Limites de fonctions : définition, propriétés et méthodes de calcul

Qu'est-ce que la limite d'une fonction

La limite d'une fonction décrit le comportement des valeurs \(f(x)\) lorsque la variable \(x\) se rapproche d'une certaine valeur, ou bien lorsque \(x\) prend des valeurs de plus en plus grandes en valeur absolue.

Par exemple, écrire

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=L \]

signifie que, lorsque \(x\) se rapproche de \(x_0\), les valeurs de la fonction \(f(x)\) se rapprochent du nombre réel \(L\).

Le point essentiel est que l'on n'étudie pas nécessairement la valeur de la fonction au point \(x_0\), mais son comportement aux points voisins de \(x_0\). C'est pourquoi la limite peut exister même lorsque la fonction n'est pas définie en \(x_0\), ou encore lorsque \(f(x_0)\) existe mais diffère de la limite.

Autrement dit, la limite concerne ce qui se passe à l'approche du point, et non ce qui se passe exactement au point lui-même. C'est ce qui distingue la notion de limite du simple calcul de la valeur \(f(x_0)\).

La même idée s'applique lorsque la variable ne tend pas vers un nombre réel, mais vers l'infini. Écrire

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x)=L \]

signifie que les valeurs \(f(x)\) se rapprochent de \(L\) lorsque \(x\) prend des valeurs positives de plus en plus grandes.

La notion de limite permet ainsi d'étudier le comportement local d'une fonction au voisinage d'un point, ainsi que son comportement global pour des valeurs très grandes de la variable. C'est d'elle que dépendent des notions fondamentales de l'analyse, telles que la continuité, les asymptotes et le calcul différentiel.

Points d'accumulation et signification de \(x \to x_0\)

Avant de donner une définition rigoureuse de la limite, il convient de préciser ce que signifie l'affirmation selon laquelle \(x\) tend vers un point \(x_0\).

Soit \(f:A\to\mathbb{R}\) une fonction réelle d'une variable réelle, définie sur un ensemble \(A\subseteq\mathbb{R}\). Lorsque nous écrivons

\[ x \to x_0 \]

nous ne disons pas que \(x\) est égal à \(x_0\), mais que \(x\) prend des valeurs du domaine \(A\) arbitrairement proches de \(x_0\) et distinctes de \(x_0\).

Pour que cette idée ait un sens, le point \(x_0\) doit être un point d'accumulation du domaine de la fonction. Cela signifie que tout voisinage de \(x_0\) contient au moins un point de \(A\) distinct de \(x_0\).

De manière équivalente, \(x_0\) est un point d'accumulation de \(A\) si, pour tout \(\delta >0\), il existe au moins un point \(x\in A\), avec \(x\neq x_0\), tel que

\[ |x-x_0|<\delta. \]

La condition \(x\neq x_0\) est essentielle : dans l'étude de la limite, ce qui importe est le comportement de la fonction aux points voisins de \(x_0\), et non nécessairement la valeur de la fonction au point \(x_0\).

C'est pourquoi \(x_0\) peut fort bien ne pas appartenir au domaine \(A\). Si toutefois il existe des points de \(A\) arbitrairement proches de \(x_0\), alors il est légitime d'étudier la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\to x_0\).

En revanche, si \(x_0\) est un point isolé du domaine, il n'existe pas de points du domaine arbitrairement proches de \(x_0\) et distincts de \(x_0\). Dans ce cas, la limite pour \(x\to x_0\) ne décrit aucun comportement effectif d'approche de la fonction.

En résumé, l'écriture \(x\to x_0\) doit toujours être interprétée relativement au domaine de la fonction : la variable \(x\) se rapproche de \(x_0\) en prenant des valeurs pour lesquelles \(f(x)\) est définie.

Limite finie lorsque \(x\) tend vers un point fini

Considérons une fonction \(f:A\to\mathbb{R}\), avec \(A\subseteq\mathbb{R}\), et soit \(x_0\in\mathbb{R}\) un point d'accumulation de \(A\).

Dire que \(f(x)\) tend vers le nombre réel \(L\) lorsque \(x\) tend vers \(x_0\) signifie que les valeurs \(f(x)\) peuvent être rendues arbitrairement proches de \(L\), pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(x_0\), avec \(x\neq x_0\).

On note :

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L. \]

La définition rigoureuse est la suivante :

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L \]

si et seulement si, pour tout \(\varepsilon >0\), il existe \(\delta >0\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Le nombre \(\varepsilon\) mesure le degré de proximité que l'on exige entre \(f(x)\) et \(L\). La définition exige que cette proximité puisse être obtenue pour tout choix de \(\varepsilon >0\), aussi petit soit-il.

Le nombre \(\delta\), quant à lui, mesure la proximité que \(x\) doit avoir avec \(x_0\) pour que \(f(x)\) soit proche de \(L\). En général, \(\delta\) dépend de \(\varepsilon\) : plus la tolérance exigée sur les valeurs de \(f(x)\) est petite, plus il peut être nécessaire de restreindre le voisinage de \(x_0\).

La condition

\[ 0<|x-x_0|<\delta \]

signifie que \(x\) appartient à un voisinage de \(x_0\), tout en étant distinct de \(x_0\). C'est pourquoi la valeur \(f(x_0)\), si elle existe, n'intervient pas dans la définition de la limite.

Par conséquent, la limite peut exister même si la fonction n'est pas définie en \(x_0\). Il peut également arriver que la fonction soit définie en \(x_0\), mais que \(f(x_0)\) soit différent de la limite. Dans les deux cas, la limite décrit le comportement de la fonction aux points voisins de \(x_0\), et non nécessairement la valeur prise au point \(x_0\).

Considérons par exemple la fonction

\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]

Elle n'est pas définie pour \(x=1\). Cependant, pour \(x\neq 1\), on peut simplifier :

\[ \frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1. \]

Ainsi, lorsque \(x\) se rapproche de \(1\), les valeurs de la fonction se rapprochent de \(2\). On écrit donc :

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]

Cet exemple montre pourquoi, dans l'étude des limites, il est fondamental de distinguer le comportement de la fonction au voisinage d'un point de la valeur de la fonction en ce point même.

Limite infinie lorsque \(x\) tend vers un point fini

Considérons une fonction \(f:A\to\mathbb{R}\), avec \(A\subseteq\mathbb{R}\), et soit \(x_0\in\mathbb{R}\) un point d'accumulation de \(A\).

Il peut arriver que, lorsque \(x\) se rapproche de \(x_0\), les valeurs \(f(x)\) ne se rapprochent pas d'un nombre réel, mais deviennent de plus en plus grandes en valeur absolue. On parle alors de limite infinie.

Écrire

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \]

signifie que les valeurs de la fonction deviennent supérieures à tout nombre positif fixé à l'avance, pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(x_0\), avec \(x\neq x_0\).

La définition rigoureuse est la suivante :

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \]

si et seulement si, pour tout \(M>0\), il existe \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)>M. \]

De même, écrire

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty \]

signifie que les valeurs de la fonction deviennent inférieures à tout nombre négatif fixé à l'avance, aussi grand soit-il en valeur absolue, pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(x_0\), avec \(x\neq x_0\).

Formellement :

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty \]

si et seulement si, pour tout \(M>0\), il existe \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)<-M. \]

Il importe de remarquer que \(+\infty\) et \(-\infty\) ne sont pas des nombres réels. Dire qu'une fonction tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) ne signifie donc pas que la fonction se rapproche d'une valeur numérique, mais que ses valeurs croissent ou décroissent sans limite.

Considérons par exemple la fonction

\[ f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}. \]

Elle n'est pas définie pour \(x=1\). Cependant, lorsque \(x\) se rapproche de \(1\), le dénominateur \((x-1)^2\) devient positif et de plus en plus proche de \(0\). Par conséquent, le quotient devient positif et arbitrairement grand.

On a donc :

\[ \lim_{x\to 1}\frac{1}{(x-1)^2}=+\infty. \]

De même, pour la fonction

\[ g(x)=-\frac{1}{(x-1)^2} \]

on a :

\[ \lim_{x\to 1}\left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right)=-\infty. \]

Les limites infinies sont étroitement liées à la notion d'asymptote verticale. Si une fonction tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(x_0\), alors la droite verticale \(x=x_0\) est une asymptote verticale du graphe de la fonction.

Limite finie lorsque \(x\) tend vers l'infini

Jusqu'à présent, nous avons considéré le comportement d'une fonction lorsque \(x\) se rapproche d'un point fini \(x_0\). Nous pouvons cependant également étudier ce qui se produit lorsque \(x\) prend des valeurs de plus en plus grandes, ou de plus en plus petites.

Considérons une fonction \(f:A\to\mathbb{R}\), avec \(A\subseteq\mathbb{R}\). Pour étudier la limite lorsque \(x\to+\infty\), il est nécessaire que le domaine \(A\) contienne des valeurs arbitrairement grandes. Autrement dit, pour tout nombre réel \(R\), il doit exister au moins un \(x\in A\) tel que \(x>R\).

Écrire

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=L \]

signifie que les valeurs \(f(x)\) se rapprochent du nombre réel \(L\) lorsque \(x\) devient de plus en plus grand.

La définition rigoureuse est la suivante :

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=L \]

si et seulement si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un nombre réel \(R\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ x>R \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

La signification est analogue à celle de la définition avec \(\varepsilon\) et \(\delta\) : le nombre \(\varepsilon\) fixe le degré de proximité exigé entre \(f(x)\) et \(L\), tandis que le nombre \(R\) indique à partir de quel rang cette proximité est garantie.

De même, pour étudier la limite lorsque \(x\to-\infty\), le domaine \(A\) doit contenir des valeurs arbitrairement petites. Écrire

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=L \]

signifie que les valeurs \(f(x)\) se rapprochent du nombre réel \(L\) lorsque \(x\) devient de plus en plus petit.

Formellement :

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=L \]

si et seulement si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un nombre réel \(R\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ x<R \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Dans cette définition, le nombre \(R\) est choisi de telle sorte que, pour des valeurs de \(x\) inférieures à \(R\), la fonction prenne des valeurs proches de \(L\).

Considérons par exemple la fonction

\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

Lorsque \(x\) prend des valeurs positives de plus en plus grandes, le quotient \(\displaystyle \frac{1}{x}\) devient de plus en plus proche de \(0\). On a donc :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Il en va de même lorsque \(x\) prend des valeurs négatives de plus en plus petites : là encore, la valeur absolue de \(\displaystyle \frac{1}{x}\) devient de plus en plus petite. On a donc :

\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Une limite finie lorsque \(x\to+\infty\) ou lorsque \(x\to-\infty\) décrit donc le fait que, en s'éloignant indéfiniment le long de l'axe réel, la fonction se rapproche d'une valeur réelle déterminée. Ce comportement est à la base de la notion d'asymptote horizontale.

Limite infinie lorsque \(x\) tend vers l'infini

Nous pouvons enfin considérer le cas où la variable \(x\) tend vers l'infini tandis que, simultanément, les valeurs de la fonction deviennent elles aussi arbitrairement grandes ou arbitrairement petites.

Considérons une fonction \(f:A\to\mathbb{R}\), avec \(A\subseteq\mathbb{R}\), et supposons que le domaine \(A\) contienne des valeurs arbitrairement grandes.

Écrire

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty \]

signifie que les valeurs de la fonction deviennent supérieures à tout nombre positif fixé à l'avance, pourvu que \(x\) soit suffisamment grand.

La définition rigoureuse est la suivante :

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty \]

si et seulement si, pour tout \(M>0\), il existe un nombre réel \(R\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ x>R \implies f(x)>M. \]

De même, écrire

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty \]

signifie que les valeurs de la fonction deviennent inférieures à tout nombre négatif fixé à l'avance, aussi grand soit-il en valeur absolue, pourvu que \(x\) soit suffisamment grand.

Formellement :

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty \]

si et seulement si, pour tout \(M>0\), il existe un nombre réel \(R\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ x>R \implies f(x)<-M. \]

Les définitions pour \(x\to-\infty\) sont analogues. Si le domaine \(A\) contient des valeurs arbitrairement petites, alors

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty \]

si et seulement si, pour tout \(M>0\), il existe un nombre réel \(R\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ x<R \implies f(x)>M. \]

De même,

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty \]

si et seulement si, pour tout \(M>0\), il existe un nombre réel \(R\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ x<R \implies f(x)<-M. \]

Par exemple, pour la fonction \(f(x)=x^2\), on a :

\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty \]

ainsi que

\[ \lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty. \]

En effet, lorsque \(x\) devient de plus en plus grand en valeur absolue, le carré \(x^2\) devient arbitrairement grand.

Pour la fonction \(g(x)=x^3\), en revanche, on a :

\[ \lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty \]

tandis que

\[ \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]

Dans ce cas, le signe des valeurs de la fonction dépend du signe de \(x\), car l'exposant de la puissance est impair.

Les limites infinies lorsque \(x\to+\infty\) ou lorsque \(x\to-\infty\) décrivent donc des fonctions qui ne se rapprochent pas d'une valeur réelle finie, mais qui croissent ou décroissent sans limite le long d'une direction de l'axe réel.

Limite à droite et limite à gauche

Lorsqu'on étudie la limite d'une fonction pour \(x\to x_0\), la variable \(x\) peut se rapprocher de \(x_0\) selon deux directions distinctes : par la droite ou par la gauche.

Dire que \(x\) tend vers \(x_0\) par la droite signifie que \(x\) se rapproche de \(x_0\) en prenant des valeurs supérieures à \(x_0\). On note :

\[ x\to x_0^+. \]

Dire au contraire que \(x\) tend vers \(x_0\) par la gauche signifie que \(x\) se rapproche de \(x_0\) en prenant des valeurs inférieures à \(x_0\). On note :

\[ x\to x_0^-. \]

Considérons une fonction \(f:A\to\mathbb{R}\), avec \(A\subseteq\mathbb{R}\). Pour étudier la limite à droite en \(x_0\), il est nécessaire qu'il existe des points du domaine \(A\) arbitrairement proches de \(x_0\) et supérieurs à \(x_0\).

Écrire

\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L \]

signifie que les valeurs \(f(x)\) se rapprochent de \(L\) lorsque \(x\) se rapproche de \(x_0\) en prenant des valeurs supérieures à \(x_0\).

Formellement :

\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L \]

si et seulement si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ 0<x-x_0<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

De même, pour étudier la limite à gauche en \(x_0\), il est nécessaire qu'il existe des points du domaine \(A\) arbitrairement proches de \(x_0\) et inférieurs à \(x_0\).

Écrire

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \]

signifie que les valeurs \(f(x)\) se rapprochent de \(L\) lorsque \(x\) se rapproche de \(x_0\) en prenant des valeurs inférieures à \(x_0\).

Formellement :

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \]

si et seulement si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ 0<x_0-x<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Les conditions \(0<x-x_0<\delta\) et \(0<x_0-x<\delta\) indiquent respectivement que \(x\) appartient à un voisinage à droite ou à gauche de \(x_0\), le point \(x_0\) lui-même étant exclu.

Si le domaine de la fonction contient des points arbitrairement proches de \(x_0\) tant à gauche qu'à droite de \(x_0\), alors la limite pour \(x\to x_0\) existe si et seulement si la limite à droite et la limite à gauche existent toutes deux et sont égales. Dans ce cas, leur valeur commune est la limite de la fonction en \(x_0\).

On note :

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L \]

si et seulement si

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L. \]

Si en revanche la limite à droite et la limite à gauche existent mais sont différentes, alors la limite de la fonction pour \(x\to x_0\) n'existe pas.

Considérons par exemple la fonction

\[ f(x)=\frac{|x|}{x}. \]

Pour \(x>0\), on a \(|x|=x\), donc \(f(x)=1\). Pour \(x<0\), en revanche, on a \(|x|=-x\), donc \(f(x)=-1\). On a donc :

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1 \]

tandis que

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1. \]

Puisque la limite à droite et la limite à gauche sont différentes, la limite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x} \]

n'existe pas.

Unicité de la limite

Une fonction ne peut admettre deux limites distinctes en un même point, ou selon un même mode de convergence. C'est ce qu'exprime le théorème suivant.

Théorème (unicité de la limite). Soit \(f:A\to\mathbb{R}\), avec \(A\subseteq\mathbb{R}\), et soit \(x_0\) un point d'accumulation de \(A\). Si les limites

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}f(x)=M, \]

existent, alors nécessairement

\[ L=M. \]

Démonstration. Supposons par l'absurde que \(L\neq M\). Sans perte de généralité, on peut supposer \(L<M\).

Choisissons

\[ \varepsilon=\frac{M-L}{2}. \]

Puisque

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

il existe \(\delta_1>0\) tel que

\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

De même, puisque

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=M, \]

il existe \(\delta_2>0\) tel que

\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \implies |f(x)-M|<\varepsilon. \]

Posons

\[ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. \]

Puisque \(x_0\) est un point d'accumulation de \(A\), il existe au moins un point \(x\in A\) tel que

\[ 0<|x-x_0|<\delta. \]

Pour un tel \(x\), les deux inégalités suivantes sont simultanément vérifiées :

\[ |f(x)-L|<\varepsilon \qquad\text{et}\qquad |f(x)-M|<\varepsilon. \]

De la première, on tire

\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon, \]

tandis que de la seconde on obtient

\[ M-\varepsilon<f(x)<M+\varepsilon. \]

En substituant \(\varepsilon=\displaystyle\frac{M-L}{2}\), il vient

\[ L+\varepsilon = L+\frac{M-L}{2} = \frac{L+M}{2}, \]

et de même

\[ M-\varepsilon = M-\frac{M-L}{2} = \frac{L+M}{2}. \]

Par conséquent,

\[ f(x)<\frac{L+M}{2} \qquad\text{et}\qquad f(x)>\frac{L+M}{2}, \]

ce qui est impossible.

L'hypothèse \(L\neq M\) conduit donc à une contradiction. Il s'ensuit que l'on a nécessairement

\[ L=M. \]

Remarque

Ce théorème garantit que, lorsqu'une limite existe, elle est unique. Si en revanche la limite à droite et la limite à gauche sont différentes, la limite n'existe pas, comme on l'a vu dans la section précédente.

Théorème de la permanence du signe

Le théorème de la permanence du signe affirme que, si une fonction tend vers une limite positive, alors elle est positive dans un voisinage suffisamment petit du point considéré. De même, si elle tend vers une limite négative, alors elle est négative dans un voisinage suffisamment petit.

Ce résultat est important car il permet de transférer, au moins localement, le signe de la limite aux valeurs de la fonction.

Théorème. Soit \(f:A\to\mathbb{R}\) une fonction et soit \(x_0\) un point d'accumulation de \(A\). Supposons que

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L. \]

Si \(L>0\), alors il existe \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)>0. \]

Si en revanche \(L<0\), alors il existe \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)<0. \]

Démonstration dans le cas \(L>0\)

Supposons \(L>0\). Puisque

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L, \]

on peut appliquer la définition de la limite en choisissant

\[ \varepsilon=\frac{L}{2}. \]

Puisque \(L>0\), on a \(\varepsilon>0\). Il existe donc \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-L|<\frac{L}{2}. \]

De l'inégalité

\[ |f(x)-L|<\frac{L}{2} \]

il résulte en particulier

\[ -\frac{L}{2}<f(x)-L<\frac{L}{2}. \]

En ajoutant \(L\) aux trois membres, on obtient

\[ \frac{L}{2}<f(x)<\frac{3L}{2}. \]

En particulier, puisque \(L>0\), il vient

\[ f(x)>0. \]

Ainsi, \(f(x)\) est positive en tout point du domaine suffisamment proche de \(x_0\), à l'exception possible de \(x_0\) lui-même.

Cas \(L<0\)

Le cas \(L<0\) se démontre de manière analogue. On choisit

\[ \varepsilon=-\frac{L}{2}, \]

qui est positif puisque \(L<0\). La définition de la limite donne alors, pour \(x\) suffisamment proche de \(x_0\),

\[ |f(x)-L|<-\frac{L}{2}. \]

Cette inégalité implique que \(f(x)\) reste proche du nombre négatif \(L\). Plus précisément, on obtient

\[ \frac{3L}{2}<f(x)<\frac{L}{2}. \]

Puisque \(L<0\), \(\displaystyle\frac{L}{2}\) est également négatif. Par conséquent,

\[ f(x)<0. \]

Remarques

Ce théorème n'affirme pas que la fonction possède le même signe que sa limite sur l'ensemble de son domaine, mais seulement dans un voisinage suffisamment petit du point vers lequel tend la variable.

En outre, si la limite est nulle, aucune permanence du signe ne peut être déduite. Une fonction peut tendre vers \(0\) en prenant des valeurs positives, des valeurs négatives, ou encore des valeurs de signe alterné.

Les mêmes idées s'appliquent aux limites pour \(x\to+\infty\) et pour \(x\to-\infty\) : si la limite est positive, la fonction est positive à partir d'un certain rang ; si la limite est négative, la fonction est négative à partir d'un certain rang.

Théorème d'encadrement

Le théorème d'encadrement (parfois appelé « théorème des gendarmes ») permet de déterminer la limite d'une fonction en la comparant à deux fonctions dont la limite est déjà connue.

L'idée est simple : si une fonction \(g(x)\) est comprise entre deux fonctions \(f(x)\) et \(h(x)\), et si \(f(x)\) et \(h(x)\) tendent vers une même limite \(L\), alors \(g(x)\) tend elle aussi vers \(L\).

Théorème. Soient \(f,g,h:A\to\mathbb{R}\) trois fonctions et soit \(x_0\) un point d'accumulation de \(A\). Supposons qu'il existe un voisinage épointé de \(x_0\) dans lequel

\[ f(x)\leq g(x)\leq h(x). \]

Supposons de plus que

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}h(x)=L. \]

Alors la limite de \(g(x)\) pour \(x\to x_0\) existe également, et l'on a

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=L. \]

Démonstration. Fixons un nombre \(\varepsilon>0\). Puisque

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

il existe un nombre \(\delta_1>0\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

De cette inégalité découle en particulier

\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]

Puisque

\[ \lim_{x\to x_0}h(x)=L, \]

il existe un nombre \(\delta_2>0\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \implies |h(x)-L|<\varepsilon. \]

De cette inégalité découle en particulier

\[ L-\varepsilon<h(x)<L+\varepsilon. \]

Par hypothèse, il existe en outre un nombre \(\delta_0>0\) tel que, pour tout \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \implies f(x)\leq g(x)\leq h(x). \]

Posons

\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1,\delta_2\}. \]

Si \(x\in A\) et \(0<|x-x_0|<\delta\), alors on a simultanément

\[ L-\varepsilon<f(x), \qquad f(x)\leq g(x)\leq h(x), \qquad h(x)<L+\varepsilon. \]

Par conséquent,

\[ L-\varepsilon<g(x)<L+\varepsilon. \]

Ce qui équivaut à dire que

\[ |g(x)-L|<\varepsilon. \]

Nous avons ainsi démontré que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(\delta>0\) tel que

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |g(x)-L|<\varepsilon. \]

Par définition de la limite, il s'ensuit que

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=L. \]

Exemple. Considérons la limite

\[ \lim_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}. \]

La fonction \(\displaystyle \sin\frac{1}{x}\) n'admet pas de limite lorsque \(x\to 0\), car elle oscille indéfiniment. Nous savons cependant que, pour tout \(x\neq 0\),

\[ -1\leq \sin\frac{1}{x}\leq 1. \]

En multipliant tous les membres par \(x^2\), qui est positif ou nul, on obtient

\[ -x^2\leq x^2\sin\frac{1}{x}\leq x^2. \]

Puisque

\[ \lim_{x\to 0}(-x^2)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 0}x^2=0, \]

le théorème d'encadrement permet de conclure que

\[ \lim_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0. \]

Encadrement et limites infinies

Le théorème d'encadrement possède également des versions utiles pour les limites infinies.

Si, dans un voisinage épointé de \(x_0\), on a

\[ f(x)\leq g(x) \]

et

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty, \]

alors

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty. \]

En effet, si \(f(x)\) devient supérieure à tout nombre \(M>0\), alors \(g(x)\), étant supérieure ou égale à \(f(x)\), devient elle aussi supérieure à \(M\).

De même, si, dans un voisinage épointé de \(x_0\), on a

\[ g(x)\leq h(x) \]

et

\[ \lim_{x\to x_0}h(x)=-\infty, \]

alors

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty. \]

Ces versions expriment le même principe : une fonction contrainte, localement, à demeurer au-dessus d'une quantité tendant vers \(+\infty\) tend elle aussi vers \(+\infty\) ; une fonction contrainte à demeurer en dessous d'une quantité tendant vers \(-\infty\) tend elle aussi vers \(-\infty\).

Remarques

L'encadrement doit être valable dans un voisinage du point considéré, à l'exception possible du point lui-même. Il n'est pas nécessaire que les inégalités soient vérifiées sur tout le domaine de la fonction.

Le théorème d'encadrement est particulièrement utile lorsque la fonction dont on cherche la limite contient un facteur oscillant mais borné, comme c'est le cas des fonctions sinus et cosinus.

Opérations sur les limites

Les opérations sur les limites permettent de calculer la limite de fonctions obtenues par sommes, produits, quotients et puissances, à partir de limites déjà connues.

Considérons deux fonctions \(f,g:A\to\mathbb{R}\), avec \(A\subseteq\mathbb{R}\), et soit \(x_0\) un point d'accumulation de \(A\). Supposons qu'il existe deux limites finies :

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M. \]

Les propriétés suivantes sont alors vérifiées.

Limite de la somme

La limite de la somme est égale à la somme des limites :

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]

De même,

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=L-M. \]

Limite du produit

La limite du produit est égale au produit des limites :

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=LM. \]

En particulier, si \(c\in\mathbb{R}\), alors

\[ \lim_{x\to x_0}cf(x)=cL. \]

Limite du quotient

Si \(M\neq 0\), alors la limite du quotient est égale au quotient des limites :

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}. \]

La condition \(M\neq 0\) est essentielle. En effet, si la limite du dénominateur est non nulle, le théorème de la permanence du signe assure que la fonction \(g(x)\) ne s'annule pas dans un voisinage épointé de \(x_0\). Le quotient y est donc bien défini.

Limite des puissances

Si \(n\in\mathbb{N}^*\), alors

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]

Cette propriété résulte de la limite du produit, appliquée de manière répétée.

Limite des racines

Pour les racines, il convient de prêter attention au domaine. Si la fonction \(\sqrt[n]{f(x)}\) est définie dans un voisinage épointé de \(x_0\), alors, dans les cas où la racine réelle est bien définie, on a

\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]

En particulier, pour les racines d'indice pair, il est nécessaire que les valeurs considérées soient positives ou nulles et que la limite \(L\) soit elle-même positive ou nulle.

Exemples

Calculons la limite

\[ \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1). \]

Puisque les fonctions puissance, somme et produit respectent les règles précédentes, on peut substituer directement \(x=2\) :

\[ \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1) = 3\cdot 2^2-5\cdot 2+1 = 12-10+1 = 3. \]

Considérons à présent la limite

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+1}{x+2}. \]

La limite du dénominateur vaut \(3\), elle est donc non nulle. On peut ainsi appliquer la règle du quotient :

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+1}{x+2} = \frac{1^2+1}{1+2} = \frac{2}{3}. \]

Lorsque les règles ne suffisent pas

Les règles précédentes s'appliquent directement lorsque les opérations entre les limites produisent un résultat déterminé. Elles ne peuvent en revanche être appliquées mécaniquement lorsque apparaissent des expressions dépourvues de signification déterminée.

Par exemple, si

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

on ne peut conclure que

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \]

possède une valeur déterminée. L'expression

\[ \frac{0}{0} \]

ne représente pas un résultat, mais une forme indéterminée.

Dans de tels cas, il est nécessaire de transformer l'expression, de la simplifier, ou de recourir à des outils plus spécifiques. Les principales formes indéterminées seront étudiées dans la section suivante.

Les mêmes propriétés valent, moyennant les modifications appropriées, pour les limites lorsque \(x\to+\infty\), lorsque \(x\to-\infty\), ainsi que pour la limite à droite et la limite à gauche.

Formes indéterminées

Dans le calcul des limites, il peut arriver que l'application directe des règles opératoires ne permette pas de déterminer le résultat. On parle alors de formes indéterminées.

Une forme indéterminée n'est ni un nombre ni un résultat. C'est une situation dans laquelle les informations relatives aux limites prises séparément ne suffisent pas à établir la limite de l'expression considérée.

Par exemple, si

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

on ne peut déduire directement la limite du quotient

\[ \frac{f(x)}{g(x)}. \]

En effet, selon les fonctions en jeu, la limite peut être un nombre réel, peut être infinie, ou peut ne pas exister.

La forme indéterminée \(0/0\)

La forme

\[ \frac{0}{0} \]

se présente lorsque le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers zéro.

Par exemple :

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. \]

En substituant formellement \(x=1\), on obtient la forme \(0/0\). Cependant, pour \(x\neq 1\), on peut simplifier :

\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]

D'où :

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2. \]

Ceci montre que la forme \(0/0\) n'indique nullement que la limite soit nulle, mais qu'il est nécessaire de transformer l'expression.

La forme indéterminée \(\infty/\infty\)

La forme

\[ \frac{\infty}{\infty} \]

se présente lorsque le numérateur et le dénominateur deviennent tous deux arbitrairement grands en valeur absolue.

Par exemple :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}. \]

Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers \(+\infty\). Pour calculer la limite, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par \(x^2\) :

\[ \frac{3x^2+1}{x^2-5} = \frac{3+\displaystyle\frac{1}{x^2}}{1-\displaystyle\frac{5}{x^2}}. \]

Puisque \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\to 0\) et \(\displaystyle\frac{5}{x^2}\to 0\) lorsque \(x\to+\infty\), on obtient :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}=3. \]

Là encore, l'écriture \(\infty/\infty\) ne représente pas un résultat : elle indique seulement qu'il convient d'analyser l'expression de manière plus approfondie.

La forme indéterminée \(\infty-\infty\)

La forme

\[ \infty-\infty \]

apparaît lorsque deux quantités divergentes sont soustraites l'une de l'autre. Le résultat dépend alors de la vitesse à laquelle croissent ces deux quantités.

Par exemple :

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]

Les deux termes tendent vers \(+\infty\), d'où une forme \(\infty-\infty\). Pour la lever, on rationalise :

\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]

Pour \(x\to+\infty\), on peut diviser le numérateur et le dénominateur par \(x\) :

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]

On a donc :

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. \]

La forme indéterminée \(0\cdot\infty\)

La forme

\[ 0\cdot\infty \]

se présente lorsqu'un facteur tend vers zéro tandis que l'autre devient arbitrairement grand en valeur absolue.

Dans ce cas, on cherche souvent à transformer le produit en quotient, de manière à se ramener à une forme \(0/0\) ou \(\infty/\infty\).

Par exemple :

\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln x. \]

Lorsque \(x\to 0^+\), on a \(x\to 0\) et \(\ln x\to-\infty\), d'où une forme \(0\cdot(-\infty)\). On peut réécrire :

\[ x\ln x=\frac{\ln x}{\displaystyle\frac{1}{x}}. \]

La limite se trouve ainsi ramenée à une forme \(\infty/\infty\), que l'on peut étudier au moyen d'outils appropriés. On obtient en particulier :

\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln x=0. \]

Formes indéterminées exponentielles

Il existe également des formes indéterminées faisant intervenir des puissances dont la base et l'exposant varient tous deux. Les principales sont :

\[ 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Ces formes se rencontrent dans l'étude de limites du type

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{g(x)}, \]

lorsque la base \(f(x)\) et l'exposant \(g(x)\) varient simultanément. Dans ce cas, on exige, au moins dans un voisinage épointé du point considéré, que la base soit strictement positive, de manière à pouvoir recourir à l'écriture exponentielle

\[ \bigl(f(x)\bigr)^{g(x)} = e^{g(x)\ln(f(x))}. \]

L'étude de la limite se trouve ainsi ramenée au calcul de la limite de l'exposant \(g(x)\ln(f(x))\).

Liste des principales formes indéterminées

Les principales formes indéterminées sont :

\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Lorsqu'une forme indéterminée apparaît, il ne faut en aucun cas attribuer automatiquement une valeur à la limite. Il convient au contraire de transformer l'expression, de recourir à des limites remarquables, d'appliquer un encadrement, ou de faire appel à d'autres outils de l'analyse.

Formes non indéterminées

Toutes les expressions faisant intervenir zéro ou l'infini ne sont pas indéterminées. Par exemple, si \(L\in\mathbb{R}\), alors, dans de nombreux cas, le rapport entre une quantité tendant vers \(L\) et une quantité tendant vers l'infini tend vers zéro :

\[ \frac{L}{\infty}=0. \]

Cette écriture n'est qu'une abréviation intuitive : sa signification rigoureuse est que le numérateur tend vers un nombre réel fini, tandis que le dénominateur devient arbitrairement grand en valeur absolue.

De même, des expressions telles que \(L+\infty\), avec \(L\in\mathbb{R}\), ne sont pas des formes indéterminées : le terme infini domine le terme fini.

La distinction entre formes déterminées et formes indéterminées est essentielle, car elle permet de savoir quand les règles relatives aux limites fournissent immédiatement une réponse, et quand, au contraire, un travail supplémentaire s'impose.

Limites remarquables

Les limites remarquables sont des limites fondamentales qui reviennent fréquemment dans l'étude des fonctions. Elles permettent de lever de nombreuses formes indéterminées, notamment du type \(0/0\), en ramenant l'expression à des limites déjà connues.

Ces limites ne doivent pas être appliquées mécaniquement : il convient toujours de vérifier que la variable ou l'expression considérée tend vers la valeur requise, et que les fonctions en jeu sont définies dans un voisinage épointé du point considéré.

Limite remarquable du sinus

L'une des limites remarquables les plus importantes est

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]

Cette limite est valable lorsque l'angle \(x\) est mesuré en radians. Elle affirme que, pour des valeurs de \(x\) proches de \(0\), le sinus de \(x\) se comporte comme \(x\).

De manière équivalente, pour \(x\to 0\), on peut écrire de façon informelle :

\[ \sin x \sim x. \]

L'écriture \(\sin x \sim x\) signifie que le rapport entre \(\sin x\) et \(x\) tend vers \(1\).

Limite remarquable du cosinus

Une autre limite fondamentale est

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]

Elle décrit le comportement de \(1-\cos x\) au voisinage de \(0\). En particulier, pour \(x\to 0\), on a

\[ 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}. \]

Cette limite se révèle souvent utile lorsque des expressions trigonométriques se présentent sous forme indéterminée.

Limite remarquable de la tangente

De la limite remarquable du sinus et de la continuité du cosinus en \(0\), on tire :

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1. \]

En effet,

\[ \frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}. \]

Puisque \(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\to 1\) et \(\cos x\to 1\), il s'ensuit que \(\displaystyle\frac{\tan x}{x}\to 1\).

Limite remarquable exponentielle

Une limite fondamentale liée au nombre népérien \(e\) est

\[ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e. \]

Dans cette écriture, on considère \(x\) suffisamment proche de \(0\), avec \(x\neq 0\), et tel que \(1+x>0\).

Une forme équivalente de cette même limite est

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e. \]

Ces limites sont à la base de nombreuses transformations faisant intervenir des expressions du type \(1^\infty\).

Limite remarquable du logarithme

Pour le logarithme népérien, on a la limite remarquable

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1. \]

La fonction est définie pour \(1+x>0\), c'est-à-dire pour \(x>-1\). La limite affirme que, pour \(x\to 0\), le logarithme \(\ln(1+x)\) se comporte comme \(x\) :

\[ \ln(1+x)\sim x. \]

Plus généralement, si \(u(x)\to 0\) et \(1+u(x)>0\) dans un voisinage épointé du point considéré, alors

\[ \frac{\ln(1+u(x))}{u(x)}\to 1. \]

Limite remarquable de l'exponentielle

Pour la fonction exponentielle népérienne, on a

\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]

Cette limite affirme que, au voisinage de \(0\), la quantité \(e^x-1\) se comporte comme \(x\) :

\[ e^x-1\sim x. \]

Plus généralement, si \(a>0\), alors

\[ \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a. \]

En effet, \(a^x=e^{x\ln a}\), de sorte que le comportement de \(a^x-1\) au voisinage de \(0\) dépend du facteur \(\ln a\).

Limite remarquable des puissances

Si \(\alpha\in\mathbb{R}\), on a la limite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha. \]

Ici encore, il convient de considérer \(x\) dans un voisinage de \(0\) où la puissance réelle \((1+x)^\alpha\) est définie. Il suffit en particulier d'exiger \(1+x>0\).

Cette limite se révèle très utile lorsque apparaissent des racines ou des puissances d'exposant réel. Par exemple, en choisissant \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\), on obtient :

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}. \]

Exemple d'application

Calculons la limite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}. \]

Multiplions et divisons par \(3\) :

\[ \frac{\sin(3x)}{x} = 3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}. \]

Puisque \(3x\to 0\) lorsque \(x\to 0\), la limite remarquable du sinus donne

\[ \frac{\sin(3x)}{3x}\to 1. \]

On a donc :

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}=3. \]

Tableau des principales limites remarquables

Récapitulons les principales limites remarquables :

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a. \]

\[ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e, \qquad \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha. \]

Les équivalences que l'on tire de ces limites sont souvent déterminantes dans le calcul des limites. Elles ne doivent toutefois être utilisées que lorsque l'argument tend effectivement vers \(0\), ou lorsque la variable tend vers l'infini selon les modalités requises par la formule.

Infiniment petits et infiniment grands

Dans l'étude des limites, il est souvent utile de caractériser une fonction non seulement par la valeur de sa limite, mais aussi par la vitesse à laquelle elle tend vers zéro ou devient arbitrairement grande.

Cette exigence conduit aux notions d'infiniment petit, d'infiniment grand et de comparaison d'ordres.

Infiniment petits

Une fonction \(f\) est dite infiniment petite (ou infinitésimale) pour \(x\to x_0\) si

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0. \]

Autrement dit, un infiniment petit est une fonction qui, dans le processus de passage à la limite considéré, prend des valeurs arbitrairement proches de zéro.

Par exemple, pour \(x\to 0\), sont infiniment petites les fonctions

\[ x, \qquad x^2, \qquad \sin x, \qquad 1-\cos x. \]

En effet, toutes ces fonctions tendent vers zéro lorsque \(x\to 0\).

La fonction \(\displaystyle\frac{1}{x}\) est elle aussi infiniment petite, mais pour \(x\to+\infty\) ou pour \(x\to-\infty\), puisque

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Infiniment grands

Une fonction \(f\) est dite infiniment grande pour \(x\to x_0\) si

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]

ou bien

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. \]

Plus généralement, on parle de fonction infiniment grande lorsque les valeurs de \(f(x)\) deviennent arbitrairement grandes en valeur absolue dans le processus de passage à la limite considéré.

Par exemple, pour \(x\to+\infty\), sont infiniment grandes les fonctions

\[ x, \qquad x^2, \qquad e^x. \]

Pour \(x\to 0\), en revanche, est infiniment grande la fonction

\[ \frac{1}{x^2}, \]

car

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]

Relation entre infiniment petits et infiniment grands

Les notions d'infiniment petit et d'infiniment grand sont étroitement liées. Si \(f\) est infiniment petite pour le passage à la limite considéré et si \(f(x)\neq 0\) dans un voisinage épointé du point considéré, alors la fonction inverse au sens multiplicatif

\[ x\mapsto \frac{1}{f(x)} \]

est infiniment grande en valeur absolue. Si le signe de \(f(x)\) n'est pas constant, les limites à droite et à gauche de cette fonction inverse peuvent être de signes opposés.

Par exemple, pour \(x\to 0\), la fonction \(x^2\) est infiniment petite et positive pour \(x\neq 0\). Par conséquent,

\[ \frac{1}{x^2} \]

est infiniment grande et positive pour \(x\to 0\).

De même, si \(f\) est infiniment grande et ne s'annule pas dans un voisinage épointé du point considéré, alors la fonction inverse au sens multiplicatif

\[ x\mapsto \frac{1}{f(x)} \]

est infiniment petite.

Comparaison d'infiniment petits

Deux infiniment petits peuvent tendre vers zéro à des vitesses différentes. Pour les comparer, on étudie la limite de leur rapport.

Soient \(f\) et \(g\) deux infiniment petits pour \(x\to x_0\), avec \(g(x)\neq 0\) dans un voisinage épointé de \(x_0\). Considérons la limite

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Si

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]

alors \(f\) est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à \(g\). Cela signifie que \(f(x)\) tend vers zéro plus rapidement que \(g(x)\).

Si en revanche

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell, \qquad \ell\in\mathbb{R},\quad \ell\neq 0, \]

alors \(f\) et \(g\) sont des infiniment petits du même ordre.

Si enfin

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\pm\infty, \]

alors \(f\) tend vers zéro plus lentement que \(g\).

Exemple de comparaison d'infiniment petits

Pour \(x\to 0\), comparons les infiniment petits \(x^2\) et \(x\). Calculons :

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to 0}x = 0. \]

Ainsi \(x^2\) est un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à \(x\) : en effet, \(x^2\) tend vers zéro plus rapidement que \(x\).

Comparons à présent \(\sin x\) et \(x\), toujours pour \(x\to 0\). De la limite remarquable

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \]

il résulte que \(\sin x\) et \(x\) sont des infiniment petits du même ordre.

Infiniment grands équivalents et infiniment petits équivalents

Deux fonctions \(f\) et \(g\) sont dites équivalentes pour \(x\to x_0\) si

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]

On note alors

\[ f(x)\sim g(x) \qquad\text{pour }x\to x_0. \]

L'écriture \(f(x)\sim g(x)\) signifie que, dans le processus de passage à la limite considéré, les deux fonctions ont le même comportement principal.

Par exemple, pour \(x\to 0\), les limites remarquables fournissent les équivalences

\[ \sin x\sim x, \qquad \tan x\sim x, \qquad 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}, \qquad \ln(1+x)\sim x, \qquad e^x-1\sim x. \]

Ces équivalences sont très utiles dans le calcul des limites, car elles permettent de remplacer une fonction par une autre, plus simple, ayant le même comportement principal.

Usage correct des équivalents

Les équivalents doivent être utilisés avec précaution. En particulier, la substitution par équivalents est sûre dans les produits et les quotients, alors qu'elle ne peut être appliquée mécaniquement dans des sommes ou des différences où les termes principaux peuvent se compenser.

Par exemple, puisque \(\sin x\sim x\) pour \(x\to 0\), on peut calculer :

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]

Cependant, dans une expression telle que

\[ \sin x-x, \]

on ne peut se contenter de remplacer \(\sin x\) par \(x\) et conclure que la différence est nulle. En réalité, cette différence est d'un ordre supérieur et requiert des outils plus fins, tels que des développements limités ou des transformations spécifiques.

Cette remarque est fondamentale : les équivalents décrivent le comportement principal d'une fonction, mais peuvent se révéler insuffisants lorsque les termes principaux se compensent.

Comparaison d'infiniment grands

Les fonctions infiniment grandes peuvent elles aussi être comparées au moyen de leur rapport. Si \(f\) et \(g\) sont infiniment grandes pour \(x\to x_0\), on étudie

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Si la limite vaut \(0\), alors \(f\) croît plus lentement que \(g\). Si la limite est un nombre réel non nul, les deux fonctions ont le même ordre de grandeur à l'infini. Si la limite est infinie, alors \(f\) croît plus rapidement que \(g\).

Par exemple, pour \(x\to+\infty\),

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0. \]

Ainsi \(x\) est un infiniment grand d'ordre inférieur par rapport à \(x^2\), c'est-à-dire que \(x^2\) croît plus rapidement que \(x\).

Plus généralement, pour \(x\to+\infty\), les puissances positives de \(x\) croissent d'autant plus rapidement que l'exposant est grand.

Remarques

La comparaison des infiniment petits et des infiniment grands ne porte pas seulement sur la valeur de la limite, mais sur la vitesse à laquelle une fonction tend vers zéro ou diverge. Ce point de vue est essentiel pour lever de nombreuses formes indéterminées.

En particulier, de nombreuses techniques de calcul des limites consistent à repérer le terme dominant, c'est-à-dire le terme qui détermine le comportement principal de l'expression dans le processus de passage à la limite considéré.

Stratégies de calcul des limites

Le calcul d'une limite ne consiste pas à appliquer toujours la même règle. Selon la forme de l'expression, il peut être nécessaire de recourir à des propriétés algébriques, à des limites remarquables, à un encadrement, à des équivalences ou à des transformations spécifiques.

Une bonne stratégie consiste avant tout à reconnaître si l'expression conduit à une forme déterminée ou à une forme indéterminée.

Substitution directe lorsque cela est possible

Lorsque les opérations sur les limites s'appliquent directement et qu'aucune forme indéterminée n'apparaît, la limite se calcule en substituant la valeur vers laquelle tend \(x\).

Par exemple :

\[ \lim_{x\to 2}(x^2+3x-1) = 2^2+3\cdot 2-1 = 9. \]

Dans ce cas, aucune difficulté n'apparaît : polynômes, sommes et produits se comportent de façon régulière vis-à-vis du passage à la limite.

Simplification dans les formes \(0/0\)

Lorsqu'une forme \(0/0\) apparaît, l'une des premières stratégies consiste à simplifier l'expression, si cela est possible.

Par exemple :

\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}. \]

En substituant formellement \(x=3\), on obtient \(0/0\). Factorisons le numérateur :

\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]

Pour \(x\neq 3\), on peut donc écrire :

\[ \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3. \]

Il s'ensuit que

\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x\to 3}(x+3) = 6. \]

Cette simplification est licite, car la limite étudie le comportement pour \(x\) proche de \(3\), mais distinct de \(3\).

Rationalisation

Lorsque apparaissent des radicaux et des différences, il peut être utile de multiplier et de diviser par l'expression conjuguée.

Considérons :

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \]

En substituant formellement \(x=0\), on obtient \(0/0\). Rationalisons :

\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}. \]

Puisque \(1+x-1=x\), pour \(x\neq 0\) on obtient :

\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}. \]

On a donc :

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{2}. \]

Division par le terme dominant

Dans les limites de fonctions rationnelles pour \(x\to+\infty\) ou pour \(x\to-\infty\), une stratégie fondamentale consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par la puissance de degré maximal.

Par exemple :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7}. \]

Le terme dominant est \(x^3\). Divisons le numérateur et le dénominateur par \(x^3\) :

\[ \frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7} = \frac{2-\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}}{5+\displaystyle\frac{4}{x}-\displaystyle\frac{7}{x^3}}. \]

Puisque

\[ \frac{1}{x}\to 0, \qquad \frac{1}{x^2}\to 0, \qquad \frac{1}{x^3}\to 0 \]

lorsque \(x\to+\infty\), on obtient :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7} = \frac{2}{5}. \]

Utilisation des limites remarquables

Lorsque apparaissent des fonctions trigonométriques, logarithmiques, exponentielles ou des puissances, de nombreuses limites se ramènent aux limites remarquables.

Par exemple :

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{x}. \]

Multiplions et divisons par \(4\) :

\[ \frac{\ln(1+4x)}{x} = 4\cdot\frac{\ln(1+4x)}{4x}. \]

Puisque \(4x\to 0\) lorsque \(x\to 0\), la limite remarquable

\[ \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1 \]

donne

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{x}=4. \]

Utilisation des infiniment petits équivalents

Les infiniment petits équivalents permettent de remplacer, dans des produits et des quotients, une fonction par une autre, plus simple, ayant le même comportement principal.

Par exemple, pour \(x\to 0\), on sait que

\[ \sin x\sim x \qquad\text{et}\qquad e^x-1\sim x. \]

D'où :

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{e^x-1} = 1. \]

En effet, le numérateur et le dénominateur sont tous deux équivalents à \(x\).

Cette méthode est très rapide, mais doit être employée avec prudence : les équivalents sont sûrs dans les produits et les quotients, alors que, dans les sommes et les différences, ils peuvent conduire à des erreurs si les termes principaux se compensent.

Utilisation du théorème d'encadrement

Lorsqu'une fonction est difficile à traiter directement, mais peut être encadrée par deux fonctions ayant la même limite, on peut recourir au théorème d'encadrement.

Par exemple :

\[ \lim_{x\to 0}x^2\cos\frac{1}{x}. \]

Puisque, pour tout \(x\neq 0\),

\[ -1\leq \cos\frac{1}{x}\leq 1, \]

en multipliant par \(x^2\geq 0\), on obtient :

\[ -x^2\leq x^2\cos\frac{1}{x}\leq x^2. \]

Puisque

\[ \lim_{x\to 0}(-x^2)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 0}x^2=0, \]

le théorème d'encadrement donne

\[ \lim_{x\to 0}x^2\cos\frac{1}{x}=0. \]

Étude séparée à droite et à gauche

Lorsque l'expression change de comportement selon le signe de \(x-x_0\), il est nécessaire d'étudier séparément la limite à droite et la limite à gauche.

Considérons par exemple

\[ \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}. \]

Pour \(x>0\), on a \(|x|=x\), d'où

\[ \frac{|x|}{x}=1. \]

Pour \(x<0\), on a \(|x|=-x\), d'où

\[ \frac{|x|}{x}=-1. \]

D'où :

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1. \]

Puisque la limite à droite et la limite à gauche sont différentes, la limite pour \(x\to 0\) n'existe pas.

Reconnaître le terme dominant

Dans de nombreuses expressions, en particulier pour \(x\to+\infty\) ou pour \(x\to-\infty\), le comportement de la limite est déterminé par le terme dominant, c'est-à-dire par le terme qui croît le plus rapidement.

Par exemple :

\[ \lim_{x\to+\infty}(x^3-4x^2+7x). \]

Le terme dominant est \(x^3\). Les autres termes croissent plus lentement et ne modifient pas le comportement principal. On a donc :

\[ \lim_{x\to+\infty}(x^3-4x^2+7x)=+\infty. \]

Pour \(x\to-\infty\), en revanche, le terme dominant est encore \(x^3\), mais \(x^3\to-\infty\). D'où :

\[ \lim_{x\to-\infty}(x^3-4x^2+7x)=-\infty. \]

Démarche opérationnelle

En résumé, pour calculer une limite, il convient de procéder ainsi :

1. vérifier le point ou la direction vers lesquels tend la variable ;
2. vérifier si les règles relatives aux limites s'appliquent directement ;
3. repérer les éventuelles formes indéterminées ;
4. choisir une transformation adaptée : factorisation, simplification, rationalisation, division par le terme dominant, limites remarquables, équivalents ou encadrement ;
5. si nécessaire, étudier séparément la limite à droite et la limite à gauche ;
6. ne conclure qu'après avoir vérifié que les conditions employées sont valables dans le processus de passage à la limite considéré.

Le point essentiel est de ne pas confondre les écritures symboliques avec des résultats automatiques. Une forme indéterminée signale que la limite requiert une analyse plus fine ; une forme déterminée, en revanche, permet souvent de conclure directement à l'aide des propriétés des limites.

Interprétation graphique des limites et asymptotes

La notion de limite possède une forte interprétation graphique. Étudier une limite revient à observer le comportement du graphe d'une fonction lorsque le point d'abscisse \(x\) se rapproche d'une valeur fixée, ou bien lorsque \(x\) s'éloigne indéfiniment vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\).

Le graphe ne saurait se substituer à la définition rigoureuse, mais il aide à visualiser la signification des différentes situations pouvant se présenter.

Limite finie en un point

Si

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

alors, lorsque \(x\) se rapproche de \(x_0\), les points du graphe de \(f\) se rapprochent de l'ordonnée \(L\).

Cela ne signifie pas nécessairement que le graphe passe par le point \((x_0,L)\). En effet, la valeur \(f(x_0)\) peut ne pas être définie, ou bien différer de \(L\).

D'un point de vue graphique, la limite décrit donc l'allure du graphe au voisinage de la droite verticale \(x=x_0\), sans dépendre nécessairement du point du graphe d'abscisse \(x_0\).

Limite à droite et limite à gauche sur le graphe

La limite à droite décrit le comportement du graphe lorsqu'on s'approche de \(x_0\) par des valeurs supérieures à \(x_0\). La limite à gauche décrit quant à elle le comportement du graphe lorsqu'on s'approche de \(x_0\) par des valeurs inférieures à \(x_0\).

Si le domaine de la fonction contient des points arbitrairement proches de \(x_0\) tant à gauche qu'à droite de \(x_0\), et si

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L, \]

alors le graphe se rapproche de la même ordonnée \(L\) des deux côtés, et la limite pour \(x\to x_0\) existe.

Si en revanche la limite à droite et la limite à gauche sont différentes, le graphe se rapproche de deux ordonnées distinctes. Dans ce cas, la limite pour \(x\to x_0\) n'existe pas.

Limite infinie et asymptote verticale

Si, lorsque \(x\) se rapproche de \(x_0\), les valeurs de la fonction deviennent arbitrairement grandes ou arbitrairement petites, le graphe se rapproche de la droite verticale \(x=x_0\).

Si la limite à droite ou la limite à gauche est infinie, alors la droite

\[ x=x_0 \]

est une asymptote verticale du graphe de la fonction.

Par exemple, si

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]

alors, lorsqu'on s'approche de \(x_0\) par la droite, le graphe s'élève indéfiniment le long de la direction de la droite verticale \(x=x_0\).

De même, si

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty, \]

alors, lorsqu'on s'approche de \(x_0\) par la gauche, le graphe descend indéfiniment le long de la direction de cette même droite verticale.

Il est donc possible que le comportement diffère selon que l'on s'approche par la droite ou par la gauche. Par exemple, une fonction peut tendre vers \(+\infty\) d'un côté et vers \(-\infty\) de l'autre.

Limite finie à l'infini et asymptote horizontale

Si une fonction tend vers un nombre réel \(L\) lorsque \(x\to+\infty\), alors le graphe se rapproche de la droite horizontale

\[ y=L \]

lorsqu'on se déplace indéfiniment vers la droite.

Dans ce cas, la droite \(y=L\) est une asymptote horizontale à droite du graphe de la fonction.

De même, si

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=M, \]

alors la droite

\[ y=M \]

est une asymptote horizontale à gauche.

Les deux asymptotes horizontales peuvent coïncider ou être distinctes. Il peut par exemple arriver qu'une fonction tende vers une certaine valeur pour \(x\to+\infty\) et vers une autre valeur pour \(x\to-\infty\).

Asymptote oblique

Outre les asymptotes verticales et horizontales, une fonction peut posséder une asymptote oblique. Cela se produit lorsque, pour \(x\to+\infty\) ou pour \(x\to-\infty\), le graphe de la fonction se rapproche d'une droite non horizontale.

Une droite d'équation

\[ y=mx+q, \qquad m\neq 0, \]

est une asymptote oblique de \(f\) pour \(x\to+\infty\) si

\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-(mx+q)\bigr)=0. \]

De même, cette définition s'applique pour \(x\to-\infty\), moyennant le remplacement du processus de passage à la limite considéré.

La condition précédente signifie que la distance verticale entre le graphe de la fonction et la droite \(y=mx+q\) tend vers zéro.

Lorsque l'asymptote oblique existe, les coefficients \(m\) et \(q\) se calculent, dans les cas usuels, au moyen des limites

\[ m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} \]

et

\[ q=\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr), \]

pourvu que ces limites existent, soient finies, et que \(m\neq 0\). Pour \(x\to-\infty\), on utilise les mêmes formules avec la limite pour \(x\to-\infty\).

Exemples d'interprétation graphique

Considérons la fonction

\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

Pour \(x\to 0^+\), on a

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \]

tandis que pour \(x\to 0^-\), on a

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

Ainsi, la droite \(x=0\), c'est-à-dire l'axe des ordonnées, est une asymptote verticale du graphe de la fonction.

En outre,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Par conséquent, la droite \(y=0\), c'est-à-dire l'axe des abscisses, est une asymptote horizontale tant à droite qu'à gauche.

Considérons à présent la fonction

\[ g(x)=x+\frac{1}{x}. \]

Pour \(x\to+\infty\), on a

\[ g(x)-x=\frac{1}{x}\to 0. \]

Ainsi, la droite

\[ y=x \]

est une asymptote oblique pour \(x\to+\infty\). Il en va de même pour \(x\to-\infty\), car \(\displaystyle\frac{1}{x}\to 0\) également dans cette direction.

Remarques finales

L'interprétation graphique des limites permet de relier la définition rigoureuse au comportement visible du graphe. Le graphe doit cependant être considéré comme un guide, et non comme une démonstration.

Pour établir avec certitude l'existence et la valeur d'une limite, il faut toujours se référer aux définitions, aux théorèmes et aux propriétés étudiés dans les sections précédentes.

En résumé, les limites permettent de décrire avec précision trois aspects fondamentaux du comportement d'une fonction : ce qui se passe au voisinage d'un point, ce qui se passe à l'infini, et la manière dont le graphe se positionne par rapport à d'éventuelles asymptotes.