Pour étudier correctement une fonction, il est indispensable de distinguer avec précision trois ensembles fondamentaux : le domaine, le codomaine et l'image.
Une fonction n'est pas déterminée par la seule formule qui fournit la valeur \(f(x)\). Pour la définir complètement, il faut également préciser l'ensemble des éléments auxquels elle peut être appliquée, ainsi que l'ensemble dans lequel ses valeurs sont déclarées.
Si
\[ f:A\to B, \]
alors \(A\) est le domaine de la fonction, \(B\) en est le codomaine, tandis que l'ensemble des valeurs effectivement prises par \(f\) s'appelle l'image de la fonction.
Ces trois notions sont étroitement liées, mais elles ne coïncident pas en général. Le domaine fixe quelles valeurs de la variable indépendante sont admises ; le codomaine fixe l'ensemble dans lequel la fonction est déclarée à valeurs ; l'image, quant à elle, ne rassemble que les valeurs réellement atteintes par la fonction.
La distinction entre domaine, codomaine et image est essentielle pour comprendre des propriétés fondamentales telles que l'injectivité, la surjectivité, la bijectivité, la fonction réciproque et la composition des fonctions.
Sommaire
- Domaine, codomaine et image : sens intuitif
- Définition du domaine d'une fonction
- Définition du codomaine d'une fonction
- Définition de l'image d'une fonction
- Différence entre codomaine et image
- Comment déterminer le domaine d'une fonction
- Comment déterminer l'image d'une fonction
- Exemples sur le domaine, le codomaine et l'image
- Erreurs fréquentes à éviter
Domaine, codomaine et image : sens intuitif
Pour saisir intuitivement le rôle du domaine, du codomaine et de l'image, considérons une fonction
\[ f:A\to B. \]
Cette écriture signifie que la fonction \(f\) associe à chaque élément \(x\in A\) un unique élément \(f(x)\in B\).
Le domaine est l'ensemble de départ : il contient les éléments auxquels la fonction peut être appliquée. Le codomaine est l'ensemble d'arrivée : il fixe l'ensemble dans lequel la fonction est déclarée à valeurs. L'image, en revanche, est l'ensemble des valeurs que l'on obtient effectivement en appliquant la fonction aux éléments du domaine.
En symboles, l'image de \(f\) est
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}. \]
Puisque toute valeur prise par la fonction appartient au codomaine, on a toujours
\[ f(A)\subseteq B. \]
Cette inclusion exprime une distinction fondamentale : toute valeur de l'image appartient au codomaine, mais il n'est pas garanti que tout élément du codomaine appartienne à l'image.
Par exemple, si
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2, \]
alors le domaine est \(\mathbb R\) et le codomaine est \(\mathbb R\). Cependant, la fonction ne prend que des valeurs positives ou nulles, de sorte que son image est
\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
Dans ce cas, le codomaine est \(\mathbb R\), tandis que l'image se réduit à \([0,+\infty)\).
Définition du domaine d'une fonction
Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles non vides. Si
\[ f:A\to B \]
est une fonction, alors l'ensemble \(A\) s'appelle le domaine de la fonction \(f\).
Le domaine est donc l'ensemble constitué de tous les éléments auxquels la fonction associe une valeur.
De manière équivalente, dire que \(A\) est le domaine de \(f\) revient à dire que, pour tout \(x\in A\), il existe un unique élément \(y\in B\) associé à \(x\). En symboles :
\[ \forall x\in A,\quad \exists!\, y\in B \quad : \quad f(x)=y. \]
Le domaine détermine ainsi quelles valeurs de la variable indépendante peuvent être considérées. Si un élément n'appartient pas au domaine, la fonction n'y est pas définie.
Par exemple, la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1 \]
a pour domaine \(\mathbb R\), car elle associe à tout nombre réel \(x\) le nombre réel \(x^2+1\).
En revanche, la fonction
\[ g:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=\log x \]
a pour domaine \((0,+\infty)\), car le logarithme réel n'est défini que pour les valeurs strictement positives de la variable.
Le domaine n'est pas un détail accessoire : c'est une composante essentielle de la fonction. Une même formule peut en effet définir des fonctions différentes selon le domaine sur lequel on la considère.
Par exemple, les fonctions
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
et
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(x)=x^2 \]
ont la même formule, mais ce ne sont pas la même fonction, car leurs domaines diffèrent.
Cette différence se répercute aussi sur les propriétés de la fonction. En effet, \(f\) n'est pas injective, puisque \(f(-1)=f(1)\), alors que \(h\) est injective sur le domaine \([0,+\infty)\).
Définition du codomaine d'une fonction
Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles non vides. Si
\[ f:A\to B \]
est une fonction, alors l'ensemble \(B\) s'appelle le codomaine de la fonction \(f\).
Le codomaine est donc l'ensemble d'arrivée de la fonction, c'est-à-dire l'ensemble dans lequel toutes les valeurs de la fonction sont déclarées appartenir.
En symboles :
\[ \forall x\in A,\quad f(x)\in B. \]
Le codomaine fixe le cadre dans lequel la fonction est déclarée à valeurs. Toutefois, le fait qu'un élément appartienne au codomaine ne signifie pas nécessairement qu'il soit atteint par la fonction.
Par exemple, considérons
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Le codomaine est \(\mathbb R\). Pourtant, la fonction ne prend aucune valeur négative, car \(x^2\ge 0\) pour tout \(x\in\mathbb R\). Des nombres comme \(-1\), \(-2\) ou \(-10\) appartiennent donc au codomaine, sans être pour autant des valeurs de la fonction.
Le codomaine, tout comme le domaine, fait partie intégrante de la définition de la fonction. Une même formule et un même domaine peuvent donner naissance à des fonctions différentes si le codomaine change.
Par exemple, les fonctions
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
et
\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2 \]
ont la même formule et le même domaine, mais des codomaines différents.
Cette différence prend toute son importance dans l'étude de la surjectivité : une fonction est surjective lorsque son image coïncide avec le codomaine.
Définition de l'image d'une fonction
Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles non vides et soit
\[ f:A\to B \]
une fonction. On appelle image de la fonction \(f\) l'ensemble de toutes les valeurs que \(f\) prend sur les éléments du domaine.
En symboles :
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}. \]
De façon équivalente, un élément \(y\in B\) appartient à l'image de \(f\) si et seulement s'il existe au moins un élément \(x\in A\) tel que \(f(x)=y\). En symboles :
\[ y\in f(A)\iff \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]
L'image est donc l'ensemble des valeurs réellement atteintes par la fonction. Par définition, c'est toujours une partie du codomaine :
\[ f(A)\subseteq B. \]
Cette inclusion peut être stricte ou bien être une égalité. Si \(f(A)\subsetneq B\), certains éléments du codomaine ne sont pas atteints. Si au contraire \(f(A)=B\), chaque élément du codomaine est l'image d'au moins un élément du domaine.
Considérons, par exemple,
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(x^2\ge 0\), d'où
\[ x^2+1\ge 1. \]
Il s'ensuit que toutes les valeurs de la fonction sont supérieures ou égales à \(1\).
Réciproquement, si \(y\ge 1\), alors \(y-1\ge 0\) et l'on peut choisir
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
On obtient alors
\[ f(x)=f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Par conséquent
\[ f(\mathbb R)=[1,+\infty). \]
Dans cet exemple, le codomaine est \(\mathbb R\), tandis que l'image est \([1,+\infty)\).
Différence entre codomaine et image
La différence entre codomaine et image est l'un des points les plus délicats de l'étude des fonctions.
Si
\[ f:A\to B, \]
alors le codomaine est l'ensemble \(B\), fixé dans la définition de la fonction. L'image, en revanche, est l'ensemble
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}, \]
c'est-à-dire l'ensemble des valeurs effectivement prises par la fonction.
On a toujours
\[ f(A)\subseteq B, \]
mais pas nécessairement \(f(A)=B\).
Par exemple, la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
a pour codomaine \(\mathbb R\), mais pour image \([0,+\infty)\). En effet, aucun nombre réel négatif n'est le carré d'un nombre réel.
Si l'on considère en revanche
\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2, \]
alors l'image coïncide avec le codomaine :
\[ g(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
Les deux fonctions ont la même formule et le même domaine, mais des codomaines différents. Par conséquent, la première n'est pas surjective, tandis que la seconde l'est.
En résumé, le codomaine est fixé au moment où l'on définit la fonction ; l'image, quant à elle, doit être déterminée en étudiant les valeurs que la fonction prend réellement sur le domaine.
Comment déterminer le domaine d'une fonction
Déterminer le domaine d'une fonction, c'est repérer toutes les valeurs de la variable indépendante pour lesquelles la fonction est définie.
Lorsqu'une fonction est donnée sous la forme
\[ f:A\to B, \]
le domaine est déjà indiqué : c'est l'ensemble \(A\).
Par exemple, si
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\sqrt x, \]
alors le domaine de la fonction est \([0,+\infty)\).
Dans de nombreux exercices, toutefois, on ne fournit que l'expression de la fonction, par exemple
\[ f(x)=\frac{1}{x-2}. \]
Dans ce cas, sauf indication contraire, on cherche la plus grande partie de \(\mathbb R\) sur laquelle l'expression a un sens. Cet ensemble s'appelle le domaine de définition (ou ensemble de définition) de la fonction.
Pour déterminer le domaine de définition d'une fonction réelle d'une variable réelle, il faut imposer toutes les conditions qui rendent possible le calcul de l'expression.
Les restrictions les plus fréquentes sont les suivantes.
- Dénominateurs : le dénominateur d'une fraction doit être différent de zéro.
- Racines d'indice pair : le radicande doit être supérieur ou égal à zéro.
- Logarithmes : l'argument du logarithme doit être strictement positif.
Par exemple, pour
\[ f(x)=\frac{1}{x-2} \]
il faut imposer
\[ x-2\ne 0, \]
donc \(x\ne 2\). Le domaine de définition est
\[ \mathbb R\setminus\{2\}. \]
Pour
\[ g(x)=\sqrt{x-3} \]
il faut imposer
\[ x-3\ge 0, \]
donc \(x\ge 3\). Le domaine de définition est
\[ [3,+\infty). \]
Pour
\[ h(x)=\log(x+1) \]
il faut imposer
\[ x+1>0, \]
donc \(x>-1\). Le domaine de définition est
\[ (-1,+\infty). \]
En général, on obtient le domaine de définition en traduisant en conditions mathématiques toutes les restrictions présentes dans l'expression de la fonction, puis en résolvant le système de conditions ainsi obtenu.
Il convient cependant de distinguer le domaine de définition du domaine imposé. Si une fonction est déclarée explicitement avec un domaine, alors le domaine de la fonction est celui qui est indiqué, même lorsque la formule aurait un sens sur un ensemble plus grand.
Par exemple,
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
a pour domaine \([0,+\infty)\), bien que la formule \(x^2\) ait un sens pour tout \(x\in\mathbb R\).
Comment déterminer l'image d'une fonction
Déterminer l'image d'une fonction, c'est repérer toutes les valeurs, et elles seules, que la fonction prend lorsque la variable indépendante parcourt le domaine.
Si
\[ f:A\to B \]
est une fonction, alors un élément \(y\in B\) appartient à l'image de \(f\) si et seulement s'il existe au moins un \(x\in A\) tel que
\[ f(x)=y. \]
Déterminer l'image revient donc à établir pour quelles valeurs de \(y\) l'équation
\[ y=f(x) \]
admet au moins une solution \(x\) dans le domaine de la fonction.
À la différence du domaine de définition, que l'on obtient souvent en imposant des conditions d'existence sur l'expression, l'image exige d'étudier les valeurs effectivement prises par la fonction. La méthode dépend donc du type de fonction considéré.
Par exemple, considérons
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Posons
\[ y=x^2. \]
Cette équation admet des solutions réelles si et seulement si \(y\ge 0\). En effet, si \(y\ge 0\), on peut choisir \(x=\sqrt y\) ; si \(y<0\), il n'existe aucun nombre réel \(x\) tel que \(x^2=y\).
Par conséquent
\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
Considérons à présent
\[ g:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=x+1. \]
Comme \(x\ge 0\), on a
\[ x+1\ge 1. \]
Réciproquement, si \(y\ge 1\), en choisissant \(x=y-1\), on a \(x\in[0,+\infty)\) et
\[ g(x)=x+1=(y-1)+1=y. \]
Donc
\[ g([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
D'un point de vue géométrique, l'image d'une fonction est l'ensemble des ordonnées des points de son graphe. C'est pourquoi, dans certains cas, on peut aussi la déterminer en observant le graphe.
Pour des fonctions plus complexes, en revanche, il peut être nécessaire d'étudier la monotonie, de rechercher les maxima et les minima, ou encore d'exploiter des propriétés spécifiques de la fonction considérée.
Dans tous les cas, l'image ne s'obtient pas en lisant simplement le codomaine déclaré : elle doit être déterminée en étudiant les valeurs réellement atteintes par la fonction sur son domaine.
Exemples sur le domaine, le codomaine et l'image
Examinons maintenant quelques exemples dans lesquels le domaine, le codomaine et l'image sont déterminés explicitement. L'objectif est de reconnaître avec précision l'ensemble de départ, l'ensemble d'arrivée et l'ensemble des valeurs effectivement prises.
Exemple 1. Considérons la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+2. \]
Le domaine est \(\mathbb R\), car la fonction est définie pour tout nombre réel \(x\). Le codomaine est \(\mathbb R\), car la fonction est déclarée à valeurs réelles.
Pour déterminer l'image, posons
\[ y=x+2. \]
Pour tout \(y\in\mathbb R\), en choisissant \(x=y-2\), on obtient
\[ f(x)=f(y-2)=(y-2)+2=y. \]
Ainsi, tout nombre réel est pris par la fonction. Par conséquent
\[ f(\mathbb R)=\mathbb R. \]
Dans ce cas, l'image coïncide avec le codomaine.
Exemple 2. Considérons la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Le domaine est \(\mathbb R\) et le codomaine est \(\mathbb R\).
Comme \(x^2\ge 0\) pour tout \(x\in\mathbb R\), on a
\[ x^2+1\ge 1. \]
Réciproquement, si \(y\ge 1\), en choisissant \(x=\sqrt{y-1}\), on obtient
\[ f(x)=f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Donc
\[ f(\mathbb R)=[1,+\infty). \]
L'image est une partie propre du codomaine.
Exemple 3. Considérons la fonction
\[ g:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]
Le domaine est \([0,+\infty)\), tandis que le codomaine est \(\mathbb R\).
Là encore, \(x^2+1\ge 1\). De plus, pour tout \(y\ge 1\), en choisissant \(x=\sqrt{y-1}\), on a \(x\in[0,+\infty)\) et
\[ g(x)=x^2+1=y. \]
Par conséquent
\[ g([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
La fonction a la même image que dans l'exemple précédent, bien qu'elle soit définie sur un domaine différent.
Exemple 4. Considérons la fonction
\[ h:[0,+\infty)\to[1,+\infty),\qquad h(x)=x^2+1. \]
Le domaine est \([0,+\infty)\) et le codomaine est \([1,+\infty)\). Comme on l'a vu dans l'exemple précédent,
\[ h([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
Dans ce cas, l'image coïncide avec le codomaine. La fonction \(h\) est donc surjective.
Exemple 5. Considérons la fonction
\[ p:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R,\qquad p(x)=\frac{1}{x}. \]
Le domaine est \(\mathbb R\setminus\{0\}\), car l'expression \(\frac{1}{x}\) n'est pas définie pour \(x=0\). Le codomaine est \(\mathbb R\).
Pour tout \(x\ne 0\), on a \(\frac{1}{x}\ne 0\), de sorte que \(0\) n'appartient pas à l'image.
Réciproquement, si \(y\ne 0\), en choisissant \(x=\frac{1}{y}\), on a \(x\ne 0\) et
\[ p(x)=p\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y. \]
Donc
\[ p(\mathbb R\setminus\{0\})=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
L'image est donc une partie propre du codomaine, puisque le codomaine contient \(0\), contrairement à l'image.
Erreurs fréquentes à éviter
Résumons quelques erreurs fréquentes dans l'étude du domaine, du codomaine et de l'image.
- Confondre le codomaine et l'image. Le codomaine est l'ensemble d'arrivée fixé dans la définition de la fonction ; l'image est l'ensemble des valeurs effectivement atteintes.
- Croire que la formule détermine à elle seule la fonction. Une même formule peut définir des fonctions différentes selon le domaine ou le codomaine.
- Confondre le domaine imposé et le domaine de définition. Si le domaine figure dans l'écriture \(f:A\to B\), alors le domaine est \(A\). On ne cherche le domaine de définition que lorsqu'on ne dispose que d'une expression.
- Oublier que l'image dépend du domaine. Modifier le domaine peut changer l'ensemble des valeurs prises par la fonction.
- Statuer sur la surjectivité sans regarder le codomaine. Une fonction est surjective si et seulement si son image coïncide avec le codomaine.
En conclusion, le domaine, le codomaine et l'image sont trois notions distinctes de la théorie des fonctions. Le domaine indique où la fonction est définie ; le codomaine indique dans quel ensemble la fonction est déclarée à valeurs ; l'image indique quelles valeurs sont effectivement atteintes.