Dans cette page, nous proposons 20 exercices résolus sur les sous-suites, expliqués pas à pas et conçus pour consolider à la fois la définition formelle et la signification conceptuelle de cet outil fondamental dans l'étude des suites numériques.
Les exercices conduisent progressivement de la reconnaissance d'une sous-suite au choix correct des indices, jusqu'à l'étude du comportement à la limite. En particulier, nous verrons comment vérifier si une suite est une sous-suite d'une autre, comment calculer des sous-suites données et comment utiliser deux sous-suites de limites différentes pour démontrer la non-convergence d'une suite.
Rappelons qu'une sous-suite de \((a_n)\) est une suite de la forme
\[ (a_{k_n}), \]
où \((k_n)\) est une suite strictement croissante d'indices entiers naturels, c'est-à-dire
\[ k_n<k_{n+1} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Nous supposerons, comme dans la théorie, que \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
L'objectif n'est pas seulement d'appliquer mécaniquement une définition, mais de comprendre pourquoi l'ordre des indices est essentiel, pourquoi toute sous-suite d'une suite convergente possède la même limite que la suite initiale, et pourquoi les sous-suites permettent souvent de mettre en évidence de manière rigoureuse les oscillations, les divergences et l'absence de convergence.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Considérons la suite
\[ a_n=n^2. \]
Déterminer la sous-suite obtenue en choisissant les indices pairs, c'est-à-dire en posant
\[ k_n=2n. \]
Résultat
La sous-suite est
\[ a_{2n}=4n^2. \]
Donc
\[ (a_{2n})=(0,4,16,36,\dots). \]
Résolution
On obtient une sous-suite en choisissant une suite strictement croissante d'indices entiers naturels \((k_n)\) et en considérant les termes correspondants \(a_{k_n}\).
Dans ce cas, les indices choisis sont
\[ k_n=2n. \]
Puisque \(n\in\mathbb{N}\), les indices sont
\[ 0,2,4,6,\dots \]
et ils sont strictement croissants. En effet, pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
\[ 2n<2n+2. \]
Nous pouvons donc effectivement construire une sous-suite.
La suite de départ est
\[ a_n=n^2. \]
Pour obtenir la sous-suite correspondant aux indices \(2n\), nous remplaçons \(n\) par \(2n\) :
\[ a_{2n}=(2n)^2. \]
En développant le carré, nous obtenons
\[ a_{2n}=4n^2. \]
Écrivons les premiers termes afin d'interpréter le résultat :
\[ a_0=0^2=0,\qquad a_2=2^2=4,\qquad a_4=4^2=16,\qquad a_6=6^2=36. \]
La sous-suite est donc
\[ (a_{2n})=(0,4,16,36,\dots). \]
Conceptuellement, nous n'avons pas construit une nouvelle suite arbitraire : nous avons simplement observé la suite initiale le long des seuls indices pairs.
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Considérons la suite
\[ a_n=3n+1. \]
Déterminer la sous-suite obtenue en choisissant les indices impairs, c'est-à-dire en posant
\[ k_n=2n+1. \]
Résultat
La sous-suite est
\[ a_{2n+1}=6n+4. \]
Donc
\[ (a_{2n+1})=(4,10,16,22,\dots). \]
Résolution
Les indices impairs sont décrits par la formule
\[ k_n=2n+1. \]
En effet, lorsque \(n\) parcourt \(\mathbb{N}\), on obtient
\[ 1,3,5,7,\dots \]
Avant de calculer la sous-suite, vérifions que ces indices sont strictement croissants. On a
\[ k_{n+1}=2(n+1)+1=2n+3. \]
Puisque
\[ 2n+1<2n+3, \]
il s'ensuit que
\[ k_n<k_{n+1}. \]
Les indices choisis sont donc bien adaptés à la définition d'une sous-suite.
La suite de départ est
\[ a_n=3n+1. \]
La sous-suite correspondant aux indices \(2n+1\) est
\[ a_{2n+1}. \]
Nous remplaçons donc \(n\) par \(2n+1\) dans la formule de \(a_n\) :
\[ a_{2n+1}=3(2n+1)+1. \]
En effectuant les calculs, nous obtenons
\[ a_{2n+1}=6n+3+1=6n+4. \]
Écrivons les premiers termes :
\[ a_1=4,\qquad a_3=10,\qquad a_5=16,\qquad a_7=22. \]
Donc
\[ (a_{2n+1})=(4,10,16,22,\dots). \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Soit \((a_n)\) une suite quelconque. Déterminer si les termes
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
peuvent constituer le début d'une sous-suite de \((a_n)\).
Résultat
Non. Les termes
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
ne peuvent pas constituer le début d'une sous-suite, car les indices \(5,2,8\) ne sont pas strictement croissants.
Résolution
Pour former une sous-suite, il ne suffit pas de choisir certains termes de la suite initiale : il faut que les indices choisis soient strictement croissants.
Dans ce cas, les termes indiqués sont
\[ a_5,\ a_2,\ a_8. \]
Les indices correspondants sont
\[ 5,\ 2,\ 8. \]
Pour qu'ils soient le début d'une sous-suite, on devrait avoir
\[ 5<2<8. \]
Or la première inégalité est fausse, car \(5\) n'est pas inférieur à \(2\).
Les indices ne respectent donc pas l'ordre naturel selon lequel les termes apparaissent dans la suite de départ.
Par conséquent,
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
ne peuvent pas constituer le début d'une sous-suite.
Le point conceptuel est fondamental : une sous-suite peut sauter certains termes, mais elle ne peut pas revenir en arrière dans les indices. L'ordre des termes de la suite initiale doit être préservé.
Par exemple, en revanche,
\[ a_2,\ a_5,\ a_8 \]
pourraient constituer le début d'une sous-suite, car
\[ 2<5<8. \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n. \]
Déterminer la sous-suite des indices pairs et celle des indices impairs.
Résultat
La sous-suite des indices pairs est
\[ a_{2n}=1. \]
La sous-suite des indices impairs est
\[ a_{2n+1}=-1. \]
Résolution
Étudions séparément les indices pairs et les indices impairs.
Les indices pairs sont donnés par
\[ k_n=2n. \]
La sous-suite correspondante est
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}. \]
Puisque \(2n\) est toujours pair, la puissance \((-1)^{2n}\) vaut toujours \(1\). Donc
\[ a_{2n}=1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
La sous-suite des indices pairs est donc
\[ (a_{2n})=(1,1,1,1,\dots). \]
Les indices impairs sont quant à eux donnés par
\[ h_n=2n+1. \]
La sous-suite correspondante est
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}. \]
Puisque \(2n+1\) est toujours impair, la puissance \((-1)^{2n+1}\) vaut toujours \(-1\). Donc
\[ a_{2n+1}=-1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
La sous-suite des indices impairs est donc
\[ (a_{2n+1})=(-1,-1,-1,-1,\dots). \]
Cet exercice met en évidence un fait très important : une même suite peut admettre des sous-suites au comportement différent. Ici, une sous-suite est constamment égale à \(1\), tandis que l'autre est constamment égale à \(-1\).
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la suite
\[ a_n=n^2. \]
Déterminer si la suite
\[ b_n=(n+2)^2 \]
est une sous-suite de \((a_n)\).
Résultat
Oui. La suite
\[ b_n=(n+2)^2 \]
est une sous-suite de
\[ a_n=n^2. \]
En effet,
\[ b_n=a_{n+2}. \]
Résolution
Pour déterminer si \((b_n)\) est une sous-suite de \((a_n)\), nous devons vérifier s'il existe une suite strictement croissante d'indices entiers naturels \((k_n)\) telle que
\[ b_n=a_{k_n} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
La suite de départ est
\[ a_n=n^2. \]
La suite que nous voulons reconnaître comme sous-suite est
\[ b_n=(n+2)^2. \]
Observons que \((n+2)^2\) s'obtient à partir de la formule \(a_n=n^2\) en remplaçant \(n\) par \(n+2\). Nous choisissons donc
\[ k_n=n+2. \]
Alors
\[ a_{k_n}=a_{n+2}=(n+2)^2. \]
Or
\[ b_n=(n+2)^2. \]
Donc
\[ b_n=a_{k_n}. \]
Il reste à contrôler que \((k_n)\) est strictement croissante. On a
\[ k_n=n+2 \]
et
\[ k_{n+1}=n+3. \]
Puisque
\[ n+2<n+3, \]
il s'ensuit que
\[ k_n<k_{n+1}. \]
Ainsi, \((k_n)\) est une suite strictement croissante d'indices entiers naturels.
Par conséquent, \((b_n)\) est une sous-suite de \((a_n)\).
Intuitivement, la suite \((b_n)\) s'obtient à partir de \((a_n)\) en supprimant les deux premiers termes et en conservant tous les suivants dans le même ordre.
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la suite
\[ a_n=n. \]
Déterminer si la suite
\[ b_n=-n \]
est une sous-suite de \((a_n)\).
Résultat
Non. La suite
\[ b_n=-n \]
n'est pas une sous-suite de
\[ a_n=n. \]
En effet, il n'existe aucune suite strictement croissante d'indices entiers naturels \((k_n)\) telle que
\[ b_n=a_{k_n} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Résolution
Pour déterminer si \((b_n)\) est une sous-suite de \((a_n)\), nous devons nous demander s'il existe une suite strictement croissante d'indices entiers naturels \((k_n)\) telle que
\[ b_n=a_{k_n} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
La suite de départ est
\[ a_n=n. \]
Puisque \(n\in\mathbb{N}\), les termes de \((a_n)\) sont
\[ 0,1,2,3,\dots. \]
Tous les termes de la suite \((a_n)\) sont donc des entiers naturels.
La suite proposée est en revanche
\[ b_n=-n. \]
Ses premiers termes sont
\[ 0,-1,-2,-3,\dots. \]
Pour tout \(n\ge 1\), le terme \(b_n\) est négatif.
Or aucun terme de la suite \((a_n)\) n'est négatif. En effet, pour tout indice naturel \(k\), on a
\[ a_k=k\ge 0. \]
Par conséquent, par exemple, le terme \(b_1=-1\) ne peut être égal à aucun terme de la suite \((a_n)\).
Il ne peut donc exister aucune suite d'indices entiers naturels \((k_n)\) telle que
\[ b_n=a_{k_n} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Par conséquent, \((b_n)\) n'est pas une sous-suite de \((a_n)\).
Le point conceptuel est le suivant : une sous-suite doit être formée en choisissant des termes déjà présents dans la suite initiale. Ici, au contraire, \((b_n)\) contient des termes négatifs qui n'apparaissent jamais dans la suite \((a_n)\).
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Déterminer si la suite
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1} \]
est une sous-suite de \((a_n)\).
Résultat
Oui. La suite
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1} \]
est une sous-suite de
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
En effet,
\[ b_n=a_{n^2}. \]
Résolution
Pour déterminer si \((b_n)\) est une sous-suite de \((a_n)\), nous devons chercher une suite strictement croissante d'indices entiers naturels \((k_n)\) telle que
\[ b_n=a_{k_n}. \]
La suite de départ est
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Si nous remplaçons \(n\) par un indice générique \(k_n\), nous obtenons
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Nous voulons que ce terme coïncide avec
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1}. \]
Nous imposons donc
\[ \frac{1}{k_n+1}=\frac{1}{n^2+1}. \]
Comme les dénominateurs sont positifs, cette égalité équivaut à
\[ k_n+1=n^2+1. \]
En soustrayant \(1\) aux deux membres, nous obtenons
\[ k_n=n^2. \]
Le candidat naturel est donc
\[ k_n=n^2. \]
Vérifions que \((k_n)\) est strictement croissante. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ k_{n+1}-k_n=(n+1)^2-n^2. \]
En développant,
\[ k_{n+1}-k_n=n^2+2n+1-n^2=2n+1. \]
Puisque
\[ 2n+1>0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), il s'ensuit que
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Ainsi, \((k_n)\) est strictement croissante.
De plus, \(k_n=n^2\in\mathbb{N}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\), de sorte que les indices choisis sont effectivement des indices entiers naturels.
Nous avons alors
\[ a_{k_n}=a_{n^2}=\frac{1}{n^2+1}=b_n. \]
Par conséquent, \((b_n)\) est une sous-suite de \((a_n)\).
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Soit \((k_n)\) définie par
\[ k_n=n^2+n. \]
Vérifier que \((k_n)\) peut être utilisée comme suite d'indices pour construire une sous-suite.
Résultat
Oui. La suite
\[ k_n=n^2+n \]
peut être utilisée comme suite d'indices, car elle est formée d'entiers naturels et elle est strictement croissante.
Résolution
Une suite \((k_n)\) peut être utilisée comme suite d'indices pour construire une sous-suite si elle satisfait deux conditions.
La première condition est que chaque \(k_n\) soit un entier naturel.
La seconde condition est que \((k_n)\) soit strictement croissante, c'est-à-dire
\[ k_n<k_{n+1} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Dans notre cas,
\[ k_n=n^2+n. \]
Puisque \(n\in\mathbb{N}\), on a aussi \(n^2+n\in\mathbb{N}\). Chaque \(k_n\) est donc un entier naturel.
Vérifions maintenant que \((k_n)\) est strictement croissante. Calculons \(k_{n+1}\) :
\[ k_{n+1}=(n+1)^2+(n+1). \]
En développant,
\[ k_{n+1}=n^2+2n+1+n+1=n^2+3n+2. \]
Calculons la différence :
\[ k_{n+1}-k_n=(n^2+3n+2)-(n^2+n). \]
En simplifiant,
\[ k_{n+1}-k_n=2n+2. \]
Puisque
\[ 2n+2>0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), nous obtenons
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Ainsi, \((k_n)\) est strictement croissante.
Par conséquent, la suite
\[ k_n=n^2+n \]
peut être utilisée pour construire une sous-suite \((a_{k_n})\) d'une suite quelconque \((a_n)\).
Conceptuellement, les indices \(0,2,6,12,20,\dots\) sélectionnent certains termes de la suite initiale en en sautant d'autres, mais sans jamais revenir en arrière.
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Soit \((a_n)\) une suite quelconque. Déterminer si les termes
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
peuvent constituer une sous-suite de \((a_n)\).
Résultat
Oui. Les termes
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
peuvent constituer une sous-suite, car les indices
\[ 1,3,6,10,\dots \]
sont strictement croissants.
Résolution
Pour vérifier si les termes indiqués peuvent constituer une sous-suite, nous devons examiner les indices.
Les termes sont
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
de sorte que les indices sont
\[ 1,\ 3,\ 6,\ 10,\dots. \]
Ces indices sont disposés dans un ordre strictement croissant, car
\[ 1<3<6<10<\dots. \]
Cela suffit déjà à affirmer que les termes indiqués peuvent constituer une sous-suite.
Nous pouvons aussi reconnaître une formule explicite pour les indices. Ils sont donnés par
\[ k_n=\frac{(n+1)(n+2)}{2}. \]
En effet :
\[ k_0=1,\qquad k_1=3,\qquad k_2=6,\qquad k_3=10. \]
Vérifions que cette suite d'indices est strictement croissante. Calculons
\[ k_{n+1}-k_n = \frac{(n+2)(n+3)}{2}-\frac{(n+1)(n+2)}{2}. \]
En mettant en facteur \(\displaystyle\frac{n+2}{2}\), nous obtenons
\[ k_{n+1}-k_n = \frac{n+2}{2}\bigl((n+3)-(n+1)\bigr). \]
Puisque
\[ (n+3)-(n+1)=2, \]
on a
\[ k_{n+1}-k_n=\frac{n+2}{2}\cdot 2=n+2. \]
Or
\[ n+2>0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Donc
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Les indices sont donc strictement croissants.
Par conséquent, les termes
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
peuvent constituer une sous-suite de \((a_n)\).
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Déterminer la limite de la sous-suite \((a_{2n})\).
Résultat
On a
\[ a_{2n}=\frac{2n}{2n+1} \]
et donc
\[ a_{2n}\to 1. \]
Résolution
La sous-suite \((a_{2n})\) s'obtient en choisissant les indices pairs, c'est-à-dire en posant
\[ k_n=2n. \]
Avant de poursuivre, observons que les indices \(2n\) sont strictement croissants, car
\[ 2n<2n+2. \]
Ainsi, \((a_{2n})\) est effectivement une sous-suite de \((a_n)\).
La suite de départ est
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
En remplaçant \(n\) par \(2n\), nous obtenons
\[ a_{2n}=\frac{2n}{2n+1}. \]
Nous devons calculer
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n}{2n+1}. \]
Pour étudier cette limite, nous pouvons supposer \(n\ge 1\) et diviser le numérateur et le dénominateur par \(n\) :
\[ \frac{2n}{2n+1} = \frac{2}{2+\frac{1}{n}}. \]
Puisque
\[ \frac{1}{n}\to 0, \]
nous obtenons
\[ \frac{2}{2+\frac{1}{n}}\to \frac{2}{2+0}=1. \]
Donc
\[ a_{2n}\to 1. \]
Ce résultat est cohérent avec le théorème général sur les sous-suites : en effet, la suite initiale \((a_n)\) converge vers \(1\), et toute sous-suite d'une suite convergente converge vers la même limite.
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Démontrer que toute sous-suite de \((a_n)\) converge vers \(0\).
Résultat
Toute sous-suite de
\[ a_n=\frac{1}{n+1} \]
converge vers \(0\).
Résolution
Soit \((a_{k_n})\) une sous-suite quelconque de \((a_n)\). Par définition d'une sous-suite, \((k_n)\) est une suite strictement croissante d'indices entiers naturels.
Puisque
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \]
en remplaçant \(n\) par \(k_n\) nous obtenons
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Puisque \((k_n)\) est strictement croissante et prend ses valeurs dans \(\mathbb{N}\), on a
\[ k_n\ge n \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). En effet, \(k_0\ge 0\) et, comme les indices sont naturels et croissent strictement, de \(k_n<k_{n+1}\) on déduit \(k_{n+1}\ge k_n+1\). Par récurrence, on obtient donc \(k_n\ge n\).
De
\[ k_n\ge n \]
on déduit
\[ k_n+1\ge n+1. \]
Puisque \(k_n+1\) et \(n+1\) sont des nombres positifs, le passage aux inverses renverse le sens de l'inégalité. Donc
\[ \frac{1}{k_n+1}\le \frac{1}{n+1}. \]
De plus,
\[ \frac{1}{k_n+1}>0. \]
Nous disposons donc de l'encadrement
\[ 0<\frac{1}{k_n+1}\le \frac{1}{n+1}. \]
Or nous savons que
\[ \frac{1}{n+1}\to 0. \]
D'après le théorème des gendarmes, il s'ensuit que
\[ \frac{1}{k_n+1}\to 0. \]
Mais
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Donc
\[ a_{k_n}\to 0. \]
Comme \((a_{k_n})\) était une sous-suite quelconque, nous avons démontré que toute sous-suite de \((a_n)\) converge vers \(0\).
La signification conceptuelle est la suivante : une sous-suite peut sauter certains termes, mais elle ne peut pas échapper au comportement final de la suite. Comme les termes de \((a_n)\) se rapprochent de plus en plus de \(0\), toute sous-suite doit elle aussi se rapprocher de plus en plus de \(0\).
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Considérons la suite
\[ a_n=2+\frac{1}{n+1}. \]
Démontrer que la sous-suite \((a_{n^2})\) converge vers \(2\).
Résultat
On a
\[ a_{n^2}=2+\frac{1}{n^2+1} \]
et donc
\[ a_{n^2}\to 2. \]
Résolution
La sous-suite \((a_{n^2})\) s'obtient en choisissant les indices
\[ k_n=n^2. \]
Avant de calculer la limite, vérifions que ces indices définissent effectivement une sous-suite.
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(n^2\in\mathbb{N}\). De plus,
\[ k_{n+1}-k_n=(n+1)^2-n^2=2n+1. \]
Puisque
\[ 2n+1>0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), il s'ensuit que
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Ainsi, \((n^2)\) est une suite strictement croissante d'indices entiers naturels.
Calculons maintenant la sous-suite. Puisque
\[ a_n=2+\frac{1}{n+1}, \]
en remplaçant \(n\) par \(n^2\) nous obtenons
\[ a_{n^2}=2+\frac{1}{n^2+1}. \]
Nous devons donc calculer
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n^2+1}\right). \]
Puisque
\[ n^2+1\to+\infty, \]
on a
\[ \frac{1}{n^2+1}\to 0. \]
Donc
\[ 2+\frac{1}{n^2+1}\to 2+0=2. \]
Par conséquent,
\[ a_{n^2}\to 2. \]
Ce résultat est cohérent avec le théorème général : la suite initiale converge vers \(2\), donc toute sous-suite doit elle aussi converger vers la même limite.
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n. \]
Utiliser les sous-suites pour démontrer que \((a_n)\) ne converge pas.
Résultat
La suite \((a_n)\) ne converge pas, car elle possède deux sous-suites convergeant vers des limites différentes :
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{et}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Résolution
Pour démontrer qu'une suite ne converge pas, nous pouvons chercher deux sous-suites convergeant vers des limites différentes.
En effet, si une suite convergeait vers une limite réelle \(\ell\), alors toute sous-suite devrait converger vers la même limite \(\ell\).
Considérons d'abord les indices pairs :
\[ k_n=2n. \]
La sous-suite correspondante est
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}. \]
Puisque \(2n\) est pair, on a
\[ (-1)^{2n}=1. \]
Donc
\[ a_{2n}=1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Par conséquent,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Considérons maintenant les indices impairs :
\[ h_n=2n+1. \]
La sous-suite correspondante est
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}. \]
Puisque \(2n+1\) est impair, on a
\[ (-1)^{2n+1}=-1. \]
Donc
\[ a_{2n+1}=-1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Par conséquent,
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Nous avons trouvé deux sous-suites de la même suite :
\[ (a_{2n}) \qquad\text{et}\qquad (a_{2n+1}), \]
telles que
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{et}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Les deux limites sont différentes, car
\[ 1\ne -1. \]
La suite \((a_n)\) ne peut donc pas converger.
La raison conceptuelle est décisive : une suite convergente doit se rapprocher d'une unique valeur finale. Ici, au contraire, le long des indices pairs la suite reste constamment égale à \(1\), tandis que le long des indices impairs elle reste constamment égale à \(-1\).
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{1+(-1)^n}{2}. \]
Utiliser les sous-suites pour démontrer que \((a_n)\) ne converge pas.
Résultat
La suite \((a_n)\) ne converge pas, car
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{et}\qquad a_{2n+1}\to 0. \]
Les deux sous-suites convergent vers des limites différentes.
Résolution
Étudions séparément la suite le long des indices pairs et le long des indices impairs.
Considérons d'abord les indices pairs. En remplaçant \(n\) par \(2n\), nous obtenons
\[ a_{2n}=\frac{1+(-1)^{2n}}{2}. \]
Puisque
\[ (-1)^{2n}=1, \]
on a
\[ a_{2n}=\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1. \]
La sous-suite des indices pairs est donc constante, égale à \(1\). Par conséquent,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Considérons maintenant les indices impairs. En remplaçant \(n\) par \(2n+1\), nous obtenons
\[ a_{2n+1}=\frac{1+(-1)^{2n+1}}{2}. \]
Puisque
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
on a
\[ a_{2n+1}=\frac{1-1}{2}=\frac{0}{2}=0. \]
La sous-suite des indices impairs est donc constante, égale à \(0\). Par conséquent,
\[ a_{2n+1}\to 0. \]
Nous avons trouvé deux sous-suites convergentes :
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{et}\qquad a_{2n+1}\to 0. \]
Puisque
\[ 1\ne 0, \]
les deux sous-suites convergent vers des limites différentes.
La suite \((a_n)\) ne converge donc pas.
Conceptuellement, la suite alterne continuellement les valeurs \(1\) et \(0\). Elle ne se stabilise pas autour d'un unique nombre réel, ce qui empêche la convergence.
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}. \]
Étudier les sous-suites des indices pairs et impairs et en déduire si \((a_n)\) converge.
Résultat
On a
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{et}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Puisque les deux sous-suites convergent vers des limites différentes, la suite \((a_n)\) ne converge pas.
Résolution
La suite est
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}. \]
Elle comporte deux parties : le terme oscillant \((-1)^n\), qui alterne \(1\) et \(-1\), et le terme \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\), qui tend vers \(0\).
Étudions d'abord la sous-suite des indices pairs. En remplaçant \(n\) par \(2n\), nous obtenons
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}+\frac{1}{2n+1}. \]
Puisque
\[ (-1)^{2n}=1, \]
il s'ensuit que
\[ a_{2n}=1+\frac{1}{2n+1}. \]
Or
\[ \frac{1}{2n+1}\to 0. \]
Donc
\[ a_{2n}=1+\frac{1}{2n+1}\to 1+0=1. \]
Par conséquent,
\[ a_{2n}\to 1. \]
Étudions maintenant la sous-suite des indices impairs. En remplaçant \(n\) par \(2n+1\), nous obtenons
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}+\frac{1}{2n+2}. \]
Puisque
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
il s'ensuit que
\[ a_{2n+1}=-1+\frac{1}{2n+2}. \]
Or
\[ \frac{1}{2n+2}\to 0. \]
Donc
\[ a_{2n+1}=-1+\frac{1}{2n+2}\to -1+0=-1. \]
Par conséquent,
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Nous avons trouvé deux sous-suites de la même suite :
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{et}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Puisque les limites sont différentes, la suite \((a_n)\) ne converge pas.
Cet exemple est important, car il montre qu'un terme infinitésimal, comme \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\), ne suffit pas à éliminer l'oscillation principale produite par \((-1)^n\). La suite continue de se rapprocher de deux valeurs différentes le long de deux sous-suites différentes.
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Considérons la suite
\[ a_n=n. \]
Démontrer que la sous-suite \((a_{n^2+1})\) diverge vers \(+\infty\).
Résultat
On a
\[ a_{n^2+1}=n^2+1. \]
Donc
\[ a_{n^2+1}\to+\infty. \]
Résolution
La suite de départ est
\[ a_n=n. \]
La sous-suite \((a_{n^2+1})\) s'obtient en choisissant les indices
\[ k_n=n^2+1. \]
Avant d'en étudier la limite, vérifions que ces indices définissent effectivement une sous-suite.
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a \(n^2+1\in\mathbb{N}\). De plus,
\[ k_{n+1}-k_n=((n+1)^2+1)-(n^2+1). \]
En développant,
\[ k_{n+1}-k_n=n^2+2n+1+1-n^2-1=2n+1. \]
Puisque
\[ 2n+1>0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), il s'ensuit que
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Ainsi, \((k_n)\) est une suite strictement croissante d'indices entiers naturels.
Calculons maintenant la sous-suite. Puisque \(a_n=n\), en remplaçant \(n\) par \(n^2+1\) nous obtenons
\[ a_{n^2+1}=n^2+1. \]
Nous devons démontrer que
\[ n^2+1\to+\infty. \]
Utilisons la définition de la divergence vers \(+\infty\). Nous devons prouver que, pour tout \(M\in\mathbb{R}\), il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N\),
\[ n^2+1>M. \]
Si \(M<0\), alors pour tout \(n\in\mathbb{N}\) on a
\[ n^2+1\ge 1>0>M. \]
Dans ce cas, l'inégalité est donc vérifiée pour tous les indices.
Supposons maintenant \(M\ge 0\). Choisissons \(N\in\mathbb{N}\) tel que
\[ N>\sqrt{M}. \]
Alors, pour tout \(n\ge N\), on a
\[ n\ge N>\sqrt{M}. \]
En élevant au carré, nous obtenons
\[ n^2>M. \]
Par conséquent,
\[ n^2+1>M. \]
Nous avons donc démontré que, pour tout \(M\in\mathbb{R}\), les termes de la sous-suite finissent par devenir supérieurs à \(M\).
Par conséquent,
\[ a_{n^2+1}\to+\infty. \]
Conceptuellement, la suite initiale \(a_n=n\) diverge vers \(+\infty\). Une sous-suite peut sauter certains termes, mais elle ne peut pas empêcher les indices de tendre vers l'infini ; la sous-suite diverge donc elle aussi vers \(+\infty\).
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Considérons la suite
\[ a_n=-n^2. \]
Démontrer que la sous-suite \((a_{2n+1})\) diverge vers \(-\infty\).
Résultat
On a
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2. \]
Donc
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
Résolution
La suite de départ est
\[ a_n=-n^2. \]
La sous-suite \((a_{2n+1})\) s'obtient en choisissant les indices impairs :
\[ k_n=2n+1. \]
Les indices \(2n+1\) sont naturels et strictement croissants. En effet,
\[ k_{n+1}=2(n+1)+1=2n+3, \]
et donc
\[ k_n=2n+1<2n+3=k_{n+1}. \]
Ainsi, \((a_{2n+1})\) est effectivement une sous-suite de \((a_n)\).
Calculons-la maintenant explicitement. En remplaçant \(n\) par \(2n+1\) dans la formule \(a_n=-n^2\), nous obtenons
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2. \]
En développant le carré,
\[ (2n+1)^2=4n^2+4n+1. \]
Donc
\[ a_{2n+1}=-(4n^2+4n+1)=-4n^2-4n-1. \]
Cette expression devient arbitrairement petite lorsque \(n\) croît. Démontrons-le à l'aide de la définition de la divergence vers \(-\infty\).
Nous devons prouver que, pour tout \(m\in\mathbb{R}\), il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N\),
\[ a_{2n+1}<m. \]
Puisque
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2, \]
distinguons deux cas.
Si \(m>0\), alors pour tout \(n\in\mathbb{N}\) on a
\[ -(2n+1)^2<0<m. \]
L'inégalité est donc vérifiée pour tous les indices.
Supposons maintenant \(m\le 0\). Choisissons \(N\in\mathbb{N}\) tel que
\[ 2N+1>\sqrt{-m}. \]
Alors, pour tout \(n\ge N\),
\[ 2n+1\ge 2N+1>\sqrt{-m}. \]
En élevant au carré, nous obtenons
\[ (2n+1)^2>-m. \]
En multipliant les deux membres par \(-1\), le sens de l'inégalité se renverse :
\[ -(2n+1)^2<m. \]
C'est-à-dire
\[ a_{2n+1}<m. \]
Nous avons donc démontré que
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
Le résultat est cohérent avec le théorème général : puisque \(a_n=-n^2\to-\infty\), toute sous-suite diverge vers \(-\infty\).
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Considérons la suite
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Utiliser deux sous-suites pour démontrer que \((a_n)\) ne converge pas.
Résultat
La suite \((a_n)\) ne converge pas, car
\[ a_{4n+1}\to 1 \qquad\text{et}\qquad a_{4n+3}\to -1. \]
Résolution
Étudions quelques termes de la suite :
\[ a_0=\sin 0=0, \]
\[ a_1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \]
\[ a_2=\sin(\pi)=0, \]
\[ a_3=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1, \]
\[ a_4=\sin(2\pi)=0. \]
On voit donc que la suite prend cycliquement les valeurs
\[ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\dots. \]
Pour démontrer que la suite ne converge pas, cherchons deux sous-suites convergeant vers des limites différentes.
Considérons les indices
\[ k_n=4n+1. \]
Ils sont strictement croissants, car
\[ k_{n+1}=4(n+1)+1=4n+5 \]
et donc
\[ 4n+1<4n+5. \]
La sous-suite correspondante est
\[ a_{4n+1} = \sin\left(\frac{(4n+1)\pi}{2}\right). \]
Puisque
\[ \frac{(4n+1)\pi}{2}=2n\pi+\frac{\pi}{2}, \]
nous obtenons
\[ a_{4n+1} = \sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1. \]
Donc
\[ a_{4n+1}\to 1. \]
Considérons maintenant les indices
\[ h_n=4n+3. \]
Ceux-ci sont eux aussi strictement croissants, car
\[ h_{n+1}=4(n+1)+3=4n+7 \]
et donc
\[ 4n+3<4n+7. \]
La sous-suite correspondante est
\[ a_{4n+3} = \sin\left(\frac{(4n+3)\pi}{2}\right). \]
Puisque
\[ \frac{(4n+3)\pi}{2}=2n\pi+\frac{3\pi}{2}, \]
nous obtenons
\[ a_{4n+3} = \sin\left(2n\pi+\frac{3\pi}{2}\right)=-1. \]
Donc
\[ a_{4n+3}\to -1. \]
Nous avons trouvé deux sous-suites de la même suite telles que
\[ a_{4n+1}\to 1 \qquad\text{et}\qquad a_{4n+3}\to -1. \]
Puisque
\[ 1\ne -1, \]
la suite \((a_n)\) ne converge pas.
Conceptuellement, la suite ne se rapproche pas d'une unique valeur finale : elle continue au contraire de répéter cycliquement des valeurs différentes.
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n n. \]
Étudier les sous-suites des indices pairs et impairs et en déduire le comportement de la suite.
Résultat
On a
\[ a_{2n}=2n\to+\infty \]
et
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)\to-\infty. \]
La suite n'a donc pas de limite, ni finie ni infinie.
Résolution
La suite est
\[ a_n=(-1)^n n. \]
Le facteur \((-1)^n\) change de signe selon la parité de \(n\), tandis que le facteur \(n\) croît indéfiniment.
Étudions d'abord les indices pairs :
\[ k_n=2n. \]
La sous-suite correspondante est
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}\cdot 2n. \]
Puisque
\[ (-1)^{2n}=1, \]
nous obtenons
\[ a_{2n}=2n. \]
Donc
\[ a_{2n}\to+\infty. \]
Étudions maintenant les indices impairs :
\[ h_n=2n+1. \]
La sous-suite correspondante est
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}(2n+1). \]
Puisque
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
nous obtenons
\[ a_{2n+1}=-(2n+1). \]
Donc
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
À ce stade, nous pouvons déduire le comportement de la suite initiale.
La suite \((a_n)\) ne converge pas vers une limite réelle, car elle possède une sous-suite qui diverge vers \(+\infty\) et une sous-suite qui diverge vers \(-\infty\).
De plus, \((a_n)\) ne diverge pas vers \(+\infty\). En effet, si \(a_n\to+\infty\), alors toute sous-suite devrait diverger vers \(+\infty\). Or la sous-suite \((a_{2n+1})\) diverge vers \(-\infty\).
De même, \((a_n)\) ne diverge pas vers \(-\infty\). En effet, si \(a_n\to-\infty\), alors toute sous-suite devrait diverger vers \(-\infty\). Or la sous-suite \((a_{2n})\) diverge vers \(+\infty\).
Par conséquent, la suite \((a_n)\) n'a pas de limite, ni finie ni infinie.
Le point conceptuel est que les termes non seulement oscillent en signe, mais s'éloignent de plus en plus : ceux d'indice pair croissent vers \(+\infty\), tandis que ceux d'indice impair descendent vers \(-\infty\).
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Soit \((a_n)\) une suite réelle convergeant vers un nombre réel \(\ell\). Soit \((a_{k_n})\) une de ses sous-suites. Démontrer directement, à l'aide de la définition de la limite, que
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Résultat
Toute sous-suite d'une suite convergente converge vers la même limite que la suite initiale. Donc
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Résolution
Nous savons que la suite \((a_n)\) converge vers \(\ell\). Cela signifie que
\[ a_n\to \ell. \]
Par définition de la limite, pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout indice \(m\ge N\), on a
\[ |a_m-\ell|<\varepsilon. \]
Nous employons la lettre \(m\) pour désigner un indice générique de la suite initiale, afin de ne pas le confondre avec l'indice \(n\) de la sous-suite.
Considérons maintenant une sous-suite quelconque \((a_{k_n})\). Par définition d'une sous-suite, \((k_n)\) est une suite strictement croissante d'indices entiers naturels.
D'après la propriété fondamentale des indices d'une sous-suite, nous savons que
\[ k_n\ge n \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Prenons maintenant \(n\ge N\). Alors, en utilisant \(k_n\ge n\), nous obtenons
\[ k_n\ge n\ge N. \]
Ainsi, l'indice \(k_n\) est assez grand pour que l'on puisse appliquer la définition de la limite de la suite initiale.
En effet, comme la définition de la limite nous dit que
\[ |a_m-\ell|<\varepsilon \]
pour tout \(m\ge N\), nous pouvons choisir en particulier
\[ m=k_n. \]
Puisque \(k_n\ge N\), nous obtenons
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
Nous avons donc démontré que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N\), on a
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
C'est précisément la définition de la convergence de la sous-suite \((a_{k_n})\) vers la limite \(\ell\).
Par conséquent,
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Le point conceptuel décisif est le suivant : une sous-suite peut sauter des termes, mais ses indices \(k_n\) croissent malgré tout vers l'infini. Ainsi, lorsque la suite initiale est définitivement proche de \(\ell\), la sous-suite l'est elle aussi définitivement.