Ce recueil propose 20 exercices résolus sur les fonctions paires et sur les fonctions impaires. Chaque exercice est résolu pas à pas, en accordant une attention particulière à la symétrie du domaine, au calcul de \(f(-x)\) et à sa comparaison avec \(f(x)\) ou avec \(-f(x)\).
En effet, pour déterminer si une fonction est paire ou impaire, il ne suffit pas d'examiner sa seule expression analytique : il faut d'abord s'assurer que le domaine est symétrique par rapport à l'origine. Ce n'est qu'après cette vérification qu'il devient pertinent de contrôler si, pour tout \(x\) du domaine, l'une des deux conditions
\[ f(-x)=f(x) \]
ou bien
\[ f(-x)=-f(x) \]
est satisfaite.
Les exercices qui suivent illustrent les cas principaux : fonctions paires, fonctions impaires, fonctions ni paires ni impaires, domaines non symétriques, opérations entre fonctions paires et impaires, intégrales sur des intervalles symétriques et décomposition en partie paire et partie impaire.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer lesquels des ensembles suivants sont symétriques par rapport à l'origine :
\[ A=\mathbb R,\qquad B=[-3,3],\qquad C=[0,+\infty),\qquad D=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Résultat
Les ensembles \(A\), \(B\) et \(D\) sont symétriques par rapport à l'origine. L'ensemble \(C\) n'est pas symétrique par rapport à l'origine.
Résolution
Un ensemble \(X\subseteq\mathbb R\) est symétrique par rapport à l'origine si, pour tout \(x\in X\), son opposé \(-x\) appartient lui aussi à \(X\). En symboles :
\[ x\in X\implies -x\in X. \]
Considérons le premier ensemble :
\[ A=\mathbb R. \]
Tout nombre réel appartient à \(\mathbb R\), et son opposé y appartient également. Donc \(A\) est symétrique par rapport à l'origine.
Considérons à présent
\[ B=[-3,3]. \]
Si \(x\in[-3,3]\), alors \(-x\in[-3,3]\) également, car cet intervalle contient toujours, en même temps qu'un nombre, son opposé. Donc \(B\) est symétrique par rapport à l'origine.
Considérons
\[ C=[0,+\infty). \]
Cet ensemble n'est pas symétrique par rapport à l'origine. En effet
\[ 1\in[0,+\infty), \]
mais
\[ -1\notin[0,+\infty). \]
Ainsi, \(C\) ne contient pas toujours, en même temps qu'un de ses éléments, l'opposé de celui-ci.
Considérons enfin
\[ D=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Si \(x\in D\), alors \(x\ne 0\). Par conséquent, \(-x\ne 0\) lui aussi, donc \(-x\in D\). Ainsi, \(D\) est lui aussi symétrique par rapport à l'origine.
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+5 \]
est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
Résultat
La fonction est paire.
Résolution
Le domaine de la fonction est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine.
Nous pouvons donc comparer \(f(x)\) et \(f(-x)\). Calculons \(f(-x)\) :
\[ f(-x)=(-x)^2+5. \]
Comme
\[ (-x)^2=x^2, \]
on obtient
\[ f(-x)=x^2+5. \]
Or
\[ f(x)=x^2+5. \]
Donc, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=f(x). \]
Par définition, la fonction \(f\) est paire.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3-4x \]
est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
Résultat
La fonction est impaire.
Résolution
Le domaine de la fonction est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine.
Calculons \(f(-x)\) :
\[ f(-x)=(-x)^3-4(-x). \]
En simplifiant les deux termes, on obtient
\[ f(-x)=-x^3+4x. \]
Calculons à présent \(-f(x)\). Comme
\[ f(x)=x^3-4x, \]
on a
\[ -f(x)=-(x^3-4x). \]
En distribuant le signe moins :
\[ -f(x)=-x^3+4x. \]
Nous avons donc obtenu
\[ f(-x)=-x^3+4x \]
et
\[ -f(x)=-x^3+4x. \]
Par conséquent, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=-f(x). \]
Par définition, la fonction \(f\) est impaire.
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+x \]
est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
Résultat
La fonction n'est ni paire ni impaire.
Résolution
Le domaine de la fonction est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine.
Calculons \(f(-x)\) :
\[ f(-x)=(-x)^2+(-x). \]
Comme \((-x)^2=x^2\), on obtient
\[ f(-x)=x^2-x. \]
Comparons maintenant \(f(-x)\) avec \(f(x)\). On a
\[ f(x)=x^2+x. \]
En général
\[ x^2-x\ne x^2+x. \]
Par exemple, pour \(x=1\), on obtient
\[ f(-1)=(-1)^2+(-1)=1-1=0, \]
tandis que
\[ f(1)=1^2+1=2. \]
Ainsi \(f(-1)\ne f(1)\), et la fonction n'est pas paire.
Vérifions maintenant si la fonction est impaire. On devrait avoir
\[ f(-x)=-f(x) \]
pour tout \(x\in\mathbb R\). Calculons :
\[ -f(x)=-(x^2+x)=-x^2-x. \]
Or, en général
\[ x^2-x\ne -x^2-x. \]
Par exemple, pour \(x=1\), nous avons déjà trouvé \(f(-1)=0\), tandis que
\[ -f(1)=-2. \]
Ainsi \(f(-1)\ne -f(1)\), et la fonction n'est pas impaire.
Par conséquent, \(f\) n'est ni paire ni impaire.
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
est paire.
Résultat
La fonction n'est pas considérée comme paire, car son domaine n'est pas symétrique par rapport à l'origine.
Résolution
L'expression de la fonction est
\[ f(x)=x^2. \]
Cette expression, considérée sur \(\mathbb R\) tout entier, décrit une fonction paire. Toutefois, dans cet exercice, la fonction n'est pas définie sur \(\mathbb R\), mais sur
\[ [0,+\infty). \]
Avant de vérifier la parité, nous devons donc examiner le domaine.
Le domaine
\[ X=[0,+\infty) \]
n'est pas symétrique par rapport à l'origine. En effet
\[ 1\in X, \]
mais
\[ -1\notin X. \]
Cela signifie que, pour \(x=1\), la valeur \(f(1)\) est définie, tandis que la valeur \(f(-1)\) ne l'est pas.
Par conséquent, il n'est pas possible de vérifier la condition
\[ f(-x)=f(x) \]
pour tout \(x\) du domaine.
Pour cette raison, la fonction
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
n'est pas classée parmi les fonctions paires.
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x^4-5x^2+7 \]
est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
Résultat
La fonction est paire.
Résolution
Le domaine de la fonction est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine.
Nous pouvons donc calculer \(f(-x)\) et le comparer à \(f(x)\). On a
\[ f(-x)=3(-x)^4-5(-x)^2+7. \]
Rappelons qu'une puissance à exposant pair ne change pas de signe lorsqu'on remplace \(x\) par \(-x\). En effet
\[ (-x)^4=x^4,\qquad (-x)^2=x^2. \]
Donc
\[ f(-x)=3x^4-5x^2+7. \]
Or, c'est précisément l'expression de \(f(x)\) :
\[ f(x)=3x^4-5x^2+7. \]
Par conséquent, pour tout \(x\in\mathbb R\), on a
\[ f(-x)=f(x). \]
Par définition, la fonction est paire.
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x^5-3x^3+x \]
est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
Résultat
La fonction est impaire.
Résolution
Le domaine de la fonction est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine.
Calculons \(f(-x)\) :
\[ f(-x)=2(-x)^5-3(-x)^3+(-x). \]
Les puissances à exposant impair changent de signe lorsqu'on remplace \(x\) par \(-x\). En effet
\[ (-x)^5=-x^5,\qquad (-x)^3=-x^3. \]
Donc
\[ f(-x)=2(-x^5)-3(-x^3)-x. \]
En simplifiant :
\[ f(-x)=-2x^5+3x^3-x. \]
Calculons à présent \(-f(x)\). Comme
\[ f(x)=2x^5-3x^3+x, \]
on a
\[ -f(x)=-(2x^5-3x^3+x). \]
En distribuant le signe moins :
\[ -f(x)=-2x^5+3x^3-x. \]
Ainsi, \(f(-x)\) et \(-f(x)\) coïncident :
\[ f(-x)=-f(x). \]
Comme cette égalité est vérifiée pour tout \(x\in\mathbb R\), la fonction est impaire.
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+\cos x \]
est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
Résultat
La fonction est paire.
Résolution
Le domaine de la fonction est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine.
Calculons \(f(-x)\) :
\[ f(-x)=(-x)^2+\cos(-x). \]
Utilisons maintenant deux propriétés bien connues :
\[ (-x)^2=x^2 \]
et
\[ \cos(-x)=\cos x. \]
La première égalité provient du fait que la puissance a un exposant pair ; la seconde traduit le fait que le cosinus est une fonction paire.
En substituant ces égalités, on obtient
\[ f(-x)=x^2+\cos x. \]
Or
\[ f(x)=x^2+\cos x. \]
Donc, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=f(x). \]
Par définition, la fonction \(f\) est paire.
Ce résultat est d'ailleurs cohérent avec la règle générale : la somme de deux fonctions paires est encore une fonction paire.
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3+x^2 \]
est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
Résultat
La fonction n'est ni paire ni impaire.
Résolution
Le domaine de la fonction est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine.
Calculons \(f(-x)\) :
\[ f(-x)=(-x)^3+(-x)^2. \]
Comme
\[ (-x)^3=-x^3,\qquad (-x)^2=x^2, \]
on obtient
\[ f(-x)=-x^3+x^2. \]
Comparons d'abord \(f(-x)\) avec \(f(x)\). Comme
\[ f(x)=x^3+x^2, \]
la condition de parité exigerait
\[ -x^3+x^2=x^3+x^2 \]
pour tout \(x\in\mathbb R\). Cette égalité n'est pas vraie en général. Par exemple, pour \(x=1\), on a
\[ f(-1)=(-1)^3+(-1)^2=-1+1=0, \]
tandis que
\[ f(1)=1^3+1^2=2. \]
Donc la fonction n'est pas paire.
Vérifions maintenant si elle est impaire. Calculons \(-f(x)\) :
\[ -f(x)=-(x^3+x^2)=-x^3-x^2. \]
La condition d'imparité exigerait
\[ f(-x)=-f(x). \]
Or, on a
\[ f(-x)=-x^3+x^2 \]
et
\[ -f(x)=-x^3-x^2. \]
Ces deux expressions ne coïncident pas en général. Par exemple, pour \(x=1\), on a \(f(-1)=0\), tandis que \(-f(1)=-2\).
Donc la fonction n'est pas impaire.
Par conséquent, \(f\) n'est ni paire ni impaire.
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=0 \]
est paire, impaire ou bien les deux à la fois.
Résultat
La fonction est à la fois paire et impaire.
Résolution
Le domaine de la fonction est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine.
La fonction est identiquement nulle, c'est-à-dire
\[ f(x)=0 \]
pour tout \(x\in\mathbb R\).
Calculons \(f(-x)\). Comme \(-x\) est lui aussi un nombre réel, on a
\[ f(-x)=0. \]
Comparons maintenant \(f(-x)\) avec \(f(x)\). Puisque \(f(x)=0\), on obtient
\[ f(-x)=0=f(x). \]
Donc la fonction est paire.
Comparons maintenant \(f(-x)\) avec \(-f(x)\). Comme \(f(x)=0\), on a
\[ -f(x)=-0=0. \]
Ainsi
\[ f(-x)=0=-f(x). \]
Donc la fonction est aussi impaire.
Par conséquent, la fonction nulle est à la fois paire et impaire. C'est le seul cas, pour une fonction à valeurs réelles définie sur un domaine symétrique par rapport à l'origine, où une fonction peut être simultanément paire et impaire : elle doit être identiquement nulle.
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=(x^2+1)\sin x \]
est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
Résultat
La fonction est impaire.
Résolution
Le domaine de la fonction est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine.
Calculons \(f(-x)\) :
\[ f(-x)=((-x)^2+1)\sin(-x). \]
Examinons maintenant séparément les deux facteurs.
Pour le premier facteur, on a
\[ (-x)^2+1=x^2+1. \]
Pour le second facteur, en utilisant l'imparité du sinus, on a
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
En substituant ces deux égalités, on obtient
\[ f(-x)=(x^2+1)(-\sin x). \]
Donc
\[ f(-x)=-(x^2+1)\sin x. \]
Or
\[ f(x)=(x^2+1)\sin x. \]
Par conséquent
\[ f(-x)=-f(x). \]
Par définition, la fonction est impaire.
Ce résultat est cohérent avec la règle générale : le produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire est une fonction impaire.
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x\sin x \]
est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
Résultat
La fonction est paire.
Résolution
Le domaine de la fonction est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine.
Calculons \(f(-x)\) :
\[ f(-x)=(-x)\sin(-x). \]
Utilisons la relation
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
En substituant, on obtient
\[ f(-x)=(-x)(-\sin x). \]
Le produit de deux facteurs négatifs est positif, donc
\[ f(-x)=x\sin x. \]
Or
\[ f(x)=x\sin x. \]
Donc
\[ f(-x)=f(x). \]
Par définition, la fonction est paire.
Ce résultat est lui aussi cohérent avec la règle générale : le produit de deux fonctions impaires est une fonction paire. En effet, \(x\mapsto x\) est impaire et \(x\mapsto\sin x\) est impaire.
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1} \]
est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
Résultat
La fonction est paire.
Résolution
Vérifions tout d'abord le domaine. Le dénominateur est
\[ x^4+1. \]
Comme \(x^4\ge 0\) pour tout \(x\in\mathbb R\), on a
\[ x^4+1>0 \]
pour tout \(x\in\mathbb R\). Le dénominateur ne s'annule donc jamais et le domaine est \(\mathbb R\).
Le domaine est donc symétrique par rapport à l'origine.
Calculons \(f(-x)\) :
\[ f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{(-x)^4+1}. \]
Comme
\[ (-x)^2=x^2,\qquad (-x)^4=x^4, \]
on obtient
\[ f(-x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}. \]
Or
\[ f(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}. \]
Donc
\[ f(-x)=f(x). \]
Par définition, la fonction est paire.
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si la fonction
\[ f:X\to\mathbb R,\qquad f(x)=\tan x, \]
où
\[ X=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}, \]
est paire, impaire ou ni paire ni impaire.
Résultat
La fonction est impaire.
Résolution
Avant de vérifier la condition \(f(-x)=f(x)\) ou bien \(f(-x)=-f(x)\), nous devons nous assurer que le domaine est symétrique par rapport à l'origine.
La fonction tangente n'est pas définie aux points
\[ \frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]
Le domaine est donc
\[ X=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}. \]
Vérifions que \(X\) est symétrique par rapport à l'origine. L'opposé d'un point exclu est
\[ -\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right). \]
En simplifiant :
\[ -\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=-\frac{\pi}{2}-k\pi. \]
Réécrivons cette quantité sous la forme \(\frac{\pi}{2}+m\pi\), avec \(m\in\mathbb Z\) :
\[ -\frac{\pi}{2}-k\pi=\frac{\pi}{2}+(-k-1)\pi. \]
Comme \(-k-1\in\mathbb Z\), l'opposé d'un point exclu est lui aussi un point exclu.
Par conséquent, si \(x\in X\), alors \(-x\in X\) également. Le domaine est donc symétrique par rapport à l'origine.
Calculons à présent \(f(-x)\) :
\[ f(-x)=\tan(-x). \]
Comme la tangente est une fonction impaire, on a
\[ \tan(-x)=-\tan x. \]
Donc
\[ f(-x)=-\tan x. \]
Or \(f(x)=\tan x\), donc
\[ f(-x)=-f(x). \]
Par définition, \(f\) est impaire.
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Calculer l'intégrale
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx \]
en utilisant la parité de la fonction à intégrer.
Résultat
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx=\frac{144}{5}. \]
Résolution
Considérons la fonction à intégrer
\[ f(x)=x^4+3x^2. \]
Vérifions la parité :
\[ f(-x)=(-x)^4+3(-x)^2. \]
Comme
\[ (-x)^4=x^4,\qquad (-x)^2=x^2, \]
on obtient
\[ f(-x)=x^4+3x^2=f(x). \]
Donc \(f\) est paire.
L'intervalle d'intégration est
\[ [-2,2], \]
qui est symétrique par rapport à l'origine. Pour une fonction paire intégrable sur \([-a,a]\), on a
\[ \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx. \]
Dans notre cas, \(a=2\). Donc
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx = 2\int_0^2(x^4+3x^2)\,dx. \]
Calculons l'intégrale :
\[ 2\int_0^2(x^4+3x^2)\,dx = 2\left[\frac{x^5}{5}+x^3\right]_0^2. \]
Substituons maintenant les bornes :
\[ 2\left[\frac{x^5}{5}+x^3\right]_0^2 = 2\left(\frac{2^5}{5}+2^3-\frac{0^5}{5}-0^3\right). \]
Donc
\[ 2\left(\frac{2^5}{5}+2^3\right) = 2\left(\frac{32}{5}+8\right). \]
Réduisons au même dénominateur :
\[ 8=\frac{40}{5}. \]
Par conséquent
\[ 2\left(\frac{32}{5}+\frac{40}{5}\right) = 2\cdot\frac{72}{5} = \frac{144}{5}. \]
Nous concluons que
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx=\frac{144}{5}. \]
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Calculer l'intégrale
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx \]
en utilisant l'imparité de la fonction à intégrer.
Résultat
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx=0. \]
Résolution
Considérons la fonction à intégrer
\[ f(x)=x^5-4x. \]
Vérifions si \(f\) est impaire. Calculons \(f(-x)\) :
\[ f(-x)=(-x)^5-4(-x). \]
Comme
\[ (-x)^5=-x^5 \]
et
\[ -4(-x)=4x, \]
on obtient
\[ f(-x)=-x^5+4x. \]
Calculons à présent \(-f(x)\) :
\[ -f(x)=-(x^5-4x). \]
En distribuant le signe moins :
\[ -f(x)=-x^5+4x. \]
Nous avons donc
\[ f(-x)=-f(x). \]
La fonction \(f\) est impaire.
L'intervalle d'intégration est
\[ [-3,3], \]
qui est symétrique par rapport à l'origine.
Comme l'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique par rapport à l'origine est nulle, on obtient directement
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx=0. \]
D'un point de vue géométrique, les aires algébriques sur les deux moitiés de l'intervalle se compensent : la contribution sur \([-3,0]\) est opposée à celle sur \([0,3]\).
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Calculer l'intégrale
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx \]
en exploitant la parité et l'imparité des termes de la fonction à intégrer.
Résultat
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx=\frac{22}{5}. \]
Résolution
Considérons la fonction à intégrer
\[ f(x)=x^4+x^3+2. \]
Cette fonction n'est, dans son ensemble, ni paire ni impaire, car elle contient à la fois des termes pairs et des termes impairs. Nous pouvons toutefois la séparer en deux parties :
\[ f(x)=(x^4+2)+x^3. \]
La fonction
\[ x\mapsto x^4+2 \]
est paire, car elle ne contient que des puissances paires de \(x\) et un terme constant.
La fonction
\[ x\mapsto x^3 \]
est impaire, car
\[ (-x)^3=-x^3. \]
Nous pouvons donc écrire
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx = \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx+\int_{-1}^{1}x^3\,dx. \]
L'intervalle \([-1,1]\) est symétrique par rapport à l'origine. Comme \(x^3\) est impaire, son intégrale sur \([-1,1]\) est nulle :
\[ \int_{-1}^{1}x^3\,dx=0. \]
Il reste donc
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx = \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx. \]
Comme \(x^4+2\) est paire, nous pouvons réduire l'intervalle de moitié et doubler l'intégrale :
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx = 2\int_0^1(x^4+2)\,dx. \]
Calculons :
\[ 2\int_0^1(x^4+2)\,dx = 2\left[\frac{x^5}{5}+2x\right]_0^1. \]
En substituant les bornes :
\[ 2\left[\frac{x^5}{5}+2x\right]_0^1 = 2\left(\frac{1^5}{5}+2\cdot 1-\frac{0^5}{5}-2\cdot 0\right). \]
Donc
\[ 2\left(\frac{1}{5}+2\right) = 2\left(\frac{1}{5}+\frac{10}{5}\right) = 2\cdot\frac{11}{5} = \frac{22}{5}. \]
Par conséquent
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx=\frac{22}{5}. \]
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Décomposer la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3+x^2+x+1 \]
en la somme de sa partie paire et de sa partie impaire.
Résultat
La partie paire est
\[ f_p(x)=x^2+1. \]
La partie impaire est
\[ f_i(x)=x^3+x. \]
Donc
\[ f(x)=f_p(x)+f_i(x)=(x^2+1)+(x^3+x). \]
Résolution
Le domaine de la fonction est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine. Nous pouvons donc utiliser les formules de la décomposition en partie paire et partie impaire.
La partie paire de \(f\) est définie par
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
La partie impaire de \(f\) est définie par
\[ f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Calculons d'abord \(f(-x)\). Comme
\[ f(x)=x^3+x^2+x+1, \]
on obtient
\[ f(-x)=(-x)^3+(-x)^2+(-x)+1. \]
En simplifiant :
\[ f(-x)=-x^3+x^2-x+1. \]
Calculons maintenant la partie paire :
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Substituons les expressions trouvées :
\[ f_p(x)=\frac{(x^3+x^2+x+1)+(-x^3+x^2-x+1)}{2}. \]
Additionnons les termes semblables :
\[ x^3-x^3=0,\qquad x-x=0, \]
tandis que
\[ x^2+x^2=2x^2,\qquad 1+1=2. \]
Donc
\[ f_p(x)=\frac{2x^2+2}{2}=x^2+1. \]
Calculons maintenant la partie impaire :
\[ f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Substituons :
\[ f_i(x)=\frac{(x^3+x^2+x+1)-(-x^3+x^2-x+1)}{2}. \]
Changeons les signes dans la deuxième parenthèse :
\[ f_i(x)=\frac{x^3+x^2+x+1+x^3-x^2+x-1}{2}. \]
Additionnons les termes semblables :
\[ x^3+x^3=2x^3,\qquad x+x=2x, \]
tandis que
\[ x^2-x^2=0,\qquad 1-1=0. \]
Donc
\[ f_i(x)=\frac{2x^3+2x}{2}=x^3+x. \]
Nous avons ainsi obtenu la décomposition
\[ f(x)=f_p(x)+f_i(x)=(x^2+1)+(x^3+x). \]
La première parenthèse est une fonction paire, tandis que la seconde est une fonction impaire.
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Décomposer la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]
en la somme de sa partie paire et de sa partie impaire.
Résultat
La partie paire est
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x. \]
La partie impaire est
\[ f_i(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x. \]
Donc
\[ e^x=\cosh x+\sinh x. \]
Résolution
Le domaine de la fonction \(f(x)=e^x\) est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine.
Nous pouvons utiliser les formules
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \]
et
\[ f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Comme
\[ f(x)=e^x, \]
on a
\[ f(-x)=e^{-x}. \]
Calculons la partie paire :
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. \]
Il s'agit, par définition, du cosinus hyperbolique :
\[ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. \]
Donc
\[ f_p(x)=\cosh x. \]
Calculons maintenant la partie impaire :
\[ f_i(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}. \]
Il s'agit, par définition, du sinus hyperbolique :
\[ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}. \]
Donc
\[ f_i(x)=\sinh x. \]
Par conséquent, la décomposition de \(e^x\) en la somme de sa partie paire et de sa partie impaire est
\[ e^x=\cosh x+\sinh x. \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Décomposer la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x+1}{x^2+1} \]
en la somme de sa partie paire et de sa partie impaire.
Résultat
La partie paire est
\[ f_p(x)=\frac{1}{x^2+1}. \]
La partie impaire est
\[ f_i(x)=\frac{x}{x^2+1}. \]
Donc
\[ \frac{x+1}{x^2+1} = \frac{1}{x^2+1} + \frac{x}{x^2+1}. \]
Résolution
Le domaine de la fonction est \(\mathbb R\), car le dénominateur
\[ x^2+1 \]
est toujours positif et ne s'annule donc jamais.
Le domaine est donc symétrique par rapport à l'origine.
Pour décomposer \(f\) en la somme de sa partie paire et de sa partie impaire, nous utilisons les formules
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \]
et
\[ f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Calculons \(f(-x)\) :
\[ f(-x)=\frac{-x+1}{(-x)^2+1}. \]
Comme
\[ (-x)^2=x^2, \]
on obtient
\[ f(-x)=\frac{1-x}{x^2+1}. \]
Calculons maintenant la partie paire :
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
En substituant les deux expressions :
\[ f_p(x)=\frac{\frac{x+1}{x^2+1}+\frac{1-x}{x^2+1}}{2}. \]
Les deux fractions ont le même dénominateur, nous pouvons donc additionner les numérateurs :
\[ f_p(x)=\frac{\frac{x+1+1-x}{x^2+1}}{2}. \]
En simplifiant le numérateur :
\[ x+1+1-x=2. \]
Donc
\[ f_p(x)=\frac{\frac{2}{x^2+1}}{2}. \]
Diviser par \(2\) revient à multiplier par \(\frac12\), donc
\[ f_p(x)=\frac{1}{x^2+1}. \]
Calculons maintenant la partie impaire :
\[ f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
En substituant :
\[ f_i(x)=\frac{\frac{x+1}{x^2+1}-\frac{1-x}{x^2+1}}{2}. \]
Ici encore, les deux fractions ont le même dénominateur :
\[ f_i(x)=\frac{\frac{x+1-(1-x)}{x^2+1}}{2}. \]
Simplifions le numérateur :
\[ x+1-(1-x)=x+1-1+x=2x. \]
Donc
\[ f_i(x)=\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}. \]
En divisant par \(2\), on obtient
\[ f_i(x)=\frac{x}{x^2+1}. \]
Par conséquent, la fonction se décompose en
\[ f(x)=f_p(x)+f_i(x) = \frac{1}{x^2+1} + \frac{x}{x^2+1}. \]
La fonction
\[ x\mapsto \frac{1}{x^2+1} \]
est paire, tandis que la fonction
\[ x\mapsto \frac{x}{x^2+1} \]
est impaire. La décomposition obtenue est donc cohérente avec les formules générales.