Une fonction est discontinue en un point lorsque, en ce point, l'une des conditions requises pour la continuité cesse d'être vérifiée. D'un point de vue intuitif, le graphe peut présenter une interruption, un saut, une croissance non bornée, ou encore un comportement oscillatoire empêchant la fonction de s'approcher d'une valeur unique.
La notion de discontinuité ne doit cependant pas être interprétée uniquement de manière graphique. Sa classification dépend précisément du comportement de la limite de la fonction et, lorsque le domaine permet de s'approcher du point des deux côtés, de la comparaison entre la limite à gauche et la limite à droite.
Sur cette page, nous étudierons rigoureusement les principaux types de discontinuité, en précisant le rôle de la valeur \(f(x_0)\), du domaine et des limites à droite et à gauche. Nous verrons également pourquoi certaines discontinuités peuvent être éliminées en modifiant la valeur de la fonction en un seul point, tandis que d'autres dépendent du comportement de la fonction dans tout voisinage du point considéré.
Sommaire
- Continuité et discontinuité en un point
- Le rôle fondamental de la limite
- Limite à droite et limite à gauche
- Discontinuité éliminable
- Discontinuité de saut
- Discontinuité infinie
- Discontinuité essentielle et comportement oscillatoire
- Classification traditionnelle des discontinuités
- Le rôle du domaine de la fonction
- Discontinuité et extrémités du domaine
- Interprétation graphique
- Exemples de classification
- Procédure pour étudier une discontinuité
- Erreurs fréquentes
- Tableau récapitulatif
Continuité et discontinuité en un point
Soit \(A\subseteq\mathbb{R}\), soit \(f:A\to\mathbb{R}\) une fonction réelle et soit \(x_0\in A\). Si \(x_0\) est un point d'accumulation du domaine \(A\), la fonction \(f\) est continue en \(x_0\) lorsque
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Cette égalité renferme deux conditions fondamentales : la limite doit exister et être finie, et sa valeur doit coïncider avec la valeur prise par la fonction au point considéré.
Si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]
la continuité exige donc que
\[ L=f(x_0). \]
Si l'une de ces conditions n'est pas vérifiée, la fonction n'est pas continue en \(x_0\).
Si \(x_0\) est, en revanche, un point isolé du domaine, la fonction est automatiquement continue en \(x_0\). C'est pourquoi, dans l'étude des discontinuités, l'attention se porte surtout sur les points d'accumulation du domaine et sur les points exclus du domaine où il reste néanmoins possible d'étudier le comportement de la fonction lorsque \(x\) se rapproche du point.
Des situations très diverses peuvent alors se présenter : la limite peut exister sans coïncider avec \(f(x_0)\) ; la limite à gauche et la limite à droite peuvent être différentes ; la fonction peut croître indéfiniment ; ou encore osciller indéfiniment sans s'approcher d'aucune valeur.
La classification des discontinuités découle précisément de l'analyse de ces différents comportements.
Le rôle fondamental de la limite
Pour bien comprendre les discontinuités, il est essentiel de distinguer la valeur de la fonction au point du comportement de la fonction au voisinage du point.
La valeur
\[ f(x_0) \]
décrit ce qui se produit exactement en \(x_0\).
La limite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
décrit, en revanche, le comportement de \(f(x)\) lorsque \(x\) se rapproche de \(x_0\). La valeur que la fonction prend exactement au point n'intervient pas dans le calcul de la limite.
Exemple. Considérons
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}, \qquad x\neq1. \]
Pour \(x\neq1\), nous pouvons factoriser le numérateur :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Par conséquent,
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1, \qquad x\neq1. \]
D'où
\[ \lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}(x+1) = 2. \]
La fonction d'origine n'est cependant pas définie en \(x=1\).
Le fait que \(f(1)\) n'existe pas n'empêche donc pas la limite d'exister. La limite dépend de ce qui se produit lorsque \(x\) est arbitrairement proche de \(1\), et non de ce qui se passe exactement au point.
Cette distinction est essentielle pour comprendre les discontinuités éliminables.
Limite à droite et limite à gauche
Lorsque le domaine permet de s'approcher de \(x_0\) aussi bien par des valeurs inférieures que par des valeurs supérieures à \(x_0\), il est souvent nécessaire d'étudier séparément les deux comportements.
La limite à gauche est
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x), \]
tandis que la limite à droite est
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Lorsque les deux ont un sens par rapport au domaine, la limite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \]
existe et vaut \(L\) si, et seulement si, la limite à gauche et la limite à droite existent et coïncident :
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L. \]
Cette propriété permet de classer de nombreuses discontinuités.
Si, par exemple,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \]
avec
\[ L_1,L_2\in\mathbb{R}, \qquad L_1\neq L_2, \]
alors la limite lorsque \(x\to x_0\) n'existe pas et l'on est en présence d'une discontinuité de saut.
Discontinuité éliminable
On dit qu'il y a une discontinuité éliminable lorsqu'il existe une limite finie
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}, \]
mais que la fonction ne prend pas en \(x_0\) la valeur \(L\).
Deux situations peuvent se présenter.
Si \(x_0\) appartient au domaine, \(f(x_0)\) est défini, mais
\[ f(x_0)\neq L. \]
Si, en revanche, \(x_0\) n'appartient pas au domaine mais est un point d'accumulation du domaine, alors \(f(x_0)\) n'est pas défini. Au sens strictement formel, on ne peut pas dire que la fonction d'origine soit discontinue en un point qui n'appartient pas à son domaine. Dans l'étude des fonctions, il est néanmoins d'usage de parler également, dans ce cas, de discontinuité éliminable, ou de singularité éliminable, car la fonction peut être prolongée par continuité en attribuant à \(x_0\) la valeur \(L\).
Exemple. Considérons
\[ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}, \qquad x\neq2. \]
Pour \(x\neq2\),
\[ f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2. \]
D'où
\[ \lim_{x\to2}f(x)=4. \]
Puisque \(f(2)\) n'est pas défini, la fonction présente un point manquant en \(x=2\).
On peut remédier à cette situation en définissant
\[ g(x)= \begin{cases} f(x), & x\neq2,\\ 4, & x=2. \end{cases} \]
On obtient ainsi
\[ \lim_{x\to2}g(x)=g(2)=4, \]
de sorte que \(g\) est continue en \(x=2\).
La discontinuité est dite éliminable précisément parce qu'il suffit d'attribuer au point la valeur de la limite.
Discontinuité de saut
On a une discontinuité de saut en \(x_0\) lorsque la limite à gauche et la limite à droite existent et sont finies, mais différentes :
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \]
avec
\[ L_1\neq L_2. \]
Dans ce cas,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
n'existe pas, car la fonction s'approche de deux valeurs différentes selon que \(x\) tend vers \(x_0\) par la gauche ou par la droite.
Exemple. Considérons
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 3, & x\geq0. \end{cases} \]
La limite à gauche est
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1, \]
tandis que la limite à droite est
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=3. \]
Puisque
\[ 1\neq3, \]
la limite lorsque \(x\to0\) n'existe pas et la fonction présente une discontinuité de saut.
L'amplitude du saut est
\[ |L_2-L_1|. \]
Dans cet exemple :
\[ |3-1|=2. \]
La valeur que prend la fonction exactement en \(x=0\) ne modifie pas la nature de la discontinuité : même si l'on modifiait \(f(0)\), la limite à gauche resterait égale à \(1\) et la limite à droite resterait égale à \(3\).
Une discontinuité de saut ne peut donc pas être éliminée en modifiant la valeur de la fonction en un seul point.
Discontinuité infinie
On parle de discontinuité infinie lorsque, en considérant les côtés à partir desquels le domaine permet de s'approcher de \(x_0\), l'une au moins des deux limites latérales est égale à \(+\infty\) ou à \(-\infty\).
Par exemple, il peut se produire que
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]
ou bien que
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty. \]
Dans ces cas, la fonction ne s'approche d'aucune valeur réelle finie. Si \(x_0\) appartient au domaine, la fonction ne peut pas être continue en \(x_0\) ; si \(x_0\) n'appartient pas au domaine, il n'est pas possible d'obtenir un prolongement continu en lui attribuant une valeur réelle en ce point.
Exemple. Considérons
\[ f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}. \]
Lorsque \(x\) se rapproche de \(2\), le dénominateur reste positif et tend vers zéro. Par conséquent,
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty \]
et
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
D'où
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
La fonction présente donc une discontinuité infinie en \(x=2\).
De plus, la droite
\[ x=2 \]
est une asymptote verticale.
En général, pour que \(x=x_0\) soit une asymptote verticale, il suffit que l'une au moins des deux limites latérales soit infinie.
Par exemple, si
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]
alors \(x=x_0\) est une asymptote verticale, indépendamment de ce qui se passe à gauche du point.
Discontinuité essentielle et comportement oscillatoire
Sur cette page, on parle de discontinuité essentielle lorsqu'aucune des limites à gauche ou à droite ayant un sens par rapport au domaine n'est infinie et qu'au moins l'une d'elles n'existe ni comme limite finie ni comme limite infinie.
Un cas particulièrement important est celui où la non-existence de la limite est provoquée par des oscillations persistantes de la fonction. On parle alors de comportement oscillatoire ou de discontinuité oscillatoire.
Exemple. Considérons
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0. \]
Lorsque \(x\to0\), la quantité
\[ \frac{1}{x} \]
prend des valeurs arbitrairement grandes en valeur absolue. Par conséquent, la fonction sinus continue d'osciller entre \(-1\) et \(1\) sans se stabiliser.
Aussi petit que soit le voisinage de \(0\) considéré, la fonction continue de prendre des valeurs arbitrairement proches de \(1\), de \(-1\) et de toutes les valeurs intermédiaires.
D'où
\[ \lim_{x\to0}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \]
n'existe pas.
La non-existence de la limite ne résulte ici ni d'un saut entre deux valeurs finies, ni d'une croissance vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) : c'est l'oscillation même de la fonction qui empêche l'existence de la limite.
Aucune attribution d'une valeur à \(f(0)\) ne pourrait rendre la fonction continue, car le problème concerne le comportement de \(f(x)\) dans tout voisinage de \(0\).
Classification traditionnelle des discontinuités
Dans les manuels scolaires et les ouvrages d'Analyse mathématique, on rencontre diverses conventions pour classer les discontinuités. En particulier, on emploie parfois les expressions discontinuité de première espèce, de deuxième espèce et de troisième espèce.
Cette terminologie n'est pas totalement uniforme selon les auteurs. C'est pourquoi, dans l'étude rigoureuse d'une fonction, il est préférable de décrire directement le comportement mathématique observé.
Sur cette page, nous utilisons donc les dénominations suivantes :
- discontinuité éliminable, lorsqu'il existe une limite finie mais que la fonction ne prend pas au point la valeur de la limite ;
- discontinuité de saut, lorsque la limite à gauche et la limite à droite existent, sont finies et sont différentes ;
- discontinuité infinie, lorsque l'une au moins des deux limites latérales ayant un sens par rapport au domaine est infinie ;
- discontinuité essentielle, lorsqu'aucune des limites à gauche ou à droite ayant un sens par rapport au domaine n'est infinie et qu'au moins l'une d'elles n'existe ni comme limite finie ni comme limite infinie.
Cette classification a l'avantage de décrire directement ce qui se produit pour la fonction et ne dépend pas de la convention particulière utilisée pour numéroter les différentes espèces de discontinuité.
Le rôle du domaine de la fonction
Avant de classer une éventuelle discontinuité, il est indispensable de déterminer le domaine de la fonction.
Un point exclu du domaine n'entraîne pas automatiquement une croissance infinie de la fonction. Il est toujours nécessaire d'étudier le comportement de \(f(x)\) lorsque \(x\) se rapproche de ce point.
Considérons, par exemple,
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]
Le domaine est
\[ \mathbb{R}\setminus\{1\}, \]
mais
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2. \]
La fonction admet donc un prolongement continu en \(x=1\) en posant \(f(1)=2\).
Au sens strictement formel, la continuité d'une fonction en un point n'est définie que lorsque ce point appartient au domaine. Dans l'étude des fonctions, on parle cependant couramment de discontinuité éliminable en \(x=1\), entendant par là que la fonction présente un point manquant qui peut être complété au moyen d'un prolongement continu.
La situation est tout à fait différente pour
\[ g(x)=\frac{1}{x-1}. \]
Dans ce cas,
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty \]
et
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
La fonction présente donc une discontinuité infinie en \(x=1\).
Deux fonctions peuvent ainsi n'être toutes deux pas définies au même type de point, par exemple parce que le dénominateur s'y annule, et présenter pourtant des comportements totalement différents.
Discontinuité et extrémités du domaine
La comparaison entre la limite à gauche et la limite à droite n'est nécessaire que lorsque le domaine permet de s'approcher de \(x_0\) des deux côtés.
Si \(x_0\) est, en revanche, une extrémité du domaine, la continuité s'étudie en considérant la limite du seul côté appartenant au domaine.
Par exemple, soit
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R}. \]
La fonction est continue en l'extrémité gauche \(a\) lorsque
\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \]
tandis qu'elle est continue en l'extrémité droite \(b\) lorsque
\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
Il n'aurait pas de sens d'exiger la limite à gauche en \(a\) si la fonction n'est définie que pour \(x\geq a\), pas plus qu'il n'aurait de sens d'exiger la limite à droite en \(b\) si la fonction n'est définie que pour \(x\leq b\).
L'étude de la continuité doit donc toujours être cohérente avec la structure du domaine de la fonction.
Interprétation graphique
Les différents types de discontinuité possèdent des caractéristiques géométriques distinctes.
Discontinuité éliminable
Le graphe présente typiquement un point manquant. Lorsque le point peut être atteint à la fois par la gauche et par la droite, le graphe s'approche de la même ordonnée des deux côtés, mais la valeur de la fonction manque ou bien se situe à une ordonnée différente.
Discontinuité de saut
Les deux branches du graphe s'approchent de deux ordonnées finies différentes. La distance verticale entre ces ordonnées représente l'amplitude du saut.
Discontinuité infinie
Au moins une branche du graphe croît ou décroît indéfiniment lorsque \(x\) se rapproche de \(x_0\). Dans ce cas, la droite \(x=x_0\) est une asymptote verticale.
Discontinuité oscillatoire
Le graphe continue d'osciller sans se stabiliser autour d'une valeur unique.
L'interprétation graphique est utile pour comprendre intuitivement ce qui se produit, mais la classification mathématique doit être établie par l'étude des limites.
Exemples de classification
Exemple 1 (discontinuité éliminable). Considérons
\[ f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}. \]
La fonction n'est pas définie en \(x=3\). Pour \(x\neq3\),
\[ f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3. \]
D'où
\[ \lim_{x\to3}f(x)=6. \]
La limite existe et est finie, alors que \(f(3)\) n'est pas défini. La discontinuité est éliminable.
Exemple 2 (valeur de la fonction différente de la limite). Considérons
\[ f(x)= \begin{cases} x^2, & x\neq2,\\ 7, & x=2. \end{cases} \]
On a
\[ \lim_{x\to2}f(x)=4, \]
tandis que
\[ f(2)=7. \]
Puisque
\[ \lim_{x\to2}f(x)\neq f(2), \]
la fonction est discontinue en \(x=2\).
La discontinuité est éliminable, car il suffirait de redéfinir
\[ f(2)=4. \]
Exemple 3 (discontinuité de saut). Considérons
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ x+3, & x\geq1. \end{cases} \]
La limite à gauche est
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=2, \]
tandis que la limite à droite est
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=4. \]
Puisque
\[ 2\neq4, \]
la limite lorsque \(x\to1\) n'existe pas et la fonction présente une discontinuité de saut.
Exemple 4 (discontinuité infinie). Considérons
\[ f(x)=\frac{1}{x-1}. \]
Lorsque \(x\to1^-\), le dénominateur tend vers zéro par valeurs négatives :
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty. \]
Lorsque \(x\to1^+\), le dénominateur tend vers zéro par valeurs positives :
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
La fonction présente donc une discontinuité infinie en \(x=1\), et la droite
\[ x=1 \]
est une asymptote verticale.
Exemple 5 (discontinuité oscillatoire). Considérons
\[ f(x)=\cos\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0. \]
Lorsque \(x\to0\), l'argument \(1/x\) prend des valeurs arbitrairement grandes en valeur absolue et le cosinus continue d'osciller entre \(-1\) et \(1\).
D'où
\[ \lim_{x\to0}\cos\left(\frac{1}{x}\right) \]
n'existe pas.
La fonction présente donc une discontinuité essentielle de type oscillatoire en \(x=0\).
Procédure pour étudier une discontinuité
Pour déterminer correctement la nature d'une éventuelle discontinuité en \(x_0\), il convient de procéder de façon ordonnée.
Déterminer le domaine
Il faut tout d'abord établir si \(x_0\) appartient au domaine et vérifier de quels côtés il est possible de s'approcher du point.
Étudier la limite à gauche et la limite à droite
Lorsque les deux ont un sens par rapport au domaine, on calcule
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Si le domaine ne permet de s'approcher du point que d'un seul côté, on ne considère que la limite correspondante.
Vérifier l'existence d'une limite finie
Si la limite à gauche et la limite à droite sont toutes deux finies et coïncident,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L, \]
alors
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]
Si le domaine ne permet de s'approcher de \(x_0\) que d'un seul côté, il suffit de considérer la limite correspondante. Si cette limite existe et est finie, elle joue le même rôle dans l'étude de la continuité relativement au domaine.
Si \(x_0\) appartient au domaine, il faut comparer \(L\) à \(f(x_0)\).
Si
\[ f(x_0)=L, \]
la fonction est continue en \(x_0\).
Si, en revanche,
\[ f(x_0)\neq L, \]
la discontinuité est éliminable.
Si \(x_0\) n'appartient pas au domaine mais que la limite finie \(L\) existe, la fonction peut être prolongée par continuité en attribuant au point la valeur \(L\).
Vérifier la présence d'un saut
Si la limite à gauche et la limite à droite existent et sont finies, mais différentes, la discontinuité est de saut.
Vérifier la présence d'un comportement infini
Si l'une au moins des deux limites latérales ayant un sens par rapport au domaine vaut \(+\infty\) ou \(-\infty\), la discontinuité est infinie.
Vérifier la non-existence de la limite
Si aucune des limites à gauche ou à droite devant être considérées n'est infinie et qu'au moins l'une d'elles n'existe ni comme limite finie ni comme limite infinie, la discontinuité est essentielle.
Si la non-existence résulte d'oscillations persistantes, on parle plus précisément de discontinuité oscillatoire.
Cette procédure évite de classer une discontinuité en se fondant uniquement sur la formule de la fonction ou sur le simple fait qu'un point donné soit exclu du domaine.
Erreurs fréquentes
Confondre la limite avec la valeur de la fonction
Le fait que \(f(x_0)\) ne soit pas défini n'implique pas que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
n'existe pas.
La limite décrit le comportement de la fonction lorsque \(x\) se rapproche de \(x_0\), et non ce qui se passe exactement au point.
Considérer automatiquement comme infinie une discontinuité due à un dénominateur nul
Si le dénominateur d'une fonction rationnelle s'annule en \(x_0\), il faut vérifier si le numérateur et le dénominateur possèdent des facteurs communs.
Par exemple,
\[ \frac{x^2-1}{x-1} \]
présente une discontinuité éliminable en \(x=1\), tandis que
\[ \frac{1}{x-1} \]
présente une discontinuité infinie.
Ne regarder que \(f(x_0)\)
Connaître la valeur de la fonction au point ne suffit pas pour établir la continuité.
Il peut arriver, par exemple, que \(f(x_0)\) soit parfaitement défini alors que la limite à gauche et la limite à droite sont différentes. Dans ce cas, la fonction reste discontinue quelle que soit la valeur attribuée à \(f(x_0)\).
Ne pas distinguer la limite à droite de la limite à gauche
Aux points où change la formule de la fonction, où le dénominateur s'annule, ou encore où le comportement peut différer de part et d'autre, il est souvent indispensable d'étudier séparément
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Conclure que la limite n'existe pas lorsque les deux valeurs valent \(+\infty\)
Si
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]
et
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]
on écrit correctement
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty. \]
Il n'existe pas de limite réelle finie, mais il existe une limite infinie.
Classer comme un saut deux comportements infinis différents
Si
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]
il ne s'agit pas d'une discontinuité de saut.
Une discontinuité de saut exige en effet que la limite à gauche et la limite à droite soient toutes deux finies.
Dans ce cas, la discontinuité est infinie.
Tableau récapitulatif
La classification d'une discontinuité dépend du comportement de la fonction lorsque \(x\) se rapproche du point considéré et, ensuite, de la comparaison avec la valeur éventuellement prise par la fonction en ce point.
| Comportement en \(x_0\) | Conclusion |
|---|---|
| \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=L\) | Fonction continue |
| \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=L\in\mathbb{R}\), mais \(f(x_0)\) n'est pas défini ou \(f(x_0)\neq L\) | Discontinuité éliminable |
| \(\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1\), \(\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2\), avec \(L_1,L_2\in\mathbb{R}\) et \(L_1\neq L_2\) | Discontinuité de saut |
| L'une au moins des deux limites latérales ayant un sens par rapport au domaine vaut \(+\infty\) ou \(-\infty\) | Discontinuité infinie |
| Aucune des limites à gauche ou à droite ayant un sens par rapport au domaine n'est infinie et au moins l'une d'elles n'existe ni comme limite finie ni comme limite infinie | Discontinuité essentielle ; oscillatoire lorsque la non-existence est due à des oscillations persistantes |
L'étude des discontinuités est donc, avant tout, une étude du comportement local de la fonction.
S'il existe une limite finie, la comparaison avec \(f(x_0)\) permet d'établir si la fonction est continue ou présente une discontinuité éliminable. Si la limite à gauche et la limite à droite sont finies mais différentes, on a une discontinuité de saut. Si l'un au moins des comportements est infini, on a une discontinuité infinie. Si aucun des comportements n'est infini et qu'au moins l'une des limites qui doivent être considérées n'existe ni comme limite finie ni comme limite infinie, on a une discontinuité essentielle.
La comparaison systématique entre le domaine, la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction permet ainsi d'identifier et de classer avec rigueur le comportement de la fonction en tout point significatif du domaine ou à son voisinage.