La composition de fonctions est une opération qui permet d'appliquer une fonction après une autre. Si une fonction transforme un élément \(x\) en \(g(x)\), et qu'une seconde fonction peut être appliquée à la valeur \(g(x)\), alors on peut considérer la fonction qui associe directement à \(x\) la valeur \(f(g(x))\).
Cette opération est fondamentale dans l'étude des fonctions, car elle permet de construire de nouvelles fonctions à partir de fonctions déjà connues. De plus, la composition est à la base de nombreuses notions importantes, telles que la fonction réciproque, les transformations du graphe, la règle de dérivation des fonctions composées en calcul différentiel et le changement de variable dans les intégrales.
Toutefois, pour définir correctement la composition, il ne suffit pas d'écrire formellement \(f(g(x))\). Il faut contrôler avec précision les domaines et les ensembles d'arrivée : la valeur produite par la première fonction doit appartenir au domaine de la seconde. Pour cette raison, la composition de fonctions est une notion simple dans son principe, mais qui demande de l'attention quant à ses conditions d'existence.
Sommaire
- Idée intuitive de la composition de fonctions
- Définition de la composition de fonctions
- Condition d'existence de la composée
- Domaine de la fonction composée
- Ordre de la composition
- Exemples de composition de fonctions
- Composition avec la fonction identité
- Associativité de la composition
- Composition de fonctions injectives, surjectives et bijectives
- Composition et fonction réciproque
Idée intuitive de la composition de fonctions
L'idée de la composition de fonctions consiste à appliquer deux fonctions l'une après l'autre.
Supposons que l'on dispose d'une fonction \(g\) qui associe à un élément \(x\) une valeur \(g(x)\). Supposons ensuite que l'on dispose d'une seconde fonction \(f\), qui peut être appliquée à la valeur \(g(x)\). On peut alors construire une nouvelle fonction qui, à partir de \(x\), parvient directement à la valeur \(f(g(x))\).
Le schéma est le suivant :
\[ x \xrightarrow{\;g\;} g(x) \xrightarrow{\;f\;} f(g(x)). \]
Dans ce cas, on dit que l'on a composé \(f\) avec \(g\). La fonction obtenue se note
\[ f\circ g. \]
Le symbole \(f\circ g\) se lit \(f\) rond \(g\) ou \(f\) après \(g\).
Il importe d'observer l'ordre : dans la composition \(f\circ g\), la fonction \(g\) est appliquée en premier, tandis que la fonction \(f\) est appliquée en second.
En effet, pour tout \(x\) en lequel la composition est définie, on a
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
La composition \(f\circ g\) ne signifie donc pas que l'on applique d'abord \(f\) puis \(g\), mais exactement le contraire : on calcule d'abord \(g(x)\), puis on applique \(f\) au résultat obtenu.
Définition de la composition de fonctions
Soient
\[ g:A\to B \]
et
\[ f:B\to C \]
deux fonctions. La composition de \(f\) avec \(g\) est la fonction
\[ f\circ g:A\to C \]
définie, pour tout \(x\in A\), par
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Dans cette définition, la fonction \(g\) est appliquée en premier, tandis que la fonction \(f\) est appliquée ensuite. En effet, à partir d'un élément \(x\in A\), on obtient d'abord la valeur \(g(x)\in B\), puis on applique \(f\) à cette valeur :
\[ x\in A \quad \xrightarrow{\;g\;} \quad g(x)\in B \quad \xrightarrow{\;f\;} \quad f(g(x))\in C. \]
La fonction composée \(f\circ g\) associe ainsi directement à chaque élément \(x\in A\) l'élément \(f(g(x))\in C\).
Il convient de remarquer que, dans l'écriture \(f\circ g\), l'ordre de lecture ne coïncide pas avec l'ordre d'application : la fonction écrite à droite, c'est-à-dire \(g\), est appliquée en premier ; la fonction écrite à gauche, c'est-à-dire \(f\), est appliquée en second.
Condition d'existence de la composée
La composition \(f\circ g\) est définie lorsque les valeurs prises par \(g\) peuvent être utilisées comme arguments de la fonction \(f\).
Dans la situation
\[ g:A\to B, \qquad f:B\to C, \]
cette condition est automatiquement satisfaite, car pour tout \(x\in A\) on a \(g(x)\in B\), et \(B\) est précisément le domaine de la fonction \(f\).
Plus généralement, si
\[ g:A\to B \]
et
\[ f:D\to C, \]
alors la composition \(f\circ g\) est définie pour tous les éléments \(x\in A\) tels que
\[ g(x)\in D. \]
En particulier, si l'image de \(g\) est contenue dans le domaine de \(f\), c'est-à-dire si
\[ g(A)\subseteq D, \]
alors la composition \(f\circ g\) est définie sur \(A\) tout entier.
C'est là la condition fondamentale pour pouvoir composer deux fonctions : la sortie de la première fonction doit appartenir au domaine de la seconde.
En symboles, si l'on veut définir \(f\circ g\) sur \(A\) tout entier, on doit avoir
\[ g(A)\subseteq \operatorname{Dom}(f). \]
Sans cette condition, l'expression \(f(g(x))\) pourrait n'avoir aucun sens pour certaines valeurs de \(x\), car \(g(x)\) pourrait ne pas appartenir au domaine de \(f\).
Domaine de la fonction composée
Lorsque les fonctions sont données par des formules, le domaine de la fonction composée doit être déterminé avec soin.
Supposons que \(g\) soit définie sur un ensemble \(A\) et que \(f\) soit définie sur un ensemble \(D\). La fonction composée \(f\circ g\) est définie exactement pour les éléments \(x\in A\) pour lesquels \(g(x)\) appartient au domaine de \(f\).
Le domaine de \(f\circ g\) est donc
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)= \{x\in \operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in \operatorname{Dom}(f)\}. \]
Cette formule est fondamentale : pour déterminer le domaine d'une fonction composée, il ne suffit pas de considérer le domaine de \(g\), il faut aussi imposer que la valeur \(g(x)\) soit acceptable comme argument de \(f\).
Considérons, par exemple, les fonctions
\[ g(x)=x-1, \qquad f(x)=\sqrt{x}. \]
La fonction composée \(f\circ g\) est
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-1)=\sqrt{x-1}. \]
Pour que cette expression soit définie dans les nombres réels, on doit avoir
\[ x-1\ge 0. \]
Donc
\[ x\ge 1. \]
Par conséquent
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[1,+\infty). \]
Dans cet exemple, le domaine de la composée n'est pas le domaine tout entier de \(g\), mais seulement la partie du domaine de \(g\) sur laquelle la valeur \(g(x)\) appartient au domaine de la racine carrée.
Ordre de la composition
L'ordre dans lequel on compose deux fonctions est fondamental. En général, \(f\circ g\) et \(g\circ f\) sont des fonctions différentes.
En effet, par définition,
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)), \]
tandis que
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Dans le premier cas, on applique d'abord \(g\) puis \(f\) ; dans le second cas, on applique d'abord \(f\) puis \(g\). Comme l'ordre d'application change, le résultat peut changer.
Considérons, par exemple, les fonctions
\[ f(x)=x^2, \qquad g(x)=x+1. \]
Calculons d'abord \(f\circ g\) :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2. \]
Calculons à présent \(g\circ f\) :
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=x^2+1. \]
Les deux fonctions obtenues sont
\[ (f\circ g)(x)=(x+1)^2 \]
et
\[ (g\circ f)(x)=x^2+1. \]
En général, ces expressions ne coïncident pas. Par exemple, pour \(x=1\) on a
\[ (f\circ g)(1)=(1+1)^2=4, \]
tandis que
\[ (g\circ f)(1)=1^2+1=2. \]
Donc
\[ f\circ g\ne g\circ f. \]
La composition de fonctions n'est donc pas commutative : en changeant l'ordre des fonctions, on change en général la fonction composée.
Exemples de composition de fonctions
Voyons quelques exemples afin de clarifier le calcul de la fonction composée et de son domaine.
Exemple 1. Considérons les fonctions
\[ f(x)=3x+2, \qquad g(x)=x^2. \]
La composition \(f\circ g\) s'obtient en substituant \(g(x)\) à la variable de \(f\) :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)=3x^2+2. \]
La composition \(g\circ f\), quant à elle, est
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(3x+2)=(3x+2)^2. \]
Là encore, les deux compositions sont différentes :
\[ f\circ g\ne g\circ f. \]
Exemple 2. Considérons les fonctions
\[ f(x)=\sqrt{x}, \qquad g(x)=x^2-1. \]
La composée \(f\circ g\) est
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2-1)=\sqrt{x^2-1}. \]
Pour que cette fonction soit définie dans les nombres réels, on doit avoir
\[ x^2-1\ge 0. \]
En résolvant l'inéquation, on obtient
\[ x\le -1 \qquad \text{ou} \qquad x\ge 1. \]
Donc
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty). \]
La composée \(g\circ f\), quant à elle, est
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2-1=x-1. \]
Dans ce cas, il faut cependant se rappeler que \(f(x)=\sqrt{x}\) n'est définie que pour \(x\ge 0\). Par conséquent
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Cet exemple montre que deux compositions peuvent avoir non seulement des formules différentes, mais aussi des domaines différents.
Exemple 3. Considérons les fonctions
\[ f(x)=\frac{1}{x}, \qquad g(x)=x-2. \]
La fonction composée \(f\circ g\) est
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2)=\frac{1}{x-2}. \]
Cette expression est définie si et seulement si
\[ x-2\ne 0. \]
Donc
\[ x\ne 2. \]
Par conséquent
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{2\}. \]
Là encore, le domaine de la composée s'obtient en imposant que la valeur de la fonction intérieure appartienne au domaine de la fonction extérieure.
Composition avec la fonction identité
La fonction identité est l'élément neutre pour la composition de fonctions.
Rappelons que, étant donné un ensemble \(A\), la fonction identité sur \(A\) est la fonction
\[ \operatorname{id}_A:A\to A \]
définie par
\[ \operatorname{id}_A(x)=x \]
pour tout \(x\in A\).
Soit maintenant
\[ f:A\to B \]
une fonction. En composant \(f\) à droite avec l'identité de \(A\), on obtient
\[ f\circ \operatorname{id}_A:A\to B. \]
Pour tout \(x\in A\), on a
\[ (f\circ \operatorname{id}_A)(x)=f(\operatorname{id}_A(x))=f(x). \]
Donc
\[ f\circ \operatorname{id}_A=f. \]
En composant au contraire \(f\) à gauche avec l'identité de \(B\), on obtient
\[ \operatorname{id}_B\circ f:A\to B. \]
Pour tout \(x\in A\), il vient
\[ (\operatorname{id}_B\circ f)(x)=\operatorname{id}_B(f(x))=f(x). \]
Donc
\[ \operatorname{id}_B\circ f=f. \]
En conclusion, pour toute fonction \(f:A\to B\), on a
\[ f\circ \operatorname{id}_A=f \qquad \text{et} \qquad \operatorname{id}_B\circ f=f. \]
Associativité de la composition
La composition de fonctions est associative. Cela signifie que, lorsqu'on compose trois fonctions compatibles, la manière de placer les parenthèses ne change pas le résultat final.
Soient
\[ h:A\to B,\qquad g:B\to C,\qquad f:C\to D \]
trois fonctions. Alors les deux compositions
\[ (f\circ g)\circ h \]
et
\[ f\circ (g\circ h) \]
sont définies. Pour tout \(x\in A\), on a
\[ ((f\circ g)\circ h)(x) = (f\circ g)(h(x)) = f(g(h(x))). \]
D'autre part,
\[ (f\circ (g\circ h))(x) = f((g\circ h)(x)) = f(g(h(x))). \]
Les deux fonctions prennent donc la même valeur pour tout \(x\in A\). Par conséquent,
\[ (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h). \]
Grâce à l'associativité, lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, on peut écrire simplement
\[ f\circ g\circ h, \]
en se rappelant toutefois que l'ordre d'application demeure de droite à gauche : d'abord \(h\), puis \(g\), enfin \(f\).
Composition de fonctions injectives, surjectives et bijectives
La composition conserve certaines propriétés importantes des fonctions, comme l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité.
Soient
\[ g:A\to B \]
et
\[ f:B\to C \]
deux fonctions.
Si \(g\) et \(f\) sont toutes deux injectives, alors \(f\circ g:A\to C\) est elle aussi injective.
En effet, supposons que
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2). \]
Alors
\[ f(g(x_1))=f(g(x_2)). \]
Comme \(f\) est injective, il s'ensuit que
\[ g(x_1)=g(x_2). \]
Comme \(g\) est injective, on obtient
\[ x_1=x_2. \]
Donc \(f\circ g\) est injective.
Si \(g\) et \(f\) sont toutes deux surjectives, alors \(f\circ g:A\to C\) est elle aussi surjective.
En effet, soit \(z\in C\). Comme \(f\) est surjective, il existe \(y\in B\) tel que
\[ f(y)=z. \]
Comme \(g\) est surjective, il existe \(x\in A\) tel que
\[ g(x)=y. \]
Par conséquent,
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(y)=z. \]
Ainsi, tout élément de \(C\) est l'image d'au moins un élément de \(A\) par \(f\circ g\), et donc \(f\circ g\) est surjective.
Si \(g\) et \(f\) sont toutes deux bijectives, alors \(f\circ g\) est bijective, car elle est à la fois injective et surjective.
Composition et fonction réciproque
La composition est l'outil naturel pour définir et reconnaître la fonction réciproque.
Soit
\[ f:A\to B \]
une fonction. Une fonction
\[ g:B\to A \]
est la réciproque de \(f\) si, en composant les deux fonctions dans les deux ordres possibles, on obtient les fonctions identité :
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A \]
et
\[ f\circ g=\operatorname{id}_B. \]
La première égalité signifie que, à partir d'un élément \(x\in A\), appliquer d'abord \(f\) puis \(g\) ramène au point de départ :
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=x. \]
La seconde égalité signifie que, à partir d'un élément \(y\in B\), appliquer d'abord \(g\) puis \(f\) ramène au point de départ :
\[ (f\circ g)(y)=f(g(y))=y. \]
Dans ce cas, on écrit
\[ g=f^{-1}. \]
La composition montre ainsi qu'une fonction réciproque n'est pas simplement une formule obtenue en « inversant les étapes », mais une fonction qui défait l'effet de \(f\) aussi bien à droite qu'à gauche, ramenant chaque élément du domaine et de l'ensemble d'arrivée à son propre point de départ.
En particulier, une fonction \(f:A\to B\) admet une réciproque \(f^{-1}:B\to A\) si et seulement si elle est bijective.
La composition de fonctions est donc une opération fondamentale pour construire de nouvelles fonctions à partir de fonctions déjà connues. Sa définition est simple :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)), \]
mais elle demande toujours de l'attention quant à l'ordre d'application et aux domaines des fonctions en jeu.
En particulier, dans la composition \(f\circ g\), la fonction \(g\) est appliquée en premier, tandis que \(f\) est appliquée en second. De plus, la composition n'est définie que pour les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(g(x)\) appartient au domaine de \(f\).
La composition n'est pas commutative en général, mais elle est associative. La fonction identité joue le rôle d'élément neutre, tandis que la fonction réciproque peut être décrite précisément au moyen de la composition avec les fonctions identité.
Pour cette raison, la composition de fonctions est un outil essentiel dans l'étude des fonctions, de leurs propriétés et des relations entre une fonction, sa réciproque, son domaine et son ensemble d'arrivée.