Dans ce recueil, nous proposons 20 exercices résolus portant sur les fonctions croissantes, les fonctions décroissantes, les fonctions monotones et les fonctions strictement monotones. Chaque exercice est résolu pas à pas, en accordant une attention particulière à la comparaison des valeurs de la fonction en deux points \(x_1\) et \(x_2\) du domaine.
Pour déterminer si une fonction est croissante ou décroissante sur un ensemble \(X\), il ne suffit pas d'observer quelques points du graphe : il faut vérifier une propriété valable pour tout couple de points \(x_1,x_2\in X\) tels que \(x_1<x_2\).
Rappelons qu'une fonction \(f:X\to\mathbb R\) est croissante sur \(X\) si
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2), \]
tandis qu'elle est décroissante sur \(X\) si
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Si les inégalités sont strictes, on parle alors de fonction strictement croissante ou strictement décroissante. Les exercices qui suivent montrent comment appliquer ces définitions, comment reconnaître les fonctions monotones sur des intervalles et comment distinguer la monotonie au sens large de la monotonie stricte.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1 \]
est croissante, décroissante, strictement croissante ou strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
Résultat
La fonction est strictement croissante sur \(\mathbb R\). Par conséquent, elle est aussi croissante sur \(\mathbb R\).
Résolution
Pour étudier la monotonie à l'aide de la définition, prenons deux points quelconques \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tels que
\[ x_1<x_2. \]
Nous devons comparer \(f(x_1)\) et \(f(x_2)\). Puisque
\[ f(x)=2x+1, \]
nous avons
\[ f(x_1)=2x_1+1 \]
et
\[ f(x_2)=2x_2+1. \]
À partir de l'inégalité \(x_1<x_2\), en multipliant les deux membres par \(2\), qui est un nombre strictement positif, nous obtenons
\[ 2x_1<2x_2. \]
En ajoutant \(1\) aux deux membres, on obtient
\[ 2x_1+1<2x_2+1. \]
C'est-à-dire
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Nous avons donc démontré que, pour tout \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Par définition, la fonction est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Puisque toute fonction strictement croissante est aussi croissante, nous concluons que \(f\) est également croissante sur \(\mathbb R\).
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-3x+4 \]
est croissante, décroissante, strictement croissante ou strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
Résultat
La fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb R\). Par conséquent, elle est aussi décroissante sur \(\mathbb R\).
Résolution
Prenons deux points quelconques \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tels que
\[ x_1<x_2. \]
Nous devons comparer les valeurs \(f(x_1)\) et \(f(x_2)\). Puisque
\[ f(x)=-3x+4, \]
on a
\[ f(x_1)=-3x_1+4 \]
et
\[ f(x_2)=-3x_2+4. \]
À partir de l'inégalité
\[ x_1<x_2, \]
en multipliant les deux membres par \(-3\), qui est un nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité s'inverse :
\[ -3x_1>-3x_2. \]
En ajoutant \(4\) aux deux membres, nous obtenons
\[ -3x_1+4>-3x_2+4. \]
C'est-à-dire
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Nous avons donc démontré que, pour tout \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Par définition, \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
Puisque toute fonction strictement décroissante est aussi décroissante, la fonction est également décroissante sur \(\mathbb R\).
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la fonction constante
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=5 \]
est croissante, décroissante, strictement croissante ou strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
Résultat
La fonction est à la fois croissante et décroissante sur \(\mathbb R\), mais elle n'est ni strictement croissante ni strictement décroissante.
Résolution
Considérons deux points quelconques \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tels que
\[ x_1<x_2. \]
Puisque la fonction est constante, sa valeur est toujours égale à \(5\). Donc
\[ f(x_1)=5 \]
et
\[ f(x_2)=5. \]
En particulier,
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
De cette égalité découle à la fois
\[ f(x_1)\le f(x_2) \]
et
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Par conséquent, pour tout \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tels que \(x_1<x_2\), les deux conditions sont satisfaites :
\[ f(x_1)\le f(x_2) \]
et
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Par définition, la fonction est donc à la fois croissante et décroissante sur \(\mathbb R\).
Toutefois, elle n'est pas strictement croissante. En effet, pour être strictement croissante, il faudrait que l'on ait
\[ f(x_1)<f(x_2) \]
pour tout \(x_1<x_2\), or ici les deux valeurs sont toujours égales.
De même, elle n'est pas strictement décroissante, car
\[ f(x_1)>f(x_2) \]
n'est pas vérifié pour tout \(x_1<x_2\).
Nous concluons que la fonction constante est croissante et décroissante, mais qu'elle n'est ni strictement croissante ni strictement décroissante.
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
est croissante, décroissante ou non monotone sur \(\mathbb R\).
Résultat
La fonction n'est pas monotone sur \(\mathbb R\) : elle n'est ni croissante ni décroissante sur tout son domaine.
Résolution
Pour déterminer si \(f(x)=x^2\) est croissante sur \(\mathbb R\), il faudrait vérifier que, pour tout \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2). \]
Il suffit cependant de trouver un seul couple de points contredisant cette condition pour démontrer que la fonction n'est pas croissante.
Choisissons
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0. \]
On a clairement
\[ -1<0, \]
c'est-à-dire \(x_1<x_2\). Cependant,
\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]
tandis que
\[ f(0)=0^2=0. \]
Donc
\[ f(-1)>f(0). \]
Nous avons trouvé deux points \(x_1<x_2\) tels que \(f(x_1)>f(x_2)\). Ceci contredit la définition d'une fonction croissante. Donc \(f\) n'est pas croissante sur \(\mathbb R\).
Vérifions maintenant si la fonction est décroissante sur \(\mathbb R\). Pour être décroissante, il faudrait que l'on ait, pour tout \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Là encore, il suffit de trouver un couple contredisant la condition.
Choisissons
\[ x_1=0,\qquad x_2=1. \]
On a
\[ 0<1, \]
mais
\[ f(0)=0 \]
et
\[ f(1)=1. \]
Donc
\[ f(0)<f(1). \]
Nous avons trouvé deux points \(x_1<x_2\) tels que \(f(x_1)<f(x_2)\). Ceci contredit la définition d'une fonction décroissante. Donc \(f\) n'est pas décroissante sur \(\mathbb R\).
Puisque la fonction n'est ni croissante ni décroissante sur \(\mathbb R\), nous concluons que \(f(x)=x^2\) est non monotone sur \(\mathbb R\).
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
est croissante, décroissante, strictement croissante ou strictement décroissante sur \([0,+\infty)\).
Résultat
La fonction est strictement croissante sur \([0,+\infty)\). Par conséquent, elle est aussi croissante sur \([0,+\infty)\).
Résolution
Pour étudier la monotonie sur \([0,+\infty)\), prenons deux points quelconques
\[ x_1,x_2\in[0,+\infty) \]
tels que
\[ x_1<x_2. \]
Puisque \(x_1\) et \(x_2\) appartiennent à \([0,+\infty)\), ils sont tous deux positifs ou nuls. En particulier,
\[ 0\le x_1<x_2. \]
Nous voulons comparer \(f(x_1)\) et \(f(x_2)\). Puisque
\[ f(x)=x^2, \]
nous avons
\[ f(x_1)=x_1^2 \]
et
\[ f(x_2)=x_2^2. \]
De l'inégalité
\[ 0\le x_1<x_2 \]
il résulte que
\[ x_1^2<x_2^2. \]
En effet, on peut écrire
\[ x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1). \]
Puisque \(x_2>x_1\), on a
\[ x_2-x_1>0. \]
De plus, comme \(x_1\ge 0\) et \(x_2>x_1\), on a également
\[ x_2+x_1>0. \]
Donc
\[ (x_2-x_1)(x_2+x_1)>0, \]
c'est-à-dire
\[ x_2^2-x_1^2>0. \]
Il en découle
\[ x_1^2<x_2^2. \]
Par conséquent
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Nous avons démontré que, pour tout \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Par définition, \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty)\).
Par conséquent, \(f\) est aussi croissante sur \([0,+\infty)\).
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:(-\infty,0]\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
est croissante, décroissante, strictement croissante ou strictement décroissante sur \((-\infty,0]\).
Résultat
La fonction est strictement décroissante sur \((-\infty,0]\). Par conséquent, elle est aussi décroissante sur \((-\infty,0]\).
Résolution
Prenons deux points quelconques
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0] \]
tels que
\[ x_1<x_2. \]
Puisque les deux points appartiennent à \((-\infty,0]\), nous avons
\[ x_1<x_2\le 0. \]
Nous devons comparer
\[ f(x_1)=x_1^2 \]
et
\[ f(x_2)=x_2^2. \]
Considérons la différence
\[ x_1^2-x_2^2. \]
Factorisons comme différence de carrés :
\[ x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2). \]
Puisque \(x_1<x_2\), on a
\[ x_1-x_2<0. \]
De plus, comme \(x_1<x_2\le 0\), les deux nombres sont négatifs ou nuls et au moins \(x_1\) est strictement négatif. Donc
\[ x_1+x_2<0. \]
Le produit de deux nombres strictement négatifs est strictement positif, donc
\[ (x_1-x_2)(x_1+x_2)>0. \]
Par conséquent
\[ x_1^2-x_2^2>0. \]
De cette inégalité découle
\[ x_1^2>x_2^2. \]
C'est-à-dire
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Nous avons donc démontré que, pour tout \(x_1,x_2\in(-\infty,0]\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Par définition, \(f\) est strictement décroissante sur \((-\infty,0]\).
Par conséquent, \(f\) est aussi décroissante sur \((-\infty,0]\).
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
est décroissante sur tout son domaine.
Résultat
La fonction n'est pas décroissante sur tout le domaine \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
Résolution
Le domaine de la fonction est
\[ \mathbb R\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty). \]
Pour être décroissante sur tout le domaine, la fonction devrait satisfaire la condition suivante : pour tout \(x_1,x_2\in\mathbb R\setminus\{0\}\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Pour démontrer que la fonction n'est pas décroissante sur tout le domaine, il suffit de trouver un couple de points du domaine contredisant cette condition.
Choisissons
\[ x_1=-1,\qquad x_2=1. \]
Tous deux appartiennent au domaine, car ils sont différents de \(0\), et l'on a
\[ -1<1. \]
Calculons les valeurs de la fonction :
\[ f(-1)=\frac{1}{-1}=-1 \]
et
\[ f(1)=\frac{1}{1}=1. \]
Donc
\[ f(-1)<f(1). \]
Or une fonction décroissante devrait vérifier
\[ f(-1)\ge f(1), \]
car \(-1<1\).
Le couple \(x_1=-1\), \(x_2=1\) contredit donc la définition d'une fonction décroissante.
Par conséquent, la fonction
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
n'est pas décroissante sur tout son domaine \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
Ceci ne contredit pas le fait que \(f\) soit strictement décroissante séparément sur \((-\infty,0)\) et sur \((0,+\infty)\). La monotonie doit toujours être rapportée à l'ensemble sur lequel on l'étudie.
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
est croissante, décroissante, strictement croissante ou strictement décroissante sur \((0,+\infty)\).
Résultat
La fonction est strictement décroissante sur \((0,+\infty)\). Par conséquent, elle est aussi décroissante sur \((0,+\infty)\).
Résolution
Prenons deux points quelconques
\[ x_1,x_2\in(0,+\infty) \]
tels que
\[ x_1<x_2. \]
Puisque \(x_1\) et \(x_2\) appartiennent à \((0,+\infty)\), ils sont tous deux strictement positifs :
\[ 0<x_1<x_2. \]
Nous voulons comparer
\[ f(x_1)=\frac{1}{x_1} \]
et
\[ f(x_2)=\frac{1}{x_2}. \]
Puisque
\[ 0<x_1<x_2, \]
en divisant \(1\) par un nombre strictement positif plus grand, on obtient une valeur plus petite. De manière algébrique, comparons les deux fractions :
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} = \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}. \]
Le numérateur est strictement positif, car
\[ x_2-x_1>0. \]
Le dénominateur est lui aussi strictement positif, car \(x_1>0\) et \(x_2>0\). Donc
\[ x_1x_2>0. \]
Il s'ensuit que
\[ \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0. \]
Donc
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0, \]
c'est-à-dire
\[ \frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}. \]
Par conséquent
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Nous avons démontré que, pour tout \(x_1,x_2\in(0,+\infty)\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Par définition, \(f\) est strictement décroissante sur \((0,+\infty)\).
Par conséquent, \(f\) est aussi décroissante sur \((0,+\infty)\).
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:(-\infty,0)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
est croissante, décroissante, strictement croissante ou strictement décroissante sur \((-\infty,0)\).
Résultat
La fonction est strictement décroissante sur \((-\infty,0)\). Par conséquent, elle est aussi décroissante sur \((-\infty,0)\).
Résolution
Prenons deux points quelconques
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0) \]
tels que
\[ x_1<x_2. \]
Puisque \(x_1\) et \(x_2\) appartiennent à \((-\infty,0)\), ils sont tous deux strictement négatifs. Donc
\[ x_1<x_2<0. \]
Nous voulons comparer
\[ f(x_1)=\frac{1}{x_1} \]
et
\[ f(x_2)=\frac{1}{x_2}. \]
Considérons la différence :
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} = \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}. \]
Puisque \(x_1<x_2\), on a
\[ x_2-x_1>0. \]
De plus, \(x_1\) et \(x_2\) sont tous deux strictement négatifs, donc leur produit est strictement positif :
\[ x_1x_2>0. \]
Par conséquent
\[ \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0. \]
Donc
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0, \]
c'est-à-dire
\[ \frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}. \]
Nous avons donc obtenu
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Ceci est valable pour tout couple \(x_1,x_2\in(-\infty,0)\) tel que \(x_1<x_2\). Par définition, la fonction est strictement décroissante sur \((-\infty,0)\).
Par conséquent, \(f\) est aussi décroissante sur \((-\infty,0)\).
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3 \]
est croissante, décroissante, strictement croissante ou strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
Résultat
La fonction est strictement croissante sur \(\mathbb R\). Par conséquent, elle est aussi croissante sur \(\mathbb R\).
Résolution
Utilisons directement la définition. Prenons deux points quelconques \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tels que
\[ x_1<x_2. \]
Nous devons démontrer que
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
c'est-à-dire
\[ x_1^3<x_2^3. \]
Considérons la différence
\[ x_2^3-x_1^3. \]
Factorisons la différence de cubes :
\[ x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2). \]
Puisque \(x_1<x_2\), on a
\[ x_2-x_1>0. \]
Il reste à observer que
\[ x_2^2+x_1x_2+x_1^2>0. \]
En effet, on peut écrire
\[ x_2^2+x_1x_2+x_1^2 = \left(x_2+\frac{x_1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}x_1^2. \]
Cette quantité est toujours positive ou nulle et, dans notre cas, elle ne peut être nulle en même temps que \(x_1<x_2\). Elle est donc strictement positive.
Donc le produit
\[ (x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2) \]
est strictement positif. Par conséquent
\[ x_2^3-x_1^3>0. \]
Il en découle
\[ x_1^3<x_2^3. \]
C'est-à-dire
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Nous avons démontré que, pour tout \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Par définition, \(f(x)=x^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Cet exemple est important, car il montre que la stricte croissance peut être démontrée directement à partir de la définition, en comparant les valeurs prises par la fonction en deux points quelconques du domaine.
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2-4x+1 \]
est croissante, décroissante ou non monotone sur \(\mathbb R\).
Résultat
La fonction n'est pas monotone sur \(\mathbb R\). Elle est strictement décroissante sur \((-\infty,2]\) et strictement croissante sur \([2,+\infty)\).
Résolution
Réécrivons la fonction en complétant le carré :
\[ f(x)=x^2-4x+1=(x-2)^2-3. \]
Cette forme montre que la valeur de la fonction dépend du carré de la distance entre \(x\) et le nombre \(2\).
Étudions d'abord la fonction sur l'intervalle \([2,+\infty)\). Prenons deux points quelconques
\[ x_1,x_2\in[2,+\infty) \]
tels que
\[ x_1<x_2. \]
Puisque \(x_1\ge 2\) et \(x_2\ge 2\), on a
\[ 0\le x_1-2<x_2-2. \]
En élevant au carré, étant donné que les deux membres sont positifs ou nuls, nous obtenons
\[ (x_1-2)^2<(x_2-2)^2. \]
En soustrayant \(3\) aux deux membres :
\[ (x_1-2)^2-3<(x_2-2)^2-3. \]
C'est-à-dire
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Donc \(f\) est strictement croissante sur \([2,+\infty)\).
Étudions maintenant la fonction sur l'intervalle \((-\infty,2]\). Prenons deux points quelconques
\[ x_1,x_2\in(-\infty,2] \]
tels que
\[ x_1<x_2. \]
Alors
\[ x_1-2<x_2-2\le 0. \]
En multipliant par \(-1\), le sens de l'inégalité s'inverse :
\[ 2-x_1>2-x_2\ge 0. \]
Puisque les deux membres sont positifs ou nuls, en élevant au carré on obtient
\[ (2-x_1)^2>(2-x_2)^2. \]
Or
\[ (2-x)^2=(x-2)^2. \]
Donc
\[ (x_1-2)^2>(x_2-2)^2. \]
En soustrayant \(3\) aux deux membres :
\[ (x_1-2)^2-3>(x_2-2)^2-3. \]
C'est-à-dire
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Donc \(f\) est strictement décroissante sur \((-\infty,2]\).
Enfin, la fonction n'est pas monotone sur \(\mathbb R\) tout entier, car elle décroît d'abord puis croît. On peut le vérifier également à l'aide de deux contre-exemples.
En effet
\[ f(1)=1-4+1=-2 \]
tandis que
\[ f(2)=4-8+1=-3. \]
Puisque \(1<2\) mais \(f(1)>f(2)\), la fonction n'est pas croissante sur \(\mathbb R\).
De plus
\[ f(2)=-3 \]
et
\[ f(3)=9-12+1=-2. \]
Puisque \(2<3\) mais \(f(2)<f(3)\), la fonction n'est pas décroissante sur \(\mathbb R\).
Nous concluons que \(f\) n'est pas monotone sur \(\mathbb R\), mais qu'elle est strictement décroissante sur \((-\infty,2]\) et strictement croissante sur \([2,+\infty)\).
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-x^2+6x-5 \]
est croissante, décroissante ou non monotone sur \(\mathbb R\).
Résultat
La fonction n'est pas monotone sur \(\mathbb R\). Elle est strictement croissante sur \((-\infty,3]\) et strictement décroissante sur \([3,+\infty)\).
Résolution
Réécrivons la fonction en complétant le carré :
\[ f(x)=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4. \]
Cette forme montre que la fonction atteint sa valeur maximale lorsque \(x=3\), car le terme \((x-3)^2\) est toujours positif ou nul.
Étudions d'abord la fonction sur \((-\infty,3]\). Prenons deux points quelconques
\[ x_1,x_2\in(-\infty,3] \]
tels que
\[ x_1<x_2. \]
Alors
\[ x_1-3<x_2-3\le 0. \]
En multipliant par \(-1\), nous obtenons
\[ 3-x_1>3-x_2\ge 0. \]
Puisque les deux membres sont positifs ou nuls, en élevant au carré on a
\[ (3-x_1)^2>(3-x_2)^2. \]
Puisque
\[ (3-x)^2=(x-3)^2, \]
nous obtenons
\[ (x_1-3)^2>(x_2-3)^2. \]
En multipliant par \(-1\), le sens de l'inégalité s'inverse :
\[ -(x_1-3)^2<-(x_2-3)^2. \]
En ajoutant \(4\) aux deux membres :
\[ -(x_1-3)^2+4<-(x_2-3)^2+4. \]
C'est-à-dire
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Donc \(f\) est strictement croissante sur \((-\infty,3]\).
Étudions maintenant la fonction sur \([3,+\infty)\). Prenons deux points quelconques
\[ x_1,x_2\in[3,+\infty) \]
tels que
\[ x_1<x_2. \]
Alors
\[ 0\le x_1-3<x_2-3. \]
En élevant au carré :
\[ (x_1-3)^2<(x_2-3)^2. \]
En multipliant par \(-1\), nous obtenons
\[ -(x_1-3)^2>-(x_2-3)^2. \]
En ajoutant \(4\) :
\[ -(x_1-3)^2+4>-(x_2-3)^2+4. \]
C'est-à-dire
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Donc \(f\) est strictement décroissante sur \([3,+\infty)\).
La fonction n'est pas monotone sur \(\mathbb R\) tout entier, car elle croît jusqu'à \(x=3\) puis décroît.
En effet, en choisissant \(x_1=2\) et \(x_2=3\), on a \(2<3\), mais
\[ f(2)=-4+12-5=3 \]
et
\[ f(3)=-9+18-5=4. \]
Donc \(f(2)<f(3)\), ce qui exclut que la fonction soit décroissante sur \(\mathbb R\).
De plus, en choisissant \(x_1=3\) et \(x_2=4\), on a \(3<4\), mais
\[ f(3)=4 \]
et
\[ f(4)=-16+24-5=3. \]
Donc \(f(3)>f(4)\), ce qui exclut que la fonction soit croissante sur \(\mathbb R\).
Nous concluons que \(f\) n'est pas monotone sur \(\mathbb R\), mais qu'elle est strictement croissante sur \((-\infty,3]\) et strictement décroissante sur \([3,+\infty)\).
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=|x| \]
est croissante, décroissante ou non monotone sur \(\mathbb R\). Déterminer ensuite les intervalles sur lesquels elle est monotone.
Résultat
La fonction n'est pas monotone sur \(\mathbb R\). Elle est strictement décroissante sur \((-\infty,0]\) et strictement croissante sur \([0,+\infty)\).
Résolution
La fonction valeur absolue est définie par
\[ |x|= \begin{cases} -x & \text{si } x<0,\\ x & \text{si } x\ge 0. \end{cases} \]
Étudions d'abord la fonction sur \([0,+\infty)\). Si \(x\ge 0\), alors
\[ |x|=x. \]
Prenons donc deux points quelconques
\[ x_1,x_2\in[0,+\infty) \]
tels que
\[ x_1<x_2. \]
Puisque sur \([0,+\infty)\) on a \(f(x)=x\), nous obtenons
\[ f(x_1)=x_1 \]
et
\[ f(x_2)=x_2. \]
De l'inégalité \(x_1<x_2\) découle directement
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Donc \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty)\).
Étudions maintenant la fonction sur \((-\infty,0]\). Si \(x\le 0\), alors
\[ |x|=-x. \]
Prenons deux points quelconques
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0] \]
tels que
\[ x_1<x_2. \]
Puisque sur \((-\infty,0]\) on a \(f(x)=-x\), nous obtenons
\[ f(x_1)=-x_1 \]
et
\[ f(x_2)=-x_2. \]
À partir de l'inégalité
\[ x_1<x_2, \]
en multipliant par \(-1\), le sens de l'inégalité s'inverse :
\[ -x_1>-x_2. \]
Donc
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Donc \(f\) est strictement décroissante sur \((-\infty,0]\).
La fonction n'est pas monotone sur \(\mathbb R\) tout entier. En effet, en choisissant
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0, \]
on a \(x_1<x_2\), mais
\[ f(-1)=1>0=f(0). \]
Ceci exclut que \(f\) soit croissante sur \(\mathbb R\).
De plus, en choisissant
\[ x_1=0,\qquad x_2=1, \]
on a \(x_1<x_2\), mais
\[ f(0)=0<1=f(1). \]
Ceci exclut que \(f\) soit décroissante sur \(\mathbb R\).
Par conséquent, \(f(x)=|x|\) n'est pas monotone sur \(\mathbb R\), mais elle est strictement décroissante sur \((-\infty,0]\) et strictement croissante sur \([0,+\infty)\).
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-|x| \]
est croissante, décroissante ou non monotone sur \(\mathbb R\). Déterminer ensuite les intervalles sur lesquels elle est monotone.
Résultat
La fonction n'est pas monotone sur \(\mathbb R\). Elle est strictement croissante sur \((-\infty,0]\) et strictement décroissante sur \([0,+\infty)\).
Résolution
La fonction est
\[ f(x)=-|x|. \]
Puisque
\[ |x|= \begin{cases} -x & \text{si } x<0,\\ x & \text{si } x\ge 0, \end{cases} \]
nous obtenons
\[ -|x|= \begin{cases} x & \text{si } x<0,\\ -x & \text{si } x\ge 0. \end{cases} \]
Étudions d'abord la fonction sur \((-\infty,0]\). Sur cet intervalle, la fonction se comporte comme
\[ f(x)=x. \]
Si \(x_1,x_2\in(-\infty,0]\) et
\[ x_1<x_2, \]
alors
\[ f(x_1)=x_1 \]
et
\[ f(x_2)=x_2. \]
Donc, de l'inégalité \(x_1<x_2\) découle
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Donc \(f\) est strictement croissante sur \((-\infty,0]\).
Étudions maintenant la fonction sur \([0,+\infty)\). Sur cet intervalle, la fonction se comporte comme
\[ f(x)=-x. \]
Si \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\) et
\[ x_1<x_2, \]
alors, en multipliant par \(-1\), nous obtenons
\[ -x_1>-x_2. \]
C'est-à-dire
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Donc \(f\) est strictement décroissante sur \([0,+\infty)\).
La fonction n'est pas monotone sur \(\mathbb R\) tout entier. En effet, elle croît jusqu'à \(x=0\) puis décroît.
Pour voir qu'elle n'est pas croissante sur \(\mathbb R\) tout entier, choisissons
\[ x_1=0,\qquad x_2=1. \]
On a \(0<1\), mais
\[ f(0)=0>-1=f(1). \]
Ceci contredit la croissance.
Pour voir qu'elle n'est pas décroissante sur \(\mathbb R\) tout entier, choisissons
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0. \]
On a \(-1<0\), mais
\[ f(-1)=-1<0=f(0). \]
Ceci contredit la décroissance.
Par conséquent, \(f(x)=-|x|\) n'est pas monotone sur \(\mathbb R\), mais elle est strictement croissante sur \((-\infty,0]\) et strictement décroissante sur \([0,+\infty)\).
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{si } x<0,\\ 0 & \text{si } x\ge 0 \end{cases} \]
est croissante, décroissante, strictement croissante ou strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
Résultat
La fonction est croissante sur \(\mathbb R\), mais elle n'est pas strictement croissante.
Résolution
La fonction est définie par morceaux :
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{si } x<0,\\ 0 & \text{si } x\ge 0. \end{cases} \]
Nous devons vérifier que, pour tout \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tels que
\[ x_1<x_2, \]
on a
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Considérons les différents cas possibles.
Premier cas : \(x_1<x_2<0\). Dans ce cas, les deux points sont strictement négatifs, donc
\[ f(x_1)=x_1,\qquad f(x_2)=x_2. \]
Puisque \(x_1<x_2\), il s'ensuit
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
et donc, en particulier,
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Deuxième cas : \(x_1<0\le x_2\). Dans ce cas,
\[ f(x_1)=x_1 \]
et
\[ f(x_2)=0. \]
Puisque \(x_1<0\), on a
\[ f(x_1)=x_1<0=f(x_2). \]
Donc, dans ce cas aussi, \(f(x_1)\le f(x_2)\).
Troisième cas : \(0\le x_1<x_2\). Dans ce cas, les deux points sont positifs ou nuls, donc
\[ f(x_1)=0,\qquad f(x_2)=0. \]
Par conséquent
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
et donc
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Dans tous les cas possibles, nous avons obtenu
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2). \]
Par définition, la fonction est croissante sur \(\mathbb R\).
La fonction n'est toutefois pas strictement croissante. En effet, en choisissant
\[ x_1=1,\qquad x_2=2, \]
on a \(x_1<x_2\), mais
\[ f(1)=0=f(2). \]
Donc \(f(x_1)<f(x_2)\) n'est pas vérifié pour tout couple \(x_1<x_2\). Par conséquent, la fonction est croissante, mais non strictement croissante.
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} 1 & \text{si } x<0,\\ -x & \text{si } x\ge 0 \end{cases} \]
est croissante, décroissante, strictement croissante ou strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
Résultat
La fonction est décroissante sur \(\mathbb R\), mais elle n'est pas strictement décroissante.
Résolution
La fonction est définie par morceaux :
\[ f(x)= \begin{cases} 1 & \text{si } x<0,\\ -x & \text{si } x\ge 0. \end{cases} \]
Pour démontrer que \(f\) est décroissante sur \(\mathbb R\), nous devons vérifier que, pour tout \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Considérons tous les cas possibles.
Premier cas : \(x_1<x_2<0\).
Dans ce cas, les deux points sont strictement négatifs. Donc, par définition de la fonction,
\[ f(x_1)=1 \qquad \text{et} \qquad f(x_2)=1. \]
Par conséquent
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
et donc, en particulier,
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Deuxième cas : \(x_1<0\le x_2\).
Dans ce cas, \(x_1\) est strictement négatif, tandis que \(x_2\) est positif ou nul. Donc
\[ f(x_1)=1 \]
et
\[ f(x_2)=-x_2. \]
Puisque \(x_2\ge 0\), on a
\[ -x_2\le 0. \]
Donc
\[ f(x_2)\le 0. \]
Or
\[ f(x_1)=1, \]
donc certainement
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Troisième cas : \(0\le x_1<x_2\).
Dans ce cas, les deux points sont positifs ou nuls. La fonction est alors donnée par
\[ f(x)=-x. \]
Par conséquent
\[ f(x_1)=-x_1 \qquad \text{et} \qquad f(x_2)=-x_2. \]
À partir de l'inégalité
\[ x_1<x_2, \]
en multipliant par \(-1\), le sens de l'inégalité s'inverse :
\[ -x_1>-x_2. \]
C'est-à-dire
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
En particulier, dans ce cas aussi, on a
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Dans tous les cas possibles, nous avons démontré que, si \(x_1<x_2\), alors
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Par définition, \(f\) est donc décroissante sur \(\mathbb R\).
La fonction n'est toutefois pas strictement décroissante. En effet, en choisissant
\[ x_1=-2,\qquad x_2=-1, \]
on a
\[ -2<-1, \]
mais, puisque les deux points sont strictement négatifs,
\[ f(-2)=1 \qquad \text{et} \qquad f(-1)=1. \]
Donc
\[ f(-2)=f(-1). \]
Pour être strictement décroissante, il faudrait au contraire que l'on ait
\[ f(-2)>f(-1). \]
Cette condition n'est pas satisfaite. Par conséquent, la fonction est décroissante sur \(\mathbb R\), mais elle n'est pas strictement décroissante.
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{si } x\le 0,\\ x+1 & \text{si } x>0 \end{cases} \]
est croissante, décroissante, strictement croissante ou strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
Résultat
La fonction est strictement croissante sur \(\mathbb R\). Par conséquent, elle est aussi croissante sur \(\mathbb R\).
Résolution
La fonction est définie par morceaux :
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{si } x\le 0,\\ x+1 & \text{si } x>0. \end{cases} \]
Pour démontrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), nous devons vérifier que, pour tout \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Considérons tous les cas possibles.
Premier cas : \(x_1<x_2\le 0\).
Dans ce cas, les deux points appartiennent au premier morceau de la fonction. Donc
\[ f(x_1)=x_1 \]
et
\[ f(x_2)=x_2. \]
Puisque \(x_1<x_2\), nous obtenons directement
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Deuxième cas : \(0<x_1<x_2\).
Dans ce cas, les deux points appartiennent au second morceau de la fonction. Donc
\[ f(x_1)=x_1+1 \]
et
\[ f(x_2)=x_2+1. \]
À partir de l'inégalité \(x_1<x_2\), en ajoutant \(1\) aux deux membres, il s'ensuit
\[ x_1+1<x_2+1. \]
C'est-à-dire
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Troisième cas : \(x_1\le 0<x_2\).
Dans ce cas, \(x_1\) appartient au premier morceau, tandis que \(x_2\) appartient au second. Donc
\[ f(x_1)=x_1 \]
et
\[ f(x_2)=x_2+1. \]
Puisque \(x_1\le 0\) et \(x_2>0\), on a
\[ x_1\le 0<x_2<x_2+1. \]
En particulier,
\[ x_1<x_2+1. \]
C'est-à-dire
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Dans tous les cas possibles, nous avons démontré que
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Par définition, la fonction est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Par conséquent, elle est aussi croissante sur \(\mathbb R\).
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{si } x<0,\\ x-1 & \text{si } x\ge 0 \end{cases} \]
est croissante, décroissante ou non monotone sur \(\mathbb R\).
Résultat
La fonction est non monotone sur \(\mathbb R\) : elle n'est ni croissante ni décroissante.
Résolution
La fonction est définie par morceaux :
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{si } x<0,\\ x-1 & \text{si } x\ge 0. \end{cases} \]
Observons que la fonction croît sur chacun des deux morceaux considérés séparément. En effet, pour \(x<0\) on a \(f(x)=x\), tandis que pour \(x\ge 0\) on a \(f(x)=x-1\).
Cependant, cela ne suffit pas pour conclure que la fonction est croissante sur \(\mathbb R\) tout entier. Il faut aussi examiner ce qui se passe lorsque l'on passe de valeurs strictement négatives à des valeurs positives ou nulles.
Pour démontrer que \(f\) n'est pas croissante sur \(\mathbb R\), trouvons deux points \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tels que
\[ x_1<x_2 \]
mais
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Choisissons
\[ x_1=-\frac12,\qquad x_2=0. \]
On a
\[ -\frac12<0. \]
Calculons les valeurs de la fonction :
\[ f\left(-\frac12\right)=-\frac12, \]
car \(-\frac12<0\), tandis que
\[ f(0)=0-1=-1, \]
car \(0\ge 0\).
Donc
\[ f\left(-\frac12\right)=-\frac12>-1=f(0). \]
Nous avons trouvé deux points \(x_1<x_2\) tels que \(f(x_1)>f(x_2)\). Ceci contredit la définition d'une fonction croissante. Donc \(f\) n'est pas croissante sur \(\mathbb R\).
Pour démontrer que \(f\) n'est pas décroissante sur \(\mathbb R\), trouvons deux points \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tels que
\[ x_1<x_2 \]
mais
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Choisissons
\[ x_1=1,\qquad x_2=2. \]
On a
\[ 1<2. \]
Puisque les deux points sont positifs ou nuls, nous obtenons
\[ f(1)=1-1=0 \]
et
\[ f(2)=2-1=1. \]
Donc
\[ f(1)<f(2). \]
Ce couple contredit la définition d'une fonction décroissante. Donc \(f\) n'est pas décroissante sur \(\mathbb R\).
Puisque la fonction n'est ni croissante ni décroissante sur \(\mathbb R\), nous concluons qu'elle est non monotone sur \(\mathbb R\).
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Démontrer que toute fonction strictement croissante est injective.
Résultat
Toute fonction strictement croissante est injective.
Résolution
Soit
\[ f:X\to\mathbb R \]
une fonction strictement croissante sur un ensemble \(X\subseteq\mathbb R\).
Nous voulons démontrer que \(f\) est injective. Par définition, nous devons prouver que des éléments distincts du domaine ont des images distinctes.
Prenons donc deux points quelconques
\[ x_1,x_2\in X \]
tels que
\[ x_1\ne x_2. \]
Puisque \(x_1\) et \(x_2\) sont deux nombres réels distincts, l'une des deux possibilités suivantes se présente nécessairement :
\[ x_1<x_2 \]
ou bien
\[ x_2<x_1. \]
Si \(x_1<x_2\), comme \(f\) est strictement croissante, nous obtenons
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
En particulier,
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
Si en revanche \(x_2<x_1\), alors, toujours parce que \(f\) est strictement croissante, nous obtenons
\[ f(x_2)<f(x_1). \]
Dans ce cas également, il s'ensuit
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
Dans les deux cas, de \(x_1\ne x_2\) découle
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
Par définition, \(f\) est injective.
Nous concluons donc que toute fonction strictement croissante est injective.
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Déterminer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :
\[ \text{Si une fonction est injective, alors elle est monotone.} \]
Si elle est fausse, fournir un contre-exemple.
Résultat
L'affirmation est fausse. Il existe des fonctions injectives qui ne sont pas monotones.
Résolution
L'affirmation à examiner est la suivante :
\[ \text{si une fonction est injective, alors elle est monotone.} \]
Cette affirmation est fausse. Pour le démontrer, il suffit de construire une fonction injective qui ne soit ni croissante ni décroissante.
Considérons la fonction
\[ f:\{1,2,3\}\to\mathbb R \]
définie par
\[ f(1)=1,\qquad f(2)=3,\qquad f(3)=2. \]
Vérifions d'abord que \(f\) est injective. Les valeurs prises par la fonction sont
\[ 1,\qquad 3,\qquad 2. \]
Ces trois valeurs sont toutes distinctes. Donc des éléments distincts du domaine ont des images distinctes. Par définition, \(f\) est injective.
Vérifions maintenant que \(f\) n'est pas croissante.
Si \(f\) était croissante, pour tout couple \(x_1,x_2\in\{1,2,3\}\) tel que \(x_1<x_2\), on devrait avoir
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Choisissons
\[ x_1=2,\qquad x_2=3. \]
On a
\[ 2<3, \]
mais
\[ f(2)=3>2=f(3). \]
Ce couple contredit la définition d'une fonction croissante. Donc \(f\) n'est pas croissante.
Vérifions maintenant que \(f\) n'est pas décroissante.
Si \(f\) était décroissante, pour tout couple \(x_1,x_2\in\{1,2,3\}\) tel que \(x_1<x_2\), on devrait avoir
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Choisissons
\[ x_1=1,\qquad x_2=2. \]
On a
\[ 1<2, \]
mais
\[ f(1)=1<3=f(2). \]
Ce couple contredit la définition d'une fonction décroissante. Donc \(f\) n'est pas décroissante.
La fonction est donc injective, mais elle n'est pas monotone.
Ce contre-exemple montre que l'injectivité n'implique pas la monotonie. La stricte monotonie implique l'injectivité, mais la réciproque n'est pas vraie.