Lorsque deux fonctions tendent toutes deux vers \(+\infty\), savoir qu'elles sont infinies ne suffit pas à décrire leur comportement. Elles peuvent en effet croître à des vitesses fort différentes : un logarithme croît plus lentement qu'une puissance, une puissance plus lentement qu'une exponentielle, et une exponentielle plus lentement que des fonctions telles que \(x^x\).
La hiérarchie des infiniment grands permet d'ordonner les fonctions selon leur vitesse de croissance. La comparaison s'effectue en étudiant la limite de leur rapport : on peut ainsi déterminer si une fonction est négligeable devant une autre, si les deux ont le même ordre de croissance ou si l'une croît plus rapidement que l'autre.
Dans cette page, nous développons, de manière rigoureuse mais accessible, les principaux critères de comparaison des infiniment grands et nous construisons les échelles asymptotiques fondamentales. Le terme « hiérarchie » ne renvoie pas ici aux différentes cardinalités des ensembles infinis, mais uniquement aux ordres de croissance des fonctions.
Sommaire
- Comment comparer deux infiniment grands
- Infiniment grands d'ordre supérieur, inférieur et de même ordre
- Infiniment grands équivalents
- La hiérarchie fondamentale des infiniment grands
- Applications et exemples de comparaison
Comment comparer deux infiniment grands
Dire que deux fonctions tendent toutes deux vers l'infini ne signifie pas qu'elles croissent à la même vitesse. Pour comparer leur comportement, il faut les considérer au sein d'un même processus de passage à la limite et déterminer comment chacune varie par rapport à l'autre.
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions telles que
\[ |f(x)|\to+\infty \qquad\text{et}\qquad |g(x)|\to+\infty \]
lorsque \(x\to x_0\), où \(x_0\) peut être un point réel ou bien \(+\infty\) ou \(-\infty\). Pour comparer leurs ordres de croissance, on étudie, lorsqu'elle existe, la limite du rapport de leurs valeurs absolues :
\[ L=\lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}. \]
Ce rapport mesure la valeur absolue de \(f(x)\) relativement à celle de \(g(x)\). S'il tend vers \(0\), \(|f(x)|\) devient négligeable devant \(|g(x)|\) ; s'il tend vers un nombre réel positif, les deux fonctions ont des valeurs absolues asymptotiquement comparables ; s'il tend vers \(+\infty\), \(|f(x)|\) domine \(|g(x)|\).
Lorsque \(f(x)\) et \(g(x)\) ont le même signe pour \(x\) suffisamment proche de \(x_0\), au sens du processus de passage à la limite considéré, on peut omettre les valeurs absolues et étudier directement
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]
Par exemple, lorsque \(x\to+\infty\),
\[ \frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}\to 0. \]
Ainsi, bien que \(x^2\) et \(x^3\) tendent toutes deux vers \(+\infty\), la fonction \(x^2\) croît plus lentement que \(x^3\).
La limite du rapport n'existe pas nécessairement. Dans ce cas, ce critère, à lui seul, ne permet pas d'attribuer immédiatement aux deux fonctions l'une des relations qui seront définies dans la section suivante.
Infiniment grands d'ordre supérieur, inférieur et de même ordre
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions infiniment grandes lorsque \(x\to x_0\). La limite du rapport de leurs valeurs absolues permet de déterminer leur ordre de croissance relatif.
Si
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=0, \]
alors \(f\) est un infiniment grand d'ordre inférieur à \(g\), tandis que \(g\) est un infiniment grand d'ordre supérieur à \(f\). On écrit
\[ f(x)=o\bigl(g(x)\bigr) \qquad\text{lorsque }x\to x_0. \]
Cette relation signifie que, bien que les deux fonctions soient infiniment grandes, \(|f(x)|\) devient négligeable devant \(|g(x)|\).
Si, en revanche,
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=L, \qquad 0<L<+\infty, \]
alors \(f\) et \(g\) sont des infiniment grands de même ordre. Le rapport de leurs valeurs absolues ne tend ni vers \(0\) ni vers \(+\infty\) : les deux fonctions ont donc des grandeurs asymptotiquement comparables.
Enfin, si
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=+\infty, \]
alors \(f\) est un infiniment grand d'ordre supérieur à \(g\). Cette situation équivaut à
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|g(x)|}{|f(x)|}=0. \]
Par exemple, lorsque \(x\to+\infty\),
\[ \frac{3x^2}{5x^2}=\frac{3}{5}. \]
Comme le rapport tend vers un nombre positif et fini, \(3x^2\) et \(5x^2\) sont des infiniment grands de même ordre. Ils ne sont toutefois pas équivalents, puisque la limite de leur rapport n'est pas égale à \(1\) : cette distinction sera précisée dans la section suivante.
Infiniment grands équivalents
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions infiniment grandes lorsque \(x\to x_0\). On dit qu'elles sont des infiniment grands équivalents si
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]
Dans ce cas, on écrit
\[ f(x)\sim g(x) \qquad\text{lorsque }x\to x_0. \]
L'équivalence signifie que le rapport des deux fonctions tend vers \(1\) : chacune d'elles fournit donc une approximation asymptotique de l'autre au premier ordre.
Deux infiniment grands équivalents sont nécessairement de même ordre, mais la réciproque n'est pas toujours vraie. Par exemple, \(3x^2\) et \(5x^2\) sont de même ordre lorsque \(x\to+\infty\), mais ne sont pas équivalents, puisque
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{5x^2}=\frac{3}{5}\neq 1. \]
Si, plus généralement,
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad L\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, \]
alors \(f\) et \(g\) sont de même ordre et l'on a
\[ f(x)\sim Lg(x). \]
Par exemple, lorsque \(x\to+\infty\),
\[ \frac{x^2+3x}{x^2}=1+\frac{3}{x}\to 1. \]
Par conséquent,
\[ x^2+3x\sim x^2. \]
L'équivalence asymptotique n'est pas une égalité : elle ne décrit que le comportement relatif des fonctions dans le processus de passage à la limite considéré. Pour cette raison, le remplacement d'une fonction par un équivalent doit être effectué avec prudence, surtout dans les sommes et les différences, où des annulations peuvent se produire.
La hiérarchie fondamentale des infiniment grands
Lorsque \(x\to+\infty\), les principales fonctions tendant vers \(+\infty\) peuvent être ordonnées selon leur vitesse de croissance. Les familles fondamentales sont les fonctions logarithmiques, les fonctions puissances et les fonctions exponentielles.
Au sein de la famille des puissances, si \(0<\alpha<\beta\), alors
\[ x^\alpha=o\bigl(x^\beta\bigr). \]
Une puissance d'exposant plus grand est donc un infiniment grand d'ordre supérieur à une puissance d'exposant plus petit.
De même, entre deux fonctions exponentielles de base supérieure à \(1\), si \(1<a<b\), on a
\[ a^x=o\bigl(b^x\bigr). \]
Pour les logarithmes, en revanche, le changement de base n'introduit qu'un facteur constant. Si \(a>1\), alors
\[ \log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}. \]
Par conséquent, tous les logarithmes de base supérieure à \(1\) sont des infiniment grands de même ordre. Pour étudier la hiérarchie, il suffit donc de fixer une base ; dans ce qui suit, nous utiliserons le logarithme naturel, noté \(\ln(x)\).
La comparaison entre familles distinctes conduit aux relations fondamentales
\[ \bigl(\ln(x)\bigr)^p=o\bigl(x^q\bigr) \qquad\text{et}\qquad x^q=o\bigl(a^x\bigr), \]
valables pour tout \(p>0\), \(q>0\) et \(a>1\). Ainsi, toute puissance positive du logarithme naturel croît plus lentement que toute puissance positive de \(x\), tandis que toute puissance positive de \(x\) croît plus lentement que toute exponentielle de base supérieure à \(1\).
La hiérarchie peut être étendue en y incluant le logarithme itéré et la fonction \(x^x\) :
\[ \ln\bigl(\ln(x)\bigr)=o\bigl(\bigl(\ln(x)\bigr)^p\bigr), \qquad \bigl(\ln(x)\bigr)^p=o\bigl(x^q\bigr), \qquad x^q=o\bigl(a^x\bigr), \qquad a^x=o\bigl(x^x\bigr). \]
Cette chaîne ne compare pas les valeurs des fonctions pour tout \(x\), mais décrit uniquement leur comportement asymptotique lorsque \(x\to+\infty\). Chaque fonction placée plus à droite domine donc asymptotiquement toutes celles qui la précèdent.
Applications et exemples de comparaison
Une fois la hiérarchie fondamentale établie, de nombreuses comparaisons peuvent être effectuées en reconnaissant les familles auxquelles appartiennent les fonctions, sans qu'il soit nécessaire de calculer chaque fois la limite par des méthodes plus longues.
Considérons, par exemple,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^4}{x^{1/3}}. \]
Toute puissance positive du logarithme naturel croît plus lentement que toute puissance positive de \(x\). Par conséquent,
\[ \bigl(\ln(x)\bigr)^4=o\bigl(x^{1/3}\bigr) \]
et donc
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^4}{x^{1/3}}=0. \]
De même, dans la limite
\[ \lim_{x\to+\infty}x^5e^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^5}{e^x}, \]
la fonction exponentielle domine la puissance. Comme
\[ x^5=o\bigl(e^x\bigr), \]
on obtient
\[ \lim_{x\to+\infty}x^5e^{-x}=0. \]
La hiérarchie permet également de comparer des fonctions appartenant à une même famille. Par exemple,
\[ \frac{2^x}{5^x}=\left(\frac{2}{5}\right)^x\to 0, \]
d'où
\[ 2^x=o\bigl(5^x\bigr) \qquad\text{lorsque }x\to+\infty. \]
Une autre application importante consiste à identifier le terme dominant d'une somme. Considérons
\[ f(x)=3e^x+7x^4-\bigl(\ln(x)\bigr)^2. \]
En divisant par \(3e^x\), on a
\[ \frac{f(x)}{3e^x}=1+\frac{7x^4}{3e^x}-\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^2}{3e^x}. \]
Comme \(x^4\) et \(\bigl(\ln(x)\bigr)^2\) sont tous deux d'ordre inférieur à \(e^x\), les deux derniers termes tendent vers \(0\). Il s'ensuit que
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{3e^x}=1, \]
et donc
\[ 3e^x+7x^4-\bigl(\ln(x)\bigr)^2\sim 3e^x. \]
L'équivalence asymptotique se conserve dans les produits et les quotients : si \(f\sim g\) et \(h\sim k\) dans le même processus de passage à la limite, alors \(fh\sim gk\) et, pourvu que \(h\) et \(k\) finissent par ne pas s'annuler, \(\displaystyle\frac{f}{h}\sim\frac{g}{k}\). Dans les sommes et les différences, en revanche, une fonction ne peut être remplacée sans précaution par un équivalent. Par exemple,
\[ x^2+x\sim x^2, \]
mais dans la différence
\[ (x^2+x)-x^2=x, \]
les termes dominants s'annulent. Remplacer \(x^2+x\) par son équivalent \(x^2\) reviendrait donc à perdre précisément le terme qui détermine le résultat.