Exercices corrigés sur les opérations sur les ensembles : un recueil progressif de 20 exercices pour apprendre à calculer correctement réunion, intersection, différence et complémentaire. Chaque exercice est résolu pas à pas, avec des explications conçues pour clarifier la signification logique de chaque opération.
Rappelons les définitions fondamentales :
\[ A \cup B=\{x \mid x \in A \ \text{ou} \ x \in B\} \]
\[ A \cap B=\{x \mid x \in A \ \text{et} \ x \in B\} \]
\[ A \setminus B=\{x \mid x \in A \ \text{et} \ x \notin B\} \]
\[ A^c=U \setminus A \]
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3\}, \qquad B=\{3,4,5\} \]
Calculer :
\[ A \cup B \]
Résultat
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5\} \]
Corrigé
L'opération demandée est la réunion. La réunion \(A \cup B\) contient tous les éléments qui appartiennent à au moins un des deux ensembles.
Partons des éléments de \(A\) :
\[ A=\{1,2,3\} \]
Ajoutons ensuite les éléments de \(B\) :
\[ B=\{3,4,5\} \]
L'élément \(3\) figure à la fois dans \(A\) et dans \(B\), mais dans les ensembles les éléments ne se répètent pas. C'est pourquoi nous l'écrivons une seule fois.
Par conséquent :
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5\} \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calculer :
\[ A \cap B \]
Résultat
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Corrigé
L'opération demandée est l'intersection. L'intersection \(A \cap B\) contient uniquement les éléments qui appartiennent simultanément à \(A\) et à \(B\).
Observons les éléments de \(A\) :
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
et les éléments de \(B\) :
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
Les éléments \(1\) et \(2\) appartiennent uniquement à \(A\), ils ne font donc pas partie de l'intersection. Les éléments \(5\) et \(6\) appartiennent uniquement à \(B\), ils ne font donc pas partie de l'intersection.
Les seuls éléments présents dans les deux ensembles sont \(3\) et \(4\). Par conséquent :
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{2,4,6\} \]
Calculer :
\[ A \setminus B \]
Résultat
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Corrigé
L'opération demandée est la différence ensembliste. La différence \(A \setminus B\) contient les éléments qui appartiennent à \(A\), mais n'appartiennent pas à \(B\).
Partons donc de \(A\) :
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
Nous devons éliminer de \(A\) tous les éléments qui se trouvent également dans \(B\). Comme :
\[ B=\{2,4,6\} \]
les éléments de \(A\) qui figurent aussi dans \(B\) sont \(2\) et \(4\).
En retirant \(2\) et \(4\) de \(A\), il reste :
\[ 1,3,5 \]
Par conséquent :
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{a,b,c,d\}, \qquad B=\{b,d,e\} \]
Calculer :
\[ B \setminus A \]
Résultat
\[ B \setminus A=\{e\} \]
Corrigé
La différence \(B \setminus A\) contient les éléments qui appartiennent à \(B\), mais n'appartiennent pas à \(A\).
Cette fois, l'ensemble de départ est \(B\), et non \(A\). En effet :
\[ B=\{b,d,e\} \]
Nous devons retirer de \(B\) les éléments qui appartiennent également à \(A\). Comme :
\[ A=\{a,b,c,d\} \]
les éléments \(b\) et \(d\) sont présents à la fois dans \(B\) et dans \(A\), ils doivent donc être exclus.
Le seul élément de \(B\) qui n'appartient pas à \(A\) est \(e\). Par conséquent :
\[ B \setminus A=\{e\} \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
et soit
\[ A=\{2,4,6,8\} \]
Calculer :
\[ A^c \]
Résultat
\[ A^c=\{1,3,5,7\} \]
Corrigé
L'opération demandée est le complémentaire de \(A\) par rapport à l'ensemble univers \(U\).
Le complémentaire \(A^c\) contient tous les éléments de l'univers \(U\) qui n'appartiennent pas à \(A\). Symboliquement :
\[ A^c=U \setminus A \]
L'ensemble univers est :
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
L'ensemble \(A\) est :
\[ A=\{2,4,6,8\} \]
Nous devons donc retirer de \(U\) les éléments \(2,4,6,8\). Il reste les éléments impairs :
\[ 1,3,5,7 \]
Par conséquent :
\[ A^c=\{1,3,5,7\} \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x \le 6\} \]
et
\[ B=\{2,4,6,8\} \]
Calculer :
\[ A \cap B \]
Résultat
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Corrigé
Avant d'effectuer l'opération, il convient d'écrire explicitement l'ensemble \(A\), qui est défini en compréhension.
L'écriture
\[ A=\{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x \le 6\} \]
se lit : « \(A\) est l'ensemble des entiers naturels \(x\) tels que \(x\) soit compris entre \(1\) et \(6\), bornes incluses ». En énumérant les éléments, nous obtenons :
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
L'ensemble \(B\) est, en revanche, donné en extension :
\[ B=\{2,4,6,8\} \]
Nous devons calculer l'intersection \(A \cap B\), c'est-à-dire l'ensemble des éléments qui appartiennent simultanément à \(A\) et à \(B\).
Comparons les éléments :
- \(2 \in A\) et \(2 \in B\) : appartient à l'intersection ;
- \(4 \in A\) et \(4 \in B\) : appartient à l'intersection ;
- \(6 \in A\) et \(6 \in B\) : appartient à l'intersection ;
- \(8 \in B\), mais \(8 \notin A\) car \(8 > 6\) : n'appartient pas à l'intersection.
Par conséquent :
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,3,5,7\}, \qquad B=\{2,3,5,8\} \]
Calculer :
\[ A \cup B \]
Résultat
\[ A \cup B=\{1,2,3,5,7,8\} \]
Corrigé
L'opération demandée est la réunion de \(A\) et \(B\). La réunion contient tous les éléments qui appartiennent à au moins un des deux ensembles.
Partons des éléments de \(A\) :
\[ A=\{1,3,5,7\} \]
Observons maintenant les éléments de \(B\) :
\[ B=\{2,3,5,8\} \]
Les éléments \(3\) et \(5\) sont déjà présents dans \(A\), ils ne doivent donc pas être répétés. Les nouveaux éléments apportés par \(B\) sont \(2\) et \(8\).
En réunissant tous les éléments sans répétition, nous obtenons :
\[ A \cup B=\{1,2,3,5,7,8\} \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calculer :
\[ (A \cup B) \setminus A \]
Résultat
\[ (A \cup B) \setminus A=\{6,7\} \]
Corrigé
L'expression contient deux opérations. Il faut respecter les parenthèses et calculer d'abord :
\[ A \cup B \]
La réunion de \(A\) et \(B\) contient tous les éléments présents dans au moins un des deux ensembles :
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\} \]
Nous devons maintenant calculer :
\[ (A \cup B) \setminus A \]
Cela signifie que nous partons de l'ensemble \(A \cup B\) et que nous retirons tous les éléments qui appartiennent à \(A\).
Comme :
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
en éliminant \(1,2,3,4,5\) de l'ensemble \(\{1,2,3,4,5,6,7\}\), il reste :
\[ 6,7 \]
Par conséquent :
\[ (A \cup B) \setminus A=\{6,7\} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calculer :
\[ (A \cap B) \cup \{7\} \]
Résultat
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4,7\} \]
Corrigé
Là encore, nous devons calculer d'abord ce qui se trouve entre parenthèses :
\[ A \cap B \]
L'intersection contient les éléments communs à \(A\) et \(B\). Comme :
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
et
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
les éléments communs sont \(3\) et \(4\). Donc :
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Nous devons maintenant réunir cet ensemble avec \(\{7\}\) :
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4\} \cup \{7\} \]
La réunion ajoute l'élément \(7\), car il n'était pas déjà présent.
Par conséquent :
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4,7\} \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\}, \qquad B=\{2,4,6\} \]
Calculer :
\[ A \setminus B \]
Résultat
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Corrigé
Nous devons calculer la différence \(A \setminus B\). Cela signifie que nous devons conserver uniquement les éléments de \(A\) qui n'appartiennent pas à \(B\).
L'ensemble \(A\) est :
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
L'ensemble \(B\) est :
\[ B=\{2,4,6\} \]
Les éléments \(2,4,6\) appartiennent à \(A\), mais appartiennent également à \(B\). Pour cette raison, ils doivent être exclus de la différence.
Les éléments de \(A\) qui n'appartiennent pas à \(B\) sont en revanche \(1,3,5\).
Par conséquent :
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
et soient
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calculer :
\[ (A \cup B)^c \]
Résultat
\[ (A \cup B)^c=\{8,9,10\} \]
Corrigé
L'expression demande de calculer d'abord la réunion \(A \cup B\), puis le complémentaire du résultat par rapport à \(U\).
Calculons la réunion :
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\} \]
Nous devons à présent trouver le complémentaire de \(A \cup B\), c'est-à-dire tous les éléments de \(U\) qui n'appartiennent pas à la réunion.
L'ensemble univers est :
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
La réunion \(A \cup B\) contient :
\[ 1,2,3,4,5,6,7 \]
Les éléments de l'univers qui restent en dehors de la réunion sont :
\[ 8,9,10 \]
Par conséquent :
\[ (A \cup B)^c=\{8,9,10\} \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
et soient
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calculer :
\[ A^c \cap B^c \]
Résultat
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Corrigé
Nous devons calculer l'intersection des complémentaires de \(A\) et \(B\). Procédons dans l'ordre.
Le complémentaire de \(A\) est formé des éléments de \(U\) qui n'appartiennent pas à \(A\) :
\[ A^c=U \setminus A \]
Comme :
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
nous obtenons :
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
De même :
\[ B^c=U \setminus B \]
Comme :
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
nous obtenons :
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Calculons à présent l'intersection :
\[ A^c \cap B^c=\{5,6,7,8\} \cap \{1,2,7,8\} \]
Les éléments communs aux deux complémentaires sont \(7\) et \(8\). Par conséquent :
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
Soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
et soient
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
vérifier que :
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c \]
Résultat
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Corrigé
Pour vérifier l'identité, nous calculons séparément le premier membre et le second membre.
Partons du premier membre :
\[ (A \cup B)^c \]
Calculons d'abord la réunion :
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Prenons à présent le complémentaire par rapport à \(U\) :
\[ (A \cup B)^c=U \setminus (A \cup B) \]
d'où :
\[ (A \cup B)^c=\{7,8\} \]
Calculons maintenant le second membre :
\[ A^c \cap B^c \]
Le complémentaire de \(A\) est :
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
Le complémentaire de \(B\) est :
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Intersectons les deux complémentaires :
\[ A^c \cap B^c=\{5,6,7,8\} \cap \{1,2,7,8\} \]
Les éléments communs sont \(7\) et \(8\). Par conséquent :
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Les deux membres ont donné le même ensemble :
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
L'identité est vérifiée. Il s'agit de la première loi de De Morgan.
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
Soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
et soient
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
vérifier que :
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c \]
Résultat
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Corrigé
Là encore, nous comparons le premier membre et le second membre.
Calculons d'abord le premier membre :
\[ (A \cap B)^c \]
L'intersection de \(A\) et \(B\) contient les éléments communs :
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Le complémentaire de \(A \cap B\) contient tous les éléments de \(U\) différents de \(3\) et \(4\) :
\[ (A \cap B)^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Calculons maintenant le second membre :
\[ A^c \cup B^c \]
Nous avons :
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
et :
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
En faisant la réunion des deux complémentaires, nous obtenons :
\[ A^c \cup B^c=\{5,6,7,8\} \cup \{1,2,7,8\} \]
soit :
\[ A^c \cup B^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Les deux membres coïncident :
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c \]
L'identité est vérifiée. Il s'agit de la seconde loi de De Morgan.
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calculer :
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \]
Résultat
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3,6,7\} \]
Corrigé
L'expression est formée de deux différences, puis d'une réunion.
Calculons d'abord :
\[ A \setminus B \]
Cette différence contient les éléments de \(A\) qui n'appartiennent pas à \(B\). Comme \(4\) et \(5\) appartiennent aussi à \(B\), ils doivent être exclus.
Donc :
\[ A \setminus B=\{1,2,3\} \]
Calculons à présent :
\[ B \setminus A \]
Cette différence contient les éléments de \(B\) qui n'appartiennent pas à \(A\). Les éléments \(4\) et \(5\) sont également présents dans \(A\), ils sont donc exclus.
Il reste :
\[ B \setminus A=\{6,7\} \]
Effectuons enfin la réunion :
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3\} \cup \{6,7\} \]
Par conséquent :
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3,6,7\} \]
Cet ensemble contient les éléments qui appartiennent à un seul des deux ensembles, mais pas aux deux à la fois. Il s'agit de la différence symétrique.
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\}, \qquad B=\{2,4,6\}, \qquad C=\{1,2,7\} \]
Calculer :
\[ (A \cap B) \cup C \]
Résultat
\[ (A \cap B) \cup C=\{1,2,4,6,7\} \]
Corrigé
L'expression contient d'abord une intersection, puis une réunion. Commençons par la parenthèse :
\[ A \cap B \]
L'intersection contient les éléments communs à \(A\) et \(B\). Observons que :
\[ B=\{2,4,6\} \]
et tous ces éléments appartiennent également à \(A\), car :
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Donc :
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Nous devons maintenant réunir ce résultat avec \(C\) :
\[ (A \cap B) \cup C=\{2,4,6\} \cup \{1,2,7\} \]
Dans la réunion, nous écrivons tous les éléments sans répétition. L'élément \(2\) figure dans les deux ensembles, il s'écrit donc une seule fois.
Nous obtenons :
\[ (A \cap B) \cup C=\{1,2,4,6,7\} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★★
Soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]
et soient
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
calculer :
\[ (A \cap B)^c \cap A \]
Résultat
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3\} \]
Corrigé
Nous devons calculer une expression composée. Procédons en respectant l'ordre des opérations.
Calculons d'abord :
\[ A \cap B \]
Les éléments communs à \(A\) et \(B\) sont \(4\) et \(5\). Donc :
\[ A \cap B=\{4,5\} \]
Calculons maintenant le complémentaire de cet ensemble par rapport à \(U\) :
\[ (A \cap B)^c=U \setminus \{4,5\} \]
Comme :
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]
en retirant \(4\) et \(5\), nous obtenons :
\[ (A \cap B)^c=\{1,2,3,6,7,8,9\} \]
Il reste enfin à intersecter cet ensemble avec \(A\) :
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3,6,7,8,9\} \cap \{1,2,3,4,5\} \]
Les éléments communs sont \(1,2,3\).
Par conséquent :
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3\} \]
Observons que le résultat coïncide avec les éléments de \(A\) qui n'appartiennent pas aussi à \(B\).
Exercice 18 — niveau ★★★★★
Soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
et soient
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{3,4,5,6,7\} \]
Calculer :
\[ (A^c \cup B^c)^c \]
Résultat
\[ (A^c \cup B^c)^c=\{3,4,5\} \]
Corrigé
L'expression contient des complémentaires, une réunion, puis encore un complémentaire. Procédons dans l'ordre.
Calculons d'abord le complémentaire de \(A\) :
\[ A^c=U \setminus A \]
Comme :
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
nous obtenons :
\[ A^c=\{6,7,8,9,10\} \]
Calculons maintenant le complémentaire de \(B\) :
\[ B^c=U \setminus B \]
Comme :
\[ B=\{3,4,5,6,7\} \]
nous obtenons :
\[ B^c=\{1,2,8,9,10\} \]
Calculons à présent la réunion des deux complémentaires :
\[ A^c \cup B^c=\{6,7,8,9,10\} \cup \{1,2,8,9,10\} \]
soit :
\[ A^c \cup B^c=\{1,2,6,7,8,9,10\} \]
Calculons enfin le complémentaire de cet ensemble :
\[ (A^c \cup B^c)^c=U \setminus \{1,2,6,7,8,9,10\} \]
Les éléments de \(U\) qui ne figurent pas dans \(\{1,2,6,7,8,9,10\}\) sont :
\[ 3,4,5 \]
Par conséquent :
\[ (A^c \cup B^c)^c=\{3,4,5\} \]
Le résultat coïncide avec \(A \cap B\), comme le prévoit la loi de De Morgan.
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}, \qquad C=\{4,6,8\} \]
Calculer :
\[ (A \cup B) \cap C \]
Résultat
\[ (A \cup B) \cap C=\{4,6\} \]
Corrigé
L'expression demande d'abord le calcul de la réunion de \(A\) et \(B\), puis de l'intersection avec \(C\).
Calculons la réunion :
\[ A \cup B=\{1,2,3,4\} \cup \{3,4,5,6\} \]
Dans la réunion, nous incluons tous les éléments présents dans au moins un des deux ensembles, sans répétition :
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Nous devons maintenant calculer :
\[ (A \cup B) \cap C \]
c'est-à-dire :
\[ \{1,2,3,4,5,6\} \cap \{4,6,8\} \]
L'intersection contient uniquement les éléments communs aux deux ensembles. Les éléments communs sont \(4\) et \(6\).
L'élément \(8\) appartient à \(C\), mais n'appartient pas à \(A \cup B\), il n'est donc pas inclus.
Par conséquent :
\[ (A \cup B) \cap C=\{4,6\} \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles quelconques. Démontrer la loi d'absorption :
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Résultat
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Corrigé
Nous voulons démontrer que :
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Considérons l'ensemble :
\[ A \cap B \]
Par définition, \(A \cap B\) contient les éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\).
En particulier, tout élément de \(A \cap B\) appartient nécessairement à \(A\). Donc \(A \cap B\) est inclus dans \(A\) :
\[ A \cap B \subseteq A \]
Observons à présent la réunion :
\[ A \cup (A \cap B) \]
Nous réunissons \(A\) avec un ensemble qui est déjà inclus dans \(A\). Ajouter à \(A\) des éléments qui s'y trouvent déjà ne modifie pas l'ensemble.
Par conséquent :
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Cette propriété est appelée loi d'absorption.