Exercices corrigés sur les opérations sur les ensembles : un recueil progressif de 20 exercices pour apprendre à calculer correctement réunion, intersection, différence et complémentaire. Chaque exercice est résolu pas à pas, avec des explications conçues pour clarifier la signification logique de chaque opération.
Rappelons les définitions fondamentales :
\[ A \cup B=\{x \mid x \in A \ \text{ou} \ x \in B\} \]
\[ A \cap B=\{x \mid x \in A \ \text{et} \ x \in B\} \]
\[ A \setminus B=\{x \mid x \in A \ \text{et} \ x \notin B\} \]
\[ A^c=U \setminus A \]
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3\}, \qquad B=\{3,4,5\} \]
Calculer :
\[ A \cup B \]
Résultat
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5\} \]
Corrigé
L'opération demandée est la réunion. La réunion \(A \cup B\) contient tous les éléments qui appartiennent à au moins un des deux ensembles.
Partons des éléments de \(A\) :
\[ A=\{1,2,3\} \]
Ajoutons ensuite les éléments de \(B\) :
\[ B=\{3,4,5\} \]
L'élément \(3\) figure à la fois dans \(A\) et dans \(B\), mais dans les ensembles les éléments ne se répètent pas. C'est pourquoi nous l'écrivons une seule fois.
Par conséquent :
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5\} \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calculer :
\[ A \cap B \]
Résultat
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Corrigé
L'opération demandée est l'intersection. L'intersection \(A \cap B\) contient uniquement les éléments qui appartiennent simultanément à \(A\) et à \(B\).
Observons les éléments de \(A\) :
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
et les éléments de \(B\) :
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
Les éléments \(1\) et \(2\) appartiennent uniquement à \(A\), ils ne font donc pas partie de l'intersection. Les éléments \(5\) et \(6\) appartiennent uniquement à \(B\), ils ne font donc pas partie de l'intersection.
Les seuls éléments présents dans les deux ensembles sont \(3\) et \(4\). Par conséquent :
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{2,4,6\} \]
Calculer :
\[ A \setminus B \]
Résultat
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Corrigé
L'opération demandée est la différence ensembliste. La différence \(A \setminus B\) contient les éléments qui appartiennent à \(A\), mais n'appartiennent pas à \(B\).
Partons donc de \(A\) :
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
Nous devons éliminer de \(A\) tous les éléments qui se trouvent également dans \(B\). Comme :
\[ B=\{2,4,6\} \]
les éléments de \(A\) qui figurent aussi dans \(B\) sont \(2\) et \(4\).
En retirant \(2\) et \(4\) de \(A\), il reste :
\[ 1,3,5 \]
Par conséquent :
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{a,b,c,d\}, \qquad B=\{b,d,e\} \]
Calculer :
\[ B \setminus A \]
Résultat
\[ B \setminus A=\{e\} \]
Corrigé
La différence \(B \setminus A\) contient les éléments qui appartiennent à \(B\), mais n'appartiennent pas à \(A\).
Cette fois, l'ensemble de départ est \(B\), et non \(A\). En effet :
\[ B=\{b,d,e\} \]
Nous devons retirer de \(B\) les éléments qui appartiennent également à \(A\). Comme :
\[ A=\{a,b,c,d\} \]
les éléments \(b\) et \(d\) sont présents à la fois dans \(B\) et dans \(A\), ils doivent donc être exclus.
Le seul élément de \(B\) qui n'appartient pas à \(A\) est \(e\). Par conséquent :
\[ B \setminus A=\{e\} \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
et soit
\[ A=\{2,4,6,8\} \]
Calculer :
\[ A^c \]
Résultat
\[ A^c=\{1,3,5,7\} \]
Corrigé
L'opération demandée est le complémentaire de \(A\) par rapport à l'ensemble univers \(U\).
Le complémentaire \(A^c\) contient tous les éléments de l'univers \(U\) qui n'appartiennent pas à \(A\). Symboliquement :
\[ A^c=U \setminus A \]
L'ensemble univers est :
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
L'ensemble \(A\) est :
\[ A=\{2,4,6,8\} \]
Nous devons donc retirer de \(U\) les éléments \(2,4,6,8\). Il reste les éléments impairs :
\[ 1,3,5,7 \]
Par conséquent :
\[ A^c=\{1,3,5,7\} \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x \le 6\} \]
et
\[ B=\{2,4,6,8\} \]
Calculer :
\[ A \cap B \]
Résultat
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Corrigé
Avant d'effectuer l'opération, il convient d'écrire explicitement l'ensemble \(A\), qui est défini en compréhension.
L'écriture
\[ A=\{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x \le 6\} \]
se lit : « \(A\) est l'ensemble des entiers naturels \(x\) tels que \(x\) soit compris entre \(1\) et \(6\), bornes incluses ». En énumérant les éléments, nous obtenons :
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
L'ensemble \(B\) est, en revanche, donné en extension :
\[ B=\{2,4,6,8\} \]
Nous devons calculer l'intersection \(A \cap B\), c'est-à-dire l'ensemble des éléments qui appartiennent simultanément à \(A\) et à \(B\).
Comparons les éléments :
- \(2 \in A\) et \(2 \in B\) : appartient à l'intersection ;
- \(4 \in A\) et \(4 \in B\) : appartient à l'intersection ;
- \(6 \in A\) et \(6 \in B\) : appartient à l'intersection ;
- \(8 \in B\), mais \(8 \notin A\) car \(8 > 6\) : n'appartient pas à l'intersection.
Par conséquent :
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calculer :
\[ (A \cup B) \setminus A \]
Résultat
\[ (A \cup B) \setminus A=\{6,7\} \]
Corrigé
L'expression contient deux opérations. Il faut respecter les parenthèses et calculer d'abord :
\[ A \cup B \]
La réunion de \(A\) et \(B\) contient tous les éléments présents dans au moins un des deux ensembles :
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\} \]
Nous devons maintenant calculer :
\[ (A \cup B) \setminus A \]
Cela signifie que nous partons de l'ensemble \(A \cup B\) et que nous retirons tous les éléments qui appartiennent à \(A\).
Comme :
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
en éliminant \(1,2,3,4,5\) de l'ensemble \(\{1,2,3,4,5,6,7\}\), il reste :
\[ 6,7 \]
Par conséquent :
\[ (A \cup B) \setminus A=\{6,7\} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calculer :
\[ (A \cap B) \cup \{7\} \]
Résultat
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4,7\} \]
Corrigé
Là encore, nous devons calculer d'abord ce qui se trouve entre parenthèses :
\[ A \cap B \]
L'intersection contient les éléments communs à \(A\) et \(B\). Comme :
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
et
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
les éléments communs sont \(3\) et \(4\). Donc :
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Nous devons maintenant réunir cet ensemble avec \(\{7\}\) :
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4\} \cup \{7\} \]
La réunion ajoute l'élément \(7\), car il n'était pas déjà présent.
Par conséquent :
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4,7\} \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\}, \qquad B=\{2,4,6\} \]
Calculer :
\[ A \setminus B \]
Résultat
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Corrigé
Nous devons calculer la différence \(A \setminus B\). Cela signifie que nous devons conserver uniquement les éléments de \(A\) qui n'appartiennent pas à \(B\).
L'ensemble \(A\) est :
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
L'ensemble \(B\) est :
\[ B=\{2,4,6\} \]
Les éléments \(2,4,6\) appartiennent à \(A\), mais appartiennent également à \(B\). Pour cette raison, ils doivent être exclus de la différence.
Les éléments de \(A\) qui n'appartiennent pas à \(B\) sont en revanche \(1,3,5\).
Par conséquent :
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
et soient
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calculer :
\[ (A \cup B)^c \]
Résultat
\[ (A \cup B)^c=\{8,9,10\} \]
Corrigé
L'expression demande de calculer d'abord la réunion \(A \cup B\), puis le complémentaire du résultat par rapport à \(U\).
Calculons la réunion :
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\} \]
Nous devons à présent trouver le complémentaire de \(A \cup B\), c'est-à-dire tous les éléments de \(U\) qui n'appartiennent pas à la réunion.
L'ensemble univers est :
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
La réunion \(A \cup B\) contient :
\[ 1,2,3,4,5,6,7 \]
Les éléments de l'univers qui restent en dehors de la réunion sont :
\[ 8,9,10 \]
Par conséquent :
\[ (A \cup B)^c=\{8,9,10\} \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
et soient
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calculer :
\[ A^c \cap B^c \]
Résultat
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Corrigé
Nous devons calculer l'intersection des complémentaires de \(A\) et \(B\). Procédons dans l'ordre.
Le complémentaire de \(A\) est formé des éléments de \(U\) qui n'appartiennent pas à \(A\) :
\[ A^c=U \setminus A \]
Comme :
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
nous obtenons :
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
De même :
\[ B^c=U \setminus B \]
Comme :
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
nous obtenons :
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Calculons à présent l'intersection :
\[ A^c \cap B^c=\{5,6,7,8\} \cap \{1,2,7,8\} \]
Les éléments communs aux deux complémentaires sont \(7\) et \(8\). Par conséquent :
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
Soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
et soient
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
vérifier que :
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c \]
Résultat
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Corrigé
Pour vérifier l'identité, nous calculons séparément le premier membre et le second membre.
Partons du premier membre :
\[ (A \cup B)^c \]
Calculons d'abord la réunion :
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Prenons à présent le complémentaire par rapport à \(U\) :
\[ (A \cup B)^c=U \setminus (A \cup B) \]
d'où :
\[ (A \cup B)^c=\{7,8\} \]
Calculons maintenant le second membre :
\[ A^c \cap B^c \]
Le complémentaire de \(A\) est :
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
Le complémentaire de \(B\) est :
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Intersectons les deux complémentaires :
\[ A^c \cap B^c=\{5,6,7,8\} \cap \{1,2,7,8\} \]
Les éléments communs sont \(7\) et \(8\). Par conséquent :
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Les deux membres ont donné le même ensemble :
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
L'identité est vérifiée. Il s'agit de la première loi de De Morgan.
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
Soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
et soient
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
vérifier que :
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c \]
Résultat
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Corrigé
Là encore, nous comparons le premier membre et le second membre.
Calculons d'abord le premier membre :
\[ (A \cap B)^c \]
L'intersection de \(A\) et \(B\) contient les éléments communs :
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Le complémentaire de \(A \cap B\) contient tous les éléments de \(U\) différents de \(3\) et \(4\) :
\[ (A \cap B)^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Calculons maintenant le second membre :
\[ A^c \cup B^c \]
Nous avons :
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
et :
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
En faisant la réunion des deux complémentaires, nous obtenons :
\[ A^c \cup B^c=\{5,6,7,8\} \cup \{1,2,7,8\} \]
soit :
\[ A^c \cup B^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Les deux membres coïncident :
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c \]
L'identité est vérifiée. Il s'agit de la seconde loi de De Morgan.
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calculer :
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \]
Résultat
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3,6,7\} \]
Corrigé
L'expression est formée de deux différences, puis d'une réunion.
Calculons d'abord :
\[ A \setminus B \]
Cette différence contient les éléments de \(A\) qui n'appartiennent pas à \(B\). Comme \(4\) et \(5\) appartiennent aussi à \(B\), ils doivent être exclus.
Donc :
\[ A \setminus B=\{1,2,3\} \]
Calculons à présent :
\[ B \setminus A \]
Cette différence contient les éléments de \(B\) qui n'appartiennent pas à \(A\). Les éléments \(4\) et \(5\) sont également présents dans \(A\), ils sont donc exclus.
Il reste :
\[ B \setminus A=\{6,7\} \]
Effectuons enfin la réunion :
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3\} \cup \{6,7\} \]
Par conséquent :
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3,6,7\} \]
Cet ensemble contient les éléments qui appartiennent à un seul des deux ensembles, mais pas aux deux à la fois. Il s'agit de la différence symétrique.
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\}, \qquad B=\{2,4,6\}, \qquad C=\{1,2,7\} \]
Calculer :
\[ (A \cap B) \cup C \]
Résultat
\[ (A \cap B) \cup C=\{1,2,4,6,7\} \]
Corrigé
L'expression contient d'abord une intersection, puis une réunion. Commençons par la parenthèse :
\[ A \cap B \]
L'intersection contient les éléments communs à \(A\) et \(B\). Observons que :
\[ B=\{2,4,6\} \]
et tous ces éléments appartiennent également à \(A\), car :
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Donc :
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Nous devons maintenant réunir ce résultat avec \(C\) :
\[ (A \cap B) \cup C=\{2,4,6\} \cup \{1,2,7\} \]
Dans la réunion, nous écrivons tous les éléments sans répétition. L'élément \(2\) figure dans les deux ensembles, il s'écrit donc une seule fois.
Nous obtenons :
\[ (A \cap B) \cup C=\{1,2,4,6,7\} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★★
Soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]
et soient
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
calculer :
\[ (A \cap B)^c \cap A \]
Résultat
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3\} \]
Corrigé
Nous devons calculer une expression composée. Procédons en respectant l'ordre des opérations.
Calculons d'abord :
\[ A \cap B \]
Les éléments communs à \(A\) et \(B\) sont \(4\) et \(5\). Donc :
\[ A \cap B=\{4,5\} \]
Calculons maintenant le complémentaire de cet ensemble par rapport à \(U\) :
\[ (A \cap B)^c=U \setminus \{4,5\} \]
Comme :
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]
en retirant \(4\) et \(5\), nous obtenons :
\[ (A \cap B)^c=\{1,2,3,6,7,8,9\} \]
Il reste enfin à intersecter cet ensemble avec \(A\) :
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3,6,7,8,9\} \cap \{1,2,3,4,5\} \]
Les éléments communs sont \(1,2,3\).
Par conséquent :
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3\} \]
Observons que le résultat coïncide avec les éléments de \(A\) qui n'appartiennent pas aussi à \(B\).
Exercice 18 — niveau ★★★★★
Soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
et soient
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{3,4,5,6,7\} \]
Calculer :
\[ (A^c \cup B^c)^c \]
Résultat
\[ (A^c \cup B^c)^c=\{3,4,5\} \]
Corrigé
L'expression contient des complémentaires, une réunion, puis encore un complémentaire. Procédons dans l'ordre.
Calculons d'abord le complémentaire de \(A\) :
\[ A^c=U \setminus A \]
Comme :
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
nous obtenons :
\[ A^c=\{6,7,8,9,10\} \]
Calculons maintenant le complémentaire de \(B\) :
\[ B^c=U \setminus B \]
Comme :
\[ B=\{3,4,5,6,7\} \]
nous obtenons :
\[ B^c=\{1,2,8,9,10\} \]
Calculons à présent la réunion des deux complémentaires :
\[ A^c \cup B^c=\{6,7,8,9,10\} \cup \{1,2,8,9,10\} \]
soit :
\[ A^c \cup B^c=\{1,2,6,7,8,9,10\} \]
Calculons enfin le complémentaire de cet ensemble :
\[ (A^c \cup B^c)^c=U \setminus \{1,2,6,7,8,9,10\} \]
Les éléments de \(U\) qui ne figurent pas dans \(\{1,2,6,7,8,9,10\}\) sont :
\[ 3,4,5 \]
Par conséquent :
\[ (A^c \cup B^c)^c=\{3,4,5\} \]
Le résultat coïncide avec \(A \cap B\), comme le prévoit la loi de De Morgan.
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Soient les ensembles
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}, \qquad C=\{4,6,8\} \]
Calculer :
\[ (A \cup B) \cap C \]
Résultat
\[ (A \cup B) \cap C=\{4,6\} \]
Corrigé
L'expression demande d'abord le calcul de la réunion de \(A\) et \(B\), puis de l'intersection avec \(C\).
Calculons la réunion :
\[ A \cup B=\{1,2,3,4\} \cup \{3,4,5,6\} \]
Dans la réunion, nous incluons tous les éléments présents dans au moins un des deux ensembles, sans répétition :
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Nous devons maintenant calculer :
\[ (A \cup B) \cap C \]
c'est-à-dire :
\[ \{1,2,3,4,5,6\} \cap \{4,6,8\} \]
L'intersection contient uniquement les éléments communs aux deux ensembles. Les éléments communs sont \(4\) et \(6\).
L'élément \(8\) appartient à \(C\), mais n'appartient pas à \(A \cup B\), il n'est donc pas inclus.
Par conséquent :
\[ (A \cup B) \cap C=\{4,6\} \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles quelconques. Démontrer la loi d'absorption :
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Résultat
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Corrigé
Nous voulons démontrer que :
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Considérons l'ensemble :
\[ A \cap B \]
Par définition, \(A \cap B\) contient les éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\).
En particulier, tout élément de \(A \cap B\) appartient nécessairement à \(A\). Donc \(A \cap B\) est inclus dans \(A\) :
\[ A \cap B \subseteq A \]
Observons à présent la réunion :
\[ A \cup (A \cap B) \]
Nous réunissons \(A\) avec un ensemble qui est déjà inclus dans \(A\). Ajouter à \(A\) des éléments qui s'y trouvent déjà ne modifie pas l'ensemble.
Par conséquent :
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Cette propriété est appelée loi d'absorption.