Propriétés des Puissances : Exercices Résolus

\[ 128 \]

Idée directrice

Les deux puissances ont la même base, \(2\). On applique la règle du produit de puissances de même base : les exposants s'additionnent et la base reste inchangée.

Propriété utilisée

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Identification de \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 2 \qquad m = 3 \qquad n = 4 \]

Application de la propriété

\[ 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \]

Calcul numérique

\[ 2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128 \]

Résultat

\[ \boxed{128} \]

\[ 25 \]

Idée directrice

Les deux puissances ont la même base, \(5\). On applique la règle du quotient de puissances de même base : l'exposant du diviseur est soustrait à celui du dividende.

Propriété utilisée

\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a \neq 0) \]

Identification de \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 5 \qquad m = 6 \qquad n = 4 \]

Application de la propriété

\[ \frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 \]

Calcul numérique

\[ 5^2 = 25 \]

Résultat

\[ \boxed{25} \]

\[ 729 \]

Idée directrice

Une puissance est elle-même élevée à un exposant. On applique la règle de la puissance d'une puissance : on multiplie les deux exposants.

Propriété utilisée

\[ \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \]

Identification de \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 3 \qquad m = 2 \qquad n = 3 \]

Application de la propriété

\[ \left(3^2\right)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 \]

Calcul numérique

\[ 3^6 = 729 \]

Résultat

\[ \boxed{729} \]

\[ 1000 \]

Idée directrice

Un produit de deux facteurs est élevé à un exposant. La règle de la puissance d'un produit permet de distribuer l'exposant sur chaque facteur.

Propriété utilisée

\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

Identification de \(a\), \(b\), \(n\)

\[ a = 2 \qquad b = 5 \qquad n = 3 \]

Application de la propriété

\[ (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 \]

Calcul numérique

\[ 2^3 = 8 \qquad 5^3 = 125 \]

\[ 8 \cdot 125 = 1000 \]

Résultat

\[ \boxed{1000} \]

\[ 16 \]

Idée directrice

Un quotient est élevé à un exposant. On peut appliquer la règle de la puissance d'un quotient, ou simplifier d'abord la fraction.

Méthode 1 — simplification directe

\[ \frac{6}{3} = 2 \qquad \Rightarrow \qquad \left(\frac{6}{3}\right)^4 = 2^4 = 16 \]

Méthode 2 — règle de la puissance d'un quotient

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4 = \frac{6^4}{3^4} = \frac{1296}{81} = 16 \]

Résultat

\[ \boxed{16} \]

\[ x^9 \]

Idée directrice

Comme dans l'exercice 1, mais avec la base littérale \(x\). On additionne les exposants.

Propriété utilisée

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Application

\[ x^4 \cdot x^5 = x^{4+5} = x^9 \]

Résultat

\[ \boxed{x^9} \]

\[ x^5 \]

Propriété utilisée

\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (x \neq 0) \]

Application

\[ \frac{x^9}{x^4} = x^{9-4} = x^5 \]

Résultat

\[ \boxed{x^5} \]

\[ x^{15} \]

Propriété utilisée

\[ \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \]

Application

\[ \left(x^3\right)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15} \]

Résultat

\[ \boxed{x^{15}} \]

\[ 27x^3 \]

Idée directrice

On applique la règle de la puissance d'un produit avec \(a = 3\) et \(b = x\). Attention : l'exposant doit être distribué sur le coefficient numérique également, pas seulement sur la variable.

Propriété utilisée

\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

Application

\[ (3x)^3 = 3^3 \cdot x^3 \]

Calcul

\[ 3^3 = 27 \]

Résultat

\[ \boxed{27x^3} \]

\[ \dfrac{x^4}{16} \]

Propriété utilisée

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

Application

\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4 = \frac{x^4}{2^4} = \frac{x^4}{16} \]

Résultat

\[ \boxed{\dfrac{x^4}{16}} \]

\[ 49 \]

Idée directrice

Toute base non nulle élevée à \(0\) vaut \(1\). Cela découle de la règle du quotient : \(a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0\), et aussi \(a^m \div a^m = 1\).

Propriété utilisée

\[ a^0 = 1 \qquad (a \neq 0) \]

Application

\[ 4^0 \cdot 7^2 = 1 \cdot 49 = 49 \]

Résultat

\[ \boxed{49} \]

\[ \dfrac{1}{9} \]

Idée directrice

Un exposant négatif désigne le réciproque de la puissance à exposant positif. Il ne produit pas un résultat négatif, mais une fraction.

Propriété utilisée

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad (a \neq 0) \]

Application

\[ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]

Résultat

\[ \boxed{\dfrac{1}{9}} \]

\[ x^4 \]

Idée directrice

La règle du produit s'applique même quand l'un des exposants est négatif : la règle est identique, on additionne algébriquement les exposants.

Propriété utilisée

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Application

\[ x^{-3} \cdot x^7 = x^{-3+7} = x^4 \]

Résultat

\[ \boxed{x^4} \]

\[ x^8\, y^{12} \]

Idée directrice

Le produit \(x^2 y^3\) est élevé à la quatrième puissance. On distribue l'exposant sur chaque facteur, puis on applique la règle de la puissance d'une puissance à chacun.

Propriétés utilisées

\[ (ab)^n = a^n b^n \qquad \text{et} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \]

Application

\[ \left(x^2 y^3\right)^4 = \left(x^2\right)^4 \cdot \left(y^3\right)^4 = x^{2 \cdot 4} \cdot y^{3 \cdot 4} = x^8 y^{12} \]

Résultat

\[ \boxed{x^8\, y^{12}} \]

\[ \dfrac{x^3}{8} \]

Idée directrice

Un quotient à exposant négatif est égal au quotient réciproque à exposant positif. Numérateur et dénominateur s'échangent, puis les deux sont élevés à \(3\).

Propriété utilisée

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \]

Application

\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3} = \left(\frac{x}{2}\right)^{3} = \frac{x^3}{2^3} = \frac{x^3}{8} \]

Résultat

\[ \boxed{\dfrac{x^3}{8}} \]

\[ 5 \]

Idée directrice

Un exposant de la forme \(\tfrac{1}{q}\) désigne la racine \(q\)-ième. En particulier, \(a^{1/2} = \sqrt{a}\).

Propriété utilisée

\[ a^{1/q} = \sqrt[q]{a} \]

Application

\[ 25^{1/2} = \sqrt{25} = 5 \]

Vérification

\[ 5^2 = 25 \checkmark \]

Résultat

\[ \boxed{5} \]

\[ 2 \]

Propriété utilisée

\[ a^{1/3} = \sqrt[3]{a} \]

Application

\[ 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2 \]

Vérification

\[ 2^3 = 8 \checkmark \]

Résultat

\[ \boxed{2} \]

\[ x \]

Idée directrice

La règle du produit s'applique également aux exposants fractionnaires. On additionne les fractions avec un dénominateur commun.

Propriété utilisée

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Somme des exposants

\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]

Résultat

\[ x^{2/3} \cdot x^{1/3} = x^1 = x \]

\[ \boxed{x} \]

\[ 9 \]

Idée directrice

Un exposant \(\tfrac{p}{q}\) désigne la racine \(q\)-ième de la base élevée à la \(p\)-ième puissance. Il est préférable d'extraire d'abord la racine, puis d'élever à la puissance : les nombres restent plus petits et plus faciles à manipuler.

Propriété utilisée

\[ a^{p/q} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p = \sqrt[q]{a^p} \]

Application — racine d'abord, puis puissance

\[ 27^{2/3} = \left(27^{1/3}\right)^2 = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9 \]

Vérification — méthode alternative

\[ 27^{2/3} = \left(27^2\right)^{1/3} = 729^{1/3} = \sqrt[3]{729} = 9 \checkmark \]

Résultat

\[ \boxed{9} \]

\[ x^3 \]

Idée directrice

On procède en deux étapes : d'abord on simplifie la puissance d'une puissance, puis on multiplie en utilisant la règle du produit de même base.

Étape 1 — puissance d'une puissance

\[ \left(x^{-2}\right)^3 = x^{(-2)\cdot 3} = x^{-6} \]

Étape 2 — produit de même base

\[ x^{-6} \cdot x^9 = x^{-6+9} = x^3 \]

Résultat

\[ \boxed{x^3} \]

\[ 2 \]

Idée directrice

Le numérateur et le dénominateur sont développés séparément en distribuant l'exposant extérieur ; le quotient est ensuite simplifié.

Développement du numérateur

\[ (4x^3)^2 = 4^2 \cdot (x^3)^2 = 16x^6 \]

Développement du dénominateur

\[ (2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8x^6 \]

Quotient

\[ \frac{16x^6}{8x^6} = \frac{16}{8} \cdot \frac{x^6}{x^6} = 2 \cdot 1 = 2 \]

Résultat

\[ \boxed{2} \]

\[ a^3\, b^5 \]

Développement du numérateur

\[ \left(a^2 b^3\right)^4 = a^{2 \cdot 4} \cdot b^{3 \cdot 4} = a^8 b^{12} \]

Quotient — on soustrait les exposants de chaque base

\[ \frac{a^8 b^{12}}{a^5 b^7} = a^{8-5} \cdot b^{12-7} = a^3 b^5 \]

Résultat

\[ \boxed{a^3\, b^5} \]

\[ \dfrac{x^6}{4} \]

Développement du numérateur

\[ (2x^3)^4 = 2^4 \cdot x^{12} = 16x^{12} \]

Développement du dénominateur

\[ (4x^2)^3 = 4^3 \cdot x^6 = 64x^6 \]

Quotient

\[ \frac{16x^{12}}{64x^6} = \frac{16}{64} \cdot x^{12-6} = \frac{1}{4}\, x^6 = \frac{x^6}{4} \]

Résultat

\[ \boxed{\dfrac{x^6}{4}} \]

\[ a^3\, b^2 \]

Propriétés utilisées

\[ (ab)^n = a^n b^n \qquad \text{et} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \]

Distribution de l'exposant 6

\[ \left(a^{1/2} \cdot b^{1/3}\right)^6 = \left(a^{1/2}\right)^6 \cdot \left(b^{1/3}\right)^6 \]

Puissance d'une puissance

\[ \left(a^{1/2}\right)^6 = a^{\,\frac{1}{2} \cdot 6} = a^3 \]

\[ \left(b^{1/3}\right)^6 = b^{\,\frac{1}{3} \cdot 6} = b^2 \]

Résultat

\[ \boxed{a^3\, b^2} \]

\[ \dfrac{y^6}{x^4} \]

Idée directrice

Un quotient à exposant négatif est égal au quotient réciproque à exposant positif. Numérateur et dénominateur s'échangent, puis les deux sont élevés à \(3\).

Inversion due à l'exposant négatif

\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} = \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^{2} \]

Puissance d'un quotient

\[ \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^{2} = \frac{(y^3)^2}{(x^2)^2} = \frac{y^6}{x^4} \]

Résultat

\[ \boxed{\dfrac{y^6}{x^4}} \]

\[ 1 \]

Idée directrice

Toutes les bases (\(2\), \(4\), \(8\)) sont des puissances de \(2\). On réécrit tout en base \(2\), puis on applique les règles du produit et du quotient.

Réécriture en base 2

\[ 4^n = (2^2)^n = 2^{2n} \qquad 8^n = (2^3)^n = 2^{3n} \]

Substitution

\[ \frac{2^n \cdot 2^{2n}}{2^{3n}} = \frac{2^{n + 2n}}{2^{3n}} = \frac{2^{3n}}{2^{3n}} = 2^0 = 1 \]

Résultat

\[ \boxed{1} \]

\[ 3 \]

Développement du numérateur — premier facteur

\[ (3x^2)^3 = 27x^6 \]

Développement du numérateur — second facteur

\[ (2x)^2 = 4x^2 \]

Produit du numérateur

\[ 27x^6 \cdot 4x^2 = 108\, x^8 \]

Développement du dénominateur

\[ (6x^4)^2 = 36x^8 \]

Quotient final

\[ \frac{108\, x^8}{36\, x^8} = \frac{108}{36} \cdot x^0 = 3 \cdot 1 = 3 \]

Résultat

\[ \boxed{3} \]

\[ 1 \]

Idée directrice

Le numérateur et le dénominateur se réduisent tous deux à la même puissance de \(a\) grâce aux règles du produit, de la puissance d'une puissance et du quotient. L'identité est valable pour toutes valeurs de \(m\) et \(n\).

Simplification du numérateur

\[ a^{m+n} \cdot a^{m-n} = a^{(m+n)+(m-n)} = a^{2m} \]

Simplification du dénominateur

\[ \left(a^m\right)^2 = a^{2m} \]

Quotient

\[ \frac{a^{2m}}{a^{2m}} = a^{2m - 2m} = a^0 = 1 \]

Résultat

\[ \boxed{1} \]

\[ 3 \]

Idée directrice

Le numérateur contient deux puissances de \(3\) avec des exposants paramétriques consécutifs. On met en facteur \(3^n\) au numérateur, puis on simplifie avec le dénominateur.

Réécriture des exposants au numérateur

\[ 3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^n \]

\[ 3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^n \]

Mise en facteur de \(3^n\)

\[ 3^{n+2} - 3^{n+1} = 9 \cdot 3^n - 3 \cdot 3^n = 3^n(9 - 3) = 6 \cdot 3^n \]

Quotient

\[ \frac{6 \cdot 3^n}{2 \cdot 3^n} = \frac{6}{2} = 3 \]

Résultat

\[ \boxed{3} \]

\[ 1 \]

Idée directrice

Le numérateur et le dénominateur sont réduits à une seule puissance de \(x\) dont l'exposant s'exprime en termes de \(a\), \(b\), \(c\). L'identité est valable pour toutes valeurs réelles de \(a\), \(b\), \(c\) (avec \(x \neq 0\)).

Simplification du numérateur

On applique la règle du produit en additionnant tous les exposants :

\[ x^{a+b} \cdot x^{b+c} \cdot x^{c+a} = x^{(a+b)+(b+c)+(c+a)} \]

Somme des exposants :

\[ (a+b)+(b+c)+(c+a) = 2a + 2b + 2c = 2(a+b+c) \]

Donc le numérateur vaut \(x^{2(a+b+c)}\).

Simplification du dénominateur

On réduit d'abord le produit intérieur, puis on élève au carré :

\[ x^a \cdot x^b \cdot x^c = x^{a+b+c} \]

\[ \left(x^{a+b+c}\right)^2 = x^{2(a+b+c)} \]

Quotient

\[ \frac{x^{2(a+b+c)}}{x^{2(a+b+c)}} = x^0 = 1 \]

Résultat

\[ \boxed{1} \]