Les exercices proposés dans cette section portent sur les ensembles ouverts et les ensembles fermés de la droite réelle. Nous y mettrons en œuvre les définitions fondamentales ainsi que les principales propriétés étudiées dans la théorie.
Les exercices sont classés par difficulté croissante. Dans les premiers, nous appliquerons directement les définitions ; par la suite, nous analyserons des ensembles plus élaborés, des suites de points, des familles infinies d'ensembles ainsi que des ensembles définis au moyen d'équations ou d'inéquations.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=(2,5) \]
est ouvert dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A=(2,5)\) est ouvert dans \(\mathbb R\).
Solution
Pour démontrer que \(A\) est ouvert, nous devons vérifier que tout point de \(A\) possède un voisinage entièrement contenu dans \(A\).
Soit \(x_0\in(2,5)\). On a alors
\[ 2<x_0<5. \]
Les quantités
\[ x_0-2 \qquad\text{et}\qquad 5-x_0 \]
sont toutes deux positives. Nous pouvons donc choisir
\[ r=\frac12\min\{x_0-2,\;5-x_0\}. \]
Avec ce choix, on a \(r>0\) et le voisinage \((x_0-r,x_0+r)\) reste entièrement compris entre \(2\) et \(5\). En effet, le rayon choisi est inférieur à la distance de \(x_0\) à chacune des deux bornes.
Par conséquent,
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(2,5). \]
Comme \(x_0\) était arbitraire, tout point de \(A\) possède un voisinage contenu dans \(A\). \(A\) est donc ouvert.
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=[2,5] \]
est ouvert dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A=[2,5]\) n'est pas ouvert dans \(\mathbb R\).
Solution
Pour être ouvert, chaque point de \(A\) devrait posséder un voisinage entièrement contenu dans \(A\). Considérons le point \(2\), qui appartient à \(A\).
Si \(r>0\), le voisinage de centre \(2\) et de rayon \(r\) est
\[ (2-r,2+r). \]
Un tel voisinage contient des points inférieurs à \(2\). Par exemple,
\[ 2-\frac r2\in(2-r,2+r), \]
mais
\[ 2-\frac r2\notin[2,5]. \]
Ainsi, aucun voisinage de \(2\) n'est contenu dans \([2,5]\). Par conséquent, \(A\) n'est pas ouvert.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=[-1,3] \]
est fermé dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A=[-1,3]\) est fermé dans \(\mathbb R\).
Solution
Un ensemble \(A\subseteq\mathbb R\) est fermé si et seulement si son complémentaire \(\mathbb R\setminus A\) est ouvert.
Calculons le complémentaire :
\[ \mathbb R\setminus[-1,3]=(-\infty,-1)\cup(3,+\infty). \]
Les demi-droites \((-\infty,-1)\) et \((3,+\infty)\) sont ouvertes dans \(\mathbb R\). De plus, une réunion d'ensembles ouverts est ouverte. Donc
\[ \mathbb R\setminus[-1,3] \]
est ouvert.
Le complémentaire de \(A\) étant ouvert, \(A\) est fermé.
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=(0,1] \]
est ouvert, fermé, les deux à la fois ou ni l'un ni l'autre.
Résultat
L'ensemble \(A=(0,1]\) n'est ni ouvert ni fermé.
Solution
L'ensemble \(A\) n'est pas ouvert. En effet, \(1\in A\), mais aucun voisinage de \(1\) n'est contenu dans \(A\).
Pour tout \(r>0\), le voisinage
\[ (1-r,1+r) \]
contient des points supérieurs à \(1\), qui n'appartiennent pas à \((0,1]\). \(A\) n'est donc pas ouvert.
Étudions à présent si \(A\) est fermé. Le complémentaire est
\[ \mathbb R\setminus(0,1]=(-\infty,0]\cup(1,+\infty). \]
Ce complémentaire n'est pas ouvert, car le point \(0\) lui appartient, alors que tout voisinage de \(0\) contient des points positifs appartenant à \((0,1]\).
Le complémentaire de \(A\) n'est donc pas ouvert et, par conséquent, \(A\) n'est pas fermé.
Ainsi, \(A=(0,1]\) n'est ni ouvert ni fermé.
Exercice 5 — niveau ★☆☆☆☆
Démontrer que l'ensemble
\[ A=(-\infty,4) \]
est ouvert dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A=(-\infty,4)\) est ouvert dans \(\mathbb R\).
Solution
Soit \(x_0\in(-\infty,4)\). On a alors
\[ x_0<4. \]
La quantité \(4-x_0\) est positive. Choisissons
\[ r=\frac{4-x_0}{2}. \]
On a alors \(r>0\). De plus,
\[ x_0+r=x_0+\frac{4-x_0}{2}=\frac{x_0+4}{2}<4. \]
Ainsi, tous les points du voisinage \((x_0-r,x_0+r)\) sont inférieurs à \(4\). Par conséquent,
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(-\infty,4). \]
Comme \(x_0\) était arbitraire, tout point de \(A\) possède un voisinage contenu dans \(A\). \(A\) est donc ouvert.
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=[3,+\infty) \]
est ouvert, fermé, les deux à la fois ou ni l'un ni l'autre.
Résultat
L'ensemble \(A=[3,+\infty)\) est fermé mais non ouvert.
Solution
Calculons le complémentaire de \(A\) :
\[ \mathbb R\setminus[3,+\infty)=(-\infty,3). \]
La demi-droite \((-\infty,3)\) est ouverte. Par conséquent, le complémentaire de \(A\) est ouvert, et donc \(A\) est fermé.
Vérifions maintenant que \(A\) n'est pas ouvert. Le point \(3\) appartient à \(A\), mais tout voisinage de \(3\) contient des points inférieurs à \(3\).
En effet, pour tout \(r>0\),
\[ 3-\frac r2\in(3-r,3+r), \]
tandis que
\[ 3-\frac r2\notin[3,+\infty). \]
Aucun voisinage de \(3\) n'est donc contenu dans \(A\). Par conséquent, \(A\) n'est pas ouvert.
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\{1,2,5\} \]
est ouvert, fermé, les deux à la fois ou ni l'un ni l'autre.
Résultat
L'ensemble \(A=\{1,2,5\}\) est fermé mais non ouvert.
Solution
Calculons le complémentaire :
\[ \mathbb R\setminus A = (-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,5)\cup(5,+\infty). \]
Tous les intervalles qui figurent dans cette réunion sont ouverts. Comme une réunion d'ensembles ouverts est ouverte, \(\mathbb R\setminus A\) est lui aussi ouvert.
Par conséquent, \(A\) est fermé.
L'ensemble n'est pas ouvert. Considérons le point \(1\in A\). Tout voisinage de \(1\) contient une infinité de nombres réels distincts de \(1\), \(2\) et \(5\).
Par exemple, si \(0<r<1\),
\[ 1+\frac r2\in(1-r,1+r), \]
mais
\[ 1+\frac r2\notin A. \]
Ainsi, aucun voisinage de \(1\) n'est contenu dans \(A\). \(A\) n'est donc pas ouvert.
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si les ensembles
\[ \varnothing \qquad\text{et}\qquad \mathbb R \]
sont ouverts, fermés, les deux à la fois ou ni l'un ni l'autre.
Résultat
Les ensembles \(\varnothing\) et \(\mathbb R\) sont à la fois ouverts et fermés.
Solution
L'ensemble \(\mathbb R\) est ouvert car, étant donné un point quelconque \(x_0\in\mathbb R\), tout voisinage
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
avec \(r>0\) est contenu dans \(\mathbb R\).
L'ensemble vide \(\varnothing\) est lui aussi ouvert. En effet, la définition d'ensemble ouvert impose une propriété portant sur tous les points de l'ensemble ; comme \(\varnothing\) ne contient aucun point, cette condition est satisfaite de manière triviale.
Par ailleurs,
\[ \mathbb R\setminus\mathbb R=\varnothing. \]
Puisque \(\varnothing\) est ouvert, \(\mathbb R\) est fermé.
De même,
\[ \mathbb R\setminus\varnothing=\mathbb R, \]
et, comme \(\mathbb R\) est ouvert, \(\varnothing\) est fermé.
Par conséquent, \(\varnothing\) et \(\mathbb R\) sont à la fois ouverts et fermés.
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=(-2,1)\cup(3,6) \]
est ouvert dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A=(-2,1)\cup(3,6)\) est ouvert.
Solution
Les intervalles
\[ (-2,1) \qquad\text{et}\qquad (3,6) \]
sont tous deux ouverts.
Comme une réunion d'ensembles ouverts est encore un ensemble ouvert, il s'ensuit immédiatement que
\[ (-2,1)\cup(3,6) \]
est ouvert.
Nous pouvons également le vérifier directement. Si \(x_0\in A\), alors \(x_0\) appartient à l'un des deux intervalles.
Cet intervalle étant ouvert, il existe un voisinage de \(x_0\) entièrement contenu dans celui-ci, et donc contenu dans \(A\).
Ainsi, tout point de \(A\) possède un voisinage contenu dans \(A\), de sorte que \(A\) est ouvert.
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=(-1,4)\cap(2,7) \]
est ouvert dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble est ouvert et coïncide avec l'intervalle
\[ (2,4). \]
Solution
Un nombre réel appartient à l'intersection si et seulement s'il appartient simultanément aux deux intervalles.
Il doit donc satisfaire les conditions
\[ -1<x<4 \]
et
\[ 2<x<7. \]
En combinant les deux conditions, nous obtenons
\[ 2<x<4. \]
Par conséquent,
\[ (-1,4)\cap(2,7)=(2,4). \]
L'intervalle \((2,4)\) est ouvert. L'ensemble donné est donc ouvert.
Exercice 11 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\mathbb R\setminus(1,4) \]
est ouvert, fermé, les deux à la fois ou ni l'un ni l'autre.
Résultat
L'ensemble \(A=\mathbb R\setminus(1,4)\) est fermé mais non ouvert.
Solution
Écrivons l'ensemble de manière explicite :
\[ A=\mathbb R\setminus(1,4)=(-\infty,1]\cup[4,+\infty). \]
Comme \(A\) est le complémentaire de l'ensemble ouvert \((1,4)\), il s'ensuit que \(A\) est fermé.
L'ensemble n'est pas ouvert. En effet, \(1\in A\), mais tout voisinage de \(1\) contient des points supérieurs à \(1\) et inférieurs à \(4\), c'est-à-dire des points qui n'appartiennent pas à \(A\).
Aucun voisinage de \(1\) n'est donc contenu dans \(A\). Par conséquent, \(A\) n'est pas ouvert.
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=(0,2)\setminus\{1\} \]
est ouvert, fermé, les deux à la fois ou ni l'un ni l'autre.
Résultat
L'ensemble \(A=(0,2)\setminus\{1\}\) est ouvert mais non fermé.
Solution
Écrivons l'ensemble comme réunion d'intervalles :
\[ A=(0,1)\cup(1,2). \]
Les intervalles \((0,1)\) et \((1,2)\) sont ouverts. Comme une réunion d'ensembles ouverts est ouverte, \(A\) est ouvert.
Montrons maintenant que \(A\) n'est pas fermé. Le point \(1\) est un point d'accumulation de \(A\), car tout voisinage épointé de \(1\) contient des points de \(A\).
Pourtant,
\[ 1\notin A. \]
Ainsi, \(A\) ne contient pas tous ses points d'accumulation. Par conséquent, \(A\) n'est pas fermé.
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ \mathbb Q \]
est ouvert ou fermé dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(\mathbb Q\) n'est ni ouvert ni fermé dans \(\mathbb R\).
Solution
L'ensemble \(\mathbb Q\) n'est pas ouvert. En effet, tout voisinage d'un nombre rationnel contient des nombres irrationnels.
Ainsi, si \(q\in\mathbb Q\), il n'existe aucun \(r>0\) tel que
\[ (q-r,q+r)\subseteq\mathbb Q. \]
Par conséquent, \(\mathbb Q\) n'est pas ouvert.
L'ensemble \(\mathbb Q\) n'est pas fermé non plus. En effet, tout nombre réel est point d'accumulation de \(\mathbb Q\), car tout voisinage d'un nombre réel quelconque contient des nombres rationnels.
En particulier, \(\sqrt2\) est un point d'accumulation de \(\mathbb Q\), mais
\[ \sqrt2\notin\mathbb Q. \]
Ainsi, \(\mathbb Q\) ne contient pas tous ses points d'accumulation. \(\mathbb Q\) n'est donc pas fermé.
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ \mathbb R\setminus\mathbb Q \]
est ouvert ou fermé dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) n'est ni ouvert ni fermé dans \(\mathbb R\).
Solution
L'ensemble des irrationnels n'est pas ouvert. En effet, tout voisinage d'un nombre irrationnel contient des nombres rationnels.
Ainsi, aucun voisinage d'un point irrationnel n'est entièrement contenu dans \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\). Par conséquent, \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) n'est pas ouvert.
L'ensemble des irrationnels n'est pas fermé. En effet, tout nombre rationnel est point d'accumulation de \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\), car tout voisinage d'un nombre rationnel contient des nombres irrationnels.
En particulier, \(0\) est un point d'accumulation de \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\), mais
\[ 0\notin\mathbb R\setminus\mathbb Q. \]
Ainsi, l'ensemble ne contient pas tous ses points d'accumulation. Il n'est donc pas fermé.
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
est ouvert ou fermé dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A\) n'est ni ouvert ni fermé.
Solution
L'ensemble est
\[ A=\left\{1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
Il n'est pas ouvert. En effet, aucun voisinage d'un point de \(A\) n'est contenu dans \(A\), car tout voisinage contient une infinité de nombres réels qui n'appartiennent pas à \(A\).
Étudions à présent si \(A\) est fermé. Observons que
\[ \frac1n\to0. \]
\(0\) est donc un point d'accumulation de \(A\). En effet, pour tout \(r>0\), il existe \(n\in\mathbb N\) tel que
\[ 0<\frac1n<r, \]
et par conséquent
\[ \frac1n\in(-r,r)\setminus\{0\}. \]
Cependant,
\[ 0\notin A. \]
Ainsi, \(A\) ne contient pas tous ses points d'accumulation. Par conséquent, \(A\) n'est pas fermé.
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
est ouvert ou fermé dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A\) est fermé mais non ouvert.
Solution
L'ensemble peut s'écrire sous la forme
\[ A=\left\{0,1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
Il n'est pas ouvert. En effet, aucun voisinage de \(0\) n'est contenu dans \(A\), car tout voisinage de \(0\) contient une infinité de nombres réels qui n'appartiennent pas à \(A\).
Étudions à présent si \(A\) est fermé. La suite
\[ \frac1n \]
converge vers \(0\). \(0\) est donc un point d'accumulation de \(A\).
De plus, \(0\in A\).
Les points de la forme \(\displaystyle \frac1n\) sont en revanche des points isolés de l'ensemble. En effet, \(n\) étant fixé, le point \(\displaystyle \frac1n\) peut être séparé des autres éléments de \(A\) au moyen d'un voisinage suffisamment petit.
Les points de la forme \(\displaystyle \frac1n\) sont isolés, et tout nombre réel différent de \(0\) et des éléments de la suite possède un voisinage ne contenant aucun point de \(A\). Ainsi, le seul point d'accumulation de \(A\) est \(0\), et ce point appartient à \(A\). Par conséquent, \(A\) contient tous ses points d'accumulation.
\(A\) est donc fermé.
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Soit
\[ A_n=\left(-\frac1n,\frac1n\right), \qquad n\in\mathbb N,\ n\ge1. \]
Étudier l'ensemble
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}A_n \]
et déterminer s'il est ouvert.
Résultat
On a
\[ A=\{0\}. \]
L'ensemble \(A\) n'est pas ouvert.
Solution
Chaque ensemble
\[ A_n=\left(-\frac1n,\frac1n\right) \]
est ouvert dans \(\mathbb R\). Nous devons toutefois étudier leur intersection :
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac1n,\frac1n\right). \]
Observons tout d'abord que \(0\in A_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\). Donc
\[ 0\in A. \]
Montrons à présent qu'aucun autre point n'appartient à \(A\). Soit \(x\neq0\). Alors \(|x|>0\). D'après la propriété d'Archimède, il existe \(n\in\mathbb N\) tel que
\[ \frac1n<|x|. \]
Il en résulte que
\[ x\notin\left(-\frac1n,\frac1n\right). \]
Donc \(x\notin A\).
Nous avons démontré que le seul point appartenant à tous les intervalles \(A_n\) est \(0\). Par conséquent,
\[ A=\{0\}. \]
L'ensemble \(\{0\}\) n'est pas ouvert, car aucun voisinage de \(0\) n'est contenu dans \(\{0\}\). En effet, tout voisinage de \(0\) contient des points réels différents de \(0\).
\(A\) n'est donc pas ouvert.
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Soit
\[ A_n=\left[\frac1n,1\right], \qquad n\in\mathbb N,\ n\ge1. \]
Étudier l'ensemble
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}A_n \]
et déterminer s'il est fermé.
Résultat
On a
\[ A=(0,1]. \]
L'ensemble \(A\) n'est pas fermé.
Solution
Chaque ensemble
\[ A_n=\left[\frac1n,1\right] \]
est fermé dans \(\mathbb R\). Étudions cependant leur réunion :
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}\left[\frac1n,1\right]. \]
Démontrons que
\[ A=(0,1]. \]
Si \(x\in A\), alors il existe \(n\in\mathbb N\) tel que
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Donc
\[ \frac1n\le x\le1. \]
En particulier, \(x>0\). Ainsi,
\[ x\in(0,1]. \]
Nous avons donc prouvé que \(A\subseteq(0,1]\).
Réciproquement, soit \(x\in(0,1]\). Comme \(x>0\), d'après la propriété d'Archimède il existe \(n\in\mathbb N\) tel que
\[ \frac1n\le x. \]
Et, puisque l'on a aussi \(x\le1\), nous obtenons
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Donc \(x\in A\). Par conséquent,
\[ (0,1]\subseteq A. \]
Des deux inclusions, il résulte que
\[ A=(0,1]. \]
L'ensemble \((0,1]\) n'est pas fermé, car \(0\) est un point d'accumulation de \(A\), mais
\[ 0\notin A. \]
Ainsi, \(A\) ne contient pas tous ses points d'accumulation. Par conséquent, \(A\) n'est pas fermé.
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\{x\in\mathbb R:x^2<4\} \]
est ouvert, fermé, les deux à la fois ou ni l'un ni l'autre.
Résultat
L'ensemble \(A\) est ouvert mais non fermé.
Solution
Résolvons l'inéquation qui définit \(A\) :
\[ x^2<4. \]
Comme \(4=2^2\), l'inéquation équivaut à
\[ -2<x<2. \]
Donc
\[ A=(-2,2). \]
L'intervalle \((-2,2)\) est ouvert dans \(\mathbb R\). Par conséquent, \(A\) est ouvert.
L'ensemble n'est pas fermé. En effet, les points \(-2\) et \(2\) sont des points d'accumulation de \(A\), mais ils n'appartiennent pas à \(A\).
Plus précisément,
\[ -2\notin A \qquad\text{et}\qquad 2\notin A. \]
Ainsi, \(A\) ne contient pas tous ses points d'accumulation. Par conséquent, \(A\) n'est pas fermé.
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\{x\in\mathbb R:0<|x-2|\le3\} \]
est ouvert, fermé, les deux à la fois ou ni l'un ni l'autre.
Résultat
L'ensemble \(A\) n'est ni ouvert ni fermé.
Solution
La condition
\[ 0<|x-2|\le3 \]
signifie que la distance de \(x\) à \(2\) est positive et n'excède pas \(3\).
Étudions d'abord la condition
\[ |x-2|\le3. \]
Elle équivaut à
\[ -3\le x-2\le3. \]
En ajoutant \(2\) aux trois membres, nous obtenons
\[ -1\le x\le5. \]
La condition
\[ 0<|x-2| \]
équivaut, quant à elle, à \(x\neq2\). Par conséquent,
\[ A=[-1,5]\setminus\{2\}. \]
Nous pouvons donc écrire
\[ A=[-1,2)\cup(2,5]. \]
L'ensemble n'est pas ouvert, car \(-1\in A\), mais aucun voisinage de \(-1\) n'est contenu dans \(A\). En effet, tout voisinage de \(-1\) contient des points inférieurs à \(-1\), qui n'appartiennent pas à \(A\).
L'ensemble n'est pas fermé, car \(2\) est un point d'accumulation de \(A\), mais
\[ 2\notin A. \]
En effet, tout voisinage épointé de \(2\) contient des points de \(A\), aussi bien à gauche qu'à droite de \(2\).
Ainsi, \(A\) ne contient pas tous ses points d'accumulation. Par conséquent, \(A\) n'est ni ouvert ni fermé.