Les suites permettent d'étudier, de façon ordonnée et rigoureuse, le comportement de quantités qui dépendent d'un indice entier naturel.
Intuitivement, une suite est une liste infinie de nombres :
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
Toutefois, en mathématiques, une suite n'est pas seulement une liste écrite dans un certain ordre. C'est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels, c'est-à-dire une loi qui associe à chaque indice naturel \(n\) un nombre réel \(a_n\).
Cette remarque est essentielle : étudier une suite, c'est étudier comment varie le terme \(a_n\) lorsque \(n\) croît et, surtout, déterminer si ses termes se rapprochent d'une certaine valeur, s'ils restent bornés, s'ils oscillent, s'ils croissent indéfiniment ou bien s'ils ne présentent aucun comportement régulier.
Les suites sont au fondement de concepts centraux de l'analyse, tels que la limite, la convergence, la divergence, la complétude des nombres réels, les séries numériques et bien des propriétés fondamentales des fonctions.
Dans les sections qui suivent, nous introduirons les suites de manière rigoureuse, en partant de la définition formelle pour aboutir aux principales propriétés et aux exemples essentiels. L'objectif est de bâtir une base solide pour l'étude ultérieure des limites de suites et des résultats fondamentaux de l'analyse mathématique.
Sommaire
- Définition d'une suite
- Notation d'une suite
- Terme général d'une suite
- Suites définies explicitement
- Suites définies par récurrence
- Exemples fondamentaux de suites
- Suites constantes
- Suites croissantes et décroissantes
- Suites monotones
- Suites majorées et minorées
- Suites bornées
- Suites positives, négatives et alternées
- Suites arithmétiques
- Suites géométriques
- Représentation graphique d'une suite
- Différence entre une suite et une fonction réelle d'une variable réelle
- Suites extraites
- Premières propriétés des suites
- Erreurs fréquentes au sujet des suites
Définition d'une suite
Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels.
Plus précisément, une suite réelle est une fonction
\[ a:\mathbb N\to\mathbb R. \]
Cela signifie qu'à chaque entier naturel \(n\in\mathbb N\) la fonction \(a\) associe un et un seul nombre réel, noté
\[ a(n). \]
Dans l'étude des suites, on emploie toutefois presque toujours la notation indicielle. Au lieu d'écrire \(a(n)\), on écrit
\[ a_n. \]
Le nombre \(a_n\) s'appelle le terme de rang \(n\) de la suite.
Ainsi, une suite réelle peut être vue comme une liste infinie et ordonnée de nombres réels :
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
Il faut cependant y prendre garde : cette liste n'est pas un simple ensemble de nombres. L'ordre des termes fait partie intégrante de la suite.
Par exemple, les deux suites
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
et
\[ 2,\ 1,\ 4,\ 3,\ldots \]
ne sont pas la même suite, bien qu'elles puissent contenir les mêmes valeurs. En effet, le premier terme de la première suite est \(1\), tandis que le premier terme de la seconde est \(2\).
En général, une suite n'est donc pas déterminée par les seules valeurs qu'elle prend, mais aussi par la manière dont ces valeurs sont associées aux indices naturels.
Si \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) est une suite, on la note souvent par l'une des écritures suivantes :
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad (a_n), \qquad \{a_n\}_{n\in\mathbb N}. \]
Nous emploierons principalement la notation
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Cette notation met en évidence que la suite est l'objet tout entier formé de l'ensemble des termes \(a_n\), lorsque \(n\) parcourt les entiers naturels.
Il importe de distinguer la suite de son terme général. La suite est la fonction tout entière
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}, \]
tandis que \(a_n\) n'est que le terme correspondant à l'indice \(n\).
Par exemple, si
\[ a_n=\frac1n, \]
alors la suite est
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
et le terme général est
\[ a_n=\frac1n. \]
En conclusion, une suite réelle est une fonction qui associe à chaque indice naturel un nombre réel. L'écriture indicielle permet d'étudier le comportement des termes lorsque \(n\) croît, ce qui constitue le point de départ de la théorie des limites de suites.
Notation d'une suite
Après avoir défini une suite comme une fonction sur les entiers naturels, il importe de fixer quelques conventions de notation.
On note habituellement une suite
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Cette écriture signifie que nous considérons l'ensemble des termes \(a_n\), lorsque l'indice \(n\) parcourt l'ensemble \(\mathbb N\).
Dans bien des ouvrages, toutefois, l'ensemble des entiers naturels peut être défini de deux manières différentes :
\[ \mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\} \]
ou bien
\[ \mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}. \]
Pour cette raison, lorsqu'on travaille avec des suites, il est souvent nécessaire de préciser à partir de quel indice la suite commence.
Si la suite commence à \(0\), on écrit
\[ (a_n)_{n\ge 0}. \]
Dans ce cas, les termes sont
\[ a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots \]
Si, en revanche, la suite commence à \(1\), on écrit
\[ (a_n)_{n\ge 1}. \]
Dans ce cas, les termes sont
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots \]
Les deux conventions sont également correctes. Le choix de l'indice initial ne change pas la nature de la suite, mais il peut changer l'écriture de ses termes.
Par exemple, la suite
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
ne peut pas être considérée pour \(n=0\), car \(\displaystyle \frac{1}{0}\) n'est pas défini. Dans ce cas, il est naturel d'écrire
\[ (a_n)_{n\ge 1}. \]
En revanche, la suite
\[ b_n=\frac{1}{n+1} \]
peut être considérée pour \(n\ge 0\). On obtient alors
\[ b_0=1,\qquad b_1=\frac12,\qquad b_2=\frac13,\qquad b_3=\frac14,\ldots \]
Les deux suites
\[ (a_n)_{n\ge 1}, \qquad (b_n)_{n\ge 0} \]
ont les mêmes valeurs dans le même ordre, mais elles sont indexées différemment.
En général, lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, on peut écrire simplement
\[ (a_n). \]
Cependant, dans les définitions et les démonstrations, indiquer clairement l'ensemble des indices évite les erreurs et les ambiguïtés.
Nous emploierons principalement des suites indexées par \(n\ge 1\), sauf indication contraire.
Terme général d'une suite
Le terme général d'une suite est l'expression qui décrit le terme \(a_n\) en fonction de l'indice \(n\).
Par exemple, si
\[ a_n=\frac{n+1}{n}, \]
alors le terme général de la suite est
\[ \frac{n+1}{n}. \]
En remplaçant \(n\) par les valeurs \(1,2,3,4,\ldots\), on obtient les termes de la suite :
\[ a_1=2,\qquad a_2=\frac32,\qquad a_3=\frac43,\qquad a_4=\frac54,\ldots \]
La suite est donc
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54,\ldots \]
Le terme général permet de calculer n'importe quel terme de la suite, pourvu que l'indice considéré appartienne à l'ensemble des indices sur lequel la suite est définie.
Cette précision est importante. Il ne suffit pas d'écrire une formule : il faut aussi établir pour quelles valeurs de \(n\) cette formule a un sens.
Par exemple, l'expression
\[ a_n=\frac{1}{n-3} \]
ne définit pas une suite pour tous les indices \(n\ge 1\), car pour \(n=3\) le dénominateur s'annule.
Pour obtenir une suite réelle, il faut donc restreindre l'ensemble des indices, par exemple en posant
\[ n\ge 4. \]
On obtient alors la suite
\[ a_4=1,\qquad a_5=\frac12,\qquad a_6=\frac13,\qquad a_7=\frac14,\ldots \]
Une erreur fréquente consiste à confondre le terme général avec la suite elle-même. Le terme général \(a_n\) est un terme unique qui varie avec \(n\) ; la suite \((a_n)\), en revanche, est l'objet tout entier formé de l'ensemble des termes.
Par exemple, dans la suite
\[ a_n=n^2+1, \]
le terme général est \(n^2+1\), tandis que les premiers termes sont
\[ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ldots \]
Connaître le terme général est souvent le moyen le plus simple d'étudier les propriétés de la suite : monotonie, caractère borné, signe des termes et comportement pour les grandes valeurs de l'indice.
Suites définies explicitement
On dit qu'une suite est définie explicitement lorsque son terme général est donné directement par une formule en fonction de l'indice \(n\).
Autrement dit, une suite est définie explicitement lorsqu'on peut écrire
\[ a_n=f(n), \]
où \(f\) est une certaine expression dépendant de \(n\).
Par exemple, la suite
\[ a_n=2n+1 \]
est définie explicitement. En effet, en remplaçant \(n\) par les valeurs \(1,2,3,\ldots\), on obtient directement ses termes :
\[ a_1=3,\qquad a_2=5,\qquad a_3=7,\qquad a_4=9,\ldots \]
La suite est donc
\[ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ldots \]
La suite
\[ b_n=\frac{n}{n+1} \]
est elle aussi définie explicitement. Ses premiers termes sont
\[ b_1=\frac12,\qquad b_2=\frac23,\qquad b_3=\frac34,\qquad b_4=\frac45,\ldots \]
Dans ce cas, la formule permet de calculer immédiatement n'importe quel terme de la suite.
Par exemple, le centième terme est
\[ b_{100}=\frac{100}{101}. \]
Voilà une caractéristique importante des suites définies explicitement : pour trouver un terme, il n'est pas nécessaire de connaître les termes précédents.
Considérons maintenant la suite
\[ c_n=(-1)^n. \]
Pour \(n\ge 1\), les premiers termes sont
\[ c_1=-1,\qquad c_2=1,\qquad c_3=-1,\qquad c_4=1,\ldots \]
La suite est donc
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Cet exemple montre qu'une formule explicite peut décrire aussi des suites qui ne sont ni croissantes ni décroissantes, mais oscillantes.
En général, les suites définies explicitement sont particulièrement commodes, car elles permettent d'étudier les propriétés de la suite directement à partir de la formule du terme général.
Par exemple, à partir de la formule
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
on voit que les termes sont positifs et deviennent de plus en plus petits lorsque \(n\) croît :
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
En revanche, à partir de la formule
\[ a_n=n^2 \]
on voit que les termes croissent indéfiniment :
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ldots \]
Il faut cependant se souvenir qu'une formule explicite ne définit une suite réelle que si elle a un sens pour tous les indices considérés.
Par exemple, la formule
\[ a_n=\sqrt{n-5} \]
ne définit pas une suite réelle pour tous les indices \(n\ge 1\), car pour \(n=1,2,3,4\) la quantité \(n-5\) est négative.
Pour obtenir une suite réelle, on peut la considérer à partir de \(n=5\) :
\[ (a_n)_{n\ge 5}, \qquad a_n=\sqrt{n-5}. \]
De cette manière, tous les termes sont des nombres réels :
\[ a_5=0,\qquad a_6=1,\qquad a_7=\sqrt2,\qquad a_8=\sqrt3,\ldots \]
Ainsi, lorsqu'une suite est définie explicitement, il faut toujours contrôler deux aspects :
- la formule du terme général ;
- l'ensemble des indices pour lesquels la formule est définie.
Une fois ces deux éléments fixés, la suite est entièrement déterminée.
Suites définies par récurrence
On dit qu'une suite est définie par récurrence lorsque ses termes ne sont pas donnés directement par une formule explicite en fonction de \(n\), mais sont déterminés à partir d'un ou de plusieurs termes précédents.
Dans ce cas, pour définir la suite, il ne suffit pas d'indiquer une relation entre les termes : il faut aussi préciser au moins un terme initial.
Par exemple, considérons la suite définie par
\[ a_1=2, \qquad a_{n+1}=a_n+3 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Le premier terme est \(a_1=2\). La relation de récurrence indique que chaque terme suivant s'obtient en ajoutant \(3\) au terme précédent.
On obtient donc
\[ a_2=a_1+3=5, \]
\[ a_3=a_2+3=8, \]
\[ a_4=a_3+3=11. \]
La suite est donc
\[ 2,\ 5,\ 8,\ 11,\ldots \]
Dans une suite définie par récurrence, pour calculer un terme, il est souvent nécessaire de connaître les termes qui le précèdent.
Considérons un deuxième exemple :
\[ b_1=1, \qquad b_{n+1}=2b_n \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Dans ce cas, chaque terme suivant s'obtient en multipliant par \(2\) le terme précédent :
\[ b_2=2b_1=2, \]
\[ b_3=2b_2=4, \]
\[ b_4=2b_3=8. \]
La suite est donc
\[ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ldots \]
Une relation de récurrence peut aussi dépendre de plusieurs termes précédents. Un exemple fondamental est la suite de Fibonacci :
\[ F_1=1,\qquad F_2=1, \]
\[ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Dans ce cas, chaque terme, à partir du troisième, est la somme des deux termes précédents.
En effet :
\[ F_3=F_2+F_1=2, \]
\[ F_4=F_3+F_2=3, \]
\[ F_5=F_4+F_3=5, \]
\[ F_6=F_5+F_4=8. \]
Les premiers termes sont donc
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ldots \]
Cet exemple montre que, lorsque la relation de récurrence fait intervenir deux termes précédents, il faut préciser deux termes initiaux. Plus généralement, une récurrence qui dépend de \(k\) termes précédents requiert \(k\) conditions initiales.
Il importe de remarquer qu'une définition récursive n'est pas automatiquement équivalente à une formule explicite simple. Il est parfois possible de trouver une formule close pour \(a_n\) ; d'autres fois, la description récursive est la manière la plus naturelle de définir la suite.
Par exemple, la suite
\[ a_1=2, \qquad a_{n+1}=a_n+3 \]
peut aussi être décrite explicitement par
\[ a_n=2+3(n-1). \]
En effet, en partant de \(2\), on ajoute \(3\) pour passer d'un terme au suivant ; après \(n-1\) étapes, on a ajouté \(3\) exactement \(n-1\) fois.
En conclusion, une suite définie par récurrence est déterminée par :
- un ou plusieurs termes initiaux ;
- une règle qui permet de construire les termes suivants.
En l'absence des conditions initiales, la relation de récurrence ne détermine pas une suite unique.
Exemples fondamentaux de suites
Après avoir introduit les suites définies explicitement et celles définies par récurrence, il est utile d'examiner quelques exemples fondamentaux. Ces exemples reviennent souvent dans l'étude de l'analyse mathématique et aident à reconnaître les comportements les plus courants des suites.
Suite des entiers naturels
La suite
\[ a_n=n \]
a pour termes
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
C'est une suite croissante, et ses termes deviennent arbitrairement grands lorsque \(n\) croît.
Suite des inverses
La suite
\[ a_n=\frac1n \]
a pour termes
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Ses termes sont positifs et deviennent de plus en plus petits. Cette suite est l'un des exemples fondamentaux de suite qui se rapproche de \(0\).
Suite des carrés
La suite
\[ a_n=n^2 \]
a pour termes
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ldots \]
C'est une suite croissante, et ses termes croissent plus rapidement que ceux de la suite \(a_n=n\).
Suite alternée
La suite
\[ a_n=(-1)^n \]
a pour termes, pour \(n\ge 1\),
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Les termes ne se rapprochent pas d'une valeur unique, mais oscillent continuellement entre \(-1\) et \(1\).
Suite harmonique
La suite
\[ a_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n \]
est la suite des sommes partielles de la série harmonique.
Les premiers termes sont
\[ a_1=1, \qquad a_2=1+\frac12=\frac32, \]
\[ a_3=1+\frac12+\frac13=\frac{11}{6}, \qquad a_4=1+\frac12+\frac13+\frac14=\frac{25}{12}. \]
Cette suite est croissante. Bien que chacun des termes \(\frac1n\) devienne de plus en plus petit, les sommes partielles continuent d'augmenter.
Suite géométrique élémentaire
La suite
\[ a_n=2^n \]
a pour termes, pour \(n\ge 1\),
\[ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ldots \]
Chaque terme s'obtient du précédent en multipliant par \(2\). C'est pourquoi il s'agit d'un exemple de suite géométrique.
Suite géométrique décroissante
La suite
\[ a_n=\left(\frac12\right)^n \]
a pour termes, pour \(n\ge 1\),
\[ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \frac1{16},\ldots \]
Chaque terme s'obtient du précédent en multipliant par \(\frac12\). Les termes sont positifs et se rapprochent progressivement de \(0\).
Suite définie par un quotient
La suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
a pour termes
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
Les termes sont tous inférieurs à \(1\), mais deviennent de plus en plus proches de \(1\).
En effet, on peut écrire
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Cette forme montre clairement que la distance entre \(a_n\) et \(1\) vaut \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\), quantité qui devient de plus en plus petite lorsque \(n\) croît.
Suite alternée à amplitude décroissante
La suite
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
a pour termes
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
Les termes changent de signe à chaque étape, mais leur amplitude devient de plus en plus petite.
En particulier, les termes positifs et les termes négatifs se rapprochent tous deux de \(0\).
Ces exemples montrent que les suites peuvent avoir des comportements très variés : elles peuvent croître, décroître, osciller, rester bornées, se rapprocher d'un nombre ou bien devenir arbitrairement grandes.
Suites constantes
On dit qu'une suite est constante si tous ses termes sont égaux à un même nombre réel.
Plus précisément, une suite réelle \((a_n)_{n\ge 1}\) est constante s'il existe un nombre réel \(c\) tel que
\[ a_n=c \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Dans ce cas, la suite est
\[ c,\ c,\ c,\ c,\ldots \]
Par exemple, la suite définie par
\[ a_n=5 \quad \text{pour tout } n\ge 1 \]
est constante, car chacun de ses termes est égal à \(5\) :
\[ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ldots \]
La suite
\[ b_n=-2 \quad \text{pour tout } n\ge 1 \]
est elle aussi constante :
\[ -2,\ -2,\ -2,\ -2,\ldots \]
Les suites constantes sont les exemples les plus simples de suites. Elles ne croissent pas, ne décroissent pas au sens strict et n'oscillent pas : tous les termes coïncident.
Du point de vue de la monotonie, une suite constante est à la fois croissante et décroissante, si l'on emploie les définitions au sens large :
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
et
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
En effet, si \(a_n=c\) pour tout \(n\), alors
\[ a_n=a_{n+1}=c. \]
On a donc simultanément \(a_n\le a_{n+1}\) et \(a_n\ge a_{n+1}\).
Une suite constante est également bornée. En effet, si \(a_n=c\) pour tout \(n\), alors tous ses termes coïncident avec \(c\) ; ils sont donc certainement compris, par exemple, entre \(c-1\) et \(c+1\) :
\[ c-1\le a_n\le c+1 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
En réalité, le plus petit des majorants de l'ensemble des valeurs prises par la suite est \(c\), et le plus grand des minorants est lui aussi \(c\). En effet, l'ensemble des valeurs prises est simplement
\[ \{c\}. \]
Par conséquent,
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}=c, \qquad \inf\{a_n:n\ge 1\}=c. \]
Les suites constantes sont importantes aussi parce qu'elles représentent le modèle le plus simple de suite qui demeure toujours égale à une valeur fixée.
Suites croissantes et décroissantes
Une suite peut s'étudier en comparant chaque terme au terme suivant. Cela permet de comprendre si les termes augmentent, diminuent ou ne suivent aucune tendance régulière.
On dit qu'une suite réelle \((a_n)_{n\ge 1}\) est croissante si
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Autrement dit, chaque terme est inférieur ou égal au terme suivant.
On dit en revanche qu'elle est strictement croissante si
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Dans ce cas, chaque terme est strictement inférieur au terme suivant.
Par exemple, la suite
\[ a_n=n \]
est strictement croissante, car
\[ a_{n+1}=n+1>n=a_n \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Ses termes sont donc
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
et augmentent à chaque étape.
On dit qu'une suite réelle \((a_n)_{n\ge 1}\) est décroissante si
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Autrement dit, chaque terme est supérieur ou égal au terme suivant.
On dit en revanche qu'elle est strictement décroissante si
\[ a_n>a_{n+1} \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Par exemple, la suite
\[ b_n=\frac1n \]
est strictement décroissante, car
\[ b_{n+1}=\frac{1}{n+1}<\frac1n=b_n \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
En effet, ses termes sont
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
et deviennent de plus en plus petits.
Toutes les suites ne sont pas croissantes ou décroissantes. Par exemple, la suite
\[ c_n=(-1)^n \]
a pour termes
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
et n'est donc ni croissante ni décroissante.
En effet, de \(c_1=-1\) à \(c_2=1\) la suite augmente, tandis que de \(c_2=1\) à \(c_3=-1\) elle diminue.
Pour vérifier si une suite est croissante ou décroissante, une méthode très employée consiste à étudier le signe de la différence
\[ a_{n+1}-a_n. \]
Si
\[ a_{n+1}-a_n\ge 0 \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
alors la suite est croissante.
Si, en revanche,
\[ a_{n+1}-a_n\le 0 \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
alors la suite est décroissante.
Par exemple, considérons
\[ a_n=n^2. \]
Calculons :
\[ a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-n^2. \]
En développant,
\[ (n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1. \]
Puisque
\[ 2n+1>0 \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
la suite \((n^2)_{n\ge 1}\) est strictement croissante.
Une autre méthode, utile lorsque les termes sont positifs, consiste à étudier le quotient
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}. \]
Si \(a_n>0\) pour tout \(n\) et
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1 \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
alors la suite est croissante.
Si, en revanche, \(a_n>0\) pour tout \(n\) et
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1 \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
alors la suite est décroissante.
Par exemple, considérons
\[ a_n=\left(\frac12\right)^n. \]
Comme \(a_n>0\) pour tout \(n\ge 1\), nous pouvons étudier le quotient :
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(\frac12\right)^{n+1}}{\left(\frac12\right)^n} = \frac12. \]
Comme
\[ \frac12<1, \]
la suite est strictement décroissante.
Il importe de se souvenir qu'une suite croissante n'a pas nécessairement à croître de manière illimitée. Par exemple,
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
est croissante, mais tous ses termes sont inférieurs à \(1\) :
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
De même, une suite décroissante n'a pas nécessairement à devenir arbitrairement négative. Par exemple,
\[ b_n=\frac1n \]
est décroissante, mais tous ses termes sont positifs.
Suites monotones
On dit qu'une suite est monotone si elle conserve toujours le même sens de variation : soit elle ne diminue jamais, soit elle n'augmente jamais.
Plus précisément, on dit qu'une suite réelle \((a_n)_{n\ge 1}\) est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Une suite est donc monotone si l'une des deux conditions suivantes est vérifiée :
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
ou bien
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Dans le premier cas, la suite est croissante ; dans le second, elle est décroissante.
Si, en revanche, on a
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
la suite est strictement croissante. Si l'on a
\[ a_n>a_{n+1} \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
la suite est strictement décroissante.
Une suite strictement croissante ou strictement décroissante est dite strictement monotone.
Par exemple, la suite
\[ a_n=3n+1 \]
est strictement croissante, car
\[ a_{n+1}=3(n+1)+1=3n+4 \]
et donc
\[ a_{n+1}-a_n=(3n+4)-(3n+1)=3>0 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Par conséquent,
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
et la suite est strictement croissante.
Considérons en revanche la suite
\[ b_n=\frac{1}{n+2}. \]
Ses premiers termes sont
\[ \frac13,\ \frac14,\ \frac15,\ \frac16,\ldots \]
Comme le dénominateur augmente lorsque \(n\) croît, les termes deviennent plus petits.
En effet,
\[ b_{n+1}=\frac{1}{n+3} \]
et, puisque
\[ n+3>n+2 \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
on a
\[ \frac{1}{n+3}<\frac{1}{n+2}. \]
Par conséquent,
\[ b_{n+1}<b_n \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
c'est-à-dire que la suite est strictement décroissante.
Toute suite n'est pas monotone. Par exemple, la suite
\[ c_n=(-1)^n \]
n'est pas monotone, car ses termes sont
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
et donc la suite augmente d'abord, puis diminue, puis augmente de nouveau.
En effet,
\[ c_1=-1<1=c_2, \]
mais
\[ c_2=1>-1=c_3. \]
Elle n'est donc ni croissante ni décroissante.
La monotonie est une propriété importante, car elle impose un ordre global aux termes de la suite. Si une suite est croissante, aucun terme suivant ne peut descendre au-dessous des précédents ; si elle est décroissante, aucun terme suivant ne peut monter au-dessus des précédents.
Par exemple, si \((a_n)\) est croissante, alors
\[ a_1\le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n\le a_{n+1}\le \cdots. \]
Si, en revanche, \((a_n)\) est décroissante, alors
\[ a_1\ge a_2\ge a_3\ge \cdots \ge a_n\ge a_{n+1}\ge \cdots. \]
Cette structure ordonnée rend les suites monotones particulièrement importantes dans l'étude des limites. En effet, une suite monotone et bornée admet toujours une limite réelle : ce résultat, connu sous le nom de théorème de convergence des suites monotones, sera l'un des points centraux de l'étude ultérieure des suites.
Suites majorées et minorées
Une suite peut aussi s'étudier du point de vue des valeurs que ses termes peuvent prendre. En particulier, il importe de comprendre si les termes restent toujours au-dessous d'un certain nombre, ou bien toujours au-dessus d'un certain nombre.
Soit \((a_n)_{n\ge 1}\) une suite réelle. On dit que \((a_n)\) est majorée s'il existe un nombre réel \(M\) tel que
\[ a_n\le M \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Le nombre \(M\) s'appelle un majorant de la suite.
De manière analogue, on dit que \((a_n)\) est minorée s'il existe un nombre réel \(m\) tel que
\[ m\le a_n \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Le nombre \(m\) s'appelle un minorant de la suite.
Par exemple, la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
est majorée. En effet,
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Ainsi, \(1\) est un majorant de la suite.
Remarquons toutefois que \(1\) n'est pas le seul majorant. \(2\), \(10\), \(100\) sont aussi des majorants, car tous les termes de la suite sont inférieurs à \(1\), et donc certainement inférieurs aussi à \(2\), \(10\), \(100\).
En général, si \(M\) est un majorant d'une suite, alors tout nombre supérieur à \(M\) est encore un majorant.
La même suite est également minorée. En effet, pour tout \(n\ge 1\),
\[ \frac{n}{n+1}>0. \]
Ainsi, \(0\) est un minorant de la suite.
Là encore, le minorant n'est pas unique : tout nombre inférieur ou égal à \(0\) est un minorant.
Considérons maintenant la suite
\[ b_n=n. \]
Elle est minorée, car
\[ 1\le n \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Ainsi, \(1\) est un minorant.
Cependant, la suite n'est pas majorée. En effet, il n'existe aucun nombre réel \(M\) tel que
\[ n\le M \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Quel que soit le nombre réel \(M\) que l'on choisisse, il existe toujours un indice naturel \(n\) tel que
\[ n>M. \]
Les termes de la suite franchissent donc tout seuil fixé.
Considérons en revanche la suite
\[ c_n=-n. \]
Elle est majorée, car
\[ -n\le -1 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Ainsi, \(-1\) est un majorant.
Cependant, elle n'est pas minorée : en effet, ses termes deviennent de plus en plus négatifs et descendent au-dessous de tout nombre réel fixé.
En symboles, pour tout \(m\in\mathbb R\) il existe un indice naturel \(n\) tel que
\[ -n<m. \]
Il n'existe donc pas de minorant réel pour la suite \((-n)_{n\ge 1}\).
Il importe de distinguer le fait qu'une suite soit majorée ou minorée du fait qu'elle soit croissante ou décroissante.
Par exemple, la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
est croissante, mais elle est majorée par \(1\). Une suite croissante n'a donc pas nécessairement à croître sans limite.
De même, la suite
\[ b_n=\frac1n \]
est décroissante, mais elle est minorée par \(0\). Une suite décroissante n'a donc pas nécessairement à devenir arbitrairement négative.
Du point de vue ensembliste, dire qu'une suite est majorée revient à dire que l'ensemble de ses valeurs
\[ \{a_n:n\ge 1\} \]
est une partie de \(\mathbb R\) majorée.
De même, dire qu'une suite est minorée revient à dire que l'ensemble
\[ \{a_n:n\ge 1\} \]
est minoré.
Cette remarque permet de relier l'étude des suites à la théorie de la borne supérieure et de la borne inférieure.
Si une suite est majorée, l'ensemble de ses valeurs admet une borne supérieure :
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}. \]
Si une suite est minorée, l'ensemble de ses valeurs admet une borne inférieure :
\[ \inf\{a_n:n\ge 1\}. \]
Par exemple, pour la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
l'ensemble des valeurs est
\[ \left\{\frac12,\frac23,\frac34,\frac45,\ldots\right\}. \]
Il est majoré et sa borne supérieure est \(1\), bien que \(1\) ne soit pas un terme de la suite.
En effet,
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
mais les termes se rapprochent de plus en plus de \(1\).
Suites bornées
On dit qu'une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Plus précisément, une suite réelle \((a_n)_{n\ge 1}\) est bornée s'il existe deux nombres réels \(m\) et \(M\) tels que
\[ m\le a_n\le M \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Le nombre \(m\) est un minorant de la suite, tandis que \(M\) en est un majorant.
De manière équivalente, une suite est bornée si tous ses termes restent contenus dans un intervalle fermé et borné :
\[ a_n\in [m,M] \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Par exemple, la suite
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
est bornée. En effet, pour tout \(n\ge 1\), on a
\[ 0<\frac1n\le 1. \]
Tous les termes de la suite sont donc compris entre \(0\) et \(1\) :
\[ 0\le a_n\le 1 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Remarquons que \(0\) est un minorant, mais n'est pas un terme de la suite. En effet, il n'existe aucun \(n\ge 1\) tel que
\[ \frac1n=0. \]
Cela montre qu'un minorant ou un majorant n'a pas nécessairement à être atteint par la suite.
La suite
\[ b_n=(-1)^n \]
est elle aussi bornée. En effet, ses termes sont seulement \(-1\) et \(1\) :
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Par conséquent,
\[ -1\le b_n\le 1 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Dans ce cas, le minorant \(-1\) comme le majorant \(1\) sont aussi des valeurs effectivement prises par la suite.
La suite
\[ c_n=n \]
n'est en revanche pas bornée. En effet, elle est minorée, car
\[ 1\le n \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
mais elle n'est pas majorée.
Pour tout \(M\in\mathbb R\), on peut choisir un indice naturel \(n\) tel que
\[ n>M. \]
Il n'existe donc pas de nombre réel \(M\) capable de majorer tous les termes de la suite.
De même, la suite
\[ d_n=-n \]
n'est pas bornée, car elle est majorée mais non minorée.
Une autre caractérisation très employée du caractère borné fait appel à la valeur absolue.
Une suite réelle \((a_n)_{n\ge 1}\) est bornée si et seulement s'il existe un nombre réel \(K>0\) tel que
\[ |a_n|\le K \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Cette condition signifie que tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle
\[ [-K,K]. \]
En effet, de l'inégalité
\[ |a_n|\le K \]
il découle que
\[ -K\le a_n\le K \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Réciproquement, s'il existe \(m,M\in\mathbb R\) tels que
\[ m\le a_n\le M \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
alors il suffit de choisir
\[ K=\max\{|m|,|M|\}. \]
De cette manière, on obtient
\[ |a_n|\le K \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Cette forme est souvent plus commode dans les démonstrations, car elle résume en une seule inégalité le contrôle supérieur et inférieur des termes.
Par exemple, la suite
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
est bornée, car
\[ |a_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac1n \le 1 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Nous pouvons donc choisir \(K=1\) et conclure que
\[ |a_n|\le 1 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Le caractère borné est une propriété essentielle dans l'étude des suites. À lui seul, il ne garantit pas l'existence de la limite : par exemple, \((-1)^n\) est bornée mais ne se rapproche pas d'une valeur unique.
Toutefois, combiné à d'autres propriétés, comme la monotonie, il devient extrêmement puissant. En particulier, toute suite monotone et bornée converge vers un nombre réel.
Suites positives, négatives et alternées
Un autre aspect important dans l'étude d'une suite est le signe de ses termes. En particulier, il peut être utile d'établir si les termes sont toujours positifs, toujours négatifs ou bien s'ils changent de signe lorsque l'indice varie.
On dit qu'une suite réelle \((a_n)_{n\ge 1}\) est positive si
\[ a_n\ge 0 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Si, en revanche,
\[ a_n>0 \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
on dit que la suite est strictement positive.
Par exemple, la suite
\[ a_n=\frac1n \]
est strictement positive, car
\[ \frac1n>0 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
On dit qu'une suite réelle \((a_n)_{n\ge 1}\) est négative si
\[ a_n\le 0 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Si, en revanche,
\[ a_n<0 \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
on dit que la suite est strictement négative.
Par exemple, la suite
\[ b_n=-n \]
est strictement négative, car
\[ -n<0 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Une suite peut aussi contenir à la fois des termes positifs et des termes négatifs. Un cas particulièrement important est celui des suites alternées.
On dit qu'une suite est alternée lorsque ses termes changent de signe à chaque étape, passant du positif au négatif ou du négatif au positif.
L'exemple fondamental est
\[ a_n=(-1)^n. \]
Pour \(n\ge 1\), ses termes sont
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
En effet, lorsque \(n\) est impair, \((-1)^n=-1\) ; lorsque \(n\) est pair, \((-1)^n=1\).
Si, en revanche, on considère la suite
\[ b_n=(-1)^{n+1}, \]
les termes sont
\[ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ldots \]
Dans ce cas, le premier terme est positif, car
\[ b_1=(-1)^2=1. \]
Les puissances de \(-1\) sont donc un outil standard pour construire des suites alternées.
Par exemple, la suite
\[ c_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
a pour termes
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
Elle change de signe à chaque étape, mais l'amplitude des termes diminue.
En effet,
\[ |c_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac1n. \]
L'étude du signe est utile, car bien des propriétés des suites dépendent du fait que les termes soient positifs, négatifs ou alternés.
Par exemple, lorsqu'une suite a des termes positifs, il est souvent possible d'étudier la monotonie au moyen du quotient
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}. \]
Cette méthode demande de l'attention : le quotient est particulièrement efficace lorsque les termes sont strictement positifs, car dans ce cas le signe n'altère pas le sens des inégalités.
En revanche, dans les suites alternées, l'étude de la monotonie doit être menée avec plus de précaution. Par exemple, la suite
\[ \frac{(-1)^n}{n} \]
n'est pas monotone, car ses termes passent continuellement du négatif au positif.
Toutefois, la suite des valeurs absolues
\[ \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac1n \]
est strictement décroissante.
Cet exemple met en évidence une distinction importante : une suite peut ne pas être monotone, tandis que la suite de ses valeurs absolues peut l'être.
Suites arithmétiques
Une suite arithmétique est une suite dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante.
Plus précisément, une suite réelle \((a_n)_{n\ge 1}\) est arithmétique s'il existe un nombre réel \(d\) tel que
\[ a_{n+1}-a_n=d \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Le nombre \(d\) s'appelle la raison de la suite arithmétique.
De manière équivalente, une suite arithmétique peut être définie par récurrence en posant
\[ a_{n+1}=a_n+d \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Cela signifie que chaque terme s'obtient du précédent en ajoutant toujours le même nombre \(d\).
Par exemple, la suite
\[ 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots \]
est arithmétique, car la différence entre deux termes consécutifs vaut toujours \(4\) :
\[ 7-3=4,\qquad 11-7=4,\qquad 15-11=4. \]
Dans ce cas, la raison est
\[ d=4. \]
Si le premier terme est \(a_1\) et la raison \(d\), alors le terme général de la suite arithmétique est
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
En effet, pour passer de \(a_1\) à \(a_n\), il faut ajouter \(d\) exactement \(n-1\) fois :
\[ a_2=a_1+d, \]
\[ a_3=a_1+2d, \]
\[ a_4=a_1+3d, \]
et, en général,
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
Par exemple, dans la suite
\[ 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots \]
on a \(a_1=3\) et \(d=4\). Par conséquent,
\[ a_n=3+(n-1)4. \]
En simplifiant,
\[ a_n=4n-1. \]
En effet :
\[ a_1=4\cdot 1-1=3, \]
\[ a_2=4\cdot 2-1=7, \]
\[ a_3=4\cdot 3-1=11. \]
Le signe de la raison détermine l'allure de la suite.
- Si \(d>0\), la suite est strictement croissante.
- Si \(d=0\), la suite est constante.
- Si \(d<0\), la suite est strictement décroissante.
Par exemple, la suite
\[ a_n=2+5(n-1) \]
est strictement croissante, car sa raison est \(d=5>0\).
La suite
\[ b_n=6 \]
est arithmétique de raison \(d=0\), donc elle est constante.
La suite
\[ c_n=10-3(n-1) \]
est strictement décroissante, car sa raison est \(d=-3<0\).
Les suites arithmétiques sont donc le modèle le plus simple de suites à croissance ou décroissance linéaire : à chaque étape, la variation est toujours la même.
Suites géométriques
Une suite géométrique est une suite dans laquelle chaque terme s'obtient du précédent en multipliant toujours par un même nombre.
Plus précisément, une suite réelle \((a_n)_{n\ge 1}\) est géométrique s'il existe un nombre réel \(q\) tel que
\[ a_{n+1}=q\,a_n \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Le nombre \(q\) s'appelle la raison de la suite géométrique.
Si \(a_n\neq 0\) pour tout \(n\ge 1\), la raison peut s'obtenir à partir du quotient de deux termes consécutifs :
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}=q \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Par exemple, la suite
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots \]
est géométrique, car chaque terme s'obtient du précédent en multipliant par \(2\) :
\[ 6=2\cdot 3, \qquad 12=2\cdot 6, \qquad 24=2\cdot 12. \]
Dans ce cas, la raison est
\[ q=2. \]
Si le premier terme est \(a_1\) et la raison \(q\), alors le terme général de la suite géométrique est
\[ a_n=a_1 q^{\,n-1}. \]
En effet :
\[ a_2=a_1q, \]
\[ a_3=a_2q=a_1q^2, \]
\[ a_4=a_3q=a_1q^3, \]
et, en général,
\[ a_n=a_1q^{\,n-1}. \]
Par exemple, dans la suite
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots \]
on a \(a_1=3\) et \(q=2\). Par conséquent,
\[ a_n=3\cdot 2^{n-1}. \]
En effet :
\[ a_1=3\cdot 2^0=3, \]
\[ a_2=3\cdot 2^1=6, \]
\[ a_3=3\cdot 2^2=12. \]
Considérons maintenant la suite
\[ b_n=\left(\frac12\right)^{n-1}. \]
Ses premiers termes sont
\[ 1,\ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ldots \]
C'est elle aussi une suite géométrique, de premier terme \(b_1=1\) et de raison
\[ q=\frac12. \]
En effet, chaque terme s'obtient du précédent en multipliant par \(\displaystyle \frac12\).
Le comportement d'une suite géométrique dépend de manière essentielle de la raison \(q\).
Supposons, par souci de simplicité, que \(a_1>0\). Alors :
- si \(q>1\), la suite est strictement croissante et ses termes deviennent de plus en plus grands ;
- si \(q=1\), la suite est constante ;
- si \(0<q<1\), la suite est strictement décroissante et ses termes se rapprochent de \(0\) ;
- si \(q=0\), tous les termes à partir du deuxième sont égaux à \(0\) ;
- si \(q<0\), les termes changent de signe à chaque étape.
Par exemple, la suite
\[ a_n=2^n \]
est géométrique de raison \(q=2\). Ses termes sont
\[ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ldots \]
et croissent rapidement.
En revanche, la suite
\[ b_n=\left(\frac13\right)^n \]
est géométrique de raison
\[ q=\frac13. \]
Ses termes sont
\[ \frac13,\ \frac19,\ \frac1{27},\ \frac1{81},\ldots \]
et deviennent de plus en plus petits.
Un exemple à raison négative est
\[ c_n=(-2)^n. \]
Pour \(n\ge 1\), les premiers termes sont
\[ -2,\ 4,\ -8,\ 16,\ldots \]
La suite est géométrique de raison \(q=-2\). Les termes changent de signe à chaque étape et leur valeur absolue croît.
Considérons enfin la suite
\[ d_n=\left(-\frac12\right)^n. \]
Ses premiers termes sont
\[ -\frac12,\ \frac14,\ -\frac18,\ \frac1{16},\ldots \]
Dans ce cas, la raison est
\[ q=-\frac12. \]
Les termes changent de signe à chaque étape, mais leur valeur absolue devient de plus en plus petite.
Les suites géométriques sont fondamentales, car elles décrivent des processus où la variation n'est pas constante en valeur absolue, mais proportionnelle au terme précédent. C'est pourquoi elles apparaissent naturellement dans bien des contextes : croissance exponentielle, décroissance, intérêts composés et étude des séries géométriques.
Représentation graphique d'une suite
Une suite réelle \((a_n)_{n\ge 1}\) peut être représentée graphiquement dans le plan cartésien en associant à chaque indice \(n\) le terme correspondant \(a_n\).
Autrement dit, à la suite \((a_n)_{n\ge 1}\) nous associons les points
\[ (1,a_1),\ (2,a_2),\ (3,a_3),\ldots,\ (n,a_n),\ldots \]
Le graphe d'une suite est donc l'ensemble des points
\[ \{(n,a_n):n\ge 1\}. \]
Il faut observer une différence importante par rapport au graphe d'une fonction réelle d'une variable réelle. Une suite n'est définie que sur les indices naturels ; son graphe n'est donc pas une courbe continue, mais un ensemble discret de points.
Par exemple, considérons la suite
\[ a_n=\frac1n. \]
Les premiers points de son graphe sont
\[ (1,1),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
Ces points s'abaissent progressivement et se rapprochent de l'axe des abscisses, mais ne forment pas une courbe continue.
De même, pour la suite
\[ b_n=(-1)^n \]
les points du graphe sont
\[ (1,-1),\ (2,1),\ (3,-1),\ (4,1),\ldots \]
Dans ce cas, les points oscillent entre les deux droites horizontales
\[ y=-1 \qquad \text{et} \qquad y=1. \]
La représentation graphique est utile, car elle permet de visualiser certaines propriétés de la suite.
Si les points montent lorsque l'indice croît, la suite peut être croissante. Si les points descendent, la suite peut être décroissante. Si les points restent compris entre deux droites horizontales, la suite peut être bornée.
Par exemple, une suite bornée est représentée par des points qui restent tous à l'intérieur d'une bande horizontale du plan. En effet, s'il existe \(m,M\in\mathbb R\) tels que
\[ m\le a_n\le M \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
alors tous les points \((n,a_n)\) se trouvent entre les deux droites horizontales
\[ y=m \qquad \text{et} \qquad y=M. \]
Par exemple, la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
est représentée par des points compris entre \(0\) et \(1\), car
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
De plus, les points se rapprochent progressivement de la droite horizontale
\[ y=1. \]
Il importe toutefois de ne pas confondre le dessin avec une démonstration. Le graphe peut suggérer qu'une suite est croissante, bornée ou convergente, mais ces propriétés doivent être vérifiées au moyen des définitions ou de critères rigoureux.
Par exemple, à partir du graphe de la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
on devine que les termes augmentent et restent inférieurs à \(1\). Toutefois, pour le démontrer, il faut contrôler les inégalités.
En effet,
\[ a_{n+1}-a_n = \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}. \]
En développant le numérateur, on obtient
\[ (n+1)^2-n(n+2)=n^2+2n+1-n^2-2n=1. \]
Par conséquent,
\[ a_{n+1}-a_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} >0 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
La suite est donc strictement croissante.
De plus,
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
elle est donc majorée par \(1\).
En conclusion, le graphe d'une suite est formé de points isolés, un pour chaque indice naturel. C'est un outil utile pour deviner le comportement de la suite, mais qui ne remplace pas les définitions et les démonstrations.
Différence entre une suite et une fonction réelle d'une variable réelle
Une suite réelle est une fonction définie sur les entiers naturels :
\[ a:\mathbb N\to\mathbb R. \]
Une fonction réelle d'une variable réelle, en revanche, est une fonction définie sur une partie de \(\mathbb R\) :
\[ f:A\subseteq \mathbb R\to\mathbb R. \]
La différence principale porte donc sur le domaine de définition. Dans le cas d'une suite, la variable indépendante ne prend que des valeurs naturelles :
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
Dans le cas d'une fonction réelle d'une variable réelle, en revanche, la variable peut prendre des valeurs réelles, par exemple toutes les valeurs d'un intervalle.
Par exemple, la suite
\[ a_n=\frac1n \]
n'est définie que pour \(n\in\mathbb N\), avec \(n\ge 1\). Ses termes sont
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
La fonction
\[ f(x)=\frac1x \]
peut, en revanche, être définie, par exemple, pour tout \(x>0\). Dans ce cas, le domaine de définition est l'intervalle
\[ (0,+\infty). \]
La suite \((a_n)\) peut s'obtenir en évaluant la fonction \(f(x)=\displaystyle \frac1x\) aux seuls indices naturels :
\[ a_n=f(n)=\frac1n. \]
Toutefois, la suite et la fonction ne sont pas le même objet. La fonction \(f\) est définie aussi en des points non naturels, comme
\[ x=\frac12,\qquad x=\sqrt2,\qquad x=10{,}7, \]
tandis que la suite ne considère que les valeurs correspondant aux indices naturels.
Cette différence se reflète aussi dans la représentation graphique.
Le graphe de la fonction
\[ f(x)=\frac1x \]
sur \((0,+\infty)\) est une courbe continue. Le graphe de la suite
\[ a_n=\frac1n \]
est, en revanche, formé des seuls points
\[ \left(n,\frac1n\right), \qquad n\ge 1. \]
La suite correspond donc à une partie discrète du graphe de la fonction.
Beaucoup de suites peuvent s'obtenir en restreignant une fonction réelle aux indices naturels. Par exemple, à partir de la fonction
\[ f(x)=x^2+1 \]
on obtient la suite
\[ a_n=f(n)=n^2+1. \]
Les premiers termes sont
\[ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ldots \]
Il ne faut toutefois pas croire que toute propriété de la fonction se transmet automatiquement à la suite, ou réciproquement.
Par exemple, une fonction peut ne pas être monotone sur tout son domaine, alors que la suite obtenue en l'évaluant aux entiers naturels peut l'être.
Considérons la fonction
\[ f(x)=\sin(\pi x). \]
Cette fonction oscille sur l'axe réel. Toutefois, si nous l'évaluons aux entiers naturels, nous obtenons
\[ a_n=f(n)=\sin(\pi n)=0 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
La suite correspondante est donc
\[ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ldots \]
c'est-à-dire une suite constante.
Réciproquement, connaître les valeurs d'une fonction aux seuls indices naturels ne permet pas, en général, de reconstituer le comportement de la fonction sur tout son domaine.
Par exemple, deux fonctions différentes peuvent prendre les mêmes valeurs en tous les entiers naturels, tout en se comportant différemment entre un entier et le suivant.
Cette remarque montre qu'une suite ne conserve que les informations relatives aux valeurs prises aux indices naturels.
En résumé :
- une suite réelle est une fonction de \(\mathbb N\) dans \(\mathbb R\) ;
- une fonction réelle d'une variable réelle est définie sur une partie de \(\mathbb R\) ;
- le graphe d'une suite est discret ;
- le graphe d'une fonction réelle peut être une courbe continue ;
- une suite peut souvent s'obtenir en évaluant une fonction réelle aux indices naturels, mais elle demeure un objet distinct.
Suites extraites
Une suite extraite (ou sous-suite) est une suite obtenue en choisissant certains termes d'une suite donnée, sans en modifier l'ordre.
Soit \((a_n)_{n\ge 1}\) une suite réelle. Une suite extraite de \((a_n)\) est une suite de la forme
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
où \((n_k)_{k\ge 1}\) est une suite strictement croissante d'indices naturels, c'est-à-dire
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots<n_k<n_{k+1}<\cdots. \]
La condition sur les indices est fondamentale : pour construire une suite extraite, on peut supprimer certains termes de la suite initiale, mais on ne peut pas changer l'ordre des termes restants.
Par exemple, considérons la suite
\[ a_n=n. \]
Ses termes sont
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ldots \]
Si nous choisissons seulement les indices pairs,
\[ n_k=2k, \]
nous obtenons la suite extraite
\[ a_{n_k}=a_{2k}=2k. \]
Ses termes sont
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ldots \]
Si, en revanche, nous choisissons seulement les indices impairs,
\[ n_k=2k-1, \]
nous obtenons la suite extraite
\[ a_{n_k}=a_{2k-1}=2k-1, \]
c'est-à-dire
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ldots \]
Considérons maintenant la suite alternée
\[ a_n=(-1)^n. \]
Ses termes sont
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
En choisissant les indices pairs \(n_k=2k\), nous obtenons
\[ a_{n_k}=a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
La suite extraite des indices pairs est donc
\[ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ldots \]
En choisissant en revanche les indices impairs \(n_k=2k-1\), nous obtenons
\[ a_{n_k}=a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
La suite extraite des indices impairs est donc
\[ -1,\ -1,\ -1,\ -1,\ldots \]
Cet exemple montre qu'une suite peut ne pas se rapprocher d'une valeur unique, tout en possédant des suites extraites au comportement très régulier.
Il importe de distinguer l'indice \(k\) de la suite extraite de l'indice \(n_k\) de la suite initiale.
Dans la suite extraite
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
le nombre \(k\) indique la position du terme dans la suite extraite, tandis que \(n_k\) indique la position du terme correspondant dans la suite initiale.
Par exemple, si
\[ n_k=2k, \]
alors :
\[ n_1=2,\qquad n_2=4,\qquad n_3=6,\qquad n_4=8. \]
La suite extraite \((a_{2k})_{k\ge 1}\) prend donc le deuxième, le quatrième, le sixième, le huitième terme de la suite initiale, et ainsi de suite.
Tout choix de termes ne produit pas une suite extraite. Les indices doivent être strictement croissants.
Par exemple, le choix
\[ n_1=3,\qquad n_2=1,\qquad n_3=4 \]
ne définit pas une suite extraite, car les indices ne respectent pas l'ordre naturel :
\[ 3>1. \]
De même, on ne peut pas répéter le même indice. Le choix
\[ n_1=2,\qquad n_2=2,\qquad n_3=5 \]
ne définit pas une suite extraite, car on n'a pas
\[ n_1<n_2. \]
Une propriété simple mais importante est que, pour toute suite extraite, on a
\[ n_k\ge k \quad \text{pour tout } k\ge 1. \]
En effet, les indices \(n_k\) sont naturels et strictement croissants. Le premier indice vaut au moins \(1\), le deuxième au moins \(2\), le troisième au moins \(3\), et ainsi de suite.
Cette remarque est utile, car elle montre que les indices d'une suite extraite tendent eux aussi à devenir arbitrairement grands.
Les suites extraites sont fondamentales dans l'étude des suites, car elles permettent d'analyser des comportements partiels de la suite initiale.
Par exemple, une suite peut osciller, alors que certaines de ses suites extraites peuvent être constantes, croissantes, décroissantes ou convergentes.
Dans le cas de la suite
\[ a_n=(-1)^n, \]
la suite complète oscille entre \(-1\) et \(1\), tandis que les deux suites extraites
\[ (a_{2k})_{k\ge 1} \qquad \text{et} \qquad (a_{2k-1})_{k\ge 1} \]
sont toutes deux constantes.
En général, si une suite converge vers une limite réelle \(L\), alors toute suite extraite de celle-ci converge vers la même limite \(L\). La réciproque, en revanche, n'est pas vraie en général : le fait qu'une suite extraite converge ne suffit pas à garantir que toute la suite converge.
Par exemple, la suite \((-1)^n\) ne converge pas, mais elle possède la suite extraite des indices pairs, qui converge vers \(1\), et la suite extraite des indices impairs, qui converge vers \(-1\).
Les suites extraites seront donc un outil décisif dans l'étude des limites, des points d'accumulation et du théorème de Bolzano-Weierstrass.
Premières propriétés des suites
Les suites possèdent quelques propriétés générales qui permettent de relier entre elles la monotonie, le caractère borné, le signe et les suites extraites. Dans cette section, nous rassemblons les premiers résultats fondamentaux, sans entrer encore dans la théorie complète des limites.
Toute suite croissante est minorée
Si une suite \((a_n)_{n\ge 1}\) est croissante, alors
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Il s'ensuit que chaque terme suivant est supérieur ou égal au premier terme :
\[ a_1\le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n\le \cdots. \]
En particulier,
\[ a_1\le a_n \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Ainsi, \(a_1\) est un minorant de la suite. Toute suite croissante est donc minorée.
Attention : une suite croissante n'est pas nécessairement majorée. Par exemple,
\[ a_n=n \]
est croissante, mais n'est pas majorée.
Toute suite décroissante est majorée
Si une suite \((a_n)_{n\ge 1}\) est décroissante, alors
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Il s'ensuit que
\[ a_1\ge a_2\ge a_3\ge \cdots \ge a_n\ge \cdots. \]
En particulier,
\[ a_n\le a_1 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Ainsi, \(a_1\) est un majorant de la suite. Toute suite décroissante est donc majorée.
Là encore, l'autre encadrement n'est pas automatiquement vérifié. Par exemple,
\[ a_n=-n \]
est décroissante, mais n'est pas minorée.
Une suite monotone peut être bornée ou non bornée
La monotonie décrit l'ordre des termes, mais ne détermine pas à elle seule le caractère borné complet de la suite.
Par exemple, la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
est croissante et bornée, car
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
En revanche, la suite
\[ b_n=n \]
est croissante mais non majorée.
De même, la suite
\[ c_n=\frac1n \]
est décroissante et bornée, car
\[ 0<\frac1n\le 1 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
En revanche, la suite
\[ d_n=-n \]
est décroissante mais non minorée.
Toute suite extraite d'une suite bornée est bornée
Soit \((a_n)_{n\ge 1}\) une suite bornée. Alors il existe un nombre réel \(K>0\) tel que
\[ |a_n|\le K \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Considérons l'une de ses suites extraites
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}. \]
Puisque chaque \(n_k\) est un indice naturel, de l'inégalité précédente il découle aussitôt que
\[ |a_{n_k}|\le K \quad \text{pour tout } k\ge 1. \]
La suite extraite est donc elle aussi bornée.
La réciproque n'est pas vraie : une suite peut posséder une suite extraite bornée sans être bornée.
Par exemple, considérons
\[ a_n= \begin{cases} 1, & \text{si } n \text{ est pair},\\ n, & \text{si } n \text{ est impair}. \end{cases} \]
La suite extraite des indices pairs est constante :
\[ a_{2k}=1 \quad \text{pour tout } k\ge 1. \]
Elle est donc bornée. Toutefois, la suite complète n'est pas majorée, car aux indices impairs elle prend des valeurs arbitrairement grandes.
Toute suite extraite d'une suite monotone est monotone de même sens
Soit \((a_n)_{n\ge 1}\) une suite croissante et soit \((a_{n_k})_{k\ge 1}\) une de ses suites extraites.
Puisque les indices de la suite extraite sont strictement croissants, on a
\[ n_k<n_{k+1} \quad \text{pour tout } k\ge 1. \]
Comme \((a_n)\) est croissante, de l'ordre des indices il découle
\[ a_{n_k}\le a_{n_{k+1}} \quad \text{pour tout } k\ge 1. \]
La suite extraite est donc croissante.
De la même façon, si \((a_n)\) est décroissante, alors toute suite extraite de celle-ci est décroissante. En effet, de
\[ n_k<n_{k+1} \]
il découle
\[ a_{n_k}\ge a_{n_{k+1}}. \]
Les suites extraites conservent donc le sens de monotonie de la suite initiale.
Le caractère borné n'implique pas la monotonie
Une suite peut être bornée sans être monotone.
L'exemple le plus simple est
\[ a_n=(-1)^n. \]
En effet,
\[ -1\le a_n\le 1 \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
la suite est donc bornée.
Cependant, elle n'est pas monotone, car ses termes oscillent :
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Une suite bornée peut donc n'avoir aucune allure croissante ou décroissante.
La monotonie et le caractère borné ensemble sont décisifs
Bien que la monotonie à elle seule ne garantisse pas le caractère borné et que le caractère borné à lui seul ne garantisse pas la monotonie, les deux propriétés réunies jouent un rôle fondamental.
En effet, un résultat central de l'analyse affirme que toute suite réelle monotone et bornée converge.
Plus précisément :
- si \((a_n)\) est croissante et majorée, alors elle converge vers sa borne supérieure ;
- si \((a_n)\) est décroissante et minorée, alors elle converge vers sa borne inférieure.
Ce théorème n'est pas démontré dans cette section, mais il explique pourquoi les propriétés introduites jusqu'ici sont si importantes. La monotonie et le caractère borné comptent parmi les premiers outils rigoureux pour établir l'existence d'une limite.
Erreurs fréquentes au sujet des suites
Dans l'étude des suites apparaissent quelques erreurs très fréquentes. Les reconnaître est important, car bien des difficultés ultérieures relatives aux limites naissent précisément d'une compréhension imprécise des définitions initiales.
Confondre la suite avec l'ensemble de ses valeurs
Une suite n'est pas simplement l'ensemble des valeurs qui figurent parmi ses termes. Une suite est une fonction définie sur les entiers naturels ; comptent donc aussi l'ordre dans lequel les termes sont disposés ainsi que leur éventuelle répétition.
Par exemple, la suite
\[ a_n=(-1)^n \]
a pour termes
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
L'ensemble des valeurs prises par la suite est
\[ \{-1,1\}. \]
Toutefois, la suite ne coïncide pas avec l'ensemble \(\{-1,1\}\). La suite contient une infinité de répétitions ordonnées des valeurs \(-1\) et \(1\), tandis que l'ensemble ne contient que les deux valeurs distinctes.
Confondre le terme général avec la suite
Le symbole \(a_n\) désigne le terme de la suite correspondant à l'indice \(n\). L'écriture \((a_n)_{n\ge 1}\), en revanche, désigne la suite tout entière.
Par exemple, si
\[ a_n=\frac1n, \]
alors \(a_n\) est le terme général, tandis que
\[ (a_n)_{n\ge 1} \]
est la suite tout entière
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Dire que \(a_n=\displaystyle \frac1n\) ne revient pas à indiquer un nombre unique fixé, mais une règle qui, à chaque indice \(n\), produit le terme correspondant.
Ne pas préciser l'indice initial
Une erreur fréquente consiste à écrire une formule sans indiquer pour quelles valeurs de l'indice elle définit réellement une suite.
Par exemple,
\[ a_n=\frac1n \]
ne peut pas être considérée à partir de \(n=0\), car \(\displaystyle \frac10\) n'est pas défini.
Dans ce cas, il faut écrire, par exemple,
\[ (a_n)_{n\ge 1}, \qquad a_n=\frac1n. \]
De même, la formule
\[ b_n=\sqrt{n-4} \]
ne définit une suite réelle que pour
\[ n\ge 4. \]
En effet, pour \(n<4\), la quantité \(n-4\) est négative, et donc \(\sqrt{n-4}\) n'est pas un nombre réel.
Croire qu'une suite croissante est toujours non bornée
Une suite croissante n'a pas nécessairement à croître sans limite.
Par exemple, la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
est croissante, mais tous ses termes sont inférieurs à \(1\) :
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
La suite est donc majorée.
La monotonie décrit le sens de variation des termes, mais ne suffit pas à elle seule à établir si la suite est bornée ou non bornée.
Croire qu'une suite bornée est toujours monotone
Le caractère borné n'implique pas non plus la monotonie.
La suite
\[ a_n=(-1)^n \]
est bornée, car
\[ -1\le a_n\le 1 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
Cependant, elle n'est pas monotone, car ses termes oscillent entre \(-1\) et \(1\) :
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Une suite peut donc rester toujours à l'intérieur d'un intervalle borné sans être croissante ou décroissante.
Confondre suite extraite et sous-ensemble de termes
Une suite extraite n'est pas un choix quelconque de termes. Les indices doivent être strictement croissants.
Une suite extraite de \((a_n)_{n\ge 1}\) est de la forme
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
où
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots. \]
Par exemple, si l'on choisit les indices
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ldots, \]
on obtient une suite extraite. Si, en revanche, l'on choisit les indices
\[ 3,\ 1,\ 5,\ldots, \]
on n'obtient pas une suite extraite, car l'ordre des indices n'est pas respecté.
Croire qu'une suite extraite décrit toujours toute la suite
Une suite extraite ne décrit qu'une partie de la suite initiale. Pour cette raison, le comportement d'une suite extraite ne suffit pas, en général, à déterminer le comportement de la suite tout entière.
Par exemple, la suite
\[ a_n=(-1)^n \]
ne converge pas, car elle oscille entre \(-1\) et \(1\).
Toutefois, la suite extraite des indices pairs est constante :
\[ a_{2k}=1 \quad \text{pour tout } k\ge 1, \]
tandis que la suite extraite des indices impairs est elle aussi constante :
\[ a_{2k-1}=-1 \quad \text{pour tout } k\ge 1. \]
Une suite peut donc posséder des suites extraites très régulières sans avoir, dans son ensemble, un comportement unique.
Utiliser le graphe comme s'il s'agissait d'une démonstration
Le graphe d'une suite peut aider à deviner le comportement des termes, mais il ne remplace pas une démonstration.
Par exemple, en observant le graphe de la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
on peut deviner qu'elle est croissante et majorée par \(1\). Toutefois, pour le démontrer, il faut vérifier les inégalités :
\[ a_{n+1}-a_n>0 \quad \text{pour tout } n\ge 1, \]
et
\[ a_n<1 \quad \text{pour tout } n\ge 1. \]
En analyse mathématique, le dessin suggère, mais la démonstration doit reposer sur les définitions.
Les propriétés introduites constituent la base de l'étude des limites de suites. En particulier, la combinaison de la monotonie et du caractère borné conduit à l'un des premiers résultats fondamentaux de l'analyse : toute suite réelle monotone et bornée converge.
Les suites constituent ainsi un pont naturel entre l'arithmétique, l'algèbre et l'analyse : en partant d'une simple liste ordonnée de nombres, on parvient à des concepts profonds comme la limite, la convergence, la complétude des nombres réels et le comportement à l'infini.