Après avoir défini la limite d'une fonction et en avoir étudié les principales propriétés, nous pouvons aborder le problème du calcul des limites de sommes, de différences, de produits, de quotients et d'autres expressions obtenues en combinant plusieurs fonctions.
Les règles qui permettent d'effectuer ces opérations ne sont pas de simples conventions de calcul, mais les conséquences de théorèmes précis. Par exemple, si deux fonctions admettent une limite finie, sous des hypothèses appropriées la limite de leur somme est égale à la somme des limites respectives, tandis que la limite de leur produit est égale au produit des limites. Pour appliquer le théorème relatif au quotient, il faut en outre que la limite du dénominateur soit non nulle.
Ces résultats permettent souvent de ramener le calcul d'une limite aux opérations usuelles sur les nombres réels. Toutefois, ce procédé ne peut pas s'appliquer sans discernement. Lorsqu'interviennent des quantités qui tendent vers zéro ou vers l'infini, certaines combinaisons conduisent à des expressions telles que \(0\cdot\infty\), \(\infty-\infty\), \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ou \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). Ces expressions ne déterminent pas à elles seules la valeur de la limite et portent le nom de formes indéterminées.
Il est en outre essentiel de rappeler que les symboles \(+\infty\) et \(-\infty\) ne représentent pas des nombres réels. Les prétendues opérations sur l'infini doivent donc être interprétées comme des règles portant sur le comportement des fonctions, et non comme des opérations arithmétiques ordinaires effectuées sur deux nouveaux nombres.
Dans cette page, nous énoncerons et démontrerons les principaux théorèmes sur les opérations sur les limites, nous préciserons soigneusement les hypothèses nécessaires à leur application et nous distinguerons les cas déterminés des formes indéterminées. Les règles ainsi obtenues seront enfin appliquées au calcul des limites de polynômes, de fonctions rationnelles et de fonctions algébriques simples.
Sommaire
- Hypothèses et signification des opérations sur les limites
- Limite de la somme et de la différence
- Limite du produit
- Limite de l'inverse et du quotient
- Limite des puissances
- Limite des racines
- Limite de la valeur absolue
- Limite d'une fonction composée
- Opérations faisant intervenir des limites infinies
- Formes déterminées et formes indéterminées
- Limites de polynômes et de fonctions rationnelles
- Exemples de synthèse et erreurs à éviter
Hypothèses et signification des opérations sur les limites
Les opérations sur les limites portent sur des fonctions obtenues en combinant, point par point, d'autres fonctions. Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions réelles définies sur un voisinage épointé de \(x_0\) — c'est-à-dire sur un voisinage de \(x_0\) privé du seul point \(x_0\) — et supposons que \(x_0\) soit un point d'accumulation de leur domaine commun, condition nécessaire pour que la limite ait un sens. Nous pouvons alors considérer, par exemple, les fonctions
\[ (f+g)(x)=f(x)+g(x), \qquad (fg)(x)=f(x)g(x). \]
De même, aux points où \(g(x)\neq 0\), nous pouvons définir
\[ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}. \]
Le problème consiste à établir si la limite de la fonction ainsi obtenue peut être déterminée à partir de la seule connaissance des limites de \(f\) et de \(g\). Supposons, dans un premier temps, que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
où \(L\) et \(M\) sont des nombres réels. Les théorèmes sur les opérations sur les limites établissent les conditions sous lesquelles il est possible d'obtenir, à partir de \(L\) et de \(M\), la limite de la somme, du produit, du quotient ou d'autres combinaisons des deux fonctions.
Il importe de comprendre que des écritures comme
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr) = \lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x) \]
ne sont pas des définitions et ne représentent pas des transformations purement formelles. Elles expriment la conclusion d'un théorème et ne sont valables que lorsque toutes ses hypothèses sont satisfaites.
Avant d'appliquer une règle, il faut en outre vérifier que la fonction obtenue au moyen de l'opération est effectivement définie pour des valeurs de \(x\) arbitrairement proches de \(x_0\), avec \(x\neq x_0\). Dans le cas d'un quotient, par exemple, il ne suffit pas que \(f\) et \(g\) soient définies : il faut ne considérer que les points où le dénominateur ne s'annule pas.
La valeur éventuellement prise par les fonctions au point \(x_0\) n'intervient pas dans le calcul. La limite dépend en effet du comportement des fonctions au voisinage du point, et non de la valeur qu'elles y prennent. Pour cette raison, les théorèmes restent valables même lorsque l'une des deux fonctions, ou les deux, ne sont pas définies en \(x_0\).
Deux limites fondamentales
Avant d'examiner les opérations entre fonctions, rappelons deux résultats élémentaires qui seront utilisés dans les sections suivantes.
Si \(c\in\mathbb{R}\), pour la fonction constante \(f(x)=c\) on a
\[ \lim_{x\to x_0}c=c. \]
En effet, pour tout \(\varepsilon>0\),
\[ |c-c|=0<\varepsilon, \]
indépendamment du choix de \(x\). La même fonction conserve sa valeur même lorsque la variable tend vers l'infini :
\[ \lim_{x\to+\infty}c=c, \qquad \lim_{x\to-\infty}c=c. \]
Pour la fonction identité \(f(x)=x\), en revanche,
\[ \lim_{x\to x_0}x=x_0. \]
Cette relation découle directement de la définition, car
\[ |f(x)-x_0|=|x-x_0|. \]
À l'infini, la fonction identité suit le comportement de la variable :
\[ \lim_{x\to+\infty}x=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}x=-\infty. \]
Ces limites, combinées aux théorèmes sur les opérations, permettront de calculer les limites des polynômes et d'autres expressions algébriques.
Les premières règles seront formulées et démontrées pour des limites finies dans le cas \(x\to x_0\). Les mêmes règles, avec les hypothèses correspondantes, valent également pour les limites à droite et à gauche ainsi que pour \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\). Les démonstrations s'obtiennent en remplaçant la condition \(0<|x-x_0|<\delta\) par la condition unilatérale correspondante, ou bien par une condition du type \(x>R\) ou \(x<-R\). Les cas où une fonction tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) requièrent en revanche une analyse distincte, car certaines opérations conservent un sens déterminé, tandis que d'autres conduisent à des formes indéterminées.
Limite de la somme et de la différence
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un voisinage épointé de \(x_0\), et supposons que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
avec \(L,M\in\mathbb{R}\). Alors la fonction \(f+g\) admet elle aussi une limite lorsque \(x\to x_0\), et l'on a
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]
Autrement dit, lorsque les deux limites sont finies, la limite de la somme est égale à la somme des limites.
Démonstration. Nous devons montrer que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(\delta>0\) tel que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr|<\varepsilon. \]
Observons tout d'abord que
\[ f(x)+g(x)-(L+M) = \bigl(f(x)-L\bigr)+\bigl(g(x)-M\bigr). \]
D'après l'inégalité triangulaire,
\[ \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr| \leq |f(x)-L|+|g(x)-M|. \]
Puisque \(f(x)\to L\), il existe \(\delta_1>0\) tel que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
De même, puisque \(g(x)\to M\), il existe \(\delta_2>0\) tel que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Posons
\[ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. \]
Si \(0<|x-x_0|<\delta\), les deux majorations précédentes sont vérifiées. Par conséquent,
\[ \begin{aligned} \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr| &\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
Par suite,
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]
Limite de la différence
La différence peut se réécrire comme une somme :
\[ f(x)-g(x)=f(x)+\bigl(-g(x)\bigr). \]
Puisque
\[ \bigl|-g(x)-(-M)\bigr|=|g(x)-M|, \]
de la définition de limite il résulte que
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(-g(x)\bigr)=-M. \]
En appliquant le théorème de la somme, nous obtenons
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=L-M. \]
Nous pouvons donc réunir les deux résultats dans la formule
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=L\pm M. \]
Somme d'un nombre fini de fonctions
Par application répétée du théorème, le résultat s'étend à un nombre fini quelconque de fonctions. Si
\[ \lim_{x\to x_0}f_k(x)=L_k \qquad \text{pour }k=1,\ldots,n, \]
alors
\[ \lim_{x\to x_0}\sum_{k=1}^{n}f_k(x) = \sum_{k=1}^{n}L_k. \]
Le théorème concerne des limites finies. Lorsque l'une des deux fonctions, ou les deux, tendent vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), le comportement de la somme ou de la différence doit être examiné à part.
Limite du produit
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un voisinage épointé de \(x_0\), et supposons que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
avec \(L,M\in\mathbb{R}\). Alors le produit \(fg\) admet lui aussi une limite lorsque \(x\to x_0\), et l'on a
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=LM. \]
Avant de démontrer le théorème, rappelons une conséquence fondamentale de l'existence d'une limite finie.
Caractère localement borné
Si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L\in\mathbb{R}, \]
alors \(f\) est bornée sur un voisinage épointé convenable de \(x_0\). En particulier, en choisissant \(\varepsilon=1\), il existe \(\delta_0>0\) tel que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<1. \]
De l'inégalité triangulaire il résulte
\[ |f(x)| \leq |f(x)-L|+|L| < |L|+1. \]
Par conséquent, suffisamment près de \(x_0\), les valeurs de \(f(x)\) ne peuvent pas devenir arbitrairement grandes en valeur absolue.
Démonstration du théorème
Considérons la différence entre le produit \(f(x)g(x)\) et la valeur attendue \(LM\). En ajoutant et en retranchant \(f(x)M\), nous obtenons
\[ \begin{aligned} f(x)g(x)-LM &=f(x)g(x)-f(x)M+f(x)M-LM\\ &=f(x)\bigl(g(x)-M\bigr)+M\bigl(f(x)-L\bigr). \end{aligned} \]
En appliquant l'inégalité triangulaire,
\[ |f(x)g(x)-LM| \leq |f(x)|\,|g(x)-M| + |M|\,|f(x)-L|. \]
Puisque \(f(x)\to L\), le caractère localement borné assure l'existence d'un nombre \(K>0\) et d'un nombre \(\delta_0>0\) tels que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|<K. \]
Par exemple, nous pouvons choisir \(K=|L|+1\).
\(\varepsilon>0\) étant fixé, puisque \(g(x)\to M\), il existe \(\delta_1>0\) tel que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2K}. \]
De plus, puisque \(f(x)\to L\), il existe \(\delta_2>0\) tel que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2(|M|+1)}. \]
Posons
\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1,\delta_2\}. \]
Si \(0<|x-x_0|<\delta\), alors
\[ \begin{aligned} |f(x)g(x)-LM| &\leq |f(x)|\,|g(x)-M|+|M|\,|f(x)-L|\\ &<K\frac{\varepsilon}{2K} +|M|\frac{\varepsilon}{2(|M|+1)}\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
Nous avons donc démontré que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=LM. \]
Produit par une constante
Si \(c\in\mathbb{R}\) est une constante et
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]
en considérant la fonction constante \(g(x)=c\), le théorème du produit donne
\[ \lim_{x\to x_0}c\,f(x)=cL. \]
Ce résultat permet de sortir du symbole de limite tout facteur constant.
Produit d'un nombre fini de fonctions
Par application répétée du théorème, si
\[ \lim_{x\to x_0}f_k(x)=L_k \qquad \text{pour }k=1,\ldots,n, \]
alors
\[ \lim_{x\to x_0}\prod_{k=1}^{n}f_k(x) = \prod_{k=1}^{n}L_k. \]
Limite de l'inverse et du quotient
Le passage à l'inverse exige une condition supplémentaire : la limite de la fonction au dénominateur doit être non nulle. Cette hypothèse garantit que la fonction ne s'annule pas sur un voisinage épointé convenable du point considéré.
Limite de l'inverse
Soit \(g\) une fonction définie sur un voisinage épointé de \(x_0\), et supposons que
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \qquad M\neq 0. \]
Alors il existe un voisinage épointé de \(x_0\) sur lequel \(g(x)\neq 0\), et l'on a
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}. \]
Le dénominateur reste éloigné de zéro
Puisque \(M\neq 0\), nous pouvons choisir
\[ \varepsilon_0=\frac{|M|}{2}. \]
De la convergence de \(g(x)\) vers \(M\), il résulte qu'il existe \(\delta_0>0\) tel que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{|M|}{2}. \]
D'après la seconde inégalité triangulaire,
\[ |g(x)| \geq |M|-|g(x)-M| > |M|-\frac{|M|}{2} = \frac{|M|}{2}. \]
Par suite, \(g(x)\neq 0\) pour tout \(x\) suffisamment proche de \(x_0\), avec \(x\neq x_0\). De plus, la valeur absolue du dénominateur est minorée par une constante strictement positive.
Démonstration. Considérons la différence
\[ \frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}. \]
En réduisant au même dénominateur, nous obtenons
\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| = \frac{|M-g(x)|}{|M|\,|g(x)|}. \]
Pour \(0<|x-x_0|<\delta_0\), on a \(|g(x)|>\displaystyle\frac{|M|}{2}\), donc
\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| < \frac{2}{|M|^2}|g(x)-M|. \]
\(\varepsilon>0\) étant fixé, puisque \(g(x)\to M\), il existe \(\delta_1>0\) tel que
\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon |M|^2}{2}. \]
En posant
\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1\}, \]
pour \(0<|x-x_0|<\delta\) il en résulte que
\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| < \frac{2}{|M|^2}\cdot\frac{\varepsilon |M|^2}{2} = \varepsilon. \]
Nous avons donc démontré que
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}. \]
Limite du quotient
Soient maintenant \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un voisinage épointé de \(x_0\), et supposons que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
avec \(L,M\in\mathbb{R}\) et \(M\neq 0\). Puisque
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x)\frac{1}{g(x)}, \]
en appliquant le théorème du produit et celui de l'inverse, nous obtenons
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}. \]
La condition \(M\neq 0\) n'est pas un détail technique. Si le dénominateur tend vers zéro, le théorème du quotient ne peut pas s'appliquer, et les limites de \(f\) et de \(g\) ne suffisent pas, en général, à déterminer le résultat. En particulier, lorsque le numérateur tend lui aussi vers zéro, on obtient la forme indéterminée \(\displaystyle\frac{0}{0}\), qui sera étudiée dans la section qui lui est consacrée.
Limite des puissances
Le théorème du produit permet de déterminer la limite des puissances entières d'une fonction. Soit \(f\) définie sur un voisinage épointé de \(x_0\), et supposons que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]
Exposant entier positif
Si \(n\in\mathbb{N}\) et \(n\geq 1\), alors
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]
En effet, la puissance \(\bigl(f(x)\bigr)^n\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(f(x)\) :
\[ \bigl(f(x)\bigr)^n = \underbrace{f(x)\cdot f(x)\cdots f(x)}_{n\text{ facteurs}}. \]
En appliquant le théorème du produit de façon répétée, nous obtenons
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n = \underbrace{L\cdot L\cdots L}_{n\text{ facteurs}} = L^n. \]
Exposant nul
Aux points où \(f(x)\neq 0\), on a
\[ \bigl(f(x)\bigr)^0=1. \]
Si \(L\neq 0\), la fonction \(f\) reste non nulle sur un voisinage épointé convenable de \(x_0\). Sur ce voisinage, la puissance d'exposant nul est donc définie et
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^0=1=L^0. \]
Si en revanche \(L=0\), l'écriture \(L^0\) n'est pas définie et la formule précédente ne peut pas être utilisée. Néanmoins, aux points où \(f(x)\neq 0\), on a malgré tout
\[ \bigl(f(x)\bigr)^0=1. \]
Par conséquent, si \(x_0\) est un point d'accumulation du domaine de la fonction \(\bigl(f(x)\bigr)^0\), la limite correspondante vaut \(1\).
Exposant entier négatif
Soit \(n\in\mathbb{N}\) avec \(n\geq 1\). Si \(L\neq 0\), alors \(f(x)\neq 0\) pour tout \(x\) suffisamment proche de \(x_0\), avec \(x\neq x_0\), et l'on peut écrire
\[ \bigl(f(x)\bigr)^{-n} = \frac{1}{\bigl(f(x)\bigr)^n}. \]
De la limite des puissances positives et du théorème de l'inverse, il résulte
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{-n} = \frac{1}{L^n} = L^{-n}. \]
Nous pouvons donc résumer les résultats en distinguant les différents cas. Pour tout entier positif \(n\),
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]
Pour \(n=0\), la fonction \(\bigl(f(x)\bigr)^0\) vaut \(1\) aux points où \(f(x)\neq 0\) ; par suite, si \(x_0\) est un point d'accumulation de son domaine, la limite est égale à \(1\).
Pour \(n<0\), il faut que \(L\neq 0\) ; dans ce cas,
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]
Polynômes en une fonction
En combinant la limite des puissances avec les théorèmes de la somme et du produit par une constante, nous obtenons un résultat plus général. Si
\[ P(t)=a_0+a_1t+\cdots+a_nt^n \]
est un polynôme, alors
\[ \lim_{x\to x_0}P\bigl(f(x)\bigr)=P(L). \]
De manière explicite,
\[ \lim_{x\to x_0} \left( a_0+a_1f(x)+\cdots+a_n\bigl(f(x)\bigr)^n \right) = a_0+a_1L+\cdots+a_nL^n. \]
Ce résultat montre que, lorsque la limite de \(f\) est finie, un polynôme en \(f(x)\) conserve sa structure algébrique lors du passage à la limite.
Limite des racines
Soit \(n\in\mathbb{N}\), avec \(n\geq 2\), et supposons que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]
Pour déterminer la limite de \(\sqrt[n]{f(x)}\), il faut distinguer le cas où \(n\) est impair de celui où \(n\) est pair.
Racines d'indice impair
Si \(n\) est impair, la racine \(n\)-ième est définie pour tout nombre réel. Par conséquent,
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]
Le résultat vaut pour toute valeur réelle de \(L\), positive, nulle ou négative.
Racines d'indice pair
Si \(n\) est pair, la racine réelle \(\sqrt[n]{f(x)}\) n'est définie qu'aux points où \(f(x)\geq 0\). Par conséquent, la limite doit être considérée à l'intérieur du domaine de la fonction.
Si \(L>0\), de la convergence de \(f(x)\) vers \(L\) il résulte que \(f(x)>0\) pour tout \(x\) suffisamment proche de \(x_0\). Dans ce cas,
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]
La même formule vaut lorsque \(L=0\), pourvu que \(x_0\) soit un point d'accumulation du domaine de la fonction \(x\mapsto\sqrt[n]{f(x)}\) :
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=0. \]
Si en revanche \(L<0\), d'après le théorème de permanence du signe on a \(f(x)<0\) pour tout \(x\) suffisamment proche de \(x_0\), avec \(x\neq x_0\). La racine d'indice pair n'est donc définie dans les nombres réels sur aucun voisinage épointé suffisamment petit de \(x_0\), qui ne peut alors être un point d'accumulation de son domaine.
Démonstration. Posons
\[ u(x)=\sqrt[n]{f(x)} \qquad\text{et}\qquad a=\sqrt[n]{L}, \]
dans les cas où ces quantités sont réelles.
Si \(L=0\), alors \(a=0\) et, aux points appartenant au domaine de la racine,
\[ |u(x)-a| = \left|\sqrt[n]{f(x)}\right| = \sqrt[n]{|f(x)|}. \]
\(\varepsilon>0\) étant fixé, de la convergence de \(f(x)\) vers \(0\) il résulte qu'il existe \(\delta>0\) tel que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|<\varepsilon^n. \]
Il en résulte
\[ |u(x)| = \sqrt[n]{|f(x)|} < \varepsilon, \]
et donc \(u(x)\to 0\).
Supposons maintenant \(L\neq 0\). Si \(n\) est pair, nécessairement \(L>0\), et donc \(a>0\). \(\varepsilon>0\) étant fixé, posons
\[ \varepsilon_0= \begin{cases} \varepsilon, & n\text{ impair},\\ \min\left\{\varepsilon,\displaystyle\frac{a}{2}\right\}, & n\text{ pair}. \end{cases} \]
La fonction \(t\mapsto t^n\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) lorsque \(n\) est impair, et sur \([0,+\infty)\) lorsque \(n\) est pair. Par conséquent, les nombres
\[ \eta_1=(a+\varepsilon_0)^n-a^n, \qquad \eta_2=a^n-(a-\varepsilon_0)^n \]
sont tous deux strictement positifs. Posons
\[ \eta=\min\{\eta_1,\eta_2\}. \]
Puisque \(f(x)\to L=a^n\), il existe \(\delta>0\) tel que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-a^n|<\eta. \]
Aux points appartenant au domaine de la racine, cette inégalité implique
\[ (a-\varepsilon_0)^n < f(x) < (a+\varepsilon_0)^n. \]
Par la monotonie de la racine \(n\)-ième, il en résulte
\[ a-\varepsilon_0 < u(x) < a+\varepsilon_0. \]
Par conséquent,
\[ |u(x)-a|<\varepsilon_0\leq\varepsilon. \]
Nous avons ainsi démontré que
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L} \]
pourvu que \(x_0\) soit un point d'accumulation du domaine réel de la fonction \(x\mapsto\sqrt[n]{f(x)}\).
Puissances à exposant rationnel
Soient \(m\in\mathbb{Z}\) et \(n\in\mathbb{N}\), avec \(n\geq 1\), et supposons que la fraction \(\displaystyle\frac{m}{n}\) soit irréductible. Si \(x_0\) est un point d'accumulation du domaine réel de la fonction
\[ x\mapsto\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}} \]
et si le nombre \(L^{\frac{m}{n}}\) est défini dans les nombres réels, alors
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}}=L^{\frac{m}{n}}. \]
Le résultat s'obtient en composant la limite des puissances entières avec celle des racines, en écrivant \(\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{\bigl(f(x)\bigr)^{m}}\) et en appliquant successivement les deux théorèmes déjà démontrés.
Si \(n\) est pair, la base doit être positive ou nulle aux points considérés ; lorsque \(m<0\), elle doit en outre être strictement positive, et il faut que \(L>0\). Si \(n\) est impair, des bases négatives sont également admises ; lorsque \(m<0\), il reste néanmoins nécessaire que la base soit non nulle aux points considérés et que \(L\neq 0\).
Limite de la valeur absolue
Soit \(f\) une fonction définie sur un voisinage épointé de \(x_0\), et supposons que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]
Alors
\[ \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|L|. \]
Démonstration. D'après la seconde inégalité triangulaire, pour tout \(x\) appartenant au domaine de \(f\) on a
\[ \bigl||f(x)|-|L|\bigr| \leq |f(x)-L|. \]
\(\varepsilon>0\) étant fixé, de la convergence de \(f(x)\) vers \(L\) il résulte qu'il existe \(\delta>0\) tel que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Dans les mêmes conditions, on a donc
\[ \bigl||f(x)|-|L|\bigr| \leq |f(x)-L| < \varepsilon. \]
Ceci démontre que
\[ \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|L|. \]
La réciproque est fausse en général
De l'existence de la limite de \(|f(x)|\) ne découle pas nécessairement l'existence de la limite de \(f(x)\). Par exemple, considérons
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x>0,\\ -1, & x<0. \end{cases} \]
Pour tout \(x\neq 0\), on a \(|f(x)|=1\), d'où
\[ \lim_{x\to 0}|f(x)|=1. \]
Cependant,
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 0^-}f(x)=-1. \]
Puisque la limite à droite et la limite à gauche sont différentes, la limite de \(f\) lorsque \(x\to 0\) n'existe pas.
Permanence du signe
Si \(L>0\), alors \(f(x)>0\) pour tout \(x\) suffisamment proche de \(x_0\), avec \(x\neq x_0\). En effet, en choisissant \(\varepsilon=L/2\), on obtient
\[ |f(x)-L|<\frac{L}{2}, \]
d'où
\[ f(x)>L-\frac{L}{2}=\frac{L}{2}>0. \]
De même, si \(L<0\), la fonction prend des valeurs strictement négatives sur un voisinage épointé convenable de \(x_0\).
Lorsque la limite est non nulle, la valeur absolue peut donc être supprimée localement en tenant compte du signe de \(L\) :
\[ |f(x)|= \begin{cases} f(x), & L>0,\\ -f(x), & L<0, \end{cases} \]
pour tout \(x\) suffisamment proche de \(x_0\).
Limite d'une fonction composée
Soit \(f\) une fonction définie sur un voisinage épointé de \(x_0\), et soit \(\varphi\) une fonction définie sur un voisinage épointé d'un point \(L\). Supposons que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]
La fonction composée
\[ (\varphi\circ f)(x)=\varphi\bigl(f(x)\bigr) \]
est définie aux points où la valeur \(f(x)\) appartient au domaine de \(\varphi\). Pour en déterminer la limite, il faut donc étudier le comportement de la fonction extérieure \(\varphi\) lorsque son argument tend vers \(L\).
Théorème sur la limite de la fonction composée
Supposons que
\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=M, \]
avec \(M\in\mathbb{R}\), et que, pour tout \(x\) suffisamment proche de \(x_0\), avec \(x\neq x_0\), les conditions suivantes soient vérifiées :
\[ f(x)\in\operatorname{Dom}(\varphi) \qquad\text{et}\qquad f(x)\neq L. \]
Alors
\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr)=M. \]
La condition \(f(x)\neq L\) est requise parce que la limite de \(\varphi(t)\) lorsque \(t\to L\) décrit le comportement de la fonction aux points voisins de \(L\), mais distincts de \(L\). La valeur \(\varphi(L)\), lorsqu'elle existe, n'intervient pas dans cette formulation du théorème.
Démonstration. \(\varepsilon>0\) étant fixé, de la relation
\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=M \]
il résulte qu'il existe \(\eta>0\) tel que
\[ 0<|t-L|<\eta \quad\Longrightarrow\quad |\varphi(t)-M|<\varepsilon. \]
Puisque \(f(x)\to L\), il existe \(\delta>0\) tel que
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\eta. \]
Par hypothèse, quitte à restreindre \(\delta\), nous pouvons en outre supposer que
\[ f(x)\in\operatorname{Dom}(\varphi) \qquad\text{et}\qquad f(x)\neq L. \]
Par suite,
\[ 0<|f(x)-L|<\eta, \]
et, en appliquant la condition relative à la limite de \(\varphi\), nous obtenons
\[ \bigl|\varphi(f(x))-M\bigr|<\varepsilon. \]
Il s'ensuit que
\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr)=M. \]
Cas d'une fonction extérieure continue
Si \(\varphi\) est continue au point \(L\), alors
\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=\varphi(L). \]
Dans ce cas, il n'est pas nécessaire d'exiger que \(f(x)\neq L\) au voisinage de \(x_0\), car la fonction extérieure est également définie au point \(L\), où sa valeur coïncide avec la limite. On obtient donc la règle
\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr) = \varphi\left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right) = \varphi(L). \]
Cette formule exprime la possibilité de faire passer la limite à travers une fonction continue.
Par exemple, la fonction cosinus étant continue en tout point réel, si \(f(x)\to L\), alors
\[ \lim_{x\to x_0}\cos\bigl(f(x)\bigr)=\cos L. \]
Le rôle du domaine
Avant d'appliquer le théorème, il est toujours nécessaire de vérifier que la composée est définie aux points considérés. Si, par exemple, la fonction extérieure est
\[ \varphi(t)=\sqrt{t}, \]
il faut que \(f(x)\geq 0\) aux points du domaine suffisamment proches de \(x_0\). De même, si
\[ \varphi(t)=\frac{1}{t}, \]
il faut que \(f(x)\neq 0\).
Le théorème de la fonction composée ne supprime donc pas les conditions d'existence des opérations en jeu : il permet de déterminer la limite seulement après que ces conditions ont été vérifiées.
Opérations faisant intervenir des limites infinies
Lorsqu'une fonction tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), la limite n'est pas un nombre réel. Les écritures faisant intervenir les symboles d'infini ne doivent donc pas être interprétées comme des égalités arithmétiques ordinaires : elles résument des théorèmes portant sur le comportement des fonctions.
Dans cette section, nous ne considérerons que les combinaisons qui déterminent le résultat de manière unique. Les opérations pour lesquelles les limites des fonctions prises séparément ne suffisent pas seront examinées à part.
Somme et différence
Soient \(f\) et \(g\) définies sur un voisinage épointé de \(x_0\). Si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
avec \(M\in\mathbb{R}\), alors
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=+\infty. \]
En effet, puisque \(g(x)\to M\), pour \(x\) suffisamment proche de \(x_0\) on a
\[ g(x)>M-1. \]
Un nombre réel \(A\) étant fixé, de la relation \(f(x)\to+\infty\) il résulte que, au voisinage de \(x_0\),
\[ f(x)>A-M+1. \]
Par suite,
\[ f(x)+g(x)>A-M+1+M-1=A. \]
La somme dépasse donc tout seuil réel fixé à l'avance. De manière analogue,
\[ \begin{aligned} +\infty+M&=+\infty,\\ -\infty+M&=-\infty, \end{aligned} \qquad M\in\mathbb{R}, \]
où ces écritures représentent de façon abrégée les résultats correspondants sur les limites.
Si les deux fonctions tendent vers le même infini, leurs effets s'ajoutent :
\[ \begin{aligned} +\infty+(+\infty)&=+\infty,\\ -\infty+(-\infty)&=-\infty. \end{aligned} \]
Par exemple, dans le premier cas, \(A\in\mathbb{R}\) étant fixé, il suffit d'avoir
\[ f(x)>\frac{A}{2} \qquad\text{et}\qquad g(x)>\frac{A}{2} \]
pour obtenir \(f(x)+g(x)>A\).
La différence se ramène à la somme au moyen de l'identité
\[ f(x)-g(x)=f(x)+\bigl(-g(x)\bigr). \]
Il en résulte, entre autres, les cas déterminés
\[ \begin{aligned} +\infty-M&=+\infty,\\ -\infty-M&=-\infty,\\ M-(+\infty)&=-\infty,\\ M-(-\infty)&=+\infty, \end{aligned} \qquad M\in\mathbb{R}. \]
Si les deux termes tendent vers des infinis de signes opposés, on a en outre les cas déterminés
\[ +\infty-(-\infty)=+\infty, \qquad -\infty-(+\infty)=-\infty. \]
En revanche, une différence entre deux quantités qui tendent toutes deux vers le même infini n'entre pas dans ces règles.
Produit
Supposons que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
avec \(M>0\). Puisque \(g(x)\to M\), on a, au voisinage de \(x_0\),
\[ g(x)>\frac{M}{2}>0. \]
\(A>0\) étant fixé, de la relation \(f(x)\to+\infty\) il résulte que, pour \(x\) suffisamment proche de \(x_0\),
\[ f(x)>\frac{2A}{M}. \]
Par conséquent,
\[ f(x)g(x)>\frac{2A}{M}\cdot\frac{M}{2}=A, \]
et donc
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty. \]
Le signe du produit dépend des signes pris par les deux facteurs au voisinage de \(x_0\). Si \(M\neq 0\), nous pouvons résumer les différents cas de la manière suivante :
\[ \begin{array}{c|cc} & M>0 & M<0\\ \hline f(x)\to+\infty & f(x)g(x)\to+\infty & f(x)g(x)\to-\infty\\ f(x)\to-\infty & f(x)g(x)\to-\infty & f(x)g(x)\to+\infty \end{array} \]
Si les deux facteurs ont une limite infinie, les règles usuelles des signes s'appliquent :
\[ \begin{aligned} (+\infty)(+\infty)&=+\infty,\\ (-\infty)(-\infty)&=+\infty,\\ (+\infty)(-\infty)&=-\infty,\\ (-\infty)(+\infty)&=-\infty. \end{aligned} \]
En revanche, le produit d'une fonction qui tend vers zéro par une fonction dont la valeur absolue tend vers l'infini n'est pas déterminé par ces seules informations.
Inverse et quotient
Si
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty, \]
alors
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=0. \]
En effet, \(\varepsilon>0\) étant fixé, la valeur absolue de \(g(x)\) dépasse, au voisinage de \(x_0\), \(\displaystyle\frac{1}{\varepsilon}\). Par suite,
\[ \left|\frac{1}{g(x)}\right| = \frac{1}{|g(x)|} < \varepsilon. \]
Si \(f(x)\to L\in\mathbb{R}\), en appliquant le théorème du produit pour les limites finies à
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x)\frac{1}{g(x)}, \]
et en rappelant que \(\displaystyle\frac{1}{g(x)}\to 0\), nous obtenons
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0 \]
chaque fois que le numérateur a une limite finie et que le dénominateur tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\).
Si en revanche le numérateur tend vers l'infini et que le dénominateur tend vers un nombre réel \(M\neq 0\), le quotient se ramène au produit du numérateur par une fonction qui tend vers \(\displaystyle\frac{1}{M}\). Le signe du résultat dépend alors du signe de l'infini et de celui de \(M\).
Dénominateur tendant vers zéro
Pour décrire le comportement de l'inverse lorsque le dénominateur tend vers zéro, il est nécessaire de connaître le signe avec lequel il s'approche de zéro.
Si
\[ g(x)\to 0^+, \]
c'est-à-dire \(g(x)\to 0\) en prenant des valeurs strictement positives au voisinage de \(x_0\), alors
\[ \frac{1}{g(x)}\to+\infty. \]
Si en revanche
\[ g(x)\to 0^-, \]
alors
\[ \frac{1}{g(x)}\to-\infty. \]
Par conséquent, si \(f(x)\to L\neq 0\), la limite du quotient dépend du signe de \(L\) et du signe avec lequel \(g(x)\) tend vers zéro :
\[ \begin{array}{c|cc} & g(x)\to 0^+ & g(x)\to 0^-\\ \hline L>0 & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to+\infty & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to-\infty\\ L<0 & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to-\infty & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to+\infty \end{array} \]
Si le dénominateur tend vers zéro en changeant de signe arbitrairement près de \(x_0\), ces informations ne permettent pas, en général, de déterminer une limite unique.
Puissances et racines
Pour tout entier positif \(n\), si \(f(x)\to+\infty\), alors
\[ \bigl(f(x)\bigr)^n\to+\infty. \]
Si en revanche \(f(x)\to-\infty\), le résultat dépend de la parité de l'exposant :
\[ \bigl(f(x)\bigr)^n\to \begin{cases} +\infty, & n\text{ pair},\\ -\infty, & n\text{ impair}. \end{cases} \]
Pour \(n\geq 1\), les propriétés de l'inverse donnent en outre
\[ \bigl(f(x)\bigr)^{-n}\to 0 \]
lorsque \(f(x)\to+\infty\) ou \(f(x)\to-\infty\).
Enfin, si \(f(x)\to+\infty\), alors
\[ \sqrt[n]{f(x)}\to+\infty \]
pour tout \(n\geq 2\). Si \(n\) est impair et \(f(x)\to-\infty\), on a en revanche
\[ \sqrt[n]{f(x)}\to-\infty. \]
Toutes les règles présentées dans cette section concernent des cas où les limites des fonctions en jeu déterminent le résultat. Lorsque tel n'est pas le cas, l'opération conduit à une forme indéterminée.
Formes déterminées et formes indéterminées
Lorsqu'on calcule la limite d'une expression composée de plusieurs fonctions, les limites des différentes parties peuvent suffire à établir le résultat, ou bien laisser ouvertes plusieurs possibilités.
Dans le premier cas, on parle de forme déterminée : le comportement des fonctions en jeu détermine de manière unique la limite de l'expression. Dans le second cas, on parle de forme indéterminée : les seules informations sur les limites des différentes parties ne permettent pas d'obtenir le résultat.
Une forme indéterminée n'indique donc pas que la limite n'existe pas. Elle signifie seulement que celle-ci ne peut pas être déterminée en appliquant directement les règles générales relatives aux opérations.
Signification des formes symboliques
Des écritures comme
\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty \]
ne représentent pas des opérations effectuées entre des nombres. Elles décrivent de façon abrégée le comportement des fonctions qui composent une limite.
Par exemple, la forme
\[ \frac{0}{0} \]
signifie que le numérateur tend vers zéro et que, simultanément, le dénominateur tend vers zéro. De ces seules informations ne découle aucune valeur précise pour le quotient.
Forme indéterminée \(\displaystyle\frac{0}{0}\)
Considérons les limites
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^4}, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2}. \]
Dans les quatre cas, le numérateur et le dénominateur tendent vers zéro. Cependant, pour \(x\neq 0\),
\[ \frac{x}{x}=1, \qquad \frac{x^2}{x}=x, \qquad \frac{x^2}{x^4}=\frac{1}{x^2}, \qquad \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}. \]
Les deux premières limites valent respectivement \(1\) et \(0\), tandis que
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]
Dans le dernier cas,
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Puisque la limite à droite et la limite à gauche sont différentes, la limite lorsque \(x\to 0\) n'existe pas.
La forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\) peut donc conduire à un nombre réel non nul, à zéro, à une limite infinie, ou encore à l'inexistence de la limite.
Forme indéterminée \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)
Considérons maintenant
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x}, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x}. \]
Dans chaque quotient, le numérateur et le dénominateur tendent vers \(+\infty\), mais
\[ \frac{x}{x}=1, \qquad \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}, \qquad \frac{x^2}{x}=x. \]
Les limites respectives sont donc
\[ 1, \qquad 0, \qquad +\infty. \]
Le résultat dépend de la rapidité avec laquelle croissent le numérateur et le dénominateur, et non du seul fait qu'ils tendent tous deux vers l'infini.
Forme indéterminée \(0\cdot\infty\)
Dans un produit d'une fonction qui tend vers zéro par une fonction dont la valeur absolue tend vers l'infini, les deux facteurs exercent des effets opposés : le premier tend à rendre le produit petit, tandis que le second tend à en accroître la valeur absolue.
Par exemple, lorsque \(x\to+\infty\),
\[ \frac{1}{x}\cdot x=1, \qquad \frac{1}{x^2}\cdot x=\frac{1}{x}, \qquad \frac{1}{x}\cdot x^2=x. \]
Dans les trois cas, le premier facteur tend vers zéro et le second vers \(+\infty\), mais les produits tendent respectivement vers \(1\), vers \(0\) et vers \(+\infty\).
La forme \(0\cdot\infty\) se transforme souvent en une forme de quotient. Comme une fonction dont la valeur absolue tend vers l'infini est non nulle au voisinage de \(x_0\), on peut écrire
\[ f(x)g(x) = \frac{f(x)}{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}. \]
Aux points où l'on a également \(f(x)\neq 0\), on peut utiliser à la place
\[ f(x)g(x) = \frac{g(x)}{\displaystyle\frac{1}{f(x)}}. \]
Le choix de la transformation dépend de la structure de l'expression.
Forme indéterminée \(\infty-\infty\)
Lorsque deux fonctions tendent vers le même infini, leur différence dépend de la manière dont elles se comparent.
Lorsque \(x\to+\infty\), considérons
\[ (x+1)-x, \qquad x-x, \qquad x-2x. \]
Dans chaque cas, les deux termes tendent vers \(+\infty\), mais les différences sont respectivement
\[ 1, \qquad 0, \qquad -x. \]
Les limites valent donc \(1\), \(0\) et \(-\infty\).
Pour lever cette forme, on cherche généralement à mettre un facteur commun en évidence, à réduire au même dénominateur, à rationaliser, ou encore à réécrire l'expression sous une forme équivalente mieux adaptée à la comparaison.
Formes indéterminées exponentielles
Lorsque la base et l'exposant dépendent tous deux de \(x\), on peut également rencontrer les formes
\[ 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]
La forme \(1^\infty\) se présente lorsque la base tend vers \(1\) tandis que l'exposant tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\). Le fait que la base s'approche de \(1\) ne suffit pas à déterminer la limite de la puissance.
Par exemple, lorsque \(x\to+\infty\),
\[ \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x\to 1, \qquad \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\to e, \qquad \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^x\to+\infty. \]
Dans les trois cas, la base tend vers \(1\) et l'exposant vers \(+\infty\), mais les limites sont différentes.
La forme \(0^0\) peut elle aussi produire des comportements différents. Lorsque \(x\to 0^+\), considérons
\[ x^x\to 1, \qquad x^{\frac{1}{|\ln(x)|}}\to e^{-1}, \qquad x^{\frac{1}{\sqrt{|\ln(x)|}}}\to 0. \]
Dans les trois cas, la base tend vers \(0^+\) et l'exposant vers zéro. Les limites sont cependant différentes, car le comportement de la puissance dépend du produit de l'exposant par le logarithme népérien de la base.
Pour la forme \(\infty^0\), lorsque \(x\to+\infty\), on peut considérer
\[ x^{1/x}\to 1, \qquad x^{1/\ln(x)}\to e, \qquad x^{1/\sqrt{\ln(x)}}\to+\infty. \]
Dans les trois cas, la base tend vers \(+\infty\) et l'exposant vers zéro, mais les limites sont différentes.
Les formes exponentielles s'étudient habituellement en appliquant le logarithme népérien. Si
\[ y(x)=\bigl(f(x)\bigr)^{g(x)} \]
et si \(f(x)>0\) aux points considérés, alors
\[ \ln\bigl(y(x)\bigr)=g(x)\ln\bigl(f(x)\bigr). \]
Le problème se ramène ainsi à l'étude du produit \(g(x)\ln\bigl(f(x)\bigr)\).
Tableau récapitulatif
Les principales formes indéterminées sont
\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]
Reconnaître une forme indéterminée ne clôt pas le calcul de la limite : cela repère l'endroit où les règles immédiates ne suffisent plus. À partir de là, il faut transformer l'expression ou comparer plus finement les fonctions en jeu.
Limites de polynômes et de fonctions rationnelles
Les théorèmes sur les opérations permettent de calculer directement les limites des polynômes et, lorsque le dénominateur ne tend pas vers zéro, celles des fonctions rationnelles.
Limite d'un polynôme en un point fini
Soit
\[ P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \]
un polynôme à coefficients réels. Puisque
\[ \lim_{x\to x_0}x=x_0, \]
des théorèmes relatifs à la somme, au produit par une constante et aux puissances, il résulte
\[ \lim_{x\to x_0}P(x) = a_0+a_1x_0+\cdots+a_nx_0^n = P(x_0). \]
La limite d'un polynôme en un point réel se calcule donc en substituant directement à \(x\) la valeur \(x_0\).
Ce résultat exprime la continuité des polynômes sur \(\mathbb{R}\) tout entier.
Limite d'une fonction rationnelle en un point fini
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes, \(Q\) étant non nul, et considérons la fonction rationnelle
\[ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}. \]
Si
\[ Q(x_0)\neq 0, \]
alors le théorème du quotient donne
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}. \]
Là encore, la limite s'obtient par substitution directe.
Si en revanche \(Q(x_0)=0\), le théorème du quotient ne peut pas s'appliquer. Le comportement dépend alors du numérateur et de la structure algébrique de la fraction.
Si
\[ P(x_0)\neq 0 \qquad\text{et}\qquad Q(x)\to 0, \]
la valeur absolue du quotient tend vers \(+\infty\), mais pour déterminer le signe du quotient, il faut étudier celui du numérateur et du dénominateur au voisinage de \(x_0\).
Si en revanche
\[ P(x_0)=Q(x_0)=0, \]
on obtient la forme indéterminée \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Dans ce cas, il peut être possible de factoriser les polynômes et de simplifier les facteurs communs.
Si \(P\) est le polynôme nul, la fonction rationnelle vaut \(0\) en tout point de son domaine, et la limite est égale à \(0\). Supposons donc que \(P\) et \(Q\) ne soient pas des polynômes nuls, et notons \(r,s\geq 1\) les multiplicités respectives de \(x_0\) comme racine. Nous pouvons alors écrire
\[ P(x)=(x-x_0)^rP_1(x), \qquad Q(x)=(x-x_0)^sQ_1(x), \]
avec
\[ P_1(x_0)\neq 0, \qquad Q_1(x_0)\neq 0. \]
Pour \(x\neq x_0\), on a
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = (x-x_0)^{r-s}\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}. \]
Si \(r>s\), alors
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]
Si \(r=s\), alors
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P_1(x_0)}{Q_1(x_0)}. \]
Si \(r<s\), enfin,
\[ \left|\frac{P(x)}{Q(x)}\right|\to+\infty. \]
Dans ce dernier cas, pour établir si la limite est \(+\infty\), \(-\infty\), ou si la limite à droite et la limite à gauche sont différentes, il faut analyser le signe de l'expression.
Limite d'un polynôme à l'infini
Considérons un polynôme de degré \(n\geq 1\) :
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq 0. \]
En mettant en facteur la puissance de plus haut degré, nous obtenons
\[ P(x) = x^n \left( a_n+\frac{a_{n-1}}{x} +\cdots+ \frac{a_1}{x^{n-1}} +\frac{a_0}{x^n} \right). \]
Lorsque \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), tous les termes contenant une puissance positive de \(x\) au dénominateur tendent vers zéro. Par conséquent,
\[ a_n+\frac{a_{n-1}}{x} +\cdots+ \frac{a_0}{x^n} \to a_n. \]
Le comportement du polynôme est donc déterminé par le terme de plus haut degré :
\[ P(x)\sim a_nx^n \qquad \text{pour }x\to\pm\infty. \]
Le symbole \(\sim\) indique que le rapport des deux expressions tend vers \(1\) :
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{a_nx^n}=1. \]
Lorsque \(x\to+\infty\), le signe de la limite coïncide avec celui du coefficient dominant \(a_n\) :
\[ \lim_{x\to+\infty}P(x) = \begin{cases} +\infty, & a_n>0,\\ -\infty, & a_n<0. \end{cases} \]
Lorsque \(x\to-\infty\), la parité du degré intervient également :
\[ \lim_{x\to-\infty}P(x) = \begin{cases} +\infty, & n\text{ pair et }a_n>0,\\ -\infty, & n\text{ pair et }a_n<0,\\ -\infty, & n\text{ impair et }a_n>0,\\ +\infty, & n\text{ impair et }a_n<0. \end{cases} \]
Limite d'une fonction rationnelle à l'infini
Soient
\[ P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0, \qquad Q(x)=b_mx^m+\cdots+b_0, \]
avec \(a_n\neq 0\) et \(b_m\neq 0\). Pour étudier
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}, \]
mettons \(x^n\) en facteur au numérateur et \(x^m\) au dénominateur :
\[ \begin{aligned} \frac{P(x)}{Q(x)} &= \frac{ x^n\left( a_n+\displaystyle\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{a_0}{x^n} \right) }{ x^m\left( b_m+\displaystyle\frac{b_{m-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{b_0}{x^m} \right) }\\ &= x^{n-m} \frac{ a_n+\displaystyle\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{a_0}{x^n} }{ b_m+\displaystyle\frac{b_{m-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{b_0}{x^m} }. \end{aligned} \]
La fraction ainsi obtenue tend vers
\[ \frac{a_n}{b_m}. \]
Le résultat dépend donc de la comparaison des degrés \(n\) et \(m\).
Si \(n<m\), alors \(x^{n-m}\to 0\) et
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]
Si \(n=m\), alors
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n}{b_m}. \]
Si \(n>m\), la valeur absolue du quotient tend vers \(+\infty\) :
\[ \left|\frac{P(x)}{Q(x)}\right|\to+\infty. \]
Le signe de la limite se détermine en étudiant
\[ \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}. \]
En particulier, lorsque \(x\to+\infty\), le signe coïncide avec celui du rapport \(\displaystyle\frac{a_n}{b_m}\). Lorsque \(x\to-\infty\), il faut également tenir compte de la parité de la différence \(n-m\).
Principe du terme dominant
Les résultats précédents peuvent se résumer en observant qu'à l'infini, les termes de degré inférieur deviennent négligeables devant ceux de plus haut degré :
\[ P(x)\sim a_nx^n, \qquad Q(x)\sim b_mx^m. \]
Par conséquent,
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \sim \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}. \]
Cette relation ne remplace pas la démonstration, mais elle en résume le contenu : le comportement asymptotique d'une fonction rationnelle est régi par les termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Exemples de synthèse et erreurs à éviter
Dans le calcul d'une limite, la première étape consiste à déterminer les limites des différentes parties de l'expression. Ce n'est qu'après cette vérification que l'on peut établir si les théorèmes sur les opérations conduisent directement au résultat, ou si l'on est en présence d'une forme indéterminée.
Somme, produit et puissances
Considérons
\[ \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right). \]
La fonction étant un polynôme, la limite s'obtient par substitution directe :
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right) &=3\cdot 2^2-5\cdot 2+4\\ &=12-10+4\\ &=6. \end{aligned} \]
La substitution est licite, car le résultat découle des théorèmes relatifs à la somme, au produit et aux puissances.
Quotient à dénominateur non nul
Considérons
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x}{x+3}. \]
Le numérateur tend vers \(3\), tandis que le dénominateur tend vers \(4\neq 0\). Nous pouvons donc appliquer le théorème du quotient :
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x}{x+3} = \frac{3}{4}. \]
Forme indéterminée \(\displaystyle\frac{0}{0}\)
Considérons
\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}. \]
La substitution directe produit la forme indéterminée
\[ \frac{0}{0}. \]
Factorisons le numérateur :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Pour \(x\neq 2\), nous pouvons simplifier le facteur commun :
\[ \frac{x^2-4}{x-2}=x+2. \]
Puisque la limite dépend des valeurs prises au voisinage de \(2\), et non de la valeur au point lui-même, il en résulte
\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4. \]
Forme indéterminée \(\infty-\infty\)
Considérons
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]
Les deux termes tendent vers \(+\infty\), on est donc en présence de la forme indéterminée \(\infty-\infty\). Multiplions et divisons par la quantité conjuguée :
\[ \begin{aligned} \sqrt{x^2+x}-x &= \frac{ \left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x}+x\right) }{ \sqrt{x^2+x}+x }\\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \end{aligned} \]
Puisque \(x>0\) pour tout \(x\) suffisamment grand, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par \(x\) :
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]
À ce stade, la limite est déterminée :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1} = \frac{1}{2}. \]
Quotient de polynômes à l'infini
Considérons
\[ \lim_{x\to-\infty} \frac{2x^3-x+1}{x^2+4}. \]
Le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur. Le comportement du quotient est donc régi par le rapport des termes de plus haut degré :
\[ \frac{2x^3}{x^2}=2x. \]
Puisque \(2x\to-\infty\) lorsque \(x\to-\infty\), nous obtenons
\[ \lim_{x\to-\infty} \frac{2x^3-x+1}{x^2+4} = -\infty. \]
Le même résultat peut être vérifié en divisant le numérateur et le dénominateur par \(x^2\) :
\[ \frac{2x^3-x+1}{x^2+4} = \frac{ 2x-\displaystyle\frac{1}{x} +\displaystyle\frac{1}{x^2} }{ 1+\displaystyle\frac{4}{x^2} }. \]
Le dénominateur tend vers \(1\), tandis que le numérateur tend vers \(-\infty\).
Dénominateur tendant vers zéro
Considérons
\[ \lim_{x\to 1}\frac{1}{x-1}. \]
Le dénominateur tend vers zéro et prend des signes opposés à droite et à gauche de \(x=1\). Lorsque \(x\to 1^+\),
\[ x-1\to 0^+, \]
et donc
\[ \lim_{x\to 1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
Lorsque \(x\to 1^-\), en revanche,
\[ x-1\to 0^-, \]
d'où
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty. \]
La limite à droite et la limite à gauche sont différentes ; par conséquent, la limite lorsque \(x\to 1\) n'existe pas, pas même comme limite infinie.
Erreurs à éviter
La première erreur consiste à appliquer le théorème du quotient lorsque la limite du dénominateur est nulle. De
\[ f(x)\to L \qquad\text{et}\qquad g(x)\to 0 \]
ne découle aucune formule générale pour la limite de \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\). Il faut distinguer le cas \(L\neq 0\) du cas \(L=0\) et, le cas échéant, étudier le signe du dénominateur.
Une deuxième erreur consiste à considérer les formes indéterminées comme des résultats. Écrire
\[ \frac{0}{0}, \qquad \infty-\infty \qquad\text{ou}\qquad 0\cdot\infty \]
ne clôt pas le calcul : cela signale seulement que l'expression doit être transformée ou analysée plus attentivement.
Il ne faut pas non plus traiter \(+\infty\) et \(-\infty\) comme des nombres réels. Des formules telles que
\[ +\infty+M=+\infty \]
sont des abréviations de résultats sur les limites et n'ont de sens que dans le cadre des hypothèses qui les justifient.
Une autre erreur fréquente consiste à négliger le domaine. Avant de calculer la limite d'une expression contenant une racine, un dénominateur, un logarithme ou une puissance réelle, il est nécessaire de vérifier que l'expression est définie en des points de son domaine arbitrairement proches du point vers lequel tend la variable.
Enfin, la substitution directe n'est pas une règle universelle. Elle est valable lorsqu'elle découle de la continuité des fonctions en jeu et lorsque toutes les opérations restent définies lors du passage à la limite. Si elle produit une forme indéterminée, elle ne fournit pas la valeur cherchée.
Les opérations sur les limites permettent donc de conserver, sous des hypothèses précises, la structure algébrique des fonctions. Leur application correcte exige cependant de toujours distinguer les cas déterminés, les formes indéterminées et les situations où la limite n'existe pas.