Les ensembles compacts constituent l'une des notions centrales de l'analyse mathématique. Ils décrivent des ensembles qui, bien qu'ils puissent contenir une infinité de points, conservent certaines propriétés caractéristiques des ensembles finis.
L'importance de la compacité tient au fait que, sur les ensembles compacts, de nombreuses propriétés fondamentales se trouvent garanties : toute suite de points de l'ensemble admet une sous-suite convergeant vers un point de l'ensemble, les fonctions continues atteignent leur maximum et leur minimum, et les recouvrements ouverts peuvent être réduits à un nombre fini d'ouverts.
Dans cet exposé, nous introduirons la définition d'ensemble compact au moyen des recouvrements ouverts, nous en éclaircirons la signification intuitive et nous analyserons les premiers exemples fondamentaux. Le lien entre compacité et le fait d'être fermé et borné sera ensuite précisé par le théorème de Heine-Borel.
Sommaire
- Idée intuitive d'ensemble compact
- Définition de recouvrement ouvert
- Définition d'ensemble compact
- Signification de la définition
- Premiers exemples d'ensembles compacts
- Premiers exemples d'ensembles non compacts
- Compacité et suites
- Compacité et fonctions continues
- Pourquoi fermé et borné n'est pas la définition de compact
- Récapitulatif final
Idée intuitive d'ensemble compact
L'idée intuitive de compacité est celle d'un ensemble qui ne présente ni fuites vers l'infini ni points manquants là où l'ensemble tend à s'accumuler.
Par exemple, l'intervalle
\[ [0,1] \]
est un ensemble qui apparaît, intuitivement, bien maîtrisé : il est borné, car tous ses points se situent entre \(0\) et \(1\), et il est fermé, car il contient aussi ses extrémités.
Au contraire, l'intervalle
\[ (0,1) \]
ne contient pas les extrémités \(0\) et \(1\). Même si tous ses points restent compris entre \(0\) et \(1\), l'ensemble présente deux points d'accumulation manquants. En effet, on peut s'approcher indéfiniment de \(0\) ou de \(1\) tout en demeurant à l'intérieur de \((0,1)\), mais ni \(0\) ni \(1\) n'appartiennent à l'ensemble.
L'intervalle
\[ [0,+\infty) \]
n'est pas compact non plus. Ici, le problème n'est pas l'absence d'extrémités, mais la possibilité de s'éloigner indéfiniment vers \(+\infty\).
La compacité formalise précisément cette idée : un ensemble compact ne présente ni fuite vers l'infini ni points d'accumulation manquants. Du point de vue de l'analyse, c'est un ensemble qui peut être maîtrisé à l'aide d'un nombre fini de données.
Définition de recouvrement ouvert
Avant de définir les ensembles compacts, nous devons introduire la notion de recouvrement ouvert.
Dans cet exposé, lorsque nous parlerons d'ouverts de \(\mathbb R\), nous entendrons toujours les ouverts au sens usuel : par exemple les intervalles ouverts \((a,b)\) et les réunions d'intervalles ouverts.
Soit \(A\subseteq \mathbb R\). Une famille d'ensembles ouverts
\[ \{U_i\}_{i\in I} \]
est appelée recouvrement ouvert de \(A\) si tout point de \(A\) appartient à au moins l'un des ouverts de la famille.
En symboles, la famille \(\{U_i\}_{i\in I}\) est un recouvrement ouvert de \(A\) si
\[ A\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i. \]
L'ensemble \(I\) est appelé ensemble des indices et peut être fini ou infini.
Dire que \(\{U_i\}_{i\in I}\) recouvre \(A\) signifie donc qu'aucun point de \(A\) ne reste en dehors de la réunion des ouverts \(U_i\).
Exemple de recouvrement ouvert
Considérons l'ensemble
\[ A=[0,1]. \]
La famille d'intervalles ouverts
\[ U_n=\left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1, \]
est un recouvrement ouvert de \(A\). En effet, pour tout \(n\geq 1\), on a
\[ [0,1]\subseteq \left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right). \]
En particulier,
\[ [0,1]\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty} \left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right). \]
Ainsi, tout point de l'intervalle \([0,1]\) appartient à au moins l'un des ouverts de la famille.
Sous-recouvrement
Si \(\{U_i\}_{i\in I}\) est un recouvrement ouvert de \(A\), un sous-recouvrement est une sous-famille d'ouverts qui continue de recouvrir \(A\).
Plus précisément, si \(J\subseteq I\), la famille
\[ \{U_j\}_{j\in J} \]
est un sous-recouvrement de \(A\) si
\[ A\subseteq \bigcup_{j\in J} U_j. \]
Un sous-recouvrement est dit fini s'il ne comporte qu'un nombre fini d'ouverts.
Définition d'ensemble compact
Nous pouvons à présent donner la définition fondamentale.
Un ensemble \(K\subseteq \mathbb R\) est dit compact si, de tout recouvrement ouvert de \(K\), on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Autrement dit, \(K\) est compact si, chaque fois qu'une famille d'ouverts recouvre \(K\), il existe alors un nombre fini d'ouverts de la famille qui suffisent encore à recouvrir \(K\) tout entier.
En symboles, \(K\subseteq \mathbb R\) est compact si, pour toute famille d'ouverts \(\{U_i\}_{i\in I}\) telle que
\[ K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, \]
il existe des indices \(i_1,i_2,\ldots,i_m\in I\), avec \(m\in\mathbb N\), tels que
\[ K\subseteq U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup \cdots \cup U_{i_m}. \]
Telle est la définition de la compacité au moyen des recouvrements ouverts.
Une remarque importante
La définition ne dit pas que \(K\) peut être recouvert par un nombre fini d'ouverts choisis à volonté. Elle dit quelque chose de plus subtil : quel que soit le recouvrement ouvert donné, même s'il est formé d'une infinité d'ouverts, il est toujours possible d'en sélectionner un nombre fini qui recouvre encore \(K\) tout entier.
La compacité est donc une propriété globale de l'ensemble \(K\), car elle concerne tous les recouvrements ouverts possibles de \(K\).
Signification de la définition
À première vue, la définition de la compacité peut sembler abstraite. Sa signification profonde est pourtant très concrète : un ensemble compact est un ensemble qui n'exige jamais une infinité d'informations essentielles pour être maîtrisé au moyen d'ouverts.
Supposons que nous voulions recouvrir un ensemble \(K\) par une famille d'ouverts. Si \(K\) est compact, alors, même lorsque le recouvrement contient une infinité d'ouverts, seul un nombre fini d'entre eux est réellement nécessaire pour recouvrir \(K\) tout entier.
Ce comportement est semblable à celui des ensembles finis. En effet, si
\[ A=\{x_1,x_2,\ldots,x_m\}, \]
alors tout recouvrement ouvert de \(A\) admet toujours un sous-recouvrement fini. Il suffit de choisir, pour chaque point \(x_j\), un ouvert du recouvrement qui le contient.
La compacité étend cette propriété aux ensembles infinis. Un compact peut contenir une infinité de points, mais il continue d'avoir un comportement fini vis-à-vis des recouvrements ouverts.
Pourquoi la définition fait-elle appel aux ouverts ?
Les ouverts sont les ensembles qui décrivent les voisinages des points. C'est pourquoi les recouvrements ouverts permettent d'étudier un ensemble à travers des informations locales.
Dire qu'un ensemble est compact signifie alors que, chaque fois qu'il est maîtrisé localement au moyen d'ouverts, cette maîtrise peut être ramenée à une maîtrise finie.
Cette idée est à la base de nombreux théorèmes fondamentaux de l'analyse. Par exemple, le fait qu'une fonction continue sur un ensemble compact atteigne son maximum et son minimum repose précisément sur la possibilité de passer d'informations locales à un nombre fini d'informations globales.
Premiers exemples d'ensembles compacts
Voyons quelques exemples fondamentaux. À ce stade, nous nous appuierons surtout sur l'intuition géométrique de la compacité ; la caractérisation complète des ensembles compacts de \(\mathbb R\) sera précisée par le théorème de Heine-Borel.
Intervalles fermés et bornés
Les intervalles de la forme
\[ [a,b], \qquad a,b\in\mathbb R,\ a\leq b, \]
sont les premiers exemples fondamentaux d'ensembles compacts dans \(\mathbb R\).
Ils sont bornés, car tous leurs points sont compris entre \(a\) et \(b\), et ils sont fermés, car ils contiennent aussi les extrémités \(a\) et \(b\).
Le fait que tout intervalle fermé et borné soit compact est un résultat profond de l'analyse réelle. Dans cet exposé, nous l'utiliserons comme exemple fondamental ; la caractérisation générale des ensembles compacts de \(\mathbb R\), quant à elle, sera précisée par le théorème de Heine-Borel.
Ensembles finis
Tout ensemble fini de nombres réels est compact.
En effet, soit
\[ A=\{x_1,x_2,\ldots,x_m\}. \]
Considérons un recouvrement ouvert quelconque de \(A\) :
\[ A\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i. \]
Puisque le recouvrement recouvre \(A\), pour chaque point \(x_j\in A\) il existe au moins un indice \(i_j\in I\) tel que
\[ x_j\in U_{i_j}. \]
Par conséquent, les ouverts
\[ U_{i_1},U_{i_2},\ldots,U_{i_m} \]
recouvrent tous les points de \(A\). Dès lors
\[ A\subseteq U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Nous avons ainsi extrait un sous-recouvrement fini. Par définition, \(A\) est compact.
L'ensemble formé d'une suite convergente et de sa limite
Un autre exemple important est donné par l'ensemble
\[ K=\left\{0\right\}\cup\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Cet ensemble est infini, mais il est compact.
Intuitivement, les points
\[ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots \]
ne s'accumulent qu'en \(0\), et le point \(0\) appartient à l'ensemble. Il n'y a donc pas de points d'accumulation manquants.
De plus, l'ensemble est borné, car tous ses éléments appartiennent à l'intervalle \([0,1]\).
Voyons directement pourquoi cet ensemble est compact en utilisant la définition à l'aide des recouvrements ouverts.
Soit \(\{U_i\}_{i\in I}\) un recouvrement ouvert de \(K\). Puisque \(0\in K\), il existe un ouvert \(U_{i_0}\) du recouvrement tel que
\[ 0\in U_{i_0}. \]
Comme \(U_{i_0}\) est ouvert, il existe \(r>0\) tel que
\[ (-r,r)\subseteq U_{i_0}. \]
Comme
\[ \frac1n\to 0, \]
il existe \(N\in\mathbb N\) tel que, pour tout \(n\geq N\),
\[ \frac1n\in (-r,r)\subseteq U_{i_0}. \]
Ainsi, l'ouvert \(U_{i_0}\) recouvre \(0\) ainsi que tous les points \(\displaystyle \frac1n\) à partir d'un certain indice.
Il ne reste qu'un nombre fini de points :
\[ 1,\frac12,\ldots,\frac{1}{N-1}. \]
Pour chacun de ces points, nous choisissons un ouvert du recouvrement qui le contient. Nous obtenons de la sorte un nombre fini d'ouverts qui, avec \(U_{i_0}\), recouvrent \(K\) tout entier.
Ainsi, tout recouvrement ouvert de \(K\) admet un sous-recouvrement fini. Par conséquent, \(K\) est compact.
Premiers exemples d'ensembles non compacts
Pour comprendre véritablement la compacité, il importe d'examiner aussi des exemples d'ensembles qui ne sont pas compacts. En général, un ensemble peut ne pas être compact parce qu'il est trop grand, ou bien parce qu'il possède des points d'accumulation qui n'appartiennent pas à l'ensemble.
L'intervalle ouvert \((0,1)\)
L'intervalle
\[ (0,1) \]
n'est pas compact.
La raison intuitive est que l'ensemble s'approche des extrémités \(0\) et \(1\) sans les contenir. En particulier, \(0\) et \(1\) sont des points d'accumulation de l'ensemble, mais ils n'appartiennent pas à \((0,1)\).
Voyons comment ce défaut se manifeste dans la définition à travers les recouvrements ouverts.
Considérons la famille d'ouverts
\[ U_n=\left(\frac1n,1-\frac1n\right), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 3. \]
La famille \(\{U_n\}_{n\geq 3}\) est un recouvrement ouvert de \((0,1)\). En effet, si \(x\in(0,1)\), alors
\[ x>0 \qquad \text{et} \qquad 1-x>0. \]
Nous pouvons donc choisir \(n\) suffisamment grand pour que
\[ \frac1n<x \qquad \text{et} \qquad \frac1n<1-x. \]
De ces inégalités, il résulte que
\[ \frac1n<x<1-\frac1n, \]
c'est-à-dire
\[ x\in U_n. \]
Dès lors
\[ (0,1)\subseteq \bigcup_{n=3}^{+\infty} \left(\frac1n,1-\frac1n\right). \]
Toutefois, ce recouvrement n'admet aucun sous-recouvrement fini.
En effet, en choisissant un nombre fini d'ouverts de la famille, il existe un indice maximal \(N\) parmi ceux qui ont été choisis. Comme les intervalles \(U_n\) croissent à mesure que \(n\) augmente, la réunion finie des ouverts choisis est contenue dans
\[ \left(\frac{1}{N},1-\frac{1}{N}\right). \]
Or le point
\[ \frac{1}{2N} \]
appartient à \((0,1)\) et n'appartient pas à \(\left(\displaystyle \frac{1}{N},1-\displaystyle \frac{1}{N}\right)\). Par conséquent, la réunion finie des ouverts choisis ne recouvre pas \((0,1)\) tout entier.
Nous avons donc trouvé un recouvrement ouvert de \((0,1)\) qui n'admet aucun sous-recouvrement fini. Par définition, \((0,1)\) n'est pas compact.
La demi-droite \([0,+\infty)\)
La demi-droite
\[ [0,+\infty) \]
n'est pas compacte non plus.
Ici, le problème n'est pas l'absence d'une extrémité gauche, puisque \(0\) appartient à l'ensemble. Le problème est le défaut de bornitude : les points de l'ensemble peuvent s'éloigner indéfiniment vers \(+\infty\).
Considérons la famille d'ouverts
\[ U_n=(-1,n), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1. \]
C'est un recouvrement ouvert de \([0,+\infty)\). En effet, si \(x\in[0,+\infty)\), il suffit de choisir un entier \(n>x\), et alors
\[ x\in (-1,n)=U_n. \]
Dès lors
\[ [0,+\infty)\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty} (-1,n). \]
Il n'existe toutefois aucun sous-recouvrement fini. Si nous ne choisissons qu'un nombre fini de ces ouverts, il existe un indice maximal \(N\), et la réunion finie est contenue dans
\[ (-1,N). \]
Or le point \(N+1\) appartient à \([0,+\infty)\) et n'appartient pas à \((-1,N)\).
Ainsi, la famille \(\{(-1,n)\}_{n\geq 1}\) est un recouvrement ouvert de \([0,+\infty)\) dépourvu de sous-recouvrements finis. C'est pourquoi \([0,+\infty)\) n'est pas compact.
L'ensemble \(\left\{\displaystyle \frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}\)
Considérons maintenant l'ensemble
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Cet ensemble n'est pas compact.
En effet, ses points s'accumulent en \(0\), mais \(0\notin A\). L'ensemble possède donc un point d'accumulation manquant.
Nous pouvons aussi voir le problème à travers les suites : la suite
\[ x_n=\frac1n \]
est entièrement contenue dans \(A\), mais elle converge vers \(0\), qui n'appartient pas à \(A\).
Cela montre pourquoi, pour obtenir un ensemble compact, il ne suffit pas de considérer les points \(\displaystyle \frac1n\) : il faut aussi adjoindre leur limite \(0\).
En effet, l'ensemble
\[ \left\{0\right\}\cup \left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\} \]
est compact, comme nous l'avons vu dans la section précédente.
Compacité et suites
La compacité est étroitement liée au comportement des suites. Dans \(\mathbb R\), un ensemble compact peut également se reconnaître à travers une propriété séquentielle : toute suite de ses points admet une sous-suite convergente dont la limite appartient encore à l'ensemble.
Cette propriété exprime, sous forme séquentielle, l'idée qu'à l'intérieur d'un compact, il n'est possible ni de fuir vers l'infini ni de converger vers un point d'accumulation manquant.
Caractérisation séquentielle de la compacité
Un ensemble \(K\subseteq\mathbb R\) est compact si et seulement si toute suite \((x_n)\) de points de \(K\) admet une sous-suite \((x_{n_k})\) convergeant vers un point \(x\in K\).
En symboles :
\[ K \text{ est compact} \quad \Longleftrightarrow \quad \forall (x_n)\subseteq K,\ \exists (x_{n_k}) \text{ telle que } x_{n_k}\to x\in K. \]
Ce résultat permet d'interpréter la compacité de manière très concrète : quelle que soit la suite choisie à l'intérieur de \(K\), il est toujours possible d'extraire une sous-suite qui converge sans sortir de l'ensemble.
Suites qui fuient vers l'infini
Considérons la demi-droite
\[ [0,+\infty). \]
La suite
\[ x_n=n \]
est entièrement contenue dans \([0,+\infty)\), mais elle n'admet aucune sous-suite convergente dans \(\mathbb R\), car chacune de ses sous-suites tend vers \(+\infty\).
Cela montre, du point de vue séquentiel, pourquoi \([0,+\infty)\) n'est pas compact.
Suites qui convergent vers un point manquant
Considérons l'intervalle ouvert
\[ (0,1). \]
La suite
\[ x_n=\frac1n \]
est contenue dans \((0,1)\) pour tout \(n\geq 2\), mais elle converge vers \(0\), qui n'appartient pas à \((0,1)\).
Toute sous-suite de \(\left(\displaystyle \frac1n\right)\) converge de nouveau vers \(0\). Il n'existe donc aucune sous-suite convergeant vers un point de \((0,1)\).
Cela montre que \((0,1)\) n'est pas compact, car il possède un point d'accumulation manquant.
Suites dans un ensemble compact
Considérons en revanche l'ensemble
\[ K=\left\{0\right\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Toute suite de points de \(K\) admet une sous-suite convergeant vers un point de \(K\).
En effet, étant donnée une suite \((x_n)\subseteq K\), deux cas peuvent se présenter.
Si l'un au moins des points de \(K\) figure une infinité de fois dans la suite, alors on peut extraire une sous-suite constante. Toute sous-suite constante converge vers sa valeur constante, qui appartient à \(K\).
Si, en revanche, aucun point de \(K\) ne figure une infinité de fois, alors la suite doit prendre une infinité de valeurs distinctes de l'ensemble. Comme les seuls points distincts de \(K\), outre \(0\), sont de la forme \(\displaystyle \frac1n\), nous pouvons extraire une sous-suite du type
\[ \frac{1}{n_k}, \qquad n_k\to+\infty. \]
Par conséquent
\[ \frac{1}{n_k}\to 0. \]
Puisque \(0\in K\), dans ce cas également la limite de la sous-suite appartient à \(K\).
Cet exemple met en évidence le rôle essentiel du point \(0\) : adjoindre la limite de la suite \(\displaystyle \frac1n\) transforme un ensemble non compact en un ensemble compact.
Compacité et fonctions continues
L'une des principales raisons pour lesquelles les ensembles compacts sont si importants tient à leur comportement vis-à-vis des fonctions continues.
Sur un ensemble compact, une fonction continue ne peut osciller de façon incontrôlée, ne peut croître indéfiniment et ne peut s'approcher d'une borne sans l'atteindre.
Image continue d'un compact
Si \(K\subseteq\mathbb R\) est compact et si \(f:K\to\mathbb R\) est continue, alors l'image
\[ f(K)=\{f(x):x\in K\} \]
est un ensemble compact de \(\mathbb R\).
Cela signifie que la compacité est conservée par les fonctions continues.
L'idée est la suivante : si une fonction est continue, alors la maîtrise locale des valeurs de \(f\) peut être ramenée à la maîtrise locale des points du domaine. Comme le domaine compact permet de réduire toute maîtrise par ouverts à un nombre fini d'informations, l'image conserve elle aussi une propriété de compacité.
Existence d'un maximum et d'un minimum
Une conséquence fondamentale est le théorème de Weierstrass.
Si \(K\subseteq\mathbb R\) est compact et si \(f:K\to\mathbb R\) est continue, alors \(f\) atteint son maximum et son minimum absolus sur \(K\).
Autrement dit, il existe \(x_m,x_M\in K\) tels que
\[ f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M) \qquad \text{pour tout } x\in K. \]
Dans ce cas, \(f(x_m)\) est le minimum absolu de \(f\) sur \(K\), tandis que \(f(x_M)\) est le maximum absolu de \(f\) sur \(K\).
La compacité du domaine est essentielle. Sans compacité, une fonction continue peut ne pas avoir de maximum, de minimum, ou des deux.
Pourquoi la compacité est-elle nécessaire ?
Considérons la fonction
\[ f(x)=x \]
définie sur l'intervalle ouvert \((0,1)\).
La fonction est continue, mais elle n'atteint ni minimum ni maximum sur \((0,1)\). En effet, les valeurs de \(f\) s'approchent arbitrairement de \(0\) et de \(1\), mais ni \(0\) ni \(1\) ne sont des valeurs prises par la fonction sur le domaine.
Plus précisément,
\[ f((0,1))=(0,1). \]
L'image ne contient ni sa propre borne inférieure \(0\) ni sa propre borne supérieure \(1\).
Considérons en revanche la même fonction sur l'intervalle compact \([0,1]\). Dans ce cas
\[ f([0,1])=[0,1], \]
et la fonction atteint son minimum en \(0\) et son maximum en \(1\).
Cet exemple montre que la compacité empêche les bornes de demeurer de simples valeurs limites non atteintes.
Pourquoi fermé et borné n'est pas la définition de compact
Dans \(\mathbb R\), les ensembles compacts sont profondément liés aux ensembles fermés et bornés. Il importe cependant de ne pas confondre une caractérisation avec la définition.
La définition d'ensemble compact est celle qui repose sur les recouvrements ouverts :
\[ K \text{ est compact} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{tout recouvrement ouvert de } K \text{ admet un sous-recouvrement fini.} \]
Le fait que, sur la droite réelle, les ensembles compacts coïncident avec les ensembles fermés et bornés est un résultat fondamental, et non une définition.
Ce résultat sera étudié dans le théorème de Heine-Borel, qui fournit l'une des caractérisations les plus importantes de la compacité dans \(\mathbb R\).
Pourquoi cette distinction est-elle importante ?
La distinction est importante parce que la compacité naît comme propriété des recouvrements ouverts, et concerne donc la manière dont un ensemble peut être recouvert au moyen d'ouverts.
La bornitude, en revanche, dépend de la distance et de l'ordre de la droite réelle. Dans d'autres contextes mathématiques, le lien entre compacité et le fait d'être fermé et borné peut changer.
C'est pourquoi il est plus correct de dire que dans \(\mathbb R\) la compacité peut se caractériser par le fait que l'ensemble est fermé et borné, mais que sa définition générale reste celle qui s'exprime en termes de recouvrements ouverts.
En somme, la compacité se définit au moyen des recouvrements ouverts, tandis que le lien avec le fait d'être fermé et borné est une caractérisation propre à la droite réelle :
\[ \text{compacité au moyen des recouvrements ouverts} \qquad \text{définition générale}; \]
\[ \text{compact dans } \mathbb R \quad \Longleftrightarrow \quad \text{fermé et borné} \qquad \text{caractérisation dans } \mathbb R. \]
Cette distinction est essentielle : la définition introduit le concept, tandis que le théorème de Heine-Borel fournit un critère pratique pour le reconnaître sur la droite réelle.
Récapitulatif final
Un ensemble compact est un ensemble qui, vis-à-vis des recouvrements ouverts, se comporte comme un ensemble fini : tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini.
Formellement, un ensemble \(K\subseteq\mathbb R\) est compact si, pour toute famille d'ouverts \(\{U_i\}_{i\in I}\) telle que
\[ K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, \]
il existe \(i_1,\ldots,i_m\in I\) tels que
\[ K\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Les ensembles compacts excluent deux phénomènes caractéristiques des ensembles non compacts : la fuite vers l'infini et la convergence vers des points d'accumulation manquants.
Du point de vue des suites, un ensemble compact de \(\mathbb R\) est un ensemble dans lequel toute suite admet une sous-suite convergeant vers un point de l'ensemble.
Du point de vue des fonctions continues, la compacité garantit des propriétés fondamentales : l'image continue d'un compact est compacte, et toute fonction continue réelle définie sur un compact atteint son maximum et son minimum absolus.
Le lien précis entre compacité et le fait d'être fermé et borné sur la droite réelle sera exprimé par le théorème de Heine-Borel.