Formes Indéterminées dans le Calcul des Limites : Théorie et Classification

Ce que sont les formes indéterminées

Dans le calcul d'une limite, on étudie souvent une expression construite à partir de plusieurs fonctions. Lorsque les limites des fonctions individuelles sont connues, les règles de l'algèbre des limites permettent, dans de nombreux cas, de déterminer directement la limite de l'expression globale. Dans certaines situations, toutefois, les limites des termes pris individuellement conduisent à une configuration symbolique qui ne contient pas suffisamment d'informations pour établir le résultat. Une telle configuration est appelée forme indéterminée.

Par exemple, soient \(f\) et \(g\) deux fonctions telles que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

et supposons que le quotient \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) soit défini aux points du domaine suffisamment proches de \(x_0\). On dit alors que la limite

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \]

se présente sous la forme indéterminée

\[ \frac{0}{0}. \]

Cette écriture ne signifie pas que le quotient soit égal à \(\displaystyle\frac{0}{0}\). En effet, le symbole \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ne représente pas un nombre et ne peut être traité comme une fraction ordinaire : il indique seulement que le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers zéro.

Le terme indéterminée exprime précisément le fait que le comportement séparé des termes ne détermine pas celui de l'expression globale. À partir d'une même forme indéterminée, la limite peut prendre une valeur réelle, être infinie, ou ne pas exister.

Une forme indéterminée n'est donc pas le résultat d'une limite, mais le signal qu'une analyse plus approfondie de l'expression et du comportement relatif de ses termes est nécessaire.

Pourquoi une forme indéterminée ne détermine pas la limite

Pour comprendre pourquoi une forme indéterminée ne permet pas d'établir la valeur d'une limite, considérons quelques quotients qui, lorsque \(x\to 0\), se présentent tous sous la forme

\[ \frac{0}{0}. \]

Le premier exemple est

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}. \]

Pour tout \(x\neq 0\), on a

\[ \frac{x}{x}=1, \]

et donc

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1. \]

Considérons à présent la limite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}. \]

Pour tout \(x\neq 0\), on peut simplifier par le facteur \(x\) et obtenir

\[ \frac{x^2}{x}=x. \]

Par conséquent,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=0. \]

La même forme indéterminée peut également conduire à une limite infinie. En effet,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^4} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2} = +\infty. \]

Enfin, considérons

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|}. \]

Pour \(x>0\), on a \(|x|=x\), tandis que pour \(x<0\), on a \(|x|=-x\). Par conséquent,

\[ \frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1, & x>0,\\ -1, & x<0. \end{cases} \]

Il en résulte que

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1. \]

Puisque la limite à droite et la limite à gauche sont différentes, la limite lorsque \(x\to 0\) n'existe pas.

Nous avons ainsi obtenu, à partir de la même forme indéterminée \(\displaystyle\frac{0}{0}\), quatre comportements différents :

\[ 1,\qquad 0,\qquad +\infty,\qquad \text{limite inexistante}. \]

La forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ne détermine donc pas la limite du quotient. Elle se contente de décrire le fait que le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers zéro, sans indiquer lequel des deux s'en approche le plus rapidement, ni quel est leur comportement relatif.

Le même principe vaut pour toutes les autres formes indéterminées : pour établir la limite, il est nécessaire d'étudier la structure de l'expression et de comparer plus précisément le comportement des termes qui la composent.

Les sept formes indéterminées

Les formes indéterminées rencontrées dans le calcul des limites sont traditionnellement au nombre de sept :

\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Ces symboles ne représentent pas des opérations entre nombres, mais décrivent le comportement limite des termes composant une expression.

Les deux premières sont des formes de quotient :

• \(\displaystyle\frac{0}{0}\), lorsque le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers zéro ;
• \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\), lorsque le numérateur et le dénominateur tendent, chacun, vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), pas nécessairement avec le même signe.

La troisième est une forme de produit :

• \(0\cdot\infty\), lorsqu'un facteur tend vers zéro et que l'autre tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\).

La quatrième est une forme de différence :

• \(\infty-\infty\), lorsque les deux termes de la différence tendent tous deux vers \(+\infty\) ou tous deux vers \(-\infty\).

Les trois dernières sont des formes exponentielles :

• \(1^\infty\), lorsque la base tend vers \(1\) et que l'exposant tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) ;
• \(0^0\), lorsque la base tend vers \(0^+\) et que l'exposant tend vers zéro ;
• \(\infty^0\), lorsque la base tend vers \(+\infty\) et que l'exposant tend vers zéro.

Dans les formes exponentielles, lorsqu'on travaille dans l'ensemble des nombres réels, on exige que la base soit positive aux points suffisamment proches du point vers lequel tend la variable. Cette condition permet d'interpréter la puissance au moyen du logarithme et d'en étudier correctement la limite.

Toute combinaison faisant intervenir zéro ou l'infini n'est pas indéterminée. Par exemple, sous des hypothèses appropriées sur les signes,

\[ \frac{a}{\infty}=0, \qquad \frac{\infty}{a}=\pm\infty, \qquad 0+\infty=\infty, \]

où \(a\) désigne un nombre réel fini et non nul. Ces écritures ont, elles aussi, une valeur purement symbolique : elles résument des propriétés des limites et ne doivent pas être interprétées comme des opérations arithmétiques effectuées avec l'infini.

La forme indéterminée \(\displaystyle\frac{0}{0}\)

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions telles que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

et supposons que le quotient \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) soit défini aux points du domaine suffisamment proches de \(x_0\), à l'exclusion éventuelle de \(x_0\) lui-même. Dans ce cas, la limite

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \]

se présente sous la forme indéterminée

\[ \frac{0}{0}. \]

Le fait que le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers zéro ne permet pas de déterminer la limite de leur rapport. Le résultat dépend du comportement relatif des deux fonctions, c'est-à-dire de la rapidité avec laquelle elles s'approchent de zéro et de l'éventuelle présence d'oscillations ou de changements de signe.

Par exemple, considérons

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. \]

Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers zéro, si bien que la limite se présente sous la forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Cependant, pour \(x\neq 1\), on peut factoriser le numérateur et simplifier :

\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]

Les fonctions \(\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}\) et \(x+1\) coïncident en tous les points du domaine suffisamment proches de \(1\), à l'exclusion éventuelle du point \(1\) lui-même. Par conséquent, elles ont la même limite lorsque \(x\to 1\), et donc

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2. \]

La forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\) peut également se présenter lorsqu'il n'est pas possible d'éliminer immédiatement un facteur commun. Considérons, par exemple,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \]

Ici encore, le numérateur et le dénominateur tendent vers zéro. En multipliant le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée \(\sqrt{1+x}+1\), on obtient, pour \(x\neq 0\),

\begin{align} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} &= \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)} {x(\sqrt{1+x}+1)} \\ &= \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}. \end{align}

Par conséquent,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{2}. \]

Ces exemples montrent que la forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ne doit pas être interprétée comme un résultat, mais comme l'indication que le quotient doit être transformé ou analysé plus soigneusement. Selon la structure des fonctions en jeu, la factorisation, la simplification, la rationalisation, les limites remarquables, les équivalents asymptotiques ou d'autres outils du calcul des limites peuvent s'avérer utiles.

La forme indéterminée \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions et soient \(L_f,L_g\in\{-\infty,+\infty\}\) tels que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L_f \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=L_g, \]

où \(x\to x_0\) peut être remplacé par \(x\to+\infty\) ou par \(x\to-\infty\). Supposons en outre que le quotient \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) soit défini aux points du domaine suffisamment proches de la situation limite considérée. La limite du quotient se présente alors sous la forme indéterminée

\[ \frac{\infty}{\infty}. \]

Cette écriture indique que le numérateur et le dénominateur tendent, chacun, vers l'un des deux infinis, pas nécessairement avec le même signe. Elle ne permet cependant pas d'établir le comportement de leur rapport : le résultat dépend de la rapidité avec laquelle les deux fonctions croissent en valeur absolue, et de leurs signes.

Considérons, par exemple, la limite

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}. \]

Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers \(+\infty\), si bien que la limite se présente sous la forme \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). Pour comparer leur comportement, divisons le numérateur et le dénominateur par \(x^2\) :

\[ \frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \frac{3-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}} {2+\displaystyle\frac{5}{x^2}}. \]

Puisque

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0, \]

nous obtenons

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \frac{3}{2}. \]

La même forme indéterminée peut également conduire à des résultats différents. Par exemple,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0, \]

alors que

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to+\infty}x = +\infty. \]

En outre,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x(2+\sin x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}(2+\sin x) \]

n'existe pas, car la fonction \(2+\sin x\) continue d'osciller entre \(1\) et \(3\) sans tendre vers une valeur unique.

La forme \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) peut donc conduire à un nombre réel fini, à zéro, à une limite infinie, ou à une limite inexistante. Là encore, la forme indéterminée ne fournit pas le résultat : elle signale la nécessité de comparer plus précisément l'ordre de croissance et le comportement relatif du numérateur et du dénominateur.

La forme indéterminée \(0\cdot\infty\)

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions et soit \(L\in\{-\infty,+\infty\}\) tel que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=L, \]

où \(x\to x_0\) peut être remplacé par une autre situation limite, et supposons que le produit \(f(x)g(x)\) soit défini aux points du domaine suffisamment proches de la situation considérée. La limite

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) \]

se présente alors sous la forme indéterminée

\[ 0\cdot\infty. \]

Cette écriture ne représente pas le produit du nombre \(0\) et de l'infini. Elle indique seulement qu'un facteur tend vers zéro, tandis que l'autre croît sans limite en valeur absolue.

Les deux facteurs exercent des effets opposés : le facteur qui tend vers zéro tend à rendre le produit petit, tandis que le facteur divergent tend à le rendre grand en valeur absolue. La limite dépend donc de leur comportement relatif.

Considérons, par exemple,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot x. \]

Le premier facteur tend vers zéro et le second tend vers \(+\infty\), si bien que la limite se présente sous la forme \(0\cdot\infty\). Cependant, pour tout \(x>0\),

\[ \frac{1}{x}\cdot x=1, \]

et donc

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot x=1. \]

La même forme peut conduire à zéro. En effet,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}\cdot x = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0. \]

Elle peut aussi conduire à une limite infinie :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot x^2 = \lim_{x\to+\infty}x = +\infty. \]

Enfin, la limite peut ne pas exister. Considérons

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot x. \]

Le premier facteur tend vers zéro, car

\[ \left|\frac{\sin x}{x}\right|\leq\frac{1}{x} \]

pour \(x>0\), tandis que le second tend vers \(+\infty\). Le produit se présente donc sous la forme \(0\cdot\infty\). Cependant, pour tout \(x>0\),

\[ \frac{\sin x}{x}\cdot x=\sin x, \]

et la limite n'existe pas, car \(\sin x\) oscille sans tendre vers une valeur unique.

Pour étudier une forme \(0\cdot\infty\), on transforme généralement le produit en un quotient ramenable à la forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ou, lorsque les conditions le permettent, à la forme \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). Le choix de la transformation la plus commode dépend de la structure des fonctions en jeu.

La forme \(0\cdot\infty\) ne détermine donc pas la limite, mais signale que le produit doit être réécrit ou analysé plus soigneusement.

La forme indéterminée \(\infty-\infty\)

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions telles que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty, \]

ou bien

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty, \]

où \(x\to x_0\) peut être remplacé par une autre situation limite. La limite de la différence

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr) \]

se présente sous la forme indéterminée

\[ \infty-\infty. \]

Cette écriture ne représente pas une soustraction entre nombres infinis. Elle indique que les deux termes de la différence divergent avec le même signe et que, par conséquent, il n'est pas possible d'établir le comportement de leur différence en ne connaissant que leurs limites séparées.

Le résultat dépend de la manière dont les deux termes divergent et, en particulier, de la différence entre leurs ordres de croissance.

Par exemple,

\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl((x+1)-x\bigr)=1. \]

Les deux termes \(x+1\) et \(x\) tendent vers \(+\infty\), mais leur différence est constamment égale à \(1\).

La même forme peut conduire à zéro :

\[ \lim_{x\to+\infty}(x-x)=0. \]

Elle peut conduire à \(+\infty\) :

\[ \lim_{x\to+\infty}(2x-x) = \lim_{x\to+\infty}x = +\infty, \]

ou à \(-\infty\) :

\[ \lim_{x\to+\infty}(x-2x) = \lim_{x\to+\infty}(-x) = -\infty. \]

La limite peut aussi ne pas exister. En effet,

\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl((x+\sin x)-x\bigr) = \lim_{x\to+\infty}\sin x \]

n'existe pas, bien que \(x+\sin x\to+\infty\) et \(x\to+\infty\).

Pour résoudre une forme \(\infty-\infty\), on cherche généralement à transformer la différence en une expression unique, de manière à mettre en évidence le comportement relatif des deux termes. Selon la structure de l'expression, il peut être utile de mettre un facteur commun en évidence, de réduire les termes au même dénominateur ou de rationaliser.

Considérons, par exemple,

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]

Puisque

\[ \sqrt{x^2+x}\to+\infty \qquad\text{et}\qquad x\to+\infty, \]

la limite se présente sous la forme \(\infty-\infty\). Multiplions et divisons par l'expression conjuguée :

\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x}+x\right)} {\sqrt{x^2+x}+x}. \]

Au numérateur, nous obtenons une différence de carrés :

\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]

Puisque \(x>0\) au voisinage de \(+\infty\), nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par \(x\) :

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]

Par conséquent,

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. \]

La forme \(\infty-\infty\) ne détermine donc pas la limite de la différence. Pour obtenir le résultat, il est nécessaire de transformer l'expression et de mettre en évidence la comparaison effective entre les termes divergents.

La forme indéterminée \(1^\infty\)

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions et soit \(L\in\{-\infty,+\infty\}\) tel que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=L, \]

où \(x\to x_0\) peut être remplacé par une autre situation limite. Puisque \(f(x)\to 1\), on a \(f(x)>0\) pour les valeurs de \(x\) suffisamment proches de la situation limite considérée ; la puissance \(f(x)^{g(x)}\) peut donc être étudiée, dans le cadre réel, au moyen du logarithme.

La limite

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)} \]

se présente alors sous la forme indéterminée

\[ 1^\infty. \]

Cette écriture ne représente pas une puissance de base \(1\) et d'exposant infini. Elle indique seulement que la base tend vers \(1\), tandis que l'exposant tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\).

La forme est indéterminée car deux effets s'opposent. D'une part, une base proche de \(1\) tend à modifier peu la valeur de la puissance ; d'autre part, un exposant très grand en valeur absolue peut rendre décisif un écart même très faible entre la base et \(1\). Le résultat dépend donc du comportement conjoint de la base et de l'exposant.

Pour analyser cette forme, posons

\[ y=f(x)^{g(x)}. \]

Puisque \(f(x)>0\), on peut appliquer le logarithme népérien :

\[ \ln y=g(x)\ln f(x). \]

Comme \(f(x)\to 1\), par continuité du logarithme on a

\[ \ln f(x)\to\ln 1=0. \]

Le produit

\[ g(x)\ln f(x) \]

se présente donc sous la forme \(0\cdot\infty\). L'étude de la forme exponentielle \(1^\infty\) se ramène ainsi à l'étude de la limite du logarithme de l'expression.

En particulier, si

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)\ln f(x)=L, \]

avec \(L\in\mathbb{R}\), alors, par continuité de la fonction exponentielle,

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}=e^L. \]

Si, en revanche,

\[ g(x)\ln f(x)\to+\infty, \]

alors

\[ f(x)^{g(x)}\to+\infty; \]

si

\[ g(x)\ln f(x)\to-\infty, \]

alors

\[ f(x)^{g(x)}\to 0. \]

Considérons la limite remarquable

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e. \]

La base tend vers \(1\) et l'exposant tend vers \(+\infty\), et pourtant la limite est le nombre réel positif \(e\).

La même forme peut conduire à \(1\). En effet,

\[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{\sqrt{x}} = \left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^{\frac{1}{\sqrt{x}}} \longrightarrow e^0=1 \qquad\text{lorsque }x\to+\infty. \]

Elle peut aussi conduire à \(+\infty\) :

\[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2} = \left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^x \longrightarrow+\infty. \]

Un résultat égal à zéro s'obtient, par exemple, dans la limite

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x^2}. \]

Pour \(x>1\), la base est positive et on peut écrire

\[ \left(1-\frac{1}{x}\right)^{x^2} = \left[\left(1-\frac{1}{x}\right)^x\right]^x. \]

Puisque

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=e^{-1}, \]

et \(0<e^{-1}<1\), il en résulte que

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x^2}=0. \]

Enfin, la limite peut ne pas exister. Considérons

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x(2+\sin x)}. \]

La base tend vers \(1\), tandis que l'exposant \(x(2+\sin x)\) tend vers \(+\infty\), puisque \(2+\sin x\geq 1\). En appliquant le logarithme, on obtient

\[ \ln\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x(2+\sin x)}\right] = (2+\sin x)\,x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right). \]

Puisque

\[ x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\to 1, \]

le long de la suite \(x_n=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2\pi n\), le logarithme de l'expression tend vers \(3\), tandis que le long de la suite \(y_n=\displaystyle\frac{3\pi}{2}+2\pi n\), il tend vers \(1\). Par conséquent, l'expression tend respectivement vers \(e^3\) et vers \(e\), et la limite n'existe donc pas.

La forme \(1^\infty\) peut donc conduire à \(1\), à un nombre réel positif différent de \(1\), à zéro, à \(+\infty\), ou à une limite inexistante. Son étude requiert de considérer le produit de l'exposant et du logarithme de la base.

La forme indéterminée \(0^0\)

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions telles que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

où \(x\to x_0\) peut être remplacé par une autre situation limite. Supposons en outre que \(f(x)>0\) aux points du domaine suffisamment proches de la situation considérée. La limite

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)} \]

se présente alors sous la forme indéterminée

\[ 0^0. \]

L'écriture \(0^0\), dans ce contexte, ne représente pas la valeur prise par la puissance et ne doit pas être interprétée comme une opération entre deux nombres. Elle indique seulement que la base tend vers zéro, tandis que l'exposant tend vers zéro.

La forme est indéterminée car le comportement de la puissance dépend de la manière dont la base et l'exposant s'approchent de leurs valeurs limites respectives. Une base positive très petite tend à rendre la puissance petite lorsque l'exposant est positif, tandis qu'un exposant tendant vers zéro tend à rapprocher la puissance de \(1\). Si l'exposant prend des valeurs négatives, la puissance peut au contraire devenir arbitrairement grande.

Pour étudier cette forme, posons \(y=f(x)^{g(x)}\). Puisque \(f(x)>0\), on peut appliquer le logarithme népérien et obtenir

\[ \ln y=g(x)\ln f(x). \]

Comme \(f(x)\to 0^+\), on a \(\ln f(x)\to-\infty\) ; puisque simultanément \(g(x)\to 0\), le produit \(g(x)\ln f(x)\) se présente sous la forme indéterminée \(0\cdot\infty\).

Si \(g(x)\ln f(x)\) tend vers une valeur \(L\in\mathbb{R}\), vers \(-\infty\), ou vers \(+\infty\), alors \(f(x)^{g(x)}\) tend respectivement vers \(e^L\), vers \(0\), ou vers \(+\infty\).

Considérons d'abord la limite

\[ \lim_{x\to 0^+}x^x. \]

La base et l'exposant tendent tous deux vers zéro. En appliquant le logarithme, on obtient

\[ \ln(x^x)=x\ln x. \]

Puisque

\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln x=0, \]

il en résulte que

\[ \lim_{x\to 0^+}x^x=e^0=1. \]

La même forme peut conduire à un nombre réel positif différent de \(1\). Par exemple, pour \(0<x<1\),

\[ x^{\frac{1}{\ln x}} = e^{\frac{1}{\ln x}\ln x} = e. \]

Puisque \(x\to 0^+\) et \(\displaystyle\frac{1}{\ln x}\to 0\), la limite se présente sous la forme \(0^0\), et pourtant

\[ \lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\ln x}}=e. \]

La forme \(0^0\) peut également conduire à zéro. Considérons

\[ \lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}. \]

L'exposant tend vers zéro, et

\[ \ln\left(x^{\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}\right) = \frac{\ln x}{\sqrt{-\ln x}} = -\sqrt{-\ln x} \to-\infty. \]

Par conséquent,

\[ \lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}=0. \]

Si l'on change le signe de l'exposant, on obtient en revanche

\[ \ln\left(x^{-\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}\right) = -\frac{\ln x}{\sqrt{-\ln x}} = \sqrt{-\ln x} \to+\infty, \]

et donc

\[ \lim_{x\to 0^+}x^{-\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}=+\infty. \]

Enfin, la limite peut ne pas exister. Considérons

\[ x^{\frac{\sin(-\ln x)}{\ln x}}. \]

Lorsque \(x\to 0^+\), la base tend vers zéro et l'exposant tend vers zéro, puisque le numérateur est borné tandis que \(\ln x\to-\infty\). Cependant,

\[ x^{\frac{\sin(-\ln x)}{\ln x}} = e^{\sin(-\ln x)}. \]

Puisque \(-\ln x\to+\infty\), la fonction \(\sin(-\ln x)\) continue d'osciller et n'admet pas de limite. Par conséquent, l'expression \(e^{\sin(-\ln x)}\) n'admet pas de limite non plus.

La forme \(0^0\) peut donc conduire à \(1\), à un nombre réel positif différent de \(1\), à zéro, à \(+\infty\), ou à une limite inexistante. Le résultat est déterminé par le comportement du produit de l'exposant et du logarithme de la base.

Dans certains domaines des mathématiques, tels que la combinatoire et la théorie des séries entières, il peut être commode d'adopter la convention \(0^0=1\). Cette convention concerne des contextes spécifiques et ne modifie en rien le fait que, dans le calcul des limites, \(0^0\) soit une forme indéterminée.

La forme indéterminée \(\infty^0\)

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions telles que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

où \(x\to x_0\) peut être remplacé par une autre situation limite. Puisque \(f(x)\to+\infty\), la base est positive aux points du domaine suffisamment proches de la situation considérée. La limite

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)} \]

se présente alors sous la forme indéterminée

\[ \infty^0. \]

Cette écriture ne représente pas une puissance de base infinie et d'exposant nul. Elle indique seulement que la base croît sans limite, tandis que l'exposant tend vers zéro.

La forme est indéterminée car les deux comportements produisent des effets opposés. Une base très grande peut rendre la puissance grande, tandis qu'un exposant proche de zéro tend à rapprocher la puissance de \(1\). Si l'exposant prend des valeurs négatives, la puissance peut au contraire s'approcher de zéro.

Pour étudier cette forme, posons \(y=f(x)^{g(x)}\). Puisque \(f(x)>0\) pour les valeurs de \(x\) suffisamment proches de la situation limite considérée, on peut appliquer le logarithme népérien et obtenir

\[ \ln y=g(x)\ln f(x). \]

Comme \(f(x)\to+\infty\), on a \(\ln f(x)\to+\infty\) ; puisque simultanément \(g(x)\to 0\), le produit \(g(x)\ln f(x)\) se présente sous la forme indéterminée \(0\cdot\infty\).

Si \(g(x)\ln f(x)\) tend vers une valeur \(L\in\mathbb{R}\), vers \(-\infty\), ou vers \(+\infty\), alors \(f(x)^{g(x)}\) tend respectivement vers \(e^L\), vers \(0\), ou vers \(+\infty\).

Considérons d'abord la limite

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}. \]

La base tend vers \(+\infty\), tandis que l'exposant tend vers zéro. En appliquant le logarithme, on obtient

\[ \ln\left(x^{\frac{1}{x}}\right) = \frac{\ln x}{x}. \]

Puisque

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0, \]

il en résulte que

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}=e^0=1. \]

La même forme peut conduire à un nombre réel positif différent de \(1\). Par exemple, pour \(x>1\),

\[ x^{\frac{1}{\ln x}} = e^{\frac{1}{\ln x}\ln x} = e. \]

Puisque \(x\to+\infty\) et \(\displaystyle\frac{1}{\ln x}\to 0\), on a donc

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{\ln x}}=e. \]

La forme \(\infty^0\) peut également conduire à zéro. Considérons

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{-\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}. \]

L'exposant tend vers zéro, et

\[ \ln\left(x^{-\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}\right) = -\frac{\ln x}{\sqrt{\ln x}} = -\sqrt{\ln x} \to-\infty. \]

Par conséquent,

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{-\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}=0. \]

Si l'on change le signe de l'exposant, on obtient en revanche

\[ \ln\left(x^{\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}\right) = \sqrt{\ln x} \to+\infty, \]

et donc

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}=+\infty. \]

Enfin, la limite peut ne pas exister. Considérons, pour \(x>1\),

\[ x^{\frac{\sin(\ln\ln x)}{\ln x}}. \]

Lorsque \(x\to+\infty\), la base tend vers \(+\infty\) et l'exposant tend vers zéro, puisque le numérateur est borné tandis que \(\ln x\to+\infty\). Cependant,

\[ x^{\frac{\sin(\ln\ln x)}{\ln x}} = e^{\sin(\ln\ln x)}. \]

Puisque \(\ln\ln x\to+\infty\), la fonction \(\sin(\ln\ln x)\) continue d'osciller et n'admet pas de limite. Par conséquent, l'expression \(e^{\sin(\ln\ln x)}\) n'admet pas de limite non plus.

La forme \(\infty^0\) peut donc conduire à \(1\), à un nombre réel positif différent de \(1\), à zéro, à \(+\infty\), ou à une limite inexistante. Là encore, le résultat est déterminé par le comportement du produit de l'exposant et du logarithme de la base.

Transformation des formes indéterminées

Les formes indéterminées ne se résolvent pas au moyen de règles arithmétiques appliquées directement aux symboles \(0\) et \(\infty\). Pour en déterminer la limite, il est nécessaire de réécrire l'expression sous une forme identique à l'originale pour toutes les valeurs de la variable suffisamment proches de la situation limite considérée.

Si \(x\to x_0\), il suffit que les deux expressions coïncident aux points du domaine suffisamment proches de \(x_0\), à l'exclusion éventuelle du point \(x_0\) lui-même. Si en revanche \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), il suffit qu'elles coïncident, respectivement, pour toutes les valeurs de \(x\) suffisamment grandes ou suffisamment petites.

Les formes \(\displaystyle\frac{0}{0}\) et \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) sont déjà exprimées sous forme de quotients. Les autres formes indéterminées peuvent souvent s'y ramener au moyen de transformations appropriées.

Transformation de la forme \(0\cdot\infty\)

Si

\[ f(x)\to 0 \qquad\text{et}\qquad g(x)\to L, \qquad L\in\{-\infty,+\infty\}, \]

alors \(g(x)\neq 0\) pour les valeurs de \(x\) suffisamment proches de la situation limite considérée et

\[ \frac{1}{g(x)}\to 0. \]

On peut donc écrire

\[ f(x)g(x)=\frac{f(x)}{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}, \]

ce qui donne une forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\).

Si, de plus, \(f(x)\neq 0\) et garde un signe constant pour les valeurs de \(x\) suffisamment proches de la situation limite considérée, alors \(\displaystyle\frac{1}{f(x)}\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), et l'on peut également écrire

\[ f(x)g(x)=\frac{g(x)}{\displaystyle\frac{1}{f(x)}}, \]

ce qui donne une forme \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).

Le choix entre les deux réécritures dépend de la structure des fonctions et de la forme qui se révèle la plus simple à analyser.

Transformation de la forme \(\infty-\infty\)

Une différence se présentant sous la forme \(\infty-\infty\) doit être transformée en une expression unique, de manière à rendre visible le comportement relatif des deux termes divergents.

Si les termes sont des fractions, il est souvent utile de les réduire au même dénominateur :

\[ \frac{f(x)}{g(x)}-\frac{h(x)}{k(x)} = \frac{f(x)k(x)-h(x)g(x)}{g(x)k(x)}. \]

La forme \(\infty-\infty\) peut ainsi se transformer en une forme de quotient, généralement \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ou \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).

Lorsque des radicaux apparaissent, il peut être utile de multiplier et de diviser par l'expression conjuguée. Par exemple,

\[ \sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)} = \frac{f(x)-g(x)} {\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}}, \]

aux points où les racines sont définies et où le dénominateur est différent de zéro.

Dans d'autres cas, il peut être commode de mettre un facteur commun en évidence :

\[ f(x)-g(x) = f(x)\left(1-\frac{g(x)}{f(x)}\right), \]

à condition que \(f(x)\neq 0\) aux points considérés.

Transformation des formes exponentielles

Les formes \(1^\infty\), \(0^0\) et \(\infty^0\) s'étudient au moyen du logarithme. Si \(f(x)>0\) pour les valeurs de \(x\) suffisamment proches de la situation limite considérée, en posant

\[ y(x)=f(x)^{g(x)}, \]

on obtient

\[ \ln y(x)=g(x)\ln f(x). \]

La limite de la puissance se ramène ainsi à l'étude du produit \(g(x)\ln f(x)\). Si celui-ci tend vers une valeur \(L\in\mathbb{R}\), vers \(+\infty\), ou vers \(-\infty\), alors \(f(x)^{g(x)}\) tend respectivement vers \(e^L\), vers \(+\infty\), ou vers \(0\).

Réciproquement, si le produit \(g(x)\ln f(x)\) n'admet ni limite réelle ni limite infinie, la puissance non plus n'admet de limite : dans le cas contraire, en appliquant le logarithme à sa limite supposée positive, nulle ou infinie, on obtiendrait une limite pour \(g(x)\ln f(x)\).

Dans toute transformation, il est essentiel de vérifier les conditions de validité des opérations effectuées. Une transformation algébrique n'est utile que lorsqu'elle conserve l'expression aux points du domaine suffisamment proches de la situation limite et qu'elle conduit à une forme plus simple à analyser.

Méthodes de résolution des formes indéterminées

Il n'existe pas de procédure unique permettant de déterminer toutes les limites se présentant sous une forme indéterminée. La méthode à employer dépend de la structure de l'expression, du type de forme indéterminée et des outils mathématiques disponibles.

Avant d'effectuer toute transformation, il est nécessaire d'identifier le domaine de l'expression, de calculer séparément les limites des termes qui la composent, et de vérifier qu'une forme indéterminée se présente effectivement.

Simplification algébrique

Lorsqu'une limite se présente sous la forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\), il peut être possible de factoriser le numérateur et le dénominateur, d'identifier un facteur commun et de le simplifier.

Considérons, par exemple,

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}. \]

En utilisant la factorisation d'une différence de cubes, on obtient, pour \(x\neq 1\),

\[ \frac{x^3-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = x^2+x+1. \]

Par conséquent,

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x^2+x+1) = 3. \]

La simplification est licite car elle est effectuée pour \(x\neq 1\), c'est-à-dire aux points suffisamment proches du point vers lequel tend la variable. La valeur éventuellement prise par l'expression au point \(x=1\) n'influe pas sur la limite.

Réduction au même dénominateur et rationalisation

Les différences se présentant sous la forme \(\infty-\infty\) peuvent souvent être transformées en réduisant les termes au même dénominateur. Si des radicaux apparaissent en revanche, il peut être utile de multiplier et de diviser par l'expression conjuguée.

Ces procédés transforment la différence en une seule fraction, dans laquelle il devient possible d'étudier le comportement global du numérateur et du dénominateur.

Ici encore, il est nécessaire de vérifier que les dénominateurs introduits sont différents de zéro aux points considérés et que toutes les racines présentes sont définies.

Division par le terme de plus haut degré

Dans les quotients de polynômes, lorsque \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), le comportement est déterminé par les termes de plus haut degré. On peut donc diviser le numérateur et le dénominateur par la plus haute puissance de \(x\) présente au dénominateur ou, plus généralement, par une puissance permettant de comparer les termes dominants.

Par exemple,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-x}{2x^3+4x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{5-\displaystyle\frac{1}{x^2}} {2+\displaystyle\frac{4}{x^2}} = \frac{5}{2}. \]

Si des radicaux sont présents, il faut prêter une attention particulière à l'identité

\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]

En particulier, pour \(x\to-\infty\), on a \(|x|=-x\), et non \(|x|=x\).

Limites remarquables

De nombreuses formes indéterminées peuvent se ramener à des limites remarquables au moyen de transformations algébriques ou de changements de variable. Parmi les principales limites remarquables, on trouve

\[ \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1, \qquad \lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1, \]

\[ \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1, \qquad \lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e. \]

Pour utiliser correctement une limite remarquable, il faut ramener l'expression tout entière à sa structure, en vérifiant que la variable interne tend vers la valeur requise.

Par exemple,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3. \]

Équivalents asymptotiques

Deux fonctions \(f\) et \(g\) sont dites asymptotiquement équivalentes lorsque \(x\to x_0\) si

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1, \]

et l'on note

\[ f(x)\sim g(x) \qquad\text{lorsque }x\to x_0. \]

Les équivalents asymptotiques permettent de remplacer une fonction par une autre présentant le même comportement principal dans les produits et les quotients, à condition que les expressions en jeu soient définies et que les dénominateurs soient non nuls au voisinage considéré.

Par exemple, puisque

\[ \sin x\sim x \qquad\text{lorsque }x\to 0, \]

on a

\[ \frac{\sin x}{x}\sim\frac{x}{x}=1. \]

Les équivalents ne peuvent en revanche pas être employés indistinctement dans les sommes et les différences, car une annulation des termes principaux peut se produire.

Par exemple,

\[ x+x^2\sim x \qquad\text{et}\qquad x\sim x \]

lorsque \(x\to 0\), mais

\[ (x+x^2)-x=x^2, \]

alors que la substitution séparée des deux termes par \(x\) donnerait à tort \(x-x=0\). Lorsqu'une telle annulation se produit, il est nécessaire de conserver des termes d'ordre supérieur.

Théorèmes de comparaison

Lorsqu'une expression contient des facteurs oscillants ou n'est pas facilement simplifiable, il peut être utile de la comparer à des fonctions dont le comportement est connu.

Considérons, par exemple,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)}{x}. \]

Pour \(x\neq 0\), l'expression se réduit à

\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right). \]

Puisque

\[ \left|x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq |x|, \]

et \(|x|\to 0\), le théorème des gendarmes permet de conclure que

\[ \lim_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0. \]

Le choix de la méthode doit donc être guidé par la structure de l'expression. Une transformation efficace n'élimine pas formellement les symboles de la forme indéterminée, mais rend explicite le comportement relatif des fonctions qui la produisent.

Erreurs fréquentes

Dans le calcul des formes indéterminées, il est essentiel de distinguer les transformations mathématiquement valides des manipulations purement formelles. Les erreurs les plus courantes proviennent souvent d'une interprétation impropre des symboles \(0\) et \(\infty\), de l'application automatique d'une règle, ou de l'absence de vérification des conditions nécessaires.

Considérer la forme indéterminée comme le résultat de la limite

Écrire qu'une limite se présente sous la forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ne signifie pas en avoir déterminé la valeur. La forme indique seulement que le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers zéro.

Par exemple,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=0, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2} \]

se présentent tous sous la forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\), et pourtant produisent des comportements différents. Dans le dernier cas, de surcroît, la limite bilatérale n'existe pas : la limite à droite est \(+\infty\), tandis que la limite à gauche est \(-\infty\).

Traiter l'infini comme un nombre réel

Les symboles \(+\infty\) et \(-\infty\) ne représentent pas des nombres réels. Des écritures telles que

\[ \frac{\infty}{\infty}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty \]

ne sont pas des opérations arithmétiques effectuées avec l'infini, mais des descriptions synthétiques du comportement limite des termes.

Il n'est donc pas licite, par exemple, de simplifier formellement les infinis dans l'écriture \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) et de conclure que le résultat est \(1\).

Confondre la substitution avec le calcul de la limite

La substitution directe est un outil utile lorsque les opérations en jeu conservent la limite et ne produisent pas de configurations indéterminées. Si, en revanche, la substitution conduit à une forme indéterminée, celle-ci ne détermine pas la limite, mais signale la nécessité d'une analyse plus poussée.

En outre, la limite d'une fonction en un point ne dépend pas nécessairement de la valeur prise par la fonction en ce point. Pour cette raison, une expression peut ne pas être définie au point vers lequel tend la variable et posséder néanmoins une limite.

Simplifier un facteur sans en préciser les conditions

Dans la relation

\[ \frac{(x-x_0)h(x)}{x-x_0}=h(x), \]

la simplification n'est valide que pour \(x\neq x_0\). Cela suffit pour le calcul de la limite lorsque \(x\to x_0\), car la limite dépend des valeurs prises aux points du domaine suffisamment proches de \(x_0\), à l'exclusion éventuelle de \(x_0\) lui-même.

Il ne serait en revanche pas correct d'affirmer que les deux expressions sont égales également en \(x=x_0\), puisque le premier membre n'est pas défini en ce point.

Appliquer les équivalents asymptotiques dans des différences sans vérifier les annulations

Les équivalents asymptotiques peuvent être employés directement dans les produits et les quotients, mais ne peuvent être substitués indistinctement au sein de sommes et de différences.

Par exemple, lorsque \(x\to 0\), on a

\[ x+x^2\sim x. \]

Cependant, remplacer \(x+x^2\) par \(x\) dans la différence \((x+x^2)-x\) donnerait zéro, alors que

\[ (x+x^2)-x=x^2. \]

Lorsque les termes principaux s'annulent, il est donc nécessaire d'analyser l'expression avec davantage de précision et de conserver les termes qui déterminent effectivement son comportement.

Négliger le domaine de l'expression

Avant de calculer une limite, il est nécessaire d'établir où l'expression est définie. Cette vérification est particulièrement importante en présence de dénominateurs, de radicaux, de logarithmes et de puissances d'exposant réel.

Par exemple, dans l'étude de

\[ f(x)^{g(x)} \]

au moyen de la relation

\[ f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}, \]

il est nécessaire que \(f(x)>0\) aux points suffisamment proches de la situation limite considérée.

Oublier la valeur absolue lors de l'extraction d'une racine carrée

L'identité correcte est

\[ \sqrt{x^2}=|x|, \]

et non \(\sqrt{x^2}=x\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

Par conséquent, pour \(x\to-\infty\),

\[ \sqrt{x^2}=|x|=-x. \]

Ignorer ce fait peut modifier le signe de l'expression et conduire à un résultat erroné.

Confondre une limite infinie avec une limite inexistante

Affirmer que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]

exprime un comportement précis : les valeurs de la fonction deviennent supérieures à tout nombre réel fixé à l'avance lorsque \(x\) est suffisamment proche de \(x_0\).

Ce cas diffère de celui où la limite n'existe pas par oscillation, ou parce que les deux limites unilatérales diffèrent.

Par exemple,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty, \]

alors que

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x} \]

n'existe pas en tant que limite bilatérale, puisque

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

Négliger le signe des termes divergents

Connaître uniquement la divergence en valeur absolue ne suffit pas toujours à déterminer le signe du résultat. Dans les quotients, les produits et les différences, il est également nécessaire d'étudier le signe pris, au voisinage considéré, par les termes individuels.

Par exemple, de la seule information

\[ |f(x)|\to+\infty \]

il ne résulte pas que \(f(x)\to+\infty\) : la fonction pourrait tendre vers \(-\infty\), ou osciller en prenant des valeurs arbitrairement grandes en valeur absolue.

S'arrêter lorsqu'une transformation produit une autre forme indéterminée

Une forme indéterminée peut se transformer en une autre forme indéterminée. Cela ne signifie pas que la transformation soit inutile ou erronée : il peut s'agir d'une étape intermédiaire nécessaire.

Par exemple, une forme \(0\cdot\infty\) peut être réécrite sous la forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\), tandis qu'une forme exponentielle peut se ramener à \(0\cdot\infty\) au moyen du logarithme.

Le procédé doit se poursuivre jusqu'à ce que l'expression obtenue permette d'appliquer correctement les propriétés des limites, ou l'un des outils disponibles.

Éviter ces erreurs exige de considérer chaque forme indéterminée comme un problème de comparaison entre comportements, et non comme un calcul symbolique entre \(0\) et \(\infty\). Chaque étape doit être justifiée par le domaine, par les propriétés des fonctions en jeu, et par les hypothèses de la méthode employée.

Tableau récapitulatif

Les sept formes indéterminées peuvent être classées en formes de quotient, de produit, de différence et exponentielles. Le tableau ci-dessous résume leur signification et les transformations les plus fréquemment employées.

Pour les formes exponentielles, en supposant \(f(x)>0\) au voisinage considéré, on utilise la relation

\[ f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}, \]

ramenant ainsi la limite de la puissance à l'étude du produit \(g(x)\ln f(x)\).

La démarche générale pour étudier une limite peut être résumée dans les étapes suivantes :

1. déterminer le domaine de l'expression et préciser la situation limite considérée ;
2. calculer séparément les limites des termes composant l'expression ;
3. vérifier si les propriétés de l'algèbre des limites permettent de conclure directement, ou si une forme indéterminée apparaît ;
4. transformer l'expression au moyen d'un procédé valide dans son domaine ;
5. appliquer la méthode la plus adaptée, en vérifiant toutes ses hypothèses ;
6. vérifier le résultat, en portant attention aux signes, aux limites unilatérales et à l'éventuelle présence d'oscillations.

Une forme indéterminée ne constitue donc pas un obstacle purement formel, mais un signal que le comportement des termes individuels ne suffit pas à déterminer celui de l'expression globale. Le calcul de la limite exige de mettre en évidence leur comportement relatif au moyen de transformations et d'outils mathématiquement justifiés.