Le théorème des intervalles emboîtés — connu aussi sous le nom de théorème de Cantor sur les intervalles emboîtés — est l'un des résultats fondamentaux de l'analyse réelle : il affirme que toute suite d'intervalles fermés et bornés, contenus les uns dans les autres, possède toujours au moins un point commun.
Ce résultat est une conséquence de la complétude des nombres réels et constitue un outil essentiel pour démontrer de nombreux théorèmes fondamentaux, parmi lesquels le théorème de Bolzano-Weierstrass.
Dans les sections qui suivent, nous énoncerons le théorème, en donnerons la démonstration, en discuterons l'interprétation géométrique, montrerons pourquoi les hypothèses sont indispensables et analyserons son lien avec la complétude de \(\mathbb{R}\).
Sommaire
- Théorème des intervalles emboîtés
- Interprétation géométrique
- Les hypothèses sont nécessaires
- Exemples d'application
- Relation avec la complétude de \(\mathbb{R}\)
Théorème des intervalles emboîtés
Considérons une suite d'intervalles fermés et bornés
\[ I_n=[a_n,b_n],\qquad a_n\leq b_n,\qquad n\in\mathbb{N}, \]
tels que chaque intervalle soit contenu dans le précédent :
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Une telle suite porte le nom de suite d'intervalles emboîtés. La condition d'inclusion \(I_{n+1}\subseteq I_n\) équivaut à
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \qquad \forall n\in\mathbb{N}, \]
autrement dit : les bornes inférieures forment une suite croissante et les bornes supérieures une suite décroissante.
Théorème (de Cantor, des intervalles emboîtés). Soit \((I_n)\) une suite d'intervalles fermés et bornés, non vides, telle que
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Alors l'intersection est non vide :
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n\neq\varnothing. \]
Plus précisément, en posant
\[ x_0=\sup_{n}\,a_n \qquad\text{et}\qquad y_0=\inf_{n}\,b_n, \]
on a
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0]. \]
Si, de plus, l'amplitude des intervalles tend vers zéro,
\[ b_n-a_n\longrightarrow 0, \]
alors l'intersection se réduit à un seul point :
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\}. \]
Démonstration. Procédons par étapes.
1. Comparaison entre les bornes. Pour tout couple d'indices \(m,n\in\mathbb{N}\), on a
\[ a_m\leq b_n. \]
En effet, si \(m\leq n\), on a \(a_m\leq a_n\leq b_n\) ; si, au contraire, \(m\gt n\), on a \(a_m\leq b_m\leq b_n\). Dans tous les cas \(a_m\leq b_n\). Il en résulte que chaque \(b_n\) est un majorant de l'ensemble \(\{a_m:m\in\mathbb{N}\}\) et, symétriquement, que chaque \(a_m\) est un minorant de l'ensemble \(\{b_n:n\in\mathbb{N}\}\).
2. Existence de \(x_0\) et \(y_0\). L'ensemble \(\{a_n\}\) est non vide et majoré (par exemple par \(b_1\)). Par la complétude de \(\mathbb{R}\), sa borne supérieure existe :
\[ x_0=\sup_{n}\,a_n. \]
De même, \(\{b_n\}\) est non vide et minoré, de sorte qu'il existe
\[ y_0=\inf_{n}\,b_n. \]
3. Inégalité \(x_0\leq y_0\). Puisque chaque \(b_n\) est un majorant de \(\{a_m\}\) et que \(x_0\) est le plus petit des majorants, on a \(x_0\leq b_n\) pour tout \(n\). Ainsi \(x_0\) est un minorant de \(\{b_n\}\) et, comme \(y_0\) est le plus grand des minorants,
\[ x_0\leq y_0. \]
4. Identification de l'intersection. Montrons que \(\displaystyle\bigcap_{n} I_n=[x_0,y_0]\) par double inclusion.
Si \(x\in\bigcap_{n} I_n\), alors \(a_n\leq x\leq b_n\) pour tout \(n\) ; donc \(x\) est un majorant de \(\{a_n\}\) et un minorant de \(\{b_n\}\), d'où \(x\geq x_0\) et \(x\leq y_0\), c'est-à-dire \(x\in[x_0,y_0]\).
Réciproquement, si \(x\in[x_0,y_0]\), alors, pour tout \(n\),
\[ a_n\leq x_0\leq x\leq y_0\leq b_n, \]
et par conséquent \(x\in I_n\) pour tout \(n\), c'est-à-dire \(x\in\bigcap_{n} I_n\). Les deux inclusions prouvent l'égalité
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0], \]
qui est non vide puisqu'elle contient \(x_0\).
5. Cas de l'amplitude infinitésimale. Supposons à présent que \(b_n-a_n\longrightarrow 0\). Des relations \(x_0\geq a_n\) et \(y_0\leq b_n\) il résulte, pour tout \(n\),
\[ 0\leq y_0-x_0\leq b_n-a_n. \]
En passant à la limite lorsque \(n\to+\infty\), le second membre tend vers \(0\) ; par conséquent \(y_0-x_0=0\), c'est-à-dire \(x_0=y_0\). L'intervalle \([x_0,y_0]\) se réduit alors à un seul point :
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0], \qquad \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\} \ \text{si}\ b_n-a_n\to0. \]
Ceci achève la démonstration.
Interprétation géométrique
Le théorème affirme qu'en resserrant progressivement une suite d'intervalles fermés contenus les uns dans les autres, on ne peut pas « perdre » tous les points : il en subsiste toujours au moins un, commun à tous les intervalles de la suite.
Géométriquement, on peut imaginer une suite de segments de plus en plus courts, chacun intérieur au précédent. Si les amplitudes \(b_n-a_n\) ne tendent pas vers zéro, l'intersection reste un intervalle \([x_0,y_0]\) d'amplitude positive ; si, en revanche, les amplitudes deviennent arbitrairement petites, les segments se concentrent autour d'une unique position \(x_0\) de la droite réelle, et l'intersection est ce point unique.
Les hypothèses sont nécessaires
Les hypothèses selon lesquelles les intervalles sont fermés et bornés ne sont pas superflues : si l'une d'elles seulement vient à manquer, la conclusion peut se révéler fausse.
Le caractère borné est essentiel. Considérons les intervalles non bornés
\[ I_n=[\,n,+\infty\,). \]
Ils sont fermés, non vides et emboîtés, mais leur intersection est vide :
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} [\,n,+\infty\,)=\varnothing, \]
car aucun nombre réel n'est supérieur ou égal à tout entier naturel \(n\).
Le caractère fermé est essentiel. Considérons les intervalles ouverts
\[ I_n=\left(0,\frac1n\right). \]
Ils sont bornés, non vides et emboîtés, mais, là encore,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\frac1n\right)=\varnothing, \]
car un éventuel point commun \(x\) devrait vérifier \(0\lt x\lt \displaystyle \frac1n\) pour tout \(n\), ce qui est impossible puisque \(\displaystyle \frac1n\to 0\).
Exemples d'application
Exemple 1. Considérons les intervalles
\[ I_n=\left[0,\frac1n\right]. \]
Ils sont fermés, bornés, non vides et emboîtés, et l'amplitude \(\displaystyle \frac1n\to 0\). Par conséquent,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[0,\frac1n\right]=\{0\}. \]
Exemple 2. Considérons les intervalles
\[ I_n=\left[-\frac1n,\frac1n\right]. \]
Ici aussi l'amplitude \(\displaystyle \frac2n\to 0\), et l'intersection vaut
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac1n,\frac1n\right]=\{0\}. \]
Exemple 3. Si, en revanche, l'amplitude ne tend pas vers zéro, l'intersection est un intervalle non dégénéré. Par exemple, avec
\[ I_n=\left[-\frac1n,\,1+\frac1n\right] \]
on a \(x_0=\sup_n\!\left(-\displaystyle \frac1n\right)=0\) et \(y_0=\inf_n\!\left(1+\displaystyle \frac1n\right)=1\), d'où
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac1n,\,1+\frac1n\right]=[0,1]. \]
Relation avec la complétude de \(\mathbb{R}\)
Le théorème des intervalles emboîtés est une conséquence directe de la complétude des nombres réels : dans la démonstration, nous avons utilisé de manière essentielle l'existence de la borne supérieure \(x_0=\sup_n a_n\) (et de la borne inférieure \(y_0=\inf_n b_n\)).
Cette propriété ne vaut pas dans le corps des rationnels. Construisons, par exemple, une suite d'intervalles rationnels emboîtés qui « enserre » le nombre irrationnel \(\sqrt{2}\) : soient \(a_n\) et \(b_n\) les troncatures décimales par défaut et par excès de \(\sqrt{2}\),
\[ a_1=1{,}4,\ a_2=1{,}41,\ a_3=1{,}414,\ \ldots \qquad b_n=a_n+10^{-n}. \]
Considérons les ensembles
\[ I_n=[a_n,b_n]\cap\mathbb Q. \]
Ils sont emboîtés et d'amplitude \(10^{-n}\to 0\). Dans \(\mathbb R\), l'intersection des intervalles \([a_n,b_n]\) est \(\{\sqrt2\}\) ; mais dans \(\mathbb Q\), où \(\sqrt2\notin\mathbb Q\), on obtient
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\varnothing. \]
Le théorème traduit donc l'absence de « trous » dans la droite réelle.
Remarque (caractérisation de la complétude). Il faut préciser que la propriété des intervalles emboîtés, à elle seule, n'équivaut pas à la complétude : elle ne le devient que lorsqu'elle est jointe à la propriété d'Archimède de \(\mathbb{R}\). Autrement dit, dans un corps ordonné archimédien, la propriété des intervalles emboîtés équivaut à la propriété de la borne supérieure. C'est précisément la propriété d'Archimède (c'est-à-dire \(\displaystyle \frac1n\to 0\)) qui garantit, dans nos exemples, que l'amplitude des intervalles tend effectivement vers zéro.
Pour cette raison, le théorème des intervalles emboîtés représente un outil fondamental en analyse mathématique et intervient dans la démonstration de nombreux résultats classiques, parmi lesquels le théorème de Bolzano-Weierstrass et le théorème de Heine-Borel.