Une fonction est une correspondance entre deux ensembles qui associe à chaque élément du premier ensemble (le domaine) un unique élément du second ensemble (le codomaine).
Dans cet article, nous étudierons la définition formelle de fonction, ainsi que la signification de domaine, de codomaine et d'image, et les propriétés fondamentales d'injectivité, de surjectivité, de bijectivité, de fonction réciproque et de restriction.
Sommaire
- Définition de fonction
- Domaine, codomaine et image
- Fonctions injectives
- Exercices sur les fonctions injectives
- Fonctions surjectives
- Exercices sur les fonctions surjectives
- Fonctions bijectives
- Fonction réciproque
- Exercices sur les fonctions bijectives
- Restriction d'une fonction
- Exercices sur la restriction de fonctions
Définition de fonction
Une fonction (ou application) est une règle qui associe à chaque élément d'un ensemble \(X\) un unique élément d'un ensemble \(Y\).
On écrit :
\[ f:X\to Y, \]
où \(X\) est le domaine et \(Y\) le codomaine.
Si \(x\in X\), la valeur associée à \(x\) par la fonction est notée \(f(x)\) et s'appelle l'image de \(x\).
La notation :
\[ x\mapsto f(x) \]
décrit explicitement la correspondance définie par la fonction.
La propriété fondamentale d'une fonction est l'unicité de l'image : à chaque élément du domaine doit correspondre un unique élément du codomaine.
Par exemple :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2 \]
définit bien une fonction, car à chaque nombre réel elle associe un unique nombre réel.
Domaine, codomaine et image
Étant donnée une fonction :
\[ f:X\to Y, \]
l'ensemble \(X\) est appelé domaine, tandis que \(Y\) est le codomaine. L'ensemble des valeurs effectivement atteintes par la fonction est quant à lui appelé image.
En termes symboliques :
\[ \operatorname{Im}(f)=f(X)=\{y\in Y \mid \exists x\in X:\ f(x)=y\}. \]
On a toujours :
\[ \operatorname{Im}(f)\subseteq Y, \]
c'est-à-dire que l'image est un sous-ensemble du codomaine.
Considérons :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Dans ce cas, le domaine et le codomaine coïncident tous deux avec \(\mathbb{R}\), tandis que :
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty), \]
car le carré d'un nombre réel ne peut être négatif.
Fonctions injectives
Une fonction :
\[ f:X\to Y \]
est dite injective si des éléments distincts du domaine ont des images distinctes :
\[ x_1\neq x_2 \quad \Longrightarrow \quad f(x_1)\neq f(x_2). \]
De manière équivalente :
\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
Intuitivement, une fonction injective ne confond jamais deux éléments distincts du domaine.
Considérons :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x+1. \]
Supposons :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Alors :
\[ 2x_1+1=2x_2+1 \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
La fonction est donc injective.
En revanche, la fonction :
\[ f(x)=x^2 \]
n'est pas injective, car :
\[ f(1)=f(-1)=1 \]
bien que :
\[ 1\neq -1. \]
Du point de vue graphique, une fonction est injective si toute droite horizontale coupe son graphe en au plus un point. Ce critère est connu sous le nom de test de la droite horizontale.
Exercices sur les fonctions injectives
Exercice 1. Déterminer si :
\[ f(x)=2x+3 \]
est injective sur \(\mathbb{R}\).
Solution. Supposons :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
On obtient :
\[ 2x_1+3=2x_2+3 \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
La fonction est donc injective.
Exercice 2. Déterminer si :
\[ f(x)=x^2 \]
est injective sur \(\mathbb{R}\).
Solution. On a :
\[ f(2)=4 \qquad \text{et} \qquad f(-2)=4, \]
bien que :
\[ 2\neq -2. \]
La fonction n'est donc pas injective.
Fonctions surjectives
Une fonction :
\[ f:X\to Y \]
est dite surjective si tout élément du codomaine est l'image d'au moins un élément du domaine :
\[ \forall y\in Y, \quad \exists x\in X \quad \text{tel que} \quad f(x)=y. \]
De manière équivalente :
\[ \operatorname{Im}(f)=Y. \]
Intuitivement, une fonction surjective « couvre » l'intégralité du codomaine.
Considérons :
\[ f(x)=2x+1. \]
Soit :
\[ y\in\mathbb{R}. \]
En résolvant :
\[ 2x+1=y, \]
on obtient :
\[ x=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{R}. \]
La fonction est donc surjective.
En revanche, la fonction :
\[ f(x)=x^2 \]
n'est pas surjective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), car :
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
Exercices sur les fonctions surjectives
Exercice 1. Déterminer si :
\[ f(x)=2x+3 \]
est surjective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
Solution. Soit :
\[ y\in\mathbb{R}. \]
En résolvant :
\[ 2x+3=y, \]
on obtient :
\[ x=\frac{y-3}{2}\in\mathbb{R}. \]
La fonction est donc surjective.
Exercice 2. Déterminer si :
\[ f(x)=x^2 \]
est surjective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
Solution. Il n'existe aucun :
\[ x\in\mathbb{R} \]
tel que :
\[ x^2=-1. \]
La fonction n'est donc pas surjective.
Fonctions bijectives
Une fonction :
\[ f:X\to Y \]
est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Dans une fonction bijective, tout élément du codomaine est l'image d'un unique élément du domaine.
Les fonctions bijectives établissent ainsi une correspondance parfaite entre le domaine et le codomaine, et sont précisément les fonctions qui admettent une fonction réciproque.
La fonction :
\[ f(x)=2x+1 \]
est bijective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), tandis que :
\[ f(x)=x^2 \]
n'est pas bijective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), car elle n'est ni injective ni surjective.
Fonction réciproque
Soit :
\[ f:X\to Y. \]
Une fonction :
\[ g:Y\to X \]
est appelée fonction réciproque de \(f\) si :
\[ g\circ f=\operatorname{Id}_X \qquad \text{et} \qquad f\circ g=\operatorname{Id}_Y. \]
Dans ce cas :
\[ g=f^{-1}. \]
De manière équivalente :
\[ f^{-1}(f(x))=x \qquad \forall x\in X, \]
et :
\[ f(f^{-1}(y))=y \qquad \forall y\in Y. \]
Une fonction admet une réciproque si et seulement si elle est bijective.
Inverse à gauche et injectivité
Soit :
\[ f:X\to Y \]
une fonction injective avec :
\[ X\neq\varnothing. \]
Il existe alors une fonction :
\[ g:Y\to X \]
telle que :
\[ g\circ f=\operatorname{Id}_X. \]
Une telle fonction est appelée inverse à gauche.
En effet, pour tout :
\[ y\in f(X), \]
il existe un unique :
\[ x\in X \]
tel que :
\[ f(x)=y. \]
Pour les éléments de :
\[ Y\setminus f(X), \]
la valeur de la fonction peut être choisie arbitrairement.
Inverse à droite et surjectivité
Soit :
\[ f:X\to Y \]
une fonction surjective.
Une fonction :
\[ h:Y\to X \]
telle que :
\[ f\circ h=\operatorname{Id}_Y \]
est appelée inverse à droite.
Pour construire une telle fonction, il faut choisir, pour tout :
\[ y\in Y, \]
un élément :
\[ x\in X \]
tel que :
\[ f(x)=y. \]
En général, l'existence d'une telle fonction de choix pour des familles arbitraires est liée à l'axiome du choix.
Cas bijectif
Si une fonction est bijective, il existe une unique inverse à gauche et une unique inverse à droite.
De plus, elles coïncident et définissent la fonction réciproque :
\[ f^{-1}:Y\to X. \]
Considérons :
\[ f(x)=2x+1. \]
En résolvant :
\[ y=2x+1 \]
par rapport à \(x\), on obtient :
\[ x=\frac{y-1}{2}. \]
La fonction réciproque est donc :
\[ f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}. \]
Exercices sur les fonctions bijectives
Exercice 1. Déterminer si :
\[ f(x)=3x-4 \]
est bijective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
Solution. La fonction est injective et surjective, donc bijective.
En résolvant :
\[ y=3x-4, \]
on obtient :
\[ f^{-1}(y)=\frac{y+4}{3}. \]
Exercice 2. Vérifier si :
\[ f(x)=x^2 \]
est bijective de :
\[ [0,+\infty) \]
dans :
\[ [0,+\infty). \]
Solution. Sur cet intervalle, la fonction est injective et tout nombre réel non négatif admet une racine carrée réelle positive ou nulle. La fonction est donc bijective.
La fonction réciproque est :
\[ f^{-1}(y)=\sqrt{y}. \]
Restriction d'une fonction
La restriction d'une fonction consiste à limiter son domaine à un sous-ensemble.
Ce procédé est souvent utile pour rendre une fonction injective ou bijective.
Par exemple :
\[ f(x)=x^2 \]
n'est pas injective sur \(\mathbb{R}\), mais la restriction :
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2 \]
est bijective.
Lorsque l'on restreint également le codomaine afin d'obtenir une fonction surjective, on parle plus précisément de corestriction.
Exercices sur la restriction de fonctions
Exercice 1. Restreindre le domaine de :
\[ f(x)=x^2 \]
de façon à rendre la fonction bijective.
Solution. Considérons la restriction :
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Sur ce domaine, la fonction est injective et surjective, donc bijective.
La fonction réciproque est :
\[ f^{-1}(y)=\sqrt{y}. \]