Les exercices suivants servent à consolider la notion de partie compacte de \(\mathbb R\). On utilisera surtout le théorème de Heine–Borel, selon lequel une partie de \(\mathbb R\) est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=[2,5] \]
est compact dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A=[2,5]\) est compact.
Résolution
Dans \(\mathbb R\), d'après le théorème de Heine–Borel, un ensemble est compact si et seulement s'il est fermé et borné.
L'intervalle \([2,5]\) est fermé, car il contient ses deux extrémités \(2\) et \(5\).
De plus, il est borné, car tous ses éléments vérifient
\[ 2\le x\le 5. \]
Ainsi, \(A\) est fermé et borné. Par conséquent, d'après le théorème de Heine–Borel, \(A\) est compact.
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=(2,5) \]
est compact dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A=(2,5)\) n'est pas compact.
Résolution
L'intervalle \((2,5)\) est borné, car tous ses éléments sont compris entre \(2\) et \(5\).
Cependant, il n'est pas fermé, puisqu'il ne contient pas ses points d'accumulation \(2\) et \(5\). En effet, il existe des suites de points de \(A\) qui convergent vers \(2\) ou vers \(5\), par exemple
\[ x_n=2+\frac1n. \]
Pour tout \(n\) suffisamment grand, on a \(x_n\in(2,5)\), mais
\[ x_n\to 2, \]
et \(2\notin A\).
Donc \(A\) n'est pas fermé. Comme dans \(\mathbb R\) un ensemble compact doit être fermé et borné, \(A\) n'est pas compact.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=[0,+\infty) \]
est compact dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A=[0,+\infty)\) n'est pas compact.
Résolution
L'ensemble \(A=[0,+\infty)\) est fermé dans \(\mathbb R\), car il contient son point frontière \(0\) et son complémentaire
\[ \mathbb R\setminus A=(-\infty,0) \]
est ouvert.
Cependant, \(A\) n'est pas majoré. En effet, pour tout \(M>0\), le nombre
\[ M+1 \]
appartient à \(A\) et est supérieur à \(M\).
Donc \(A\) n'est pas borné. D'après le théorème de Heine–Borel, n'étant pas borné, il ne peut pas être compact.
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
est compact dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A=\{1,2,3,4\}\) est compact.
Résolution
Tout ensemble fini de nombres réels est fermé et borné.
L'ensemble \(A\) est borné, car tous ses éléments sont compris entre \(1\) et \(4\) :
\[ 1\le x\le 4 \quad \text{pour tout } x\in A. \]
De plus, \(A\) est fermé, car c'est un ensemble fini et tous ses points sont isolés.
Ainsi, \(A\) est fermé et borné. D'après le théorème de Heine–Borel, \(A\) est compact.
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\} \]
est compact dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A\) n'est pas compact.
Résolution
L'ensemble \(A\) est borné, car
\[ 0<\frac1n\le 1 \]
pour tout \(n\ge 1\). Donc
\[ A\subseteq (0,1]. \]
Cependant, \(A\) n'est pas fermé. En effet, la suite
\[ x_n=\frac1n \]
est formée de points de \(A\), mais converge vers \(0\) :
\[ \frac1n\to 0. \]
Le point \(0\) est donc un point d'accumulation de \(A\), mais
\[ 0\notin A. \]
Par conséquent, \(A\) n'est pas fermé. Étant borné mais non fermé, il n'est pas compact.
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\left\{0\right\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\} \]
est compact dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A\) est compact.
Résolution
L'ensemble \(A\) est borné, car
\[ 0\le x\le 1 \]
pour tout \(x\in A\). Donc \(A\subseteq[0,1]\).
On vérifie maintenant que \(A\) est fermé. Les points de la forme \(\displaystyle \frac1n\) sont isolés, tandis que le seul point d'accumulation de l'ensemble est \(0\).
En effet,
\[ \frac1n\to 0. \]
Contrairement à l'exercice précédent, cette fois \(0\) appartient à l'ensemble \(A\).
Donc \(A\) contient tous ses points d'accumulation et est fermé.
Comme \(A\) est fermé et borné, il est compact d'après le théorème de Heine–Borel.
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=[-1,1]\setminus\{0\} \]
est compact dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A\) n'est pas compact.
Résolution
L'ensemble \(A\) est borné, car il est contenu dans \([-1,1]\).
Cependant, \(A\) n'est pas fermé. En effet, \(0\) est un point d'accumulation de \(A\) : tout voisinage de \(0\) contient des points de \(A\) différents de \(0\), par exemple des nombres de la forme
\[ \pm\frac1n \]
pour \(n\) suffisamment grand.
De plus,
\[ \frac1n\in A \quad \text{et} \quad \frac1n\to 0. \]
Mais \(0\notin A\), car il a été retiré de l'intervalle \([-1,1]\).
Donc \(A\) ne contient pas tous ses points d'accumulation et, par suite, n'est pas fermé.
Étant borné mais non fermé, \(A\) n'est pas compact.
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\left[-2,3\right]\cup\{7\} \]
est compact dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A\) est compact.
Résolution
L'intervalle \([-2,3]\) est fermé et borné, donc compact.
De même, le singleton \(\{7\}\) est fermé et borné, donc compact.
La réunion finie de fermés est fermée. Par conséquent,
\[ A=[-2,3]\cup\{7\} \]
est fermé.
De plus, \(A\) est borné, car tous ses éléments sont compris entre \(-2\) et \(7\) :
\[ -2\le x\le 7 \quad \text{pour tout } x\in A. \]
Ainsi, \(A\) est fermé et borné. D'après le théorème de Heine–Borel, \(A\) est compact.
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}\left[\frac1n,1\right] \]
est compact dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A\) n'est pas compact.
Résolution
On observe tout d'abord que
\[ \left[\frac1n,1\right]\subseteq(0,1] \]
pour tout \(n\ge 1\). De plus, étant donné un \(x\in(0,1]\) quelconque, on peut choisir \(n\) suffisamment grand pour que
\[ \frac1n\le x. \]
Alors
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Donc
\[ A=(0,1]. \]
L'ensemble \((0,1]\) est borné, mais non fermé, car \(0\) est un point d'accumulation qui n'appartient pas à l'ensemble.
En effet,
\[ \frac1n\in A \quad \text{et} \quad \frac1n\to 0, \]
mais \(0\notin A\).
Par suite, \(A\) n'est pas fermé et n'est donc pas compact.
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-1,\frac1n\right] \]
est compact dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A=[-1,0]\) est compact.
Résolution
On doit d'abord déterminer l'ensemble \(A\).
Un nombre \(x\) appartient à \(A\) si et seulement s'il appartient à tous les intervalles
\[ \left[-1,\frac1n\right]. \]
Cela signifie que
\[ -1\le x\le \frac1n \]
pour tout \(n\ge 1\).
Si \(x\le 0\) et \(x\ge -1\), alors on a certainement
\[ x\le \frac1n \]
pour tout \(n\ge 1\). Donc \([-1,0]\subseteq A\).
Réciproquement, si \(x>0\), en choisissant \(n\) suffisamment grand on a
\[ \frac1n<x. \]
Alors \(x\notin\left[-1,\displaystyle\frac1n\right]\), donc \(x\notin A\).
Par conséquent,
\[ A=[-1,0]. \]
L'intervalle \([-1,0]\) est fermé et borné. Donc, d'après le théorème de Heine–Borel, il est compact.
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Montrer que l'ensemble
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\}\cup\{1\} \]
est compact dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A\) est compact.
Résolution
On écrit le terme général sous la forme
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}. \]
De cette expression, il découle que
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \]
pour tout \(n\ge 1\), et de plus
\[ \frac{n}{n+1}\to 1. \]
L'ensemble \(A\) est borné, car tous ses éléments appartiennent à l'intervalle \([0,1]\).
De plus, le seul point d'accumulation de la suite
\[ \frac{n}{n+1} \]
est \(1\), et ce point appartient à \(A\).
Les points
\[ \frac{n}{n+1} \]
sont isolés, tandis que \(1\) est inclus dans l'ensemble.
Donc \(A\) contient tous ses points d'accumulation et est fermé.
Étant fermé et borné, \(A\) est compact d'après le théorème de Heine–Borel.
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: x^2<4\right\} \]
est compact dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A\) n'est pas compact.
Résolution
On résout d'abord l'inéquation
\[ x^2<4. \]
Elle équivaut à
\[ -2<x<2. \]
Donc
\[ A=(-2,2). \]
L'ensemble \(A\) est borné, car il est contenu dans \([-2,2]\).
Cependant, il n'est pas fermé, car il ne contient pas les points \(-2\) et \(2\), qui sont des points d'accumulation de l'ensemble.
Par exemple, la suite
\[ x_n=2-\frac1n \]
appartient à \(A\) pour tout \(n\ge 1\) suffisamment grand et converge vers \(2\), mais \(2\notin A\).
Donc \(A\) n'est pas fermé. D'après le théorème de Heine–Borel, \(A\) n'est pas compact.
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: x^2\le 4\right\} \]
est compact dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A\) est compact.
Résolution
On résout l'inéquation
\[ x^2\le 4. \]
Elle équivaut à
\[ -2\le x\le 2. \]
Donc
\[ A=[-2,2]. \]
L'intervalle \([-2,2]\) est fermé, car il contient ses extrémités, et borné, car chacun de ses éléments \(x\) vérifie
\[ -2\le x\le 2. \]
D'après le théorème de Heine–Borel, \(A\) est compact.
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Soit
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: |x-3|\le 2\right\}. \]
Déterminer si \(A\) est compact.
Résultat
L'ensemble \(A=[1,5]\) est compact.
Résolution
L'inéquation
\[ |x-3|\le 2 \]
signifie que la distance de \(x\) à \(3\) est au plus \(2\). De façon équivalente,
\[ -2\le x-3\le 2. \]
En ajoutant \(3\) aux trois membres, on obtient
\[ 1\le x\le 5. \]
Donc
\[ A=[1,5]. \]
L'intervalle \([1,5]\) est fermé et borné. D'après le théorème de Heine–Borel, \(A\) est compact.
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Montrer que l'intersection de deux ensembles compacts \(K_1,K_2\subseteq\mathbb R\) est compacte.
Résultat
L'ensemble \(K_1\cap K_2\) est compact.
Résolution
Comme \(K_1\) et \(K_2\) sont compacts dans \(\mathbb R\), d'après le théorème de Heine–Borel ils sont fermés et bornés.
L'intersection de deux fermés est fermée. Donc
\[ K_1\cap K_2 \]
est fermé.
De plus, \(K_1\cap K_2\subseteq K_1\). Comme \(K_1\) est borné, toute partie de celui-ci est bornée. Donc \(K_1\cap K_2\) est borné.
On a montré que \(K_1\cap K_2\) est fermé et borné.
Par conséquent, d'après le théorème de Heine–Borel, \(K_1\cap K_2\) est compact.
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Montrer que la réunion de deux ensembles compacts \(K_1,K_2\subseteq\mathbb R\) est compacte.
Résultat
L'ensemble \(K_1\cup K_2\) est compact.
Résolution
Comme \(K_1\) et \(K_2\) sont compacts dans \(\mathbb R\), ils sont fermés et bornés.
La réunion finie de fermés est fermée. Donc
\[ K_1\cup K_2 \]
est fermé.
Comme \(K_1\) est borné, il existe \(M_1>0\) tel que
\[ |x|\le M_1 \quad \text{pour tout } x\in K_1. \]
Comme \(K_2\) est borné, il existe \(M_2>0\) tel que
\[ |x|\le M_2 \quad \text{pour tout } x\in K_2. \]
Posons
\[ M=\max\{M_1,M_2\}. \]
Alors, pour tout \(x\in K_1\cup K_2\), on a
\[ |x|\le M. \]
Donc \(K_1\cup K_2\) est borné.
Étant fermé et borné, \(K_1\cup K_2\) est compact.
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Montrer que l'ensemble
\[ K=\left\{x\in[0,2]: x\neq 1\right\} \]
n'est pas compact.
Résultat
L'ensemble \(K=[0,2]\setminus\{1\}\) n'est pas compact.
Résolution
L'ensemble \(K\) est borné, car il est contenu dans \([0,2]\).
Cependant, il n'est pas fermé. En effet, \(1\) est un point d'accumulation de \(K\), mais n'appartient pas à \(K\).
Pour le voir de façon explicite, on considère la suite
\[ x_n=1+\frac1n. \]
Pour tout \(n\ge 1\), on a \(x_n\neq 1\), et pour \(n\) suffisamment grand, on a \(x_n\in[0,2]\). Donc \(x_n\in K\).
De plus,
\[ x_n\to 1. \]
Mais \(1\notin K\). Donc \(K\) n'est pas fermé.
Comme dans \(\mathbb R\) tout compact doit être fermé et borné, \(K\) n'est pas compact.
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Montrer, à l'aide des recouvrements ouverts, que l'ensemble
\[ A=(0,1) \]
n'est pas compact.
Résultat
L'intervalle \((0,1)\) n'est pas compact.
Résolution
On considère la famille d'ouverts
\[ \mathcal U=\left\{\left(\frac1n,1\right):n\in\mathbb N,\ n\ge 2\right\}. \]
Cette famille recouvre \((0,1)\). En effet, pour \(x\in(0,1)\), on peut choisir \(n\) suffisamment grand pour que
\[ \frac1n<x. \]
Alors
\[ x\in\left(\frac1n,1\right). \]
Donc
\[ (0,1)\subseteq\bigcup_{n=2}^{+\infty}\left(\frac1n,1\right). \]
Supposons maintenant que l'on choisisse un nombre fini de ces ouverts :
\[ \left(\frac1{n_1},1\right),\ldots,\left(\frac1{n_k},1\right). \]
Soit
\[ N=\max\{n_1,\ldots,n_k\}. \]
Parmi ces intervalles, celui qui commence le plus à gauche est
\[ \left(\frac1N,1\right). \]
La réunion finie choisie est donc égale à
\[ \left(\frac1N,1\right). \]
Mais le point
\[ x=\frac1{N+1} \]
appartient à \((0,1)\) et vérifie
\[ \frac1{N+1}<\frac1N. \]
Donc \(x\) n'appartient pas à la réunion finie choisie.
On a trouvé un recouvrement ouvert de \((0,1)\) qui n'admet aucun sous-recouvrement fini. Par définition, \((0,1)\) n'est pas compact.
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Montrer, à l'aide des suites, que l'ensemble
\[ A=(0,1] \]
n'est pas compact.
Résultat
L'ensemble \((0,1]\) n'est pas compact.
Résolution
Dans \(\mathbb R\), toute suite contenue dans un ensemble compact admet une sous-suite convergeant vers un point de l'ensemble.
On considère la suite
\[ x_n=\frac1n. \]
Pour tout \(n\ge 1\), on a
\[ x_n\in(0,1]. \]
De plus,
\[ x_n\to 0. \]
Toute sous-suite de \((x_n)\) converge encore vers \(0\). En effet, si \((x_{n_k})\) est une sous-suite, alors
\[ x_{n_k}=\frac1{n_k}\to 0. \]
Mais
\[ 0\notin(0,1]. \]
Donc la suite \((x_n)\), bien qu'entièrement contenue dans \((0,1]\), ne possède aucune sous-suite convergeant vers un point de \((0,1]\).
Par conséquent, \((0,1]\) n'est pas compact.
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Soit \(K\subseteq\mathbb R\) un ensemble compact et soit \(f:K\to\mathbb R\) une fonction continue. Montrer que \(f(K)\) est compact.
Résultat
L'image continue d'un compact est compacte.
Résolution
On veut montrer que
\[ f(K)=\{f(x):x\in K\} \]
est compact.
On utilise le critère séquentiel de compacité dans \(\mathbb R\). Soit donc \((y_n)\) une suite de points de \(f(K)\). Par définition de l'image, pour tout \(n\) il existe \(x_n\in K\) tel que
\[ y_n=f(x_n). \]
Comme \(K\) est compact, de la suite \((x_n)\) on peut extraire une sous-suite \((x_{n_k})\) convergeant vers un point \(x_0\in K\) :
\[ x_{n_k}\to x_0. \]
Comme \(f\) est continue en \(x_0\), en passant à la limite on obtient
\[ f(x_{n_k})\to f(x_0). \]
Mais
\[ f(x_{n_k})=y_{n_k}. \]
Donc la suite \((y_n)\) admet une sous-suite \((y_{n_k})\) convergeant vers le point
\[ f(x_0)\in f(K). \]
On a montré que toute suite de \(f(K)\) admet une sous-suite convergeant vers un point de \(f(K)\). Par conséquent, \(f(K)\) est compact.