Les opérations sur les limites de suites permettent de calculer la limite d'une suite obtenue en combinant deux suites plus simples au moyen de la somme, de la différence, du produit ou du quotient.
L'idée fondamentale est la suivante : si deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) ont une limite finie, alors, sous des hypothèses convenables, les suites obtenues au moyen des opérations algébriques entre \(a_n\) et \(b_n\) admettent elles aussi une limite, et cette limite se calcule en opérant sur les limites.
Dans cet article, nous considérons le cas où
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
avec \(A,B\in\mathbb{R}\). Nous étudierons donc les opérations sur les limites finies de suites réelles convergentes.
Il importe de préciser d'emblée que les règles algébriques sur les limites ne peuvent pas s'appliquer automatiquement en présence de formes indéterminées, telles que \(+\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\), \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\). Dans ces cas, une étude spécifique est nécessaire.
Sommaire
- Opérations sur les limites de suites
- Limite d'une somme
- Limite d'une différence
- Limite d'un produit
- Limite d'un quotient
- Remarques sur les formes indéterminées
- Exemples sur les opérations sur les limites
Opérations sur les limites de suites
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles convergentes, c'est-à-dire telles que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A, \qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
avec \(A,B\in\mathbb{R}\).
Sous ces hypothèses, les règles suivantes sont vérifiées :
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
De plus, si \(B\neq0\), alors \(b_n\neq0\) à partir d'un certain rang, et l'on a également
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
La condition \(B\neq0\) dans la limite du quotient est essentielle. En effet, si la limite du dénominateur était nulle, on ne pourrait pas conclure en général que le quotient admet une limite finie.
Les sections suivantes établissent rigoureusement ces propriétés à partir de la définition de la limite d'une suite.
Limite d'une somme
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles telles que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
avec \(A,B\in\mathbb{R}\). Alors
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Démonstration. Montrons que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\), on ait
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)|<\varepsilon. \]
Remarquons que
\[ (a_n+b_n)-(A+B)=(a_n-A)+(b_n-B). \]
En appliquant l'inégalité triangulaire, nous obtenons
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| = |(a_n-A)+(b_n-B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
Comme \(a_n\to A\), pour \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) il existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Comme \(b_n\to B\), pour \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) il existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Posons
\[ N=\max\{N_1,N_2\}. \]
Alors, pour tout \(n\geq N\), les deux inégalités précédentes sont simultanément vérifiées. Par conséquent
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Par définition de la limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Limite d'une différence
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles telles que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
avec \(A,B\in\mathbb{R}\). Alors
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B. \]
Ce résultat découle directement de la limite d'une somme, en observant que
\[ a_n-b_n=a_n+(-b_n). \]
Comme \(b_n\to B\), on a
\[ -b_n\to -B. \]
Donc, en appliquant la limite d'une somme,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n) = \lim_{n\to+\infty}\bigl(a_n+(-b_n)\bigr) = A+(-B) = A-B. \]
De manière équivalente, on peut le démontrer directement à partir de la définition de la limite. En effet :
\[ |(a_n-b_n)-(A-B)| = |(a_n-A)-(b_n-B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
La conclusion s'obtient exactement comme dans le cas de la somme.
Limite d'un produit
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles telles que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
avec \(A,B\in\mathbb{R}\). Alors
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Démonstration. Montrons que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\), on ait
\[ |a_n b_n-AB|<\varepsilon. \]
Écrivons la différence sous une forme commode :
\[ a_n b_n-AB = a_n b_n-A b_n+A b_n-AB. \]
D'où
\[ a_n b_n-AB = (a_n-A)b_n+A(b_n-B). \]
En appliquant l'inégalité triangulaire, nous obtenons
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B|. \]
Utilisons maintenant un fait fondamental : toute suite convergente est bornée. Comme \(b_n\to B\), il existe une constante réelle positive \(C\) telle que
\[ |b_n|\leq C \]
pour tout \(n\) suffisamment grand.
Plus précisément, en choisissant \(1>0\), la convergence \(b_n\to B\) entraîne l'existence d'un entier \(N_0\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<1. \]
D'où
\[ |b_n| = |b_n-B+B| \leq |b_n-B|+|B| < |B|+1. \]
Ainsi, à partir d'un certain rang,
\[ |b_n|<|B|+1. \]
Fixons maintenant \(\varepsilon>0\). Comme \(a_n\to A\), il existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}. \]
Comme \(b_n\to B\), il existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Posons
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Alors, pour tout \(n\geq N\), nous avons
\[ |b_n|<|B|+1, \qquad |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)} \]
et
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Par conséquent
\[ |a_n-A|\,|b_n| < \frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}(|B|+1) = \frac{\varepsilon}{2}. \]
De plus
\[ |A|\,|b_n-B| \leq (|A|+1)|b_n-B| < (|A|+1)\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)} = \frac{\varepsilon}{2}. \]
Par conséquent
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Par définition de la limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Limite d'un quotient
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles telles que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
avec \(A,B\in\mathbb{R}\) et \(B\neq0\). Alors \(b_n\neq0\) à partir d'un certain rang, et l'on a
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Démonstration. Comme \(b_n\to B\) et \(B\neq0\), nous pouvons choisir la distance positive
\[ \frac{|B|}{2}>0. \]
De la convergence de \((b_n)\) vers \(B\), il existe \(N_0\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<\frac{|B|}{2}. \]
De l'inégalité triangulaire, il résulte que
\[ |B| = |B-b_n+b_n| \leq |B-b_n|+|b_n|. \]
Donc
\[ |b_n| \geq |B|-|B-b_n| = |B|-|b_n-B|. \]
Donc, pour tout \(n\geq N_0\),
\[ |b_n| > |B|-\frac{|B|}{2} = \frac{|B|}{2}. \]
En particulier, pour tout \(n\geq N_0\) on a \(b_n\neq0\). Cela montre que le quotient \(\frac{a_n}{b_n}\) est bien défini à partir d'un certain rang.
Estimons à présent l'écart entre le quotient et la limite attendue :
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right|. \]
En réduisant au même dénominateur, nous obtenons
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| = \left|\frac{B a_n-A b_n}{B b_n}\right|. \]
Ajoutons et retranchons \(AB\) au numérateur :
\[ B a_n-A b_n = B a_n-AB+AB-A b_n. \]
D'où
\[ B a_n-A b_n = B(a_n-A)+A(B-b_n). \]
En appliquant l'inégalité triangulaire,
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|B-b_n|. \]
Comme
\[ |B-b_n|=|b_n-B|, \]
nous obtenons
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|. \]
Par conséquent
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{|B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|}{|B|\,|b_n|}. \]
Pour \(n\geq N_0\), nous savons que
\[ |b_n|>\frac{|B|}{2}. \]
Par conséquent
\[ |B|\,|b_n| > |B|\cdot\frac{|B|}{2} = \frac{|B|^2}{2}. \]
Donc, pour tout \(n\geq N_0\),
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{2}{|B|^2} \left( |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| \right). \]
Fixons maintenant \(\varepsilon>0\). Comme \(a_n\to A\), il existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon |B|}{4}. \]
Comme \(b_n\to B\), il existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)}. \]
Posons
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Alors, pour tout \(n\geq N\), toutes les estimations précédentes sont vérifiées. En particulier,
\[ |B|\,|a_n-A| < |B|\cdot\frac{\varepsilon |B|}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
De plus
\[ |A|\,|b_n-B| \leq (|A|+1)|b_n-B| < (|A|+1)\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
En sommant,
\[ |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon |B|^2}{4} + \frac{\varepsilon |B|^2}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{2}. \]
Par conséquent
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| < \frac{2}{|B|^2}\cdot\frac{\varepsilon |B|^2}{2} = \varepsilon. \]
Par définition de la limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Remarques sur les formes indéterminées
Les règles précédentes ont été établies dans le cas où les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) admettent des limites réelles finies. Dans ce cadre, les opérations se comportent de façon naturelle :
\[ a_n\to A,\quad b_n\to B \quad\Longrightarrow\quad a_n+b_n\to A+B, \]
\[ a_n b_n\to AB, \]
et, si \(B\neq0\),
\[ \frac{a_n}{b_n}\to\frac{A}{B}. \]
Il faut toutefois être prudent lorsqu'apparaissent des limites infinies ou des dénominateurs qui tendent vers zéro. Dans ces cas, il n'est pas toujours possible d'appliquer directement les règles algébriques.
Par exemple, des expressions de la forme
\[ +\infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \frac{0}{0}, \qquad \frac{+\infty}{+\infty} \]
sont appelées formes indéterminées. Le terme « indéterminée » signifie que la seule connaissance des limites de chacune des parties ne suffit pas à déterminer la limite de l'expression globale.
Par exemple, si \(a_n\to+\infty\) et \(b_n\to+\infty\), la limite de \(a_n-b_n\) n'est pas déterminée automatiquement. Elle peut être un nombre réel, elle peut être \(+\infty\), elle peut être \(-\infty\), ou bien elle peut ne pas exister.
De même, si \(a_n\to0\) et \(b_n\to0\), le quotient
\[ \frac{a_n}{b_n} \]
peut présenter des comportements différents selon les suites considérées.
Par exemple,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\), de sorte que la limite vaut \(1\). En revanche,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=n, \]
et la limite vaut donc \(+\infty\).
Cela montre que la seule information « numérateur tendant vers \(0\) » et « dénominateur tendant vers \(0\) » ne suffit pas à déterminer la limite du quotient.
C'est pourquoi les règles sur les opérations sur les limites ne doivent être appliquées que lorsque les hypothèses des théorèmes sont satisfaites.
Exemples sur les opérations sur les limites
Exemple 1 (limite d'une somme). Considérons la suite
\[ c_n=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}. \]
Nous savons que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0 \]
et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
D'après la limite d'une somme,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{1}{n}+\frac{n}{n+1} \right) = 0+1 = 1. \]
Exemple 2 (limite d'une différence). Considérons la suite
\[ c_n=\frac{n}{n+1}-\frac{1}{n}. \]
Comme
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1 \]
et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
d'après la limite d'une différence, nous obtenons
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{n}{n+1}-\frac{1}{n} \right) = 1-0 = 1. \]
Exemple 3 (limite d'un produit). Considérons la suite
\[ c_n= \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right). \]
Nous avons
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2 \]
et
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
D'après la limite d'un produit,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right) = 2\cdot3 = 6. \]
Exemple 4 (limite d'un quotient). Considérons la suite
\[ c_n= \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Le numérateur tend vers \(2\) ; en effet,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2. \]
Le dénominateur tend vers \(3\) ; en effet,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
Comme la limite du dénominateur est non nulle, nous pouvons appliquer la limite d'un quotient :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}} = \frac{2}{3}. \]
Exemple 5 (attention au quotient dont le dénominateur tend vers zéro). Considérons la suite
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers \(0\) :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Cependant, nous ne pouvons pas appliquer directement le théorème sur la limite d'un quotient, car la limite du dénominateur est nulle.
Dans ce cas, après simplification, nous obtenons
\[ c_n=1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\), de sorte que
\[ \lim_{n\to+\infty}c_n=1. \]
Cet exemple montre qu'une forme du type \(\displaystyle \frac{0}{0}\) doit être étudiée séparément : on ne peut pas en déterminer la limite en appliquant automatiquement la règle du quotient, car la limite du dénominateur est nulle.
En conclusion, les opérations sur les limites permettent de calculer de nombreuses limites de suites de manière simple et rigoureuse, pourvu que les hypothèses des théorèmes soient respectées. En particulier, pour la limite d'un quotient, il est indispensable que la limite du dénominateur soit non nulle.