Dans cet article, nous étudierons les sous-suites, c'est-à-dire les suites obtenues en extrayant certains termes d'une suite donnée, sans modifier l'ordre dans lequel ils apparaissent.
La notion de sous-suite est fondamentale dans l'étude des suites numériques, car elle permet d'analyser le comportement d'une suite en n'en observant qu'une partie des termes. Les sous-suites se révèlent en particulier très utiles pour étudier la convergence, la divergence et les oscillations d'une suite.
Tout au long de cet article, nous considérerons des suites réelles, c'est-à-dire des suites de la forme
\[ a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}, \]
et nous noterons leurs termes \(a_n\), lorsque \(n\) parcourt \(\mathbb{N}\).
Dans tout le texte, nous supposons que \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
Sommaire
- Définition d'une sous-suite
- Interprétation intuitive
- Exemples de sous-suites
- Comment reconnaître une sous-suite
- Toute sous-suite d'une suite convergente converge vers la même limite
- Sous-suites et non-convergence
- Sous-suites de suites divergentes vers l'infini
Définition d'une sous-suite
Soit \((a_n)\) une suite réelle. Une sous-suite de \((a_n)\) est une suite obtenue en choisissant une suite strictement croissante d'indices entiers naturels
\[ k_0<k_1<k_2<\dots \]
puis en considérant les termes correspondants de la suite initiale :
\[ a_{k_0},a_{k_1},a_{k_2},\dots \]
En symboles, une sous-suite de \((a_n)\) se note souvent
\[ (a_{k_n}), \]
où \((k_n)\) est une suite d'entiers naturels telle que
\[ k_n<k_{n+1} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
La condition \(k_n<k_{n+1}\) est essentielle : elle signifie que les indices choisis doivent croître strictement. Les termes sont ainsi extraits de la suite d'origine en respectant leur ordre naturel.
Définition équivalente
Une sous-suite de \((a_n)\) peut également être définie au moyen d'une application
\[ \varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \]
strictement croissante. Dans ce cas, la sous-suite est
\[ (a_{\varphi(n)}). \]
Les deux définitions sont équivalentes : il suffit de poser
\[ k_n=\varphi(n). \]
Dans les deux cas, le point essentiel est que les indices doivent augmenter strictement.
Attention. Une sous-suite n'est pas une suite formée en choisissant des termes au hasard. Il est nécessaire que les termes retenus respectent l'ordre dans lequel ils figurent dans la suite de départ.
Par exemple, si l'on considère les termes
\[ a_5,a_2,a_8, \]
ceux-ci ne peuvent pas constituer le début d'une sous-suite, car les indices ne sont pas rangés par ordre croissant.
En revanche, les termes
\[ a_2,a_5,a_8 \]
peuvent constituer le début d'une sous-suite, car les indices \(2,5,8\) sont strictement croissants.
Interprétation intuitive
Une sous-suite s'obtient en choisissant des termes de la suite d'origine et en les conservant dans le même ordre.
Par exemple, étant donné une suite
\[ a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\dots, \]
nous pouvons ne retenir que les termes d'indice pair :
\[ a_0,a_2,a_4,a_6,\dots \]
C'est une sous-suite de la suite initiale.
Nous pouvons tout aussi bien ne retenir que les termes d'indice impair :
\[ a_1,a_3,a_5,a_7,\dots \]
Il s'agit là encore d'une sous-suite.
De façon générale, une sous-suite observe la suite de départ le long d'une suite croissante d'indices.
Une propriété des indices d'une sous-suite
Si \((k_n)\) est une suite strictement croissante d'entiers naturels, alors
\[ k_n\ge n \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Démonstration. Puisque \(k_0\in\mathbb{N}\), on a
\[ k_0\ge 0. \]
De plus, comme \((k_n)\) est strictement croissante et prend des valeurs entières, l'inégalité \(k_n<k_{n+1}\) entraîne
\[ k_{n+1}\ge k_n+1. \]
Démontrons par récurrence que \(k_n\ge n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Pour \(n=0\), nous avons déjà observé que \(k_0\ge 0\). Supposons à présent que \(k_n\ge n\). Alors
\[ k_{n+1}\ge k_n+1\ge n+1. \]
Par conséquent, d'après le principe de récurrence,
\[ k_n\ge n \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Cette propriété montre que les indices d'une sous-suite tendent nécessairement vers l'infini.
Exemples de sous-suites
Examinons quelques exemples fondamentaux.
Exemple 1. Considérons la suite
\[ a_n=n. \]
Si nous choisissons les indices pairs, c'est-à-dire
\[ k_n=2n, \]
nous obtenons la sous-suite
\[ a_{k_n}=a_{2n}=2n. \]
Ainsi
\[ (a_{2n})=(0,2,4,6,\dots). \]
C'est une sous-suite de \((a_n)\), car les indices
\[ 0,2,4,6,\dots \]
sont strictement croissants.
Exemple 2. Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n. \]
Si nous choisissons les indices pairs \(k_n=2n\), nous obtenons
\[ a_{k_n}=a_{2n}=(-1)^{2n}=1. \]
La sous-suite des termes d'indice pair est donc
\[ (a_{2n})=(1,1,1,1,\dots). \]
Si nous choisissons au contraire les indices impairs \(k_n=2n+1\), nous obtenons
\[ a_{k_n}=a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1. \]
La sous-suite des termes d'indice impair est donc
\[ (a_{2n+1})=(-1,-1,-1,-1,\dots). \]
Cet exemple est très important : la suite \(((-1)^n)\) ne converge pas, et pourtant elle possède des sous-suites convergentes.
Exemple 3. Considérons la suite
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Si nous choisissons les indices
\[ k_n=n^2, \]
nous obtenons
\[ a_{k_n}=a_{n^2}=\frac{1}{n^2+1}. \]
Ainsi, \(\left(\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\right)\) est une sous-suite de \(\left(\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)\).
Les indices choisis sont
\[ 0,1,4,9,16,\dots \]
et ils forment une suite strictement croissante. En effet,
\[ 0<1<4<9<16<\dots. \]
Par conséquent, la suite \((a_{n^2})\) est bien une sous-suite de \((a_n)\).
Comment reconnaître une sous-suite
Pour déterminer si une suite \((b_n)\) est une sous-suite d'une suite \((a_n)\), il faut vérifier s'il existe une suite strictement croissante d'indices entiers naturels \((k_n)\) telle que
\[ b_n=a_{k_n} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Exemple. Considérons la suite
\[ a_n=n^2. \]
La suite
\[ b_n=(n+1)^2 \]
est une sous-suite de \((a_n)\). Il suffit en effet de choisir
\[ k_n=n+1. \]
On a alors
\[ a_{k_n}=a_{n+1}=(n+1)^2=b_n. \]
Comme \(k_n=n+1\) est strictement croissante, \((b_n)\) est une sous-suite de \((a_n)\).
Contre-exemple. Considérons de nouveau la suite
\[ a_n=n. \]
La suite
\[ b_n=-n \]
n'est pas une sous-suite de \((a_n)\), car tous les termes de \((a_n)\) sont des entiers naturels, tandis que \(b_n\) prend des valeurs négatives dès que \(n\ge 1\).
Il ne peut donc exister aucune suite d'indices entiers naturels \((k_n)\) telle que
\[ b_n=a_{k_n} \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Attention. Il ne suffit pas que les termes de \((b_n)\) appartiennent à l'ensemble des valeurs prises par \((a_n)\). Il faut encore qu'ils apparaissent dans le bon ordre et qu'ils puissent être associés à une suite strictement croissante d'indices.
Considérons par exemple
\[ a_n=(-1)^n. \]
La suite constante \(b_n=1\) est une sous-suite de \((a_n)\), car on l'obtient en choisissant les indices pairs.
En revanche, la suite
\[ 1,-1,1,-1,\dots \]
est la suite elle-même, c'est-à-dire la sous-suite triviale obtenue en prenant \(k_n=n\).
Toute sous-suite d'une suite convergente converge vers la même limite
Le résultat le plus important concernant les sous-suites est le suivant.
Théorème. Si une suite réelle \((a_n)\) converge vers un nombre réel \(\ell\), alors toute sous-suite \((a_{k_n})\) de cette suite converge vers la même limite \(\ell\).
Démonstration. Supposons que
\[ a_n\to \ell. \]
Soit \((a_{k_n})\) une sous-suite de \((a_n)\), avec \((k_n)\) strictement croissante.
Par définition de la limite, pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
Comme \((k_n)\) est une suite strictement croissante d'entiers naturels, on a
\[ k_n\ge n \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Ainsi, si \(n\ge N\), alors
\[ k_n\ge n\ge N. \]
En appliquant la définition de la limite à l'indice \(k_n\), nous obtenons
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
Ceci vaut pour tout \(n\ge N\). Par conséquent
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Nous avons ainsi démontré que toute sous-suite d'une suite convergente converge vers la même limite que la suite d'origine.
Conséquence
Si une suite possède deux sous-suites convergeant vers des limites différentes, alors la suite de départ ne converge pas.
Démonstration. Supposons, par l'absurde, que \((a_n)\) converge vers un nombre réel \(\ell\).
Alors, d'après le théorème que nous venons de démontrer, toute sous-suite de \((a_n)\) devrait converger vers \(\ell\).
Or, s'il existe deux sous-suites convergeant vers deux limites différentes, nous aboutissons à une contradiction.
Par conséquent, la suite \((a_n)\) ne peut pas converger.
Sous-suites et non-convergence
Les sous-suites fournissent une méthode très efficace pour démontrer qu'une suite ne converge pas.
L'idée est simple : si nous parvenons à exhiber deux sous-suites de la même suite qui convergent vers des limites différentes, alors la suite d'origine ne peut admettre de limite.
Un exemple fondamental
Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n. \]
La sous-suite des indices pairs est
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}=1. \]
Donc
\[ a_{2n}\to 1. \]
La sous-suite des indices impairs est
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1. \]
Donc
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Nous avons exhibé deux sous-suites de la même suite qui convergent vers deux limites différentes :
\[ 1\ne -1. \]
Par conséquent, la suite \(((-1)^n)\) ne converge pas.
Autre exemple
Considérons la suite
\[ a_n=\frac{1+(-1)^n}{2}. \]
Pour les indices pairs, on a
\[ a_{2n}=\frac{1+(-1)^{2n}}{2}=\frac{1+1}{2}=1. \]
Pour les indices impairs, on a
\[ a_{2n+1}=\frac{1+(-1)^{2n+1}}{2}=\frac{1-1}{2}=0. \]
Donc
\[ a_{2n}\to 1 \]
tandis que
\[ a_{2n+1}\to 0. \]
Puisque les deux sous-suites convergent vers des limites différentes, la suite \((a_n)\) ne converge pas.
Attention. Exhiber une sous-suite convergente ne suffit pas pour conclure que la suite de départ converge.
Par exemple, la suite \(((-1)^n)\) possède la sous-suite constante
\[ a_{2n}=1, \]
qui converge vers \(1\). La suite \(((-1)^n)\) ne converge pourtant pas.
Pour établir la convergence de la suite d'origine, il ne suffit pas d'examiner une seule sous-suite : il faut contrôler le comportement de tous les termes, éventuellement à l'aide de critères appropriés.
Sous-suites de suites divergentes vers l'infini
Pour les suites divergeant vers l'infini, il existe également un lien important avec les sous-suites.
Théorème. Si \(a_n\to+\infty\), alors toute sous-suite \((a_{k_n})\) diverge vers \(+\infty\).
Démonstration. Supposons que \(a_n\to+\infty\).
Par définition, pour tout \(M\in\mathbb{R}\) il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N\),
\[ a_n>M. \]
Soit \((a_{k_n})\) une sous-suite de \((a_n)\). Comme \(k_n\ge n\), si \(n\ge N\), alors
\[ k_n\ge n\ge N. \]
Donc
\[ a_{k_n}>M. \]
Ceci vaut pour tout \(n\ge N\). Par conséquent
\[ a_{k_n}\to +\infty. \]
Le cas \(a_n\to -\infty\)
De manière analogue, si
\[ a_n\to -\infty, \]
alors toute sous-suite \((a_{k_n})\) diverge vers \(-\infty\).
En effet, pour tout \(m\in\mathbb{R}\), l'hypothèse \(a_n\to -\infty\) assure qu'il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N\),
\[ a_n<m. \]
Si \(n\ge N\), alors \(k_n\ge n\ge N\), et donc
\[ a_{k_n}<m. \]
Par conséquent
\[ a_{k_n}\to -\infty. \]
Conclusion
Les sous-suites constituent un outil fondamental pour étudier le comportement asymptotique d'une suite, car elles permettent d'isoler des parties significatives de la suite sans en modifier l'ordre des termes.
En résumé, une sous-suite de \((a_n)\) est une suite de la forme
\[ (a_{k_n}), \]
où \((k_n)\) est une suite strictement croissante d'entiers naturels.
Si une suite converge vers une limite réelle \(\ell\), alors toute sous-suite de cette suite converge vers la même limite \(\ell\). Par conséquent, si une suite possède deux sous-suites convergeant vers des limites différentes, alors la suite ne converge pas.
En revanche, l'existence d'une sous-suite convergente n'implique pas que la suite de départ converge, comme le montre l'exemple de la suite \(((-1)^n)\).
Les sous-suites sont donc fondamentales aussi bien pour reconnaître le comportement local d'une suite que pour démontrer rigoureusement la non-convergence.