Vérifions sur les premiers termes :
\[ a_1=2\cdot 3^0=2, \]
\[ a_2=2\cdot 3^1=6, \]
\[ a_3=2\cdot 3^2=18. \]
La formule est donc cohérente avec les termes donnés.
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Étudier le signe de la suite
\[ a_n=(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}, \qquad n\ge 1. \]
Déterminer si elle est positive, négative ou de signe alterné.
Résultat
La suite est de signe alterné. Les termes d'indice impair sont positifs, tandis que ceux d'indice pair sont négatifs.
Résolution
La suite est
\[ a_n=(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}. \]
Le facteur
\[ \frac{n}{n+1} \]
est toujours positif, car \(n\ge 1\) et \(n+1>0\). Le signe de \(a_n\) ne dépend donc que du facteur
\[ (-1)^{n+1}. \]
Si \(n\) est impair, alors \(n+1\) est pair. Par conséquent,
\[ (-1)^{n+1}=1. \]
Dans ce cas,
\[ a_n=\frac{n}{n+1}>0. \]
Si, en revanche, \(n\) est pair, alors \(n+1\) est impair. Par conséquent,
\[ (-1)^{n+1}=-1. \]
Dans ce cas,
\[ a_n=-\frac{n}{n+1}<0. \]
Calculons les premiers termes :
\[ a_1=\frac12, \]
\[ a_2=-\frac23, \]
\[ a_3=\frac34, \]
\[ a_4=-\frac45. \]
Ainsi, la suite est
\[ \frac12,\ -\frac23,\ \frac34,\ -\frac45,\ldots \]
Les termes changent de signe à chaque pas. La suite est par conséquent de signe alterné.
Exercice 17 — niveau ★★☆☆☆
On considère la suite
\[ a_n=\frac1n, \qquad n\ge 1. \]
Indiquer quels points figurent dans sa représentation graphique et expliquer pourquoi le graphe d'une suite n'est pas une courbe continue.
Résultat
Les premiers points du graphe sont
\[ \left(1,1\right),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
Le graphe n'est pas une courbe continue parce que la suite n'est définie que pour les valeurs entières de l'indice.
Résolution
Une suite réelle est une fonction définie sur les entiers naturels.
Dans notre cas,
\[ a_n=\frac1n. \]
Pour la représenter graphiquement, on associe à chaque indice \(n\) le point du plan
\[ (n,a_n). \]
Pour \(n=1\), on obtient
\[ a_1=1, \]
de sorte que le premier point est
\[ (1,1). \]
Pour \(n=2\), on obtient
\[ a_2=\frac12, \]
de sorte que le deuxième point est
\[ \left(2,\frac12\right). \]
Pour \(n=3\), on obtient
\[ a_3=\frac13, \]
de sorte que le troisième point est
\[ \left(3,\frac13\right). \]
De même, pour \(n=4\), on obtient
\[ \left(4,\frac14\right). \]
Ainsi, les premiers points du graphe sont
\[ \left(1,1\right),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
Le graphe d'une suite n'est pas une courbe continue, car l'indice \(n\) ne prend pas toutes les valeurs réelles, mais seulement des valeurs entières.
Ainsi, entre le point correspondant à \(n=1\) et celui correspondant à \(n=2\), il n'y a aucun point de la suite. La représentation graphique est formée de points isolés, et non d'une ligne continue.
Exercice 18 — niveau ★★★☆☆
Soit
\[ a_n=(-1)^n, \qquad n\ge 1. \]
Écrire la suite extraite formée des termes d'indice pair et la suite extraite formée des termes d'indice impair.
Résultat
La suite extraite des indices pairs est
\[ a_{2k}=1,\qquad k\ge 1. \]
La suite extraite des indices impairs est
\[ a_{2k-1}=-1,\qquad k\ge 1. \]
Résolution
La suite est
\[ a_n=(-1)^n. \]
Ses premiers termes sont
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Considérons d'abord les indices pairs. Un indice pair peut s'écrire sous la forme
\[ n=2k, \qquad k\ge 1. \]
La suite extraite correspondante est
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}. \]
Comme \(2k\) est pair, on a
\[ (-1)^{2k}=1. \]
Donc
\[ a_{2k}=1\quad \text{pour tout } k\ge 1. \]
La suite extraite des indices pairs est donc
\[ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ldots \]
Considérons maintenant les indices impairs. Un indice impair peut s'écrire sous la forme
\[ n=2k-1, \qquad k\ge 1. \]
La suite extraite correspondante est
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}. \]
Comme \(2k-1\) est impair, on a
\[ (-1)^{2k-1}=-1. \]
Donc
\[ a_{2k-1}=-1\quad \text{pour tout } k\ge 1. \]
La suite extraite des indices impairs est donc
\[ -1,\ -1,\ -1,\ -1,\ldots \]
Cet exercice montre qu'une suite non constante peut admettre des suites extraites constantes.
Exercice 19 — niveau ★★★☆☆
Soit
\[ a_n=n, \qquad n\ge 1. \]
Déterminer si la liste
\[ a_3,\ a_5,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
peut être une suite extraite. Déterminer ensuite si la liste
\[ a_5,\ a_3,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
peut être une suite extraite.
Résultat
La première liste peut être une suite extraite, car les indices sont strictement croissants. La seconde liste ne peut pas être une suite extraite, car les indices ne sont pas strictement croissants.
Résolution
Une suite extraite de \((a_n)\) s'obtient en choisissant une suite d'indices entiers strictement croissante
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots. \]
La suite extraite est alors
\[ a_{n_1},\ a_{n_2},\ a_{n_3},\ldots \]
Considérons la première liste :
\[ a_3,\ a_5,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
Les indices sont
\[ 3,\ 5,\ 8,\ 10,\ldots \]
Ils sont strictement croissants, car
\[ 3<5<8<10<\cdots. \]
Cette liste peut donc être une suite extraite.
Considérons maintenant la seconde liste :
\[ a_5,\ a_3,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
Les indices sont
\[ 5,\ 3,\ 8,\ 10,\ldots \]
Cette suite d'indices n'est pas strictement croissante, car
\[ 5>3. \]
La seconde liste ne peut donc pas être une suite extraite.
Le point essentiel est qu'une suite extraite peut omettre certains termes de la suite initiale, mais ne peut pas modifier l'ordre dans lequel les termes apparaissent.
Exercice 20 — niveau ★★★★☆
On considère la suite
\[ a_n=(-1)^n+\frac1n, \qquad n\ge 1. \]
Écrire les six premiers termes, déterminer si la suite est monotone et montrer qu'elle est bornée.
Résultat
Les six premiers termes sont
\[ 0,\ \frac32,\ -\frac23,\ \frac54,\ -\frac45,\ \frac76. \]
La suite n'est pas monotone. De plus, elle est bornée, car
\[ -1\le a_n\le 2\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Résolution
La suite est
\[ a_n=(-1)^n+\frac1n. \]
Calculons les six premiers termes.
Pour \(n=1\),
\[ a_1=(-1)^1+\frac11=-1+1=0. \]
Pour \(n=2\),
\[ a_2=(-1)^2+\frac12=1+\frac12=\frac32. \]
Pour \(n=3\),
\[ a_3=(-1)^3+\frac13=-1+\frac13=-\frac23. \]
Pour \(n=4\),
\[ a_4=(-1)^4+\frac14=1+\frac14=\frac54. \]
Pour \(n=5\),
\[ a_5=(-1)^5+\frac15=-1+\frac15=-\frac45. \]
Pour \(n=6\),
\[ a_6=(-1)^6+\frac16=1+\frac16=\frac76. \]
Ainsi, les six premiers termes sont
\[ 0,\ \frac32,\ -\frac23,\ \frac54,\ -\frac45,\ \frac76. \]
Étudions maintenant la monotonie. On remarque que
\[ a_1=0 \qquad \text{et} \qquad a_2=\frac32. \]
Donc
\[ a_1<a_2. \]
Cependant,
\[ a_2=\frac32 \qquad \text{et} \qquad a_3=-\frac23. \]
Donc
\[ a_2>a_3. \]
La suite commence par croître, puis décroît. Elle n'est donc pas croissante.
De plus, comme \(a_1<a_2\), elle n'est pas non plus décroissante.
Par conséquent, la suite n'est pas monotone.
Montrons enfin qu'elle est bornée.
On sait que
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
pour tout \(n\ge 1\). De plus,
\[ 0<\frac1n\le 1. \]
En additionnant ces informations, on obtient d'une part
\[ (-1)^n+\frac1n\ge -1+0=-1. \]
D'autre part,
\[ (-1)^n+\frac1n\le 1+1=2. \]
Donc
\[ -1\le a_n\le 2\quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Ceci montre que la suite est bornée.
Cet exercice est instructif, car il exhibe une suite bornée mais non monotone : le caractère borné et la monotonie sont des propriétés distinctes et indépendantes.