Dans ce recueil, nous proposons 20 exercices corrigés sur la fonction réciproque, de difficulté progressive et accompagnés d'explications pas à pas. Les exercices portent sur le calcul de la réciproque, l'étude de l'inversibilité, le rôle de l'ensemble de départ et de l'ensemble d'arrivée, ainsi que sur les notions d'inverse à gauche et d'inverse à droite.
L'idée fondamentale à retenir est qu'une fonction \(f:A\to B\) admet une réciproque \(f^{-1}:B\to A\) si et seulement si elle est bijective, c'est-à-dire si elle est à la fois injective et surjective.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer la réciproque de la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x-5. \]
Résultat
La fonction est inversible et sa réciproque est
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}. \]
Résolution
La fonction est affine, de coefficient directeur non nul. Elle est donc injective et surjective de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), et admet par conséquent une réciproque.
Posons
\[ y=3x-5. \]
Pour déterminer la réciproque, il faut résoudre cette équation par rapport à \(x\). Ajoutons \(5\) aux deux membres :
\[ y+5=3x. \]
En divisant par \(3\), on obtient
\[ x=\frac{y+5}{3}. \]
Donc
\[ f^{-1}(y)=\frac{y+5}{3}. \]
En renommant la variable indépendante, on obtient
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}. \]
Vérifions par composition :
\[ f^{-1}(f(x))=\frac{(3x-5)+5}{3}=x \]
et
\[ f(f^{-1}(x))=3\cdot\frac{x+5}{3}-5=x. \]
Ces deux identités confirment que la fonction obtenue est bien la réciproque de \(f\).
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Soit
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x-4}{2}. \]
Déterminer \(f^{-1}\) et vérifier le résultat par composition.
Résultat
La fonction est inversible et
\[ f^{-1}(x)=2x+4. \]
Résolution
Posons
\[ y=\frac{x-4}{2}. \]
Résolvons par rapport à \(x\). En multipliant les deux membres par \(2\), on obtient
\[ 2y=x-4. \]
En ajoutant \(4\) aux deux membres :
\[ x=2y+4. \]
Donc
\[ f^{-1}(y)=2y+4. \]
En renommant la variable indépendante :
\[ f^{-1}(x)=2x+4. \]
Vérifions à présent les deux composées. Pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ f^{-1}(f(x))=2\cdot\frac{x-4}{2}+4=x-4+4=x. \]
De plus, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ f(f^{-1}(x))=\frac{(2x+4)-4}{2}=x. \]
Puisque
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \qquad\text{et}\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_{\mathbb R}, \]
la fonction obtenue est la réciproque de \(f\).
Exercice 3 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer la réciproque de la fonction
\[ f:\mathbb R\setminus\{-3\}\to\mathbb R\setminus\{2\}, \qquad f(x)=\frac{2x-1}{x+3}. \]
Résultat
La fonction est inversible et
\[ f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}. \]
Solution
Partons de l'équation
\[ y=\frac{2x-1}{x+3}. \]
Comme \(x\ne -3\), le dénominateur est non nul. Multiplions les deux membres par \(x+3\) :
\[ y(x+3)=2x-1. \]
Développons le premier membre :
\[ xy+3y=2x-1. \]
Regroupons d'un côté les termes contenant \(x\) et de l'autre les termes restants :
\[ xy-2x=-1-3y. \]
Mettons \(x\) en facteur :
\[ x(y-2)=-(1+3y). \]
Comme l'ensemble d'arrivée est \(\mathbb R\setminus\{2\}\), on a \(y\ne 2\), et l'on peut donc diviser par \(y-2\) :
\[ x=\frac{-(1+3y)}{y-2}. \]
En changeant le signe du numérateur et du dénominateur, on obtient
\[ x=\frac{3y+1}{2-y}. \]
Donc
\[ f^{-1}(y)=\frac{3y+1}{2-y}. \]
En renommant la variable indépendante :
\[ f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}. \]
Remarquons que \(x\ne 2\) dans l'ensemble de départ de \(f^{-1}\), de sorte que le dénominateur \(2-x\) ne s'annule pas. Cela est cohérent avec le fait que l'ensemble de départ de la réciproque est l'ensemble d'arrivée de la fonction initiale.
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
On considère la fonction
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Établir si elle est inversible et, le cas échéant, en déterminer la réciproque.
Résultat
La fonction est inversible et
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Résolution
La fonction
\[ f(x)=x^2 \]
n'est pas inversible de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), mais, dans cet exercice, l'ensemble de départ est restreint à \([0,+\infty)\) et l'ensemble d'arrivée est \([0,+\infty)\).
Vérifions l'injectivité. Si \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\) et
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
alors
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Comme \(x_1\ge 0\) et \(x_2\ge 0\), de \(x_1^2=x_2^2\) on déduit
\[ x_1=x_2. \]
Donc \(f\) est injective.
Vérifions la surjectivité. Soit \(y\in[0,+\infty)\) quelconque ; choisissons
\[ x=\sqrt y. \]
Alors \(x\in[0,+\infty)\) et
\[ f(x)=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Donc \(f\) est surjective.
Étant injective et surjective, \(f\) est bijective et admet une réciproque. De la relation
\[ y=x^2 \]
avec \(x\ge 0\), on obtient
\[ x=\sqrt y. \]
Par conséquent,
\[ f^{-1}(x)=\sqrt x. \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Établir si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2 \]
admet une fonction réciproque.
Résultat
La fonction n'est pas inversible, car elle n'est ni injective ni surjective sur \(\mathbb R\).
Résolution
Une fonction \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) admet une réciproque si et seulement si elle est bijective, c'est-à-dire si elle est à la fois injective et surjective.
La fonction
\[ f(x)=x^2 \]
n'est pas injective. En effet,
\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]
et
\[ f(1)=1^2=1. \]
Ainsi
\[ f(-1)=f(1), \]
alors que \(-1\ne 1\). Donc deux éléments distincts de l'ensemble de départ ont la même image.
De plus, la fonction n'est pas surjective sur \(\mathbb R\), car aucun nombre strictement négatif n'est l'image d'un nombre réel par la fonction \(x^2\). Par exemple, il n'existe aucun \(x\in\mathbb R\) tel que
\[ x^2=-1. \]
Par conséquent, \(f\) n'est pas bijective.
Ainsi, la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
n'admet pas de fonction réciproque.
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer la réciproque de la fonction
\[ f:[-2,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=\sqrt{x+2}. \]
Résultat
La fonction est inversible et
\[ f^{-1}(x)=x^2-2. \]
Résolution
La fonction est définie sur \([-2,+\infty)\), car on doit avoir
\[ x+2\ge 0. \]
De plus, elle prend ses valeurs dans \([0,+\infty)\), car une racine carrée est toujours positive ou nulle.
Posons
\[ y=\sqrt{x+2}. \]
Comme \(y\ge 0\), nous pouvons élever les deux membres au carré :
\[ y^2=x+2. \]
On en tire \(x\) :
\[ x=y^2-2. \]
Donc
\[ f^{-1}(y)=y^2-2. \]
En renommant la variable indépendante :
\[ f^{-1}(x)=x^2-2. \]
Remarquons que l'ensemble de départ de \(f^{-1}\) est \([0,+\infty)\), c'est-à-dire l'ensemble d'arrivée de \(f\), tandis que l'ensemble d'arrivée de \(f^{-1}\) est \([-2,+\infty)\), c'est-à-dire l'ensemble de départ de \(f\).
Vérifions :
\[ f^{-1}(f(x))=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2=x \]
pour tout \(x\in[-2,+\infty)\), et
\[ f(f^{-1}(x))=\sqrt{(x^2-2)+2}=\sqrt{x^2}=x \]
pour tout \(x\in[0,+\infty)\). À la dernière étape, nous avons utilisé le fait que \(x\ge 0\), de sorte que \(\sqrt{x^2}=x\).
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer la réciproque de la fonction
\[ f:\mathbb R\to(1,+\infty), \qquad f(x)=e^x+1. \]
Résultat
La fonction est inversible et
\[ f^{-1}(x)=\ln(x-1). \]
Résolution
La fonction \(e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), donc \(e^x+1\) l'est également sur \(\mathbb R\). Par conséquent, \(f\) est injective.
De plus, comme
\[ e^x>0 \]
pour tout \(x\in\mathbb R\), on a
\[ e^x+1>1. \]
L'image de la fonction est donc \((1,+\infty)\), qui coïncide avec l'ensemble d'arrivée fixé. La fonction est donc surjective.
Étant bijective, elle admet une réciproque. Posons
\[ y=e^x+1. \]
En retranchant \(1\) aux deux membres :
\[ y-1=e^x. \]
Comme \(y\in(1,+\infty)\), on a \(y-1>0\), et nous pouvons donc appliquer le logarithme népérien :
\[ \ln(y-1)=x. \]
Par conséquent,
\[ f^{-1}(y)=\ln(y-1). \]
En renommant la variable :
\[ f^{-1}(x)=\ln(x-1). \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer la réciproque de la fonction
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb R, \qquad f(x)=\ln x-3. \]
Résultat
La fonction est inversible et
\[ f^{-1}(x)=e^{x+3}. \]
Résolution
La fonction logarithme népérien est définie pour \(x>0\), strictement croissante, et prend toutes les valeurs réelles. La fonction \(\ln x-3\) est donc, elle aussi, bijective de \((0,+\infty)\) dans \(\mathbb R\).
Posons
\[ y=\ln x-3. \]
Ajoutons \(3\) aux deux membres :
\[ y+3=\ln x. \]
Appliquons l'exponentielle aux deux membres :
\[ e^{y+3}=x. \]
Donc
\[ f^{-1}(y)=e^{y+3}. \]
En renommant la variable indépendante, on obtient
\[ f^{-1}(x)=e^{x+3}. \]
Vérifions l'une des composées :
\[ f(f^{-1}(x))=\ln(e^{x+3})-3=x+3-3=x. \]
De plus,
\[ f^{-1}(f(x))=e^{(\ln x-3)+3}=e^{\ln x}=x. \]
Ces deux identités confirment que la fonction obtenue est la réciproque.
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Établir si la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=e^x \]
est inversible. Dans le cas contraire, préciser quelle propriété fait défaut.
Résultat
La fonction n'est pas inversible de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), car elle n'est pas surjective.
Résolution
La fonction
\[ f(x)=e^x \]
est injective sur \(\mathbb R\), car l'exponentielle est strictement croissante.
Toutefois, elle n'est pas surjective de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\). En effet, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ e^x>0. \]
Ainsi, aucun nombre réel inférieur ou égal à zéro n'est l'image d'un nombre réel par \(f\). Par exemple, il n'existe aucun \(x\in\mathbb R\) tel que
\[ e^x=-1. \]
Par conséquent, l'image de \(f\) est
\[ f(\mathbb R)=(0,+\infty), \]
qui est une partie propre de l'ensemble d'arrivée \(\mathbb R\).
Comme \(f\) n'est pas surjective, elle n'est pas bijective. Elle n'admet donc pas de fonction réciproque
\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R. \]
Si l'on considère en revanche la fonction
\[ f:\mathbb R\to(0,+\infty), \qquad f(x)=e^x, \]
alors la fonction devient bijective et sa réciproque est
\[ f^{-1}(x)=\ln x. \]
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Établir si la fonction
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x| \]
est inversible. Dans le cas contraire, préciser quelle propriété fait défaut.
Résultat
La fonction n'est pas inversible, car elle est surjective mais non injective.
Résolution
La fonction
\[ f(x)=|x| \]
prend toujours des valeurs positives ou nulles, de sorte que l'ensemble d'arrivée \([0,+\infty)\) est cohérent avec son image.
La fonction est surjective sur \([0,+\infty)\). En effet, étant donné un \(y\in[0,+\infty)\) quelconque, il suffit de choisir
\[ x=y. \]
Alors \(x\in\mathbb R\) et
\[ f(x)=|y|=y, \]
car \(y\ge 0\).
Toutefois, \(f\) n'est pas injective. En effet,
\[ f(-2)=|-2|=2 \]
et
\[ f(2)=|2|=2. \]
Ainsi
\[ f(-2)=f(2), \]
alors que \(-2\ne 2\).
Comme la fonction n'est pas injective, elle n'est pas bijective. Par conséquent, elle n'admet pas de fonction réciproque.
Le problème tient à ce que, partant de la valeur \(2\), on ne saurait décider de manière univoque si l'élément de départ était \(2\) ou \(-2\).
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
On considère la fonction
\[ f:[1,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=(x-1)^2. \]
Établir si elle est inversible et, le cas échéant, en déterminer la réciproque.
Résultat
La fonction est inversible et
\[ f^{-1}(x)=1+\sqrt{x}. \]
Résolution
La fonction est définie sur \([1,+\infty)\). Sur cet intervalle, on a
\[ x-1\ge 0. \]
Vérifions l'injectivité. Si \(x_1,x_2\in[1,+\infty)\) et
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
alors
\[ (x_1-1)^2=(x_2-1)^2. \]
Comme \(x_1-1\ge 0\) et \(x_2-1\ge 0\), il s'ensuit que
\[ x_1-1=x_2-1. \]
Donc
\[ x_1=x_2. \]
La fonction est donc injective.
Vérifions la surjectivité. Soit \(y\in[0,+\infty)\). Cherchons \(x\in[1,+\infty)\) tel que
\[ (x-1)^2=y. \]
Comme \(x-1\ge 0\), on obtient
\[ x-1=\sqrt y. \]
Donc
\[ x=1+\sqrt y. \]
Ce nombre appartient à \([1,+\infty)\), donc la fonction est surjective.
Étant bijective, la fonction est inversible. De la relation
\[ y=(x-1)^2 \]
on tire
\[ x=1+\sqrt y. \]
Par conséquent,
\[ f^{-1}(x)=1+\sqrt x. \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Déterminer la réciproque de la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^3+2. \]
Résultat
La fonction est inversible et
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}. \]
Résolution
La fonction
\[ f(x)=x^3+2 \]
est strictement croissante sur \(\mathbb R\), car la fonction \(x^3\) l'est et l'ajout de \(2\) ne modifie pas la monotonie.
Donc \(f\) est injective.
De plus, pour tout \(y\in\mathbb R\), nous pouvons résoudre l'équation
\[ x^3+2=y. \]
En retranchant \(2\) :
\[ x^3=y-2. \]
Comme tout nombre réel admet une racine cubique réelle, on obtient
\[ x=\sqrt[3]{y-2}. \]
Ainsi, pour tout \(y\in\mathbb R\), il existe un \(x\in\mathbb R\) tel que \(f(x)=y\). La fonction est surjective.
Étant injective et surjective, \(f\) est bijective et admet une réciproque.
De la relation
\[ y=x^3+2 \]
on tire
\[ x=\sqrt[3]{y-2}. \]
Par conséquent,
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}. \]
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
On considère la fonction
\[ f:[2,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x-2|. \]
Établir si elle est inversible et en déterminer la réciproque.
Résultat
La fonction est inversible et
\[ f^{-1}(x)=x+2. \]
Résolution
Comme l'ensemble de départ est \([2,+\infty)\), on a, pour tout \(x\in[2,+\infty)\),
\[ x-2\ge 0. \]
Par conséquent,
\[ |x-2|=x-2. \]
La fonction se réduit donc à
\[ f(x)=x-2 \]
sur l'ensemble de départ \([2,+\infty)\).
Cette fonction est injective, car si
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
alors
\[ x_1-2=x_2-2, \]
et donc
\[ x_1=x_2. \]
Elle est également surjective sur \([0,+\infty)\). En effet, étant donné \(y\in[0,+\infty)\), choisissons
\[ x=y+2. \]
Alors \(x\in[2,+\infty)\) et
\[ f(x)=|y+2-2|=|y|=y, \]
car \(y\ge 0\).
La fonction est donc bijective.
De la relation
\[ y=x-2 \]
on tire
\[ x=y+2. \]
Par conséquent,
\[ f^{-1}(x)=x+2. \]
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Déterminer la réciproque de la fonction
\[ f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), \qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Résultat
La fonction est inversible et coïncide avec sa réciproque :
\[ f^{-1}(x)=\frac{1}{x}. \]
Résolution
La fonction est définie sur \((0,+\infty)\) et prend ses valeurs dans \((0,+\infty)\), car si \(x>0\), alors
\[ \frac{1}{x}>0. \]
Posons
\[ y=\frac{1}{x}. \]
Comme \(x>0\), nous pouvons multiplier par \(x\) :
\[ xy=1. \]
Comme \(y>0\), nous pouvons diviser par \(y\) :
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Donc
\[ f^{-1}(y)=\frac{1}{y}. \]
En renommant la variable indépendante :
\[ f^{-1}(x)=\frac{1}{x}. \]
Dans ce cas, la fonction coïncide avec sa propre réciproque.
Vérifions :
\[ f(f(x))=f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x. \]
Ainsi, appliquer \(f\) deux fois redonne l'élément initial.
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
On considère la fonction
\[ f:(-1,+\infty)\to(-\infty,1), \qquad f(x)=\frac{x}{x+1}. \]
Établir si elle est inversible et, le cas échéant, en déterminer la réciproque.
Résultat
La fonction est inversible et
\[ f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}. \]
Résolution
Pour \(x\in(-1,+\infty)\), on a \(x+1>0\), de sorte que la fonction est bien définie.
De plus, nous pouvons réécrire la fonction sous la forme
\[ f(x)=\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}. \]
Comme \(x+1>0\), on a
\[ \frac{1}{x+1}>0. \]
Donc
\[ f(x)=1-\frac{1}{x+1}<1. \]
Cela est cohérent avec l'ensemble d'arrivée \((-\infty,1)\).
Déterminons la réciproque. Posons
\[ y=\frac{x}{x+1}. \]
Multiplions par \(x+1\) :
\[ y(x+1)=x. \]
Développons :
\[ xy+y=x. \]
Regroupons dans un même membre les termes contenant \(x\) :
\[ xy-x=-y. \]
Mettons \(x\) en facteur :
\[ x(y-1)=-y. \]
Comme \(y\in(-\infty,1)\), on a \(y\ne 1\), et l'on peut donc diviser par \(y-1\) :
\[ x=\frac{-y}{y-1}. \]
En changeant le signe du numérateur et du dénominateur :
\[ x=\frac{y}{1-y}. \]
Donc
\[ f^{-1}(y)=\frac{y}{1-y}. \]
En renommant la variable :
\[ f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}. \]
Remarquons que l'ensemble de départ de la réciproque est \((-\infty,1)\), de sorte que \(1-x>0\) et que le dénominateur ne s'annule pas.
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Soit
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=e^x. \]
Construire un inverse à gauche de \(f\).
Résultat
Une inverse à gauche possible est la fonction \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) définie par
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
En effet,
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Résolution
La fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]
est injective, mais n'est pas surjective sur \(\mathbb R\), car son image est \((0,+\infty)\).
Pour obtenir un inverse à gauche de \(f\), nous devons construire une fonction
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R \]
telle que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Explicitement, on doit avoir
\[ g(f(x))=x \]
pour tout \(x\in\mathbb R\).
Comme \(f(x)=e^x>0\), sur les valeurs positives la fonction \(g\) doit se comporter comme le logarithme népérien :
\[ g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Toutefois, \(g\) doit être définie sur \(\mathbb R\) tout entier, car son ensemble de départ doit coïncider avec l'ensemble d'arrivée de \(f\).
Sur les valeurs \(y\le 0\), la fonction \(f\) n'impose aucune valeur à \(g\), car aucun nombre inférieur ou égal à zéro n'est l'image par \(f\). Nous pouvons donc choisir arbitrairement une valeur réelle.
Par exemple, définissons
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Alors, pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(e^x>0\), de sorte que
\[ g(f(x))=g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Donc
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
La fonction \(g\) est donc une inverse à gauche de \(f\). Ce n'est cependant pas une véritable fonction réciproque, car \(f\) n'est pas surjective de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\).
Exercice 17 — niveau ★★★☆☆
Soit
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Construire deux inverses à droite distincts de \(f\).
Résultat
Deux inverses à droite de \(f\) sont
\[ h_1(y)=\sqrt y \]
et
\[ h_2(y)=-\sqrt y. \]
Toutes deux sont des fonctions de \([0,+\infty)\) dans \(\mathbb R\) et vérifient
\[ f\circ h_i=\operatorname{id}_{[0,+\infty)} \]
pour \(i=1,2\).
Résolution
Un inverse à droite de \(f\) est une fonction
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R \]
telle que
\[ f\circ h=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
Explicitement, on doit avoir
\[ f(h(y))=y \]
pour tout \(y\in[0,+\infty)\).
Comme \(f(x)=x^2\), nous devons choisir, pour chaque \(y\ge 0\), un nombre réel \(h(y)\) tel que
\[ (h(y))^2=y. \]
Un premier choix naturel est
\[ h_1(y)=\sqrt y. \]
En effet, pour tout \(y\in[0,+\infty)\),
\[ f(h_1(y))=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Donc
\[ f\circ h_1=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
Un second choix possible est
\[ h_2(y)=-\sqrt y. \]
Là encore, pour tout \(y\in[0,+\infty)\),
\[ f(h_2(y))=f(-\sqrt y)=(-\sqrt y)^2=y. \]
Donc
\[ f\circ h_2=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
Les fonctions \(h_1\) et \(h_2\) sont distinctes, puisque, par exemple,
\[ h_1(1)=1, \qquad h_2(1)=-1. \]
Cela montre qu'une fonction surjective mais non injective peut admettre plusieurs inverses à droite.
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Démontrer que si une fonction \(f:A\to B\) admet un inverse à gauche \(g:B\to A\), alors \(f\) est injective.
Résultat
S'il existe \(g:B\to A\) tel que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A, \]
alors \(f\) est injective.
Résolution
Par hypothèse, \(g\) est un inverse à gauche de \(f\). Cela signifie que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
Explicitement :
\[ g(f(x))=x \]
pour tout \(x\in A\).
Montrons que \(f\) est injective. Soient donc \(x_1,x_2\in A\), et supposons que
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Pour prouver l'injectivité, il faut en déduire que
\[ x_1=x_2. \]
Appliquons \(g\) aux deux membres de l'égalité \(f(x_1)=f(x_2)\). On obtient
\[ g(f(x_1))=g(f(x_2)). \]
Comme \(g\circ f=\operatorname{id}_A\), on a
\[ g(f(x_1))=x_1 \]
et
\[ g(f(x_2))=x_2. \]
Par conséquent,
\[ x_1=x_2. \]
Nous avons montré que si deux éléments de l'ensemble de départ ont la même image, alors ils coïncident. Donc \(f\) est injective.
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Démontrer que si une fonction \(f:A\to B\) admet un inverse à droite \(h:B\to A\), alors \(f\) est surjective.
Résultat
S'il existe \(h:B\to A\) tel que
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B, \]
alors \(f\) est surjective.
Résolution
Par hypothèse, \(h\) est un inverse à droite de \(f\). Donc
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
Explicitement, pour tout \(y\in B\), on a
\[ f(h(y))=y. \]
Montrons que \(f\) est surjective. Pour cela, prenons un élément arbitraire \(y\in B\) ; il faut montrer qu'il existe au moins un élément \(x\in A\) tel que
\[ f(x)=y. \]
Comme \(h\) est une fonction de \(B\) dans \(A\), l'élément \(h(y)\) appartient à \(A\). Posons donc
\[ x=h(y). \]
Alors, en utilisant l'identité \(f\circ h=\operatorname{id}_B\), on obtient
\[ f(x)=f(h(y))=y. \]
Nous avons donc trouvé un élément \(x\in A\) tel que \(f(x)=y\).
Comme \(y\in B\) était arbitraire, tout élément de \(B\) est l'image d'au moins un élément de \(A\). Donc \(f\) est surjective.
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Soit \(f:A\to B\) une fonction. Supposons qu'il existe une fonction \(u:B\to A\) telle que
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
et
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
Démontrer que \(f\) est bijective et que \(u=f^{-1}\).
Résultat
La fonction \(f\) est bijective et \(u\) est sa fonction réciproque :
\[ u=f^{-1}. \]
Résolution
Par hypothèse, la fonction \(u:B\to A\) vérifie deux identités :
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
et
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
La première identité signifie que \(u\) est un inverse à gauche de \(f\). En effet, pour tout \(x\in A\),
\[ u(f(x))=x. \]
Montrons d'abord que \(f\) est injective. Soient \(x_1,x_2\in A\), et supposons que
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
En appliquant \(u\) aux deux membres :
\[ u(f(x_1))=u(f(x_2)). \]
Comme \(u\circ f=\operatorname{id}_A\), on obtient
\[ x_1=x_2. \]
Donc \(f\) est injective.
La seconde identité signifie que \(u\) est un inverse à droite de \(f\). En effet, pour tout \(y\in B\),
\[ f(u(y))=y. \]
Montrons à présent que \(f\) est surjective. Soit \(y\in B\). Comme \(u(y)\in A\), en posant
\[ x=u(y), \]
on a
\[ f(x)=f(u(y))=y. \]
Ainsi, tout élément \(y\in B\) est l'image d'au moins un élément de \(A\). Par conséquent, \(f\) est surjective.
Nous avons montré que \(f\) est à la fois injective et surjective. Donc \(f\) est bijective.
Comme une fonction bijective admet une fonction réciproque \(f^{-1}:B\to A\), cette réciproque est caractérisée par les identités
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
et
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
Or, la fonction \(u\) vérifie précisément ces deux identités :
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \qquad\text{et}\qquad f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
Donc \(u\) est la fonction qui inverse \(f\) à la fois à gauche et à droite.
Par unicité de la réciproque, nous concluons que
\[ u=f^{-1}. \]