Le théorème de Cauchy est un résultat fondamental qui étend le théorème de Lagrange en introduisant une relation entre deux fonctions.
Sommaire
Théorème de Cauchy
Soient \(f, g : [a,b] \to \mathbb{R}\) des fonctions continues sur \([a,b]\) et dérivables sur \((a,b)\), avec \(g' \neq 0\) sur \((a,b)\). Alors il existe \(\xi \in (a,b)\) tel que :
\[\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\]
On observe que \(g(b) - g(a) \neq 0\) en vertu de l'hypothèse \(g' \neq 0\).
Démonstration. Considérons la fonction auxiliaire :
\[h(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)]\]
Cette fonction satisfait :
- \(h\) est continue sur \([a,b]\) (en tant que combinaison de fonctions continues)
- \(h\) est dérivable sur \((a,b)\) (en tant que \(f\) et \(g\) sont dérivables)
Évaluons \(h\) aux extrémités :
Pour \(x = a\) :
\begin{align} h(a) &= f(a)[g(b) - g(a)] - g(a)[f(b) - f(a)] \\ &= f(a)g(b) - f(a)g(a) - g(a)f(b) + g(a)f(a) \\ &= f(a)g(b) - g(a)f(b)\end{align}
Pour \(x = b\) :
\begin{align} h(b) &= f(b)[g(b) - g(a)] - g(b)[f(b) - f(a)] \\ &= f(b)g(b) - f(b)g(a) - g(b)f(b) + g(b)f(a) \\ &= f(a)g(b) - g(a)f(b)\end{align}
Par conséquent, \(h(a) = h(b)\). D'après le théorème de Rolle, il existe \(\xi \in (a,b)\) tel que \(h'(\xi) = 0\).
Calculons \(h'(x)\) :
\[h'(x) = f'(x)[g(b) - g(a)] - g'(x)[f(b) - f(a)]\]
Pour \(x = \xi\), nous avons que \(h'(\xi) = 0\) implique :
\[f'(\xi)[g(b) - g(a)] - g'(\xi)[f(b) - f(a)] = 0\]
\[f'(\xi)[g(b) - g(a)] = g'(\xi)[f(b) - f(a)]\]
Puisque \(g' \neq 0\) sur \((a,b)\), nous pouvons diviser les deux membres par \(g'(\xi)\) :
\[\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\]
Ceci achève la démonstration du théorème de Cauchy.