Dans ce recueil, nous proposons 20 exercices résolus portant sur les opérations sur les limites de suites. Les exercices montrent comment appliquer correctement les règles relatives à la somme, à la différence, au produit et au quotient, en prêtant attention aux hypothèses des théorèmes et aux formes indéterminées.
L'idée fondamentale est la suivante : si deux suites convergent vers des limites finies, alors, sous des hypothèses convenables, la limite de la suite obtenue au moyen d'une opération algébrique se calcule en appliquant cette même opération aux limites.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\right)=1. \]
Résolution
La suite est la somme de deux suites :
\[ \frac{1}{n} \qquad\text{et}\qquad \frac{n}{n+1}. \]
Calculons séparément les deux limites.
On a
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
De plus,
\[ \frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Comme
\[ \frac{1}{n+1}\to0, \]
il s'ensuit que
\[ \frac{n}{n+1}\to1. \]
On peut donc appliquer la limite de la somme :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\right) = \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n} + \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}. \]
Ainsi,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\right)=0+1=1. \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(3-\frac{2}{n}\right). \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\left[\left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(3-\frac{2}{n}\right)\right]=-1. \]
Résolution
Considérons les deux suites
\[ a_n=2+\frac{1}{n} \qquad\text{et}\qquad b_n=3-\frac{2}{n}. \]
Comme
\[ \frac{1}{n}\to0, \]
nous obtenons
\[ a_n=2+\frac{1}{n}\to2. \]
De même, comme
\[ \frac{2}{n}\to0, \]
on a
\[ b_n=3-\frac{2}{n}\to3. \]
Appliquons maintenant la limite de la différence :
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n) = \lim_{n\to+\infty}a_n-\lim_{n\to+\infty}b_n. \]
D'où
\[ \lim_{n\to+\infty}\left[\left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(3-\frac{2}{n}\right)\right]=2-3=-1. \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\left(2+\frac{1}{n}\right)\left(3-\frac{1}{n}\right). \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)\left(3-\frac{1}{n}\right)=6. \]
Résolution
La suite est le produit de deux suites :
\[ a_n=2+\frac{1}{n}, \qquad b_n=3-\frac{1}{n}. \]
Comme
\[ \frac{1}{n}\to0, \]
nous avons
\[ a_n=2+\frac{1}{n}\to2. \]
De plus,
\[ b_n=3-\frac{1}{n}\to3. \]
On peut appliquer la limite du produit, car les deux suites ont une limite finie :
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n) = \left(\lim_{n\to+\infty}a_n\right) \left(\lim_{n\to+\infty}b_n\right). \]
Par conséquent,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)\left(3-\frac{1}{n}\right)=2\cdot3=6. \]
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{5-\displaystyle \frac{3}{n}}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{5-\displaystyle \frac{3}{n}}=\frac25. \]
Résolution
Étudions séparément le numérateur et le dénominateur.
Pour le numérateur :
\[ 2+\frac{1}{n}\to2. \]
Pour le dénominateur :
\[ 5-\frac{3}{n}\to5. \]
La limite du dénominateur vaut \(5\), elle est donc différente de \(0\). On peut par conséquent appliquer la limite du quotient.
On obtient
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{5-\displaystyle \frac{3}{n}} = \frac{\lim_{n\to+\infty}\left(2+\displaystyle \frac{1}{n}\right)} {\lim_{n\to+\infty}\left(5-\displaystyle \frac{3}{n}\right)} = \frac25. \]
La condition sur le dénominateur est essentielle : elle est ici satisfaite, car la limite du dénominateur vaut \(5\neq0\).
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\frac{3n+1}{n}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n}=3. \]
Résolution
Séparons la fraction :
\[ \frac{3n+1}{n} = \frac{3n}{n}+\frac{1}{n}. \]
D'où
\[ \frac{3n+1}{n}=3+\frac{1}{n}. \]
Utilisons maintenant les opérations sur les limites. La suite constante \(3\) tend vers \(3\), tandis que
\[ \frac{1}{n}\to0. \]
Par la limite de la somme, on obtient
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3+\frac{1}{n}\right) = 3+0=3. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n}=3. \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\frac{4n-5}{2n+1}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4n-5}{2n+1}=2. \]
Résolution
Le numérateur et le dénominateur sont des polynômes du premier degré en \(n\). Divisons-les tous deux par \(n\) :
\[ \frac{4n-5}{2n+1} = \frac{4-\displaystyle \frac{5}{n}}{2+\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Calculons à présent la limite du numérateur :
\[ 4-\frac{5}{n}\to4. \]
Calculons la limite du dénominateur :
\[ 2+\frac{1}{n}\to2. \]
La limite du dénominateur vaut \(2\), elle est donc différente de \(0\). On peut appliquer le théorème sur la limite du quotient :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4-\displaystyle \frac{5}{n}}{2+\displaystyle \frac{1}{n}} = \frac{4}{2}=2. \]
D'où
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4n-5}{2n+1}=2. \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{2n+3}{n}\right). \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{2n+3}{n}\right)=2. \]
Résolution
La suite est le produit de deux suites :
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \qquad\text{et}\qquad b_n=\frac{2n+3}{n}. \]
Pour la première suite :
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}\to1. \]
Pour la seconde :
\[ \frac{2n+3}{n}=2+\frac{3}{n}\to2. \]
Toutes deux ont une limite finie. On peut donc appliquer la limite du produit :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{2n+3}{n}\right) = 1\cdot2=2. \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\left(\frac{n+1}{n}\right)^2. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2=1. \]
Résolution
Réécrivons la base de la puissance :
\[ \frac{n+1}{n}=1+\frac1n. \]
Comme
\[ \frac1n\to0, \]
nous obtenons
\[ 1+\frac1n\to1. \]
La suite donnée s'écrit
\[ \left(1+\frac1n\right)^2 = \left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac1n\right). \]
Appliquons la limite du produit :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1n\right)^2 = 1\cdot1=1. \]
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{2}{n}+3}{4-\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{2}{n}+3}{4-\displaystyle \frac{1}{n}}=\frac34. \]
Résolution
Étudions le numérateur et le dénominateur.
Le numérateur est
\[ \frac{2}{n}+3. \]
Comme
\[ \frac{2}{n}\to0, \]
on a
\[ \frac{2}{n}+3\to3. \]
Le dénominateur est
\[ 4-\frac{1}{n}. \]
Comme
\[ \frac{1}{n}\to0, \]
on a
\[ 4-\frac{1}{n}\to4. \]
La limite du dénominateur est différente de \(0\). On peut donc appliquer la limite du quotient :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{2}{n}+3}{4-\displaystyle \frac{1}{n}}=\frac{3}{4}. \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\frac{n^2+3n}{2n^2-5}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-5}=\frac12. \]
Résolution
Le numérateur et le dénominateur sont des polynômes de même degré, à savoir de degré \(2\).
Divisons le numérateur et le dénominateur par \(n^2\) :
\[ \frac{n^2+3n}{2n^2-5} = \frac{1+\displaystyle \frac3n}{2-\displaystyle \frac5{n^2}}. \]
Calculons les limites des différentes parties :
\[ \frac3n\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac5{n^2}\to0. \]
Ainsi, le numérateur tend vers
\[ 1+0=1, \]
tandis que le dénominateur tend vers
\[ 2-0=2. \]
Comme la limite du dénominateur vaut \(2\neq0\), on peut appliquer la limite du quotient :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1+\displaystyle \frac3n}{2-\displaystyle \frac5{n^2}}=\frac12. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-5}=\frac12. \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\frac{2n^2-n+1}{n^2+4}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2-n+1}{n^2+4}=2. \]
Résolution
Divisons le numérateur et le dénominateur par \(n^2\), c'est-à-dire par la plus grande puissance de \(n\) qui apparaît :
\[ \frac{2n^2-n+1}{n^2+4} = \frac{2-\displaystyle \frac1n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac4{n^2}}. \]
Observons à présent que
\[ \frac1n\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac1{n^2}\to0. \]
Ainsi, le numérateur tend vers
\[ 2-0+0=2, \]
et le dénominateur tend vers
\[ 1+0=1. \]
Comme la limite du dénominateur vaut \(1\neq0\), appliquons la limite du quotient :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2-\displaystyle \frac1n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac4{n^2}} = \frac21=2. \]
D'où
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2-n+1}{n^2+4}=2. \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\frac{3n+1}{n^2+1}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n^2+1}=0. \]
Résolution
Le dénominateur est de degré supérieur à celui du numérateur. Divisons le numérateur et le dénominateur par \(n^2\) :
\[ \frac{3n+1}{n^2+1} = \frac{\displaystyle \frac3n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac1{n^2}}. \]
À présent,
\[ \frac3n\to0, \qquad \frac1{n^2}\to0. \]
Ainsi, le numérateur tend vers
\[ 0+0=0, \]
tandis que le dénominateur tend vers
\[ 1+0=1. \]
Comme la limite du dénominateur est différente de \(0\), on peut appliquer la règle du quotient :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac3n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac1{n^2}} = \frac01=0. \]
Ainsi,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n^2+1}=0. \]
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\frac{n^3+2n}{n^2+1}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^3+2n}{n^2+1}=+\infty. \]
Résolution
Le numérateur est de degré \(3\), tandis que le dénominateur est de degré \(2\). Nous nous attendons donc à ce que le quotient croisse sans borne.
Divisons le numérateur et le dénominateur par \(n^2\) :
\[ \frac{n^3+2n}{n^2+1} = \frac{n+\displaystyle \frac2n}{1+\displaystyle \frac1{n^2}}. \]
Lorsque \(n\to+\infty\), le numérateur
\[ n+\frac2n \]
tend vers \(+\infty\), car le terme \(n\) croît sans borne.
Le dénominateur, quant à lui, tend vers
\[ 1+0=1. \]
Le quotient tend donc vers \(+\infty\).
On peut également donner une minoration. Pour \(n\geq1\), on a
\[ n^2+1\leq2n^2 \]
et
\[ n^3+2n\geq n^3. \]
Par conséquent,
\[ \frac{n^3+2n}{n^2+1}\geq \frac{n^3}{2n^2}=\frac n2. \]
Comme
\[ \frac n2\to+\infty, \]
la suite donnée tend elle aussi vers \(+\infty\).
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\frac{1}{n}\left(4-\frac{3}{n}\right). \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\left(4-\frac{3}{n}\right)=0. \]
Résolution
La suite est un produit :
\[ \frac{1}{n} \qquad\text{et}\qquad 4-\frac{3}{n}. \]
Le premier facteur tend vers \(0\) :
\[ \frac1n\to0. \]
Le second facteur tend vers \(4\), car
\[ \frac3n\to0. \]
D'où
\[ 4-\frac3n\to4. \]
On peut appliquer la limite du produit :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\left(4-\frac{3}{n}\right)=0\cdot4=0. \]
Dans ce cas, il n'y a pas de forme indéterminée : le second facteur tend vers un nombre fini, et non vers \(+\infty\).
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}+1}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}+1}=0. \]
Résolution
Étudions le numérateur et le dénominateur.
Le numérateur est
\[ \frac1n, \]
il tend donc vers \(0\).
Le dénominateur est
\[ \frac1n+1, \]
et tend vers
\[ 0+1=1. \]
La limite du dénominateur vaut \(1\), elle est donc différente de \(0\). On peut par conséquent appliquer la limite du quotient :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}+1} = \frac{0}{1}=0. \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1. \]
Résolution
Le numérateur tend vers \(0\) :
\[ \frac1n\to0. \]
Le dénominateur tend lui aussi vers \(0\) :
\[ \frac1n\to0. \]
On ne peut donc pas appliquer directement le théorème sur la limite du quotient, car l'hypothèse requise est que la limite du dénominateur soit différente de \(0\).
L'expression est de la forme
\[ \frac00, \]
c'est-à-dire une forme indéterminée.
On peut toutefois simplifier la suite. Pour tout \(n\geq1\), on a
\[ \frac{\displaystyle \frac1n}{\displaystyle \frac1n}=1. \]
La suite est donc constante et égale à \(1\).
Par conséquent,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1. \]
Cet exercice montre qu'une forme \(\displaystyle \frac00\) ne détermine pas automatiquement la limite : il faut étudier l'expression.
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=+\infty. \]
Résolution
Le numérateur tend vers \(0\) :
\[ \frac1n\to0. \]
Le dénominateur tend lui aussi vers \(0\) :
\[ \frac1{n^2}\to0. \]
Nous sommes donc en présence d'une forme du type
\[ \frac00. \]
On ne peut pas appliquer directement la règle du quotient, car la limite du dénominateur vaut \(0\).
Simplifions l'expression :
\[ \frac{\displaystyle \frac1n}{\displaystyle \frac1{n^2}} = \frac1n\cdot n^2. \]
D'où
\[ \frac{\displaystyle \frac1n}{\displaystyle \frac1{n^2}}=n. \]
Comme
\[ n\to+\infty, \]
nous obtenons
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=+\infty. \]
Ceci confirme que la forme \(\displaystyle \frac00\) est indéterminée : dans un exercice précédent, elle donnait \(1\), tandis qu'ici elle donne \(+\infty\).
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=0. \]
Résolution
Là encore, le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers \(0\) :
\[ \frac1{n^2}\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac1n\to0. \]
L'expression est donc une forme du type
\[ \frac00. \]
On ne peut pas appliquer directement la règle du quotient. Il faut simplifier.
Écrivons :
\[ \frac{\displaystyle \frac1{n^2}}{\displaystyle \frac1n} = \frac1{n^2}\cdot n. \]
D'où
\[ \frac{\displaystyle \frac1{n^2}}{\displaystyle \frac1n} = \frac1n. \]
Comme
\[ \frac1n\to0, \]
nous concluons que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=0. \]
Ceci constitue un nouvel exemple du fait que la forme \(\frac00\) peut produire des résultats différents.
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=\sqrt{n^2+n}-n. \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)=\frac12. \]
Résolution
La suite est
\[ c_n=\sqrt{n^2+n}-n. \]
Observons que
\[ \sqrt{n^2+n}\to+\infty \qquad\text{et}\qquad n\to+\infty. \]
L'expression est donc de la forme
\[ +\infty-\infty, \]
c'est-à-dire une forme indéterminée. On ne peut pas calculer la limite en soustrayant simplement les limites.
Pour lever l'indétermination, multiplions par la quantité conjuguée :
\[ \sqrt{n^2+n}-n = \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}. \]
Au numérateur, nous utilisons l'identité \(a^2-b^2\) :
\[ (\sqrt{n^2+n})^2-n^2=n^2+n-n^2=n. \]
D'où
\[ \sqrt{n^2+n}-n = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}. \]
Mettons à présent \(n\) en facteur sous la racine :
\[ \sqrt{n^2+n}=\sqrt{n^2\left(1+\frac1n\right)}. \]
Comme \(n>0\), on a
\[ \sqrt{n^2\left(1+\frac1n\right)} = n\sqrt{1+\frac1n}. \]
Ainsi,
\[ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{n}{n\sqrt{1+\frac1n}+n}. \]
En mettant \(n\) en facteur au dénominateur :
\[ \frac{n}{n\left(\sqrt{1+\frac1n}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}. \]
À présent,
\[ \frac1n\to0, \]
d'où
\[ \sqrt{1+\frac1n}\to\sqrt1=1. \]
Par conséquent,
\[ \frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}\to\frac{1}{1+1}=\frac12. \]
Nous concluons que
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)=\frac12. \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Calculer la limite de la suite
\[ c_n=n\left(\frac{n+1}{n}-1\right). \]
Résultat
\[ \lim_{n\to+\infty}n\left(\frac{n+1}{n}-1\right)=1. \]
Résolution
Considérons la suite
\[ c_n=n\left(\frac{n+1}{n}-1\right). \]
Si l'on examine séparément les facteurs, on a
\[ n\to+\infty \]
et
\[ \frac{n+1}{n}-1\to1-1=0. \]
L'expression est donc de la forme
\[ +\infty\cdot0, \]
c'est-à-dire une forme indéterminée. On ne peut pas conclure automatiquement que la limite vaut \(0\) ou \(+\infty\).
Il faut simplifier l'expression. Calculons d'abord la parenthèse :
\[ \frac{n+1}{n}-1 = \frac{n+1}{n}-\frac{n}{n} = \frac{1}{n}. \]
D'où
\[ c_n=n\cdot\frac1n. \]
Par conséquent,
\[ c_n=1 \]
pour tout \(n\geq1\).
La suite est donc constante et égale à \(1\). En conséquence,
\[ \lim_{n\to+\infty}n\left(\frac{n+1}{n}-1\right)=1. \]
Cet exercice montre que la forme \(0\cdot\infty\) est elle aussi indéterminée : il faut transformer l'expression avant de calculer la limite.