Le logarithme apparaît comme l’opération inverse de l’élévation à une puissance. Si une puissance permet de déterminer le résultat lorsque l’on connaît la base et l’exposant, le logarithme permet de déterminer l’exposant lorsque l’on connaît la base et le résultat.
Plus précisément, étant donné une base \(b>0\), avec \(b\neq 1\), et un nombre \(x>0\), le logarithme de \(x\) en base \(b\), noté \(\log_b(x)\), est l’exposant auquel il faut élever \(b\) pour obtenir \(x\). En symboles :
\[ \log_b(x)=y \iff b^y=x. \]
À partir de cette définition, nous démontrerons les principales propriétés des logarithmes, qui permettent de transformer produits, quotients et puissances en expressions plus simples. Nous établirons également les identités fondamentales reliant logarithmes et exponentielles, ainsi que la formule de changement de base.
Sommaire
- Définition du logarithme
- Identités fondamentales et valeurs remarquables
- Logarithme d’un produit
- Logarithme d’un quotient
- Logarithme d’une puissance
- Formule de changement de base
Définition du logarithme
Soient \(b\) et \(x\) deux nombres réels tels que
\[ b>0,\qquad b\neq 1,\qquad x>0. \]
Puisque la fonction exponentielle \(y\mapsto b^y\) est strictement monotone et prend toutes les valeurs réelles strictement positives, pour tout \(x>0\), il existe un unique nombre réel \(y\) tel que
\[ b^y=x. \]
Ce nombre est appelé logarithme de \(x\) en base \(b\). En symboles :
\[ \log_b(x)=y \iff b^y=x. \]
La base du logarithme doit être strictement positive et différente de \(1\), tandis que son argument doit être strictement positif.
La condition \(b>0\) garantit que la puissance \(b^y\) est définie pour tout exposant réel \(y\). La condition \(b\neq 1\) est nécessaire car
\[ 1^y=1 \]
pour tout \(y\in\mathbb{R}\). Ainsi, lorsque \(b=1\), aucun exposant ne produit un nombre positif différent de \(1\), alors que tout exposant réel produit \(1\). Par conséquent, le logarithme ne peut pas être défini comme opération inverse.
En outre, puisque
\[ b^y>0 \]
pour tout \(y\in\mathbb{R}\), le logarithme n’est défini que pour des arguments strictement positifs.
Par exemple,
\[ \log_2(8)=3, \]
car
\[ 2^3=8. \]
De même,
\[ \log_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2, \]
car
\[ 3^{-2}=\frac{1}{9}. \]
Le logarithme peut donc prendre des valeurs positives, nulles ou négatives, tandis que son argument doit toujours être strictement positif.
Identités fondamentales et valeurs remarquables
Puisque le logarithme et l’élévation à une puissance sont des opérations inverses, les identités fondamentales suivantes sont vérifiées :
\[ b^{\log_b(x)}=x, \qquad x>0, \]
et
\[ \log_b(b^y)=y, \qquad y\in\mathbb{R}, \]
où \(b>0\) et \(b\neq 1\).
La première identité découle immédiatement de la définition du logarithme : \(\log_b(x)\) est, par définition, l’exposant auquel il faut élever \(b\) pour obtenir \(x\).
La seconde exprime la même relation dans l’autre sens : le logarithme en base \(b\) de la puissance \(b^y\) est égal à l’exposant \(y\).
De la définition, on déduit également deux valeurs remarquables :
\[ \log_b(1)=0 \]
car
\[ b^0=1, \]
et
\[ \log_b(b)=1 \]
car
\[ b^1=b. \]
Par exemple,
\[ 5^{\log_5(12)}=12 \]
et
\[ \log_2(2^{-3})=-3. \]
Logarithme d’un produit
Le logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs. Si
\[ x>0,\qquad y>0, \]
alors
\[ \log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y), \]
où \(b>0\) et \(b\neq 1\).
Démonstration. Posons
\[ u=\log_b(x) \qquad\text{et}\qquad v=\log_b(y). \]
Par définition du logarithme,
\[ x=b^u \qquad\text{et}\qquad y=b^v. \]
En multipliant ces deux égalités membre à membre, on obtient
\[ xy=b^u\cdot b^v=b^{u+v}. \]
En prenant le logarithme en base \(b\) des deux membres,
\[ \log_b(xy)=\log_b\left(b^{u+v}\right)=u+v. \]
Puisque \(u=\log_b(x)\) et \(v=\log_b(y)\), il vient
\[ \log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y). \]
Exemple. Calculons
\[ \log_2(4\cdot 8). \]
En appliquant la propriété du produit,
\[ \log_2(4\cdot 8)=\log_2(4)+\log_2(8)=2+3=5. \]
En effet,
\[ 4\cdot 8=32 \qquad\text{et}\qquad \log_2(32)=5. \]
La propriété s’étend à tout produit fini de facteurs strictement positifs. Si \(n\in\mathbb{N}\), \(n\geq 2\), et \(x_1,\ldots,x_n>0\), alors
\[ \log_b(x_1x_2\cdots x_n) = \log_b(x_1)+\log_b(x_2)+\cdots+\log_b(x_n). \]
Logarithme d’un quotient
Le logarithme d’un quotient est égal à la différence entre le logarithme du numérateur et le logarithme du dénominateur. Si
\[ x>0,\qquad y>0, \]
alors
\[ \log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y), \]
où \(b>0\) et \(b\neq 1\).
Démonstration. Posons
\[ u=\log_b(x) \qquad\text{et}\qquad v=\log_b(y). \]
Par définition du logarithme,
\[ x=b^u \qquad\text{et}\qquad y=b^v. \]
En divisant la première égalité par la seconde, on obtient
\[ \frac{x}{y}=\frac{b^u}{b^v}=b^{u-v}. \]
En prenant le logarithme en base \(b\) des deux membres,
\[ \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b\left(b^{u-v}\right) = u-v. \]
Puisque \(u=\log_b(x)\) et \(v=\log_b(y)\), il vient
\[ \log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y). \]
Exemple. Calculons
\[ \log_3\left(\frac{81}{9}\right). \]
En appliquant la propriété du quotient,
\[ \log_3\left(\frac{81}{9}\right) = \log_3(81)-\log_3(9) = 4-2 = 2. \]
En effet,
\[ \frac{81}{9}=9 \qquad\text{et}\qquad \log_3(9)=2. \]
Logarithme d’une puissance
Le logarithme d’une puissance est égal au produit de l’exposant par le logarithme de la base de la puissance. Si
\[ x>0 \]
et \(\alpha\in\mathbb{R}\), alors
\[ \log_b(x^\alpha)=\alpha\log_b(x), \]
où \(b>0\) et \(b\neq 1\).
Démonstration. Posons
\[ u=\log_b(x). \]
Par définition du logarithme,
\[ x=b^u. \]
En élevant les deux membres à la puissance \(\alpha\), on obtient
\[ x^\alpha=(b^u)^\alpha=b^{\alpha u}. \]
En prenant le logarithme en base \(b\) des deux membres,
\[ \log_b(x^\alpha) = \log_b\left(b^{\alpha u}\right) = \alpha u. \]
Puisque \(u=\log_b(x)\), il vient
\[ \log_b(x^\alpha)=\alpha\log_b(x). \]
Exemple. Calculons
\[ \log_2(8^4). \]
En appliquant la propriété de la puissance,
\[ \log_2(8^4)=4\log_2(8)=4\cdot 3=12. \]
En effet,
\[ 8^4=(2^3)^4=2^{12}, \]
et donc
\[ \log_2(8^4)=12. \]
Un cas particulier important s’obtient en posant \(\alpha=-1\) :
\[ \log_b\left(\frac{1}{x}\right) = \log_b(x^{-1}) = -\log_b(x), \qquad x>0. \]
De même, en posant \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{n}\), avec \(n\in\mathbb{N}\) et \(n\geq 2\), on obtient
\[ \log_b\left(\sqrt[n]{x}\right) = \frac{1}{n}\log_b(x), \qquad x>0. \]
Formule de changement de base
La formule de changement de base permet d’exprimer un logarithme dans une base donnée au moyen de logarithmes calculés dans une autre base. Si
\[ x>0,\qquad b>0,\qquad b\neq 1,\qquad c>0,\qquad c\neq 1, \]
alors
\[ \log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}. \]
Démonstration. Posons
\[ y=\log_b(x). \]
Par définition du logarithme,
\[ b^y=x. \]
En prenant le logarithme en base \(c\) des deux membres, on obtient
\[ \log_c(b^y)=\log_c(x). \]
D’après la propriété de la puissance,
\[ y\log_c(b)=\log_c(x). \]
Puisque \(b\neq 1\), on a \(\log_c(b)\neq 0\). On peut donc diviser les deux membres par \(\log_c(b)\) :
\[ y=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}. \]
Puisque \(y=\log_b(x)\), il vient
\[ \log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}. \]
Logarithme décimal et logarithme naturel
Deux bases sont particulièrement importantes : \(10\) et \(e\). Le logarithme en base \(10\) est appelé logarithme décimal et, en mathématiques élémentaires, se note souvent
\[ \log(x)=\log_{10}(x), \]
tandis que le logarithme en base \(e\) est appelé logarithme naturel ou logarithme népérien et se note
\[ \ln(x)=\log_e(x). \]
La formule de changement de base permet donc d’écrire
\[ \log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)} \]
ou encore
\[ \log_b(x)=\frac{\log(x)}{\log(b)}. \]
Exemple. Exprimons \(\log_2(40)\) au moyen du logarithme naturel :
\[ \log_2(40)=\frac{\ln(40)}{\ln(2)}. \]
À la calculatrice, on obtient
\[ \log_2(40)\approx 5{,}322. \]
Cette valeur est bien comprise entre \(5\) et \(6\), comme on pouvait s’y attendre d’après l’inégalité
\[ 2^5=32<40<64=2^6. \]