Sur cette page, nous étudierons les suites bornées, c'est-à-dire les suites dont les termes ne peuvent pas croître ni décroître sans borne, mais restent contenus entre certaines limites numériques. Nous verrons la différence entre les suites majorées, minorées et bornées, en précisant la signification mathématique de chaque définition.
La notion de suite bornée est fondamentale dans l'étude des suites numériques, car elle permet de décrire le comportement global des termes d'une suite, indépendamment du fait que celle-ci soit convergente ou divergente.
Tout au long de l'article, nous considérerons des suites réelles, c'est-à-dire des suites de la forme
\[ a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}, \]
et nous noterons leurs termes \(a_n\), lorsque \(n\) parcourt \(\mathbb{N}\).
Dans tout le texte, nous supposons que \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
Sommaire
- Suites majorées
- Suites minorées
- Suites bornées
- Interprétation graphique du caractère borné
- Exemples de suites bornées et non bornées
- Premières propriétés des suites bornées
- Suites convergentes et suites bornées
Suites majorées
Une suite réelle \((a_n)\) est dite majorée s'il existe un nombre réel \(M\) tel que tous les termes de la suite soient inférieurs ou égaux à \(M\).
En symboles :
\[ \exists M\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad a_n\le M. \]
Le nombre \(M\) porte le nom de majorant de la suite. Dire que \((a_n)\) est majorée revient donc à dire que l'ensemble de ses termes
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
est une partie majorée de \(\mathbb{R}\).
Il importe d'observer qu'un majorant n'est pas nécessairement un terme de la suite. Il suffit qu'il soit un nombre réel situé au-dessus de tous les termes de la suite.
Exemple. Considérons la suite
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Comme \(n\in\mathbb{N}\), on a \(n+1\ge 1\). Par conséquent :
\[ 0<\frac{1}{n+1}\le 1. \]
Ainsi, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), il vient
\[ a_n\le 1. \]
La suite est donc majorée. Par exemple, \(M=1\) est un majorant.
Toutefois, \(1\) n'est pas le seul majorant. \(2\), \(10\) et, plus généralement, tout nombre réel \(M\ge 1\) est un majorant de la suite.
Attention. Pour démontrer qu'une suite est majorée, il n'est pas nécessaire de trouver le plus petit majorant. Il suffit de trouver au moins un nombre réel \(M\) tel que
\[ a_n\le M \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
À l'inverse, pour démontrer qu'une suite n'est pas majorée, il faut montrer qu'aucun nombre réel ne peut être un majorant. En symboles :
\[ \forall M\in\mathbb{R},\exists n\in\mathbb{N}: a_n>M. \]
Cette condition signifie que, quel que soit le nombre réel \(M\) choisi, il existe au moins un terme de la suite qui le dépasse.
Exemple de suite non majorée
Considérons la suite
\[ a_n=n. \]
Elle n'est pas majorée. En effet, étant donné un \(M\in\mathbb{R}\) quelconque, on peut choisir un indice \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ n>M. \]
Pour un tel indice, on a
\[ a_n=n>M. \]
Ainsi, aucun nombre réel \(M\) ne peut être un majorant de la suite \((n)\).
Suites minorées
Une suite réelle \((a_n)\) est dite minorée s'il existe un nombre réel \(m\) tel que tous les termes de la suite soient supérieurs ou égaux à \(m\).
En symboles :
\[ \exists m\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad a_n\ge m. \]
Le nombre \(m\) porte le nom de minorant de la suite. Dire que \((a_n)\) est minorée revient donc à dire que l'ensemble de ses termes
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
est une partie minorée de \(\mathbb{R}\).
Là encore, un minorant n'est pas nécessairement un terme de la suite. Il suffit qu'il soit un nombre réel situé au-dessous de tous les termes de la suite.
Exemple. Considérons la suite
\[ a_n=n^2+1, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Comme \(n^2\ge 0\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ n^2+1\ge 1. \]
Ainsi, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), il vient
\[ a_n\ge 1. \]
La suite est donc minorée. Par exemple, \(m=1\) est un minorant.
Naturellement, tout nombre réel \(m\le 1\) est lui aussi un minorant de la suite. En effet, si tous les termes sont supérieurs ou égaux à \(1\), alors ils sont assurément supérieurs ou égaux à tout nombre inférieur à \(1\).
Remarque. Pour démontrer qu'une suite est minorée, il n'est pas nécessaire de trouver le plus grand minorant. Il suffit de trouver au moins un nombre réel \(m\) tel que
\[ a_n\ge m \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
En revanche, pour démontrer qu'une suite n'est pas minorée, il faut montrer qu'aucun nombre réel ne peut être un minorant. En symboles :
\[ \forall m\in\mathbb{R},\exists n\in\mathbb{N}: a_n<m. \]
Cette condition signifie que, quel que soit le nombre réel \(m\) choisi, il existe au moins un terme de la suite qui descend au-dessous de \(m\).
Exemple de suite non minorée
Considérons la suite
\[ a_n=-n. \]
Elle n'est pas minorée. En effet, étant donné un \(m\in\mathbb{R}\) quelconque, on peut choisir un indice \(n\in\mathbb{N}\) tel que
\[ n>|m|+1. \]
Alors \(n>-m\) et donc, en multipliant par \(-1\), on obtient
\[ -n<m. \]
Comme \(a_n=-n\), il s'ensuit que
\[ a_n<m. \]
Ainsi, aucun nombre réel \(m\) ne peut être un minorant de la suite \((-n)\).
Suites bornées
Une suite réelle \((a_n)\) est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Autrement dit, \((a_n)\) est bornée s'il existe deux nombres réels \(m\) et \(M\) tels que
\[ m\le a_n\le M \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
En symboles :
\[ \exists m,M\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad m\le a_n\le M. \]
Le nombre \(m\) est un minorant, tandis que le nombre \(M\) est un majorant. La suite est ainsi contenue, terme à terme, dans l'intervalle fermé \([m,M]\).
Exemple. Considérons la suite
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ |(-1)^n|=1 \]
et donc
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}. \]
Comme \(n+1\ge 1\), il s'ensuit que
\[ \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Par conséquent,
\[ |a_n|\le 1. \]
De l'inégalité \(|a_n|\le 1\) découle
\[ -1\le a_n\le 1. \]
La suite est donc bornée.
Caractérisation au moyen de la valeur absolue
Une suite réelle \((a_n)\) est bornée si et seulement s'il existe un nombre réel \(K>0\) tel que
\[ |a_n|\le K \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Démonstration. Supposons d'abord que la suite \((a_n)\) soit bornée. Alors il existe \(m,M\in\mathbb{R}\) tels que
\[ m\le a_n\le M \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Considérons
\[ K=\max\{1,|m|,|M|\}. \]
Comme \(m\le a_n\le M\), chaque terme \(a_n\) appartient à l'intervalle \([m,M]\). Par conséquent, sa valeur absolue est inférieure ou égale au plus grand de \(|m|\) et \(|M|\), et donc également inférieure ou égale à \(K\). Ainsi,
\[ |a_n|\le K \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Réciproquement, supposons qu'il existe \(K>0\) tel que
\[ |a_n|\le K \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Par la définition de la valeur absolue, cette inégalité équivaut à
\[ -K\le a_n\le K. \]
Ainsi, \(-K\) est un minorant et \(K\) est un majorant de la suite. La suite est par conséquent bornée.
Attention. Une suite peut être majorée sans être minorée, ou minorée sans être majorée.
Par exemple, la suite
\[ a_n=-n \]
est majorée, car
\[ -n\le 0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), mais elle n'est pas minorée.
De même, la suite
\[ b_n=n \]
est minorée, car
\[ n\ge 0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), mais elle n'est pas majorée.
Ainsi, pour être bornée, une suite doit être contrôlée à la fois par le haut et par le bas.
Interprétation graphique du caractère borné
Du point de vue graphique, une suite réelle \((a_n)\) peut être représentée au moyen des points
\[ (n,a_n), \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Dans cette représentation, l'indice \(n\) est porté sur l'axe des abscisses, tandis que le terme \(a_n\) est porté sur l'axe des ordonnées.
Dire qu'une suite est majorée signifie que tous ses points se trouvent sur une certaine droite horizontale ou au-dessous d'elle.
En effet, s'il existe \(M\in\mathbb{R}\) tel que
\[ a_n\le M \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), alors tous les points \((n,a_n)\) se situent sur ou au-dessous de la droite horizontale d'équation
\[ y=M. \]
De même, dire qu'une suite est minorée signifie que tous ses points se trouvent sur une certaine droite horizontale ou au-dessus d'elle.
En effet, s'il existe \(m\in\mathbb{R}\) tel que
\[ a_n\ge m \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), alors tous les points \((n,a_n)\) se situent sur ou au-dessus de la droite horizontale d'équation
\[ y=m. \]
Enfin, dire qu'une suite est bornée signifie que tous ses points sont compris entre deux droites horizontales.
Plus précisément, s'il existe \(m,M\in\mathbb{R}\) tels que
\[ m\le a_n\le M \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), alors tous les points \((n,a_n)\) sont contenus dans la bande horizontale comprise entre les droites
\[ y=m \qquad \text{et} \qquad y=M. \]
Cette interprétation est utile, car elle permet de visualiser immédiatement ce que signifie le fait d'être bornée : une suite bornée ne peut ni s'élever indéfiniment vers \(+\infty\) ni descendre indéfiniment vers \(-\infty\).
Exemples de suites bornées et non bornées
Voyons à présent quelques exemples fondamentaux, utiles pour distinguer correctement les différentes situations possibles.
Suite bornée
Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n. \]
Ses termes ne prennent que les valeurs \(1\) et \(-1\). En effet, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ (-1)^n\in\{-1,1\}. \]
Par conséquent,
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
La suite \(((-1)^n)\) est donc bornée.
Suite majorée mais non minorée
Considérons la suite
\[ a_n=-n^2. \]
Comme \(n^2\ge 0\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ -n^2\le 0. \]
Ainsi, \(0\) est un majorant de la suite, et donc \((a_n)\) est majorée.
Toutefois, la suite n'est pas minorée. En effet, étant donné un \(m\in\mathbb{R}\) quelconque, on peut choisir \(n\in\mathbb{N}\) suffisamment grand pour que
\[ n^2>|m|+1. \]
Alors \(n^2>-m\) et donc, en multipliant par \(-1\), on obtient
\[ -n^2<m. \]
Il existe donc un terme de la suite inférieur à \(m\). Comme cela vaut pour tout \(m\in\mathbb{R}\), la suite n'est pas minorée.
Suite minorée mais non majorée
Considérons la suite
\[ a_n=n^2. \]
Comme
\[ n^2\ge 0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la suite est minorée. Par exemple, \(0\) est un minorant.
La suite, en revanche, n'est pas majorée. En effet, étant donné un \(M\in\mathbb{R}\) quelconque, on peut choisir \(n\in\mathbb{N}\) suffisamment grand pour que
\[ n^2>M. \]
Ainsi, aucun nombre réel \(M\) ne peut être un majorant de la suite.
Suite ni majorée ni minorée
Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n n. \]
Les termes de la suite changent de signe selon la parité de \(n\). Pour les indices pairs, on obtient des valeurs positives de plus en plus grandes, tandis que pour les indices impairs, on obtient des valeurs négatives de plus en plus petites.
La suite n'est pas majorée. En effet, étant donné un \(M\in\mathbb{R}\) quelconque, on peut prendre un indice pair \(n\) suffisamment grand pour que
\[ n>M. \]
Pour un tel indice, \(n\) étant pair, on a \((-1)^n=1\), de sorte que
\[ a_n=(-1)^n n=n>M. \]
Ainsi, aucun nombre réel \(M\) ne peut être un majorant.
En outre, la suite n'est pas minorée. En effet, étant donné un \(m\in\mathbb{R}\) quelconque, on peut prendre un indice impair \(n\) suffisamment grand pour que
\[ -n<m. \]
Pour un tel indice, \(n\) étant impair, on a \((-1)^n=-1\), de sorte que
\[ a_n=(-1)^n n=-n<m. \]
Ainsi, aucun nombre réel \(m\) ne peut être un minorant.
La suite \(((-1)^n n)\) n'est donc ni majorée ni minorée.
Premières propriétés des suites bornées
Les suites bornées jouissent de certaines propriétés fondamentales, utiles dans l'étude des opérations sur les suites et dans le calcul des limites.
Dans cette section, nous considérons des suites réelles définies sur \(\mathbb{N}\).
Somme de suites bornées
Si \((a_n)\) et \((b_n)\) sont deux suites bornées, alors la suite somme
\[ (a_n+b_n) \]
est elle aussi bornée.
En effet, puisque \((a_n)\) est bornée, il existe \(A>0\) tel que
\[ |a_n|\le A \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). De même, puisque \((b_n)\) est bornée, il existe \(B>0\) tel que
\[ |b_n|\le B \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
En utilisant l'inégalité triangulaire, on obtient
\[ |a_n+b_n|\le |a_n|+|b_n|. \]
Comme \(|a_n|\le A\) et \(|b_n|\le B\), il s'ensuit que
\[ |a_n+b_n|\le A+B. \]
Ainsi, la suite \((a_n+b_n)\) est bornée.
Produit de suites bornées
Si \((a_n)\) et \((b_n)\) sont deux suites bornées, alors la suite produit
\[ (a_n b_n) \]
est elle aussi bornée.
En effet, puisque \((a_n)\) est bornée, il existe \(A>0\) tel que
\[ |a_n|\le A \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Puisque \((b_n)\) est bornée, il existe \(B>0\) tel que
\[ |b_n|\le B \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a
\[ |a_n b_n|=|a_n||b_n|\le AB. \]
Ainsi, la suite \((a_n b_n)\) est bornée.
Produit d'une suite bornée par une constante
Si \((a_n)\) est une suite bornée et \(c\in\mathbb{R}\), alors la suite
\[ (c a_n) \]
est elle aussi bornée.
En effet, puisque \((a_n)\) est bornée, il existe \(A>0\) tel que
\[ |a_n|\le A \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Si \(c=0\), alors \(c a_n=0\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\), et donc la suite \((c a_n)\) est bornée.
Si en revanche \(c\ne 0\), on a
\[ |c a_n|=|c||a_n|\le |c|A. \]
Dans ce cas également, la suite \((c a_n)\) est bornée.
Une suite bornée peut ne pas être convergente
Le fait d'être bornée n'implique pas, à lui seul, la convergence.
Par exemple, la suite
\[ a_n=(-1)^n \]
est bornée, car
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Néanmoins, elle n'est pas convergente. En effet, ses termes oscillent continuellement entre \(1\) et \(-1\), sans se rapprocher définitivement d'un unique nombre réel.
Ainsi, une suite peut être bornée sans admettre de limite finie.
Une suite non bornée ne peut pas être convergente
Si une suite réelle n'est pas bornée, alors elle ne peut pas converger vers un nombre réel.
Cette affirmation est la contraposée du théorème selon lequel toute suite convergente est bornée, que nous démontrerons dans la section suivante.
Autrement dit, le caractère borné est une condition nécessaire de convergence, mais il n'en est pas une condition suffisante.
Suites convergentes et suites bornées
Le lien le plus important entre suites bornées et convergence est le suivant : toute suite réelle convergente est bornée.
Théorème. Si une suite réelle \((a_n)\) converge vers un nombre réel \(\ell\), alors \((a_n)\) est bornée.
Démonstration. Supposons que
\[ a_n\to \ell. \]
Par la définition de limite finie, pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
Choisissons, en particulier,
\[ \varepsilon=1. \]
Alors il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<1. \]
De cette inégalité, il découle que, pour tout \(n\ge N\),
\[ \ell-1<a_n<\ell+1. \]
Ainsi, tous les termes de la suite à partir de l'indice \(N\) sont compris entre \(\ell-1\) et \(\ell+1\).
Nous pouvons supposer, en augmentant \(N\) si nécessaire, que \(N\ge 1\). Il ne reste plus qu'à considérer les termes antérieurs :
\[ a_0,a_1,\dots,a_{N-1}. \]
Ils sont en nombre fini. Comme un ensemble fini de nombres réels est toujours borné, nous pouvons poser
\[ K=\max\{1,|a_0|,|a_1|,\dots,|a_{N-1}|,|\ell|+1\}. \]
Alors \(K>0\) et, par construction, on a
\[ |a_n|\le K \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Ainsi, la suite \((a_n)\) est bornée.
Remarque. Le théorème que nous venons de démontrer affirme que la convergence implique le caractère borné :
\[ a_n\to \ell \quad \Longrightarrow \quad (a_n)\ \text{est bornée}. \]
La réciproque, toutefois, n'est pas vraie en général.
En effet, comme on l'a déjà observé, la suite
\[ a_n=(-1)^n \]
est bornée, mais non convergente.
Nous pouvons donc dire que le caractère borné est une condition nécessaire de convergence, mais non une condition suffisante.
Cas particulier : les suites monotones
Pour les suites monotones, en revanche, le caractère borné joue un rôle encore plus important.
Si une suite est croissante et majorée, alors elle converge. De même, si une suite est décroissante et minorée, alors elle converge.
Ce résultat est connu sous le nom de théorème de la limite monotone.
Ainsi, en général, une suite bornée ne converge pas nécessairement ; toutefois, si au caractère borné s'ajoute également la monotonie, on obtient un critère de convergence très important.
Les suites bornées permettent de décrire le comportement global des termes d'une suite. Une suite peut être majorée, minorée ou bornée des deux côtés.
En particulier, une suite réelle \((a_n)\) est bornée s'il existe \(K>0\) tel que
\[ |a_n|\le K \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Cela signifie que tous les termes de la suite restent contenus dans un intervalle fini. Le caractère borné est une propriété fondamentale, car toute suite convergente est bornée, même si une suite bornée n'est pas nécessairement convergente.