Dans cette section, nous proposons 20 exercices corrigés sur les points d'accumulation, les points isolés et l'ensemble dérivé. Les exercices sont classés par ordre de difficulté croissante et conçus pour appliquer, pas à pas, les définitions étudiées dans la théorie.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer les points isolés et les points d'accumulation de l'ensemble
\[ A=\{2,5,9\}. \]
Résultat
Tous les points de \(A\), à savoir \(2,5,9\), sont des points isolés. L'ensemble \(A\) ne possède aucun point d'accumulation :
\[ A'=\varnothing. \]
Résolution
L'ensemble \(A\) ne contient que trois points. Pour vérifier que chacun d'eux est isolé, il faut montrer qu'autour de chaque point il existe un voisinage ne contenant aucun autre élément de \(A\).
Considérons par exemple le point \(2\). La distance entre \(2\) et l'élément de \(A\) le plus proche, à savoir \(5\), vaut
\[ |5-2|=3. \]
Nous pouvons alors choisir, par exemple, le voisinage
\[ \left(2-\frac12,2+\frac12\right). \]
Ce voisinage contient \(2\), mais ne contient ni \(5\) ni \(9\). Donc \(2\) est un point isolé.
Le même raisonnement montre que \(5\) et \(9\) sont eux aussi des points isolés. De plus, un ensemble fini de nombres réels ne possède aucun point d'accumulation, car autour de chacun de ses éléments on peut construire un voisinage suffisamment petit qui le sépare des autres points de l'ensemble.
Par conséquent,
\[ A'=\varnothing. \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer les points isolés et les points d'accumulation de l'ensemble
\[ A=(0,1). \]
Résultat
L'ensemble \(A\) n'a aucun point isolé. Ses points d'accumulation sont exactement les points de l'intervalle fermé :
\[ A'=[0,1]. \]
Résolution
Tout point \(x_0\in(0,1)\) est un point d'accumulation de \(A\). En effet, quel que soit \(r>0\), le voisinage
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
contient une infinité de points de l'intervalle \((0,1)\) distincts de \(x_0\).
Le point \(0\) est lui aussi un point d'accumulation. En effet, pour tout \(r>0\), l'intervalle
\[ (-r,r) \]
contient des points positifs inférieurs à \(1\), et contient donc des éléments de \(A\).
De même, \(1\) est un point d'accumulation, car tout voisinage de \(1\) contient des points inférieurs à \(1\) et supérieurs à \(0\).
Si en revanche \(x_0<0\) ou \(x_0>1\), nous pouvons choisir un voisinage de \(x_0\) assez petit pour ne pas rencontrer l'intervalle \((0,1)\). De tels points ne sont donc pas des points d'accumulation.
Nous concluons ainsi que
\[ A'=[0,1]. \]
Puisque tout point de \(A\) est un point d'accumulation, aucun point de \(A\) n'est isolé.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer les points isolés et l'ensemble dérivé de
\[ A=[0,1]. \]
Résultat
L'ensemble \(A\) n'a aucun point isolé et
\[ A'=[0,1]. \]
Résolution
Considérons d'abord un point \(x_0\in(0,1)\). Tout voisinage de \(x_0\) contient une infinité de points de l'intervalle \([0,1]\) distincts de \(x_0\), donc \(x_0\) est un point d'accumulation.
Considérons à présent l'extrémité \(0\). Tout voisinage de \(0\), c'est-à-dire tout intervalle de la forme
\[ (-r,r), \qquad r>0, \]
contient des points de \([0,1]\) distincts de \(0\), par exemple des points positifs suffisamment petits. Donc \(0\) est un point d'accumulation.
De la même manière, tout voisinage de \(1\) contient des points de \([0,1]\) distincts de \(1\), par exemple des points inférieurs à \(1\) et assez proches de lui. Ainsi \(1\) est, lui aussi, un point d'accumulation.
Aucun point extérieur à \([0,1]\) n'est point d'accumulation, car si \(x_0<0\) ou \(x_0>1\), il existe un voisinage de \(x_0\) qui ne rencontre pas \([0,1]\).
Par conséquent,
\[ A'=[0,1]. \]
Puisque tout point de \(A\) est point d'accumulation, l'ensemble \(A\) ne possède aucun point isolé.
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer les points isolés et les points d'accumulation de
\[ A=\mathbb Z. \]
Résultat
Tous les entiers sont des points isolés et
\[ A'=\varnothing. \]
Résolution
Considérons un entier quelconque \(n\in\mathbb Z\). Le voisinage
\[ \left(n-\frac12,n+\frac12\right) \]
contient un seul nombre entier, à savoir \(n\) lui-même.
En effet, l'entier précédent est \(n-1\) et le suivant est \(n+1\), tous deux à distance \(1\) de \(n\). En choisissant un rayon inférieur à \(1\), par exemple \(\displaystyle \frac12\), nous excluons tous les autres entiers.
Ainsi, tout \(n\in\mathbb Z\) est un point isolé de \(\mathbb Z\).
De plus, aucun nombre réel n'est point d'accumulation de \(\mathbb Z\). Intuitivement, les entiers ne s'accumulent en aucun point de la droite réelle : ils sont toujours séparés les uns des autres par une distance de \(1\).
Par conséquent,
\[ \mathbb Z'=\varnothing. \]
Exercice 5 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer l'ensemble dérivé de
\[ A=\mathbb Q. \]
Résultat
Tout nombre réel est point d'accumulation de \(\mathbb Q\). Donc
\[ \mathbb Q'=\mathbb R. \]
L'ensemble \(\mathbb Q\) n'a aucun point isolé.
Résolution
La propriété fondamentale à utiliser est la densité des rationnels dans \(\mathbb R\) : entre deux nombres réels distincts, il existe toujours au moins un nombre rationnel — il en existe même une infinité.
Soit \(x_0\in\mathbb R\). Nous devons vérifier que tout voisinage de \(x_0\) contient un nombre rationnel distinct de \(x_0\).
Considérons un voisinage arbitraire
\[ (x_0-r,x_0+r), \qquad r>0. \]
Comme les rationnels sont denses dans \(\mathbb R\), cet intervalle contient une infinité de nombres rationnels. En particulier, il contient au moins un nombre rationnel appartenant au voisinage et distinct de \(x_0\).
Donc \(x_0\) est point d'accumulation de \(\mathbb Q\). Comme \(x_0\) était un nombre réel arbitraire, tout nombre réel est point d'accumulation de \(\mathbb Q\).
Par conséquent,
\[ \mathbb Q'=\mathbb R. \]
De plus, \(\mathbb Q\) n'a aucun point isolé, car tout voisinage d'un nombre rationnel contient une infinité d'autres rationnels.
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer les points isolés et l'ensemble dérivé de
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Résultat
Tous les points de la forme \(\displaystyle \frac1n\) sont des points isolés. Le seul point d'accumulation est \(0\). Donc
\[ A'=\{0\}. \]
Résolution
Les éléments de \(A\) sont
\[ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots \]
Ils se rapprochent de plus en plus de \(0\), mais \(0\) n'appartient pas à \(A\).
Montrons d'abord que \(0\) est un point d'accumulation. Soit \(r>0\). Comme \(\displaystyle \frac1n\to0\), il existe \(n\in\mathbb N\) tel que
\[ 0<\frac1n<r. \]
Ainsi, le voisinage \((-r,r)\) contient un élément de \(A\) distinct de \(0\). Ceci vaut pour tout \(r>0\), donc \(0\) est point d'accumulation.
Montrons à présent que tout point \(\displaystyle \frac1n\) est isolé.
Si \(n=1\), il suffit de choisir un rayon
\[ r<1-\frac12=\frac12. \]
Le voisinage \((1-r,1+r)\) ne contient aucun autre élément de \(A\).
Si \(n\ge2\), le point \(\displaystyle \frac1n\) est compris entre les deux termes consécutifs
\[ \frac1{n-1} \qquad\text{et}\qquad \frac1{n+1}. \]
Posons
\[ r=\frac12 \min\!\left\{ \frac1{n-1}-\frac1n, \frac1n-\frac1{n+1} \right\}. \]
Comme les deux quantités à l'intérieur du minimum sont positives, on a \(r>0\).
Avec ce choix, le voisinage
\[ \left(\frac1n-r,\frac1n+r\right) \]
ne contient aucun autre élément de \(A\). Donc \(\displaystyle \frac1n\) est un point isolé.
Le seul point d'accumulation est donc \(0\), et par suite
\[ A'=\{0\}. \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer les points isolés et l'ensemble dérivé de
\[ A=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Résultat
Le point \(0\) est point d'accumulation et appartient à \(A\). Tous les points \(\displaystyle \frac1n\) sont isolés. De plus,
\[ A'=\{0\}. \]
Résolution
L'ensemble est constitué du point \(0\) et des points de la suite
\[ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots \]
Le point \(0\) appartient à l'ensemble, mais cela ne l'empêche pas d'être aussi un point d'accumulation. En effet, pour tout \(r>0\), il existe \(n\in\mathbb N\) tel que
\[ 0<\frac1n<r. \]
Donc tout voisinage de \(0\) contient des points de \(A\) distincts de \(0\).
Considérons à présent un point de la forme \(\displaystyle \frac1n\). À \(n\) fixé, ce point est séparé des autres éléments de l'ensemble par une distance strictement positive. Nous pouvons donc choisir un voisinage suffisamment petit ne contenant que \(\displaystyle \frac1n\).
Par conséquent, tout point \(\displaystyle \frac1n\) est isolé.
Le seul point d'accumulation est \(0\), de sorte que
\[ A'=\{0\}. \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer les points isolés et l'ensemble dérivé de
\[ A=(0,1)\cup\{2\}. \]
Résultat
Le point \(2\) est isolé. Les points d'accumulation sont exactement les points de \([0,1]\). Donc
\[ A'=[0,1]. \]
Résolution
L'ensemble \(A\) est constitué de l'intervalle ouvert \((0,1)\) et du point isolé \(2\).
Comme nous le savons déjà, l'intervalle \((0,1)\) a pour points d'accumulation tous les points de l'intervalle fermé \([0,1]\). En effet, tout voisinage d'un point de \([0,1]\) contient des éléments de \((0,1)\).
Le point \(2\), en revanche, n'est pas un point d'accumulation. En effet, nous pouvons choisir, par exemple, le voisinage
\[ \left(\frac32,\frac52\right). \]
Ce voisinage contient le point \(2\), mais ne contient aucun autre élément de \(A\), car l'intervalle \((0,1)\) se situe tout entier à gauche de \(\displaystyle \frac32\).
Donc \(2\) est un point isolé.
Il n'y a pas d'autres points d'accumulation : les points extérieurs à \([0,1]\), distincts de \(2\), peuvent être séparés de \(A\) par un voisinage approprié, tandis que \(2\) est isolé.
Par conséquent,
\[ A'=[0,1]. \]
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer les points isolés et l'ensemble dérivé de
\[ A=[0,1]\cup\{2,3\}. \]
Résultat
Les points \(2\) et \(3\) sont isolés. L'ensemble dérivé est
\[ A'=[0,1]. \]
Résolution
L'intervalle \([0,1]\) est constitué entièrement de points d'accumulation. En effet, tout point intérieur de l'intervalle a une infinité de points de l'ensemble arbitrairement proches, et il en va de même pour les extrémités \(0\) et \(1\).
Considérons à présent le point \(2\). Nous pouvons choisir un petit voisinage de \(2\), par exemple
\[ \left(\frac32,\frac52\right). \]
Ce voisinage contient \(2\), mais ne contient aucun point de \([0,1]\) ni le point \(3\). Donc \(2\) est isolé.
De manière analogue, pour le point \(3\), nous pouvons choisir un voisinage suffisamment petit, par exemple
\[ \left(\frac52,\frac72\right), \]
qui contient \(3\), mais ne contient aucun autre point de \(A\). Donc \(3\) est, lui aussi, isolé.
Les points isolés n'appartiennent pas à l'ensemble dérivé, puisqu'ils ne sont pas des points d'accumulation. Par conséquent,
\[ A'=[0,1]. \]
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer les points isolés et l'ensemble dérivé de
\[ A=\left\{1+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Résultat
Tous les points de la forme \(\displaystyle 1+\frac1n\) sont isolés. Le seul point d'accumulation est \(1\). Donc
\[ A'=\{1\}. \]
Résolution
Les éléments de l'ensemble sont
\[ 2,\frac32,\frac43,\frac54,\ldots \]
Ils sont tous supérieurs à \(1\) et se rapprochent de \(1\) lorsque \(n\) devient grand, car
\[ 1+\frac1n\to1. \]
Ainsi, \(1\) est un point d'accumulation de \(A\). En effet, si \(r>0\), il existe \(n\in\mathbb N\) tel que
\[ \frac1n<r. \]
Alors
\[ \left|\left(1+\frac1n\right)-1\right|=\frac1n<r. \]
Donc tout voisinage de \(1\) contient des éléments de \(A\).
Chaque point de la forme \(\displaystyle 1+\frac1n\), en revanche, est isolé. En effet, à \(n\) fixé, ce point est séparé des autres termes de la suite par une distance strictement positive.
Par conséquent,
\[ A'=\{1\}. \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Déterminer les points isolés et l'ensemble dérivé de
\[ A=(-1,0)\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Résultat
Les points de la forme \(\displaystyle \frac1n\) sont isolés. L'ensemble dérivé est
\[ A'=[-1,0]\cup\{0\}=[-1,0]. \]
En particulier, \(0\) est point d'accumulation à la fois de l'intervalle \((-1,0)\) et de la suite \(\displaystyle \frac1n\).
Résolution
L'ensemble \(A\) est la réunion de deux parties :
- l'intervalle \((-1,0)\) ;
- la suite \(\displaystyle 1,\frac12,\frac13,\ldots\).
L'intervalle \((-1,0)\) a pour points d'accumulation tous les points de l'intervalle fermé \([-1,0]\). En effet, tout point intérieur est manifestement point d'accumulation, tandis que les extrémités \(-1\) et \(0\), bien qu'elles n'appartiennent pas à l'intervalle, sont atteintes par des points de l'intervalle arbitrairement proches.
La suite \(\displaystyle \frac1n\) a pour unique point d'accumulation \(0\).
En réunissant ces deux informations, nous obtenons
\[ A'=[-1,0]\cup\{0\}. \]
Comme \(0\in[-1,0]\), cela se simplifie en
\[ A'=[-1,0]. \]
Les points de la forme \(\displaystyle \frac1n\) sont isolés, car chacun d'eux peut être séparé des autres termes de la suite et de l'intervalle \((-1,0)\), qui se situe tout entier dans la partie négative de la droite réelle.
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Déterminer les points isolés et l'ensemble dérivé de
\[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Résultat
L'ensemble a deux points d'accumulation :
\[ A'=\{-1,1\}. \]
Tous les éléments de \(A\) sont des points isolés.
Résolution
Étudions séparément les termes d'indice pair et ceux d'indice impair.
Si \(n\) est pair, alors \((-1)^n=1\), de sorte que les termes correspondants sont de la forme
\[ 1+\frac1n. \]
Lorsque \(n\to\infty\), ces termes tendent vers \(1\).
Si \(n\) est impair, alors \((-1)^n=-1\), de sorte que les termes correspondants sont de la forme
\[ -1+\frac1n. \]
Lorsque \(n\to\infty\), ces termes tendent vers \(-1\).
Ainsi, les deux candidats naturels à être des points d'accumulation sont \(-1\) et \(1\).
Montrons qu'ils le sont tous les deux. Tout voisinage de \(1\) contient des termes d'indice pair de la suite, car
\[ 1+\frac1n\to1 \]
le long des indices pairs. De manière analogue, tout voisinage de \(-1\) contient des termes d'indice impair de la suite, car
\[ -1+\frac1n\to-1 \]
le long des indices impairs.
Tous les éléments de l'ensemble sont isolés : un terme de la suite étant fixé, il est séparé des autres termes par une distance strictement positive, car il ne coïncide pas avec un point limite mais avec une seule valeur de la suite.
Par conséquent,
\[ A'=\{-1,1\}. \]
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Déterminer les points isolés et l'ensemble dérivé de
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\left\{2+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Résultat
Tous les éléments de \(A\) sont isolés. Les points d'accumulation sont \(0\) et \(2\), de sorte que
\[ A'=\{0,2\}. \]
Résolution
L'ensemble est la réunion de deux suites :
\[ \frac1n\to0 \]
et
\[ 2+\frac1n\to2. \]
La première suite a pour unique point d'accumulation \(0\), car ses termes deviennent arbitrairement proches de \(0\).
La seconde suite a pour unique point d'accumulation \(2\), car ses termes deviennent arbitrairement proches de \(2\).
Ainsi, on a certainement
\[ 0,2\in A'. \]
Il n'existe pas d'autres points d'accumulation. En effet, loin de \(0\) et de \(2\), chacune des suites n'a qu'un nombre fini de termes dans toute région bornée séparée de ces deux points limites ; par conséquent, on peut choisir un voisinage ne contenant aucun élément de \(A\) distinct du point éventuellement considéré.
Tout élément des deux suites est isolé. Un terme étant fixé, nous pouvons en effet choisir un voisinage assez petit ne contenant ni autre terme de la même suite, ni terme de l'autre suite.
Nous concluons donc que
\[ A'=\{0,2\}. \]
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Déterminer l'ensemble dérivé de
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Résultat
Tous les éléments de \(A\) sont isolés et
\[ A'=\{1\}. \]
Résolution
Réécrivons le terme général :
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}. \]
Sous cette forme, on voit immédiatement que
\[ \frac{n}{n+1}\to1. \]
Donc \(1\) est un point d'accumulation de \(A\). En effet, étant donné \(r>0\), nous pouvons choisir \(n\) assez grand pour que
\[ \frac1{n+1}<r. \]
Alors
\[ \left|\frac{n}{n+1}-1\right|=\frac1{n+1}<r. \]
Ainsi, tout voisinage de \(1\) contient des éléments de \(A\).
Tout point de la forme \(\displaystyle \frac{n}{n+1}\) est isolé. En effet, les termes sont distincts et, un terme étant fixé, on peut choisir un voisinage suffisamment petit ne contenant aucun autre élément de la suite.
Par conséquent, le seul point d'accumulation est \(1\) :
\[ A'=\{1\}. \]
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Déterminer les points isolés et l'ensemble dérivé de
\[ A=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup[2,3]. \]
Résultat
Les points de la forme \(\displaystyle \frac1n\) sont isolés. L'ensemble dérivé est
\[ A'=\{0\}\cup[2,3]. \]
Résolution
L'ensemble \(A\) est constitué de deux parties : une suite qui tend vers \(0\) et un intervalle fermé \([2,3]\).
La suite
\[ \frac1n \]
a pour unique point d'accumulation \(0\). Tous ses termes sont isolés.
L'intervalle \([2,3]\), en revanche, a pour ensemble dérivé lui-même. En effet, tout point de \([2,3]\), extrémités comprises, est point d'accumulation de l'intervalle.
Comme la suite \(\displaystyle \frac1n\) se situe dans \((0,1]\) et que l'intervalle \([2,3]\) en est séparé, il n'apparaît aucun point d'accumulation supplémentaire entre \(1\) et \(2\).
L'ensemble dérivé est donc
\[ A'=\{0\}\cup[2,3]. \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Déterminer l'ensemble dérivé de
\[ A=\left\{\frac{m}{n}:m,n\in\mathbb N,\ 0<m<n\right\}. \]
Résultat
On a
\[ A=\mathbb Q\cap(0,1), \]
de sorte que
\[ A'=[0,1]. \]
L'ensemble \(A\) n'a aucun point isolé.
Résolution
L'ensemble \(A\) est constitué de toutes les fractions \(\displaystyle \frac mn\), avec \(m,n\in\mathbb N\) et \(0<m<n\). La condition \(0<m<n\) entraîne
\[ 0<\frac mn<1. \]
De plus, tout nombre rationnel compris entre \(0\) et \(1\) peut s'écrire sous la forme \(\displaystyle \frac mn\), avec \(0<m<n\). Donc
\[ A=\mathbb Q\cap(0,1). \]
Comme les rationnels sont denses dans \(\mathbb R\), tout voisinage d'un point \(x_0\in(0,1)\) contient une infinité de rationnels appartenant à \((0,1)\). Ainsi, tout point de \((0,1)\) est point d'accumulation.
Les points \(0\) et \(1\) sont eux aussi des points d'accumulation, car tout voisinage de ces points contient des rationnels respectivement supérieurs à \(0\) et inférieurs à \(1\).
Aucun point extérieur à \([0,1]\) ne peut être point d'accumulation, car il peut être séparé de l'intervalle \((0,1)\) par un voisinage approprié.
Par conséquent,
\[ A'=[0,1]. \]
Enfin, \(A\) n'a aucun point isolé, car tout voisinage d'un point rationnel de \((0,1)\) contient une infinité d'autres rationnels de \((0,1)\).
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Déterminer l'ensemble dérivé de
\[ A=\mathbb Q\cap[0,1]. \]
Résultat
L'ensemble dérivé est
\[ A'=[0,1]. \]
L'ensemble \(A\) n'a aucun point isolé.
Résolution
Considérons un point \(x_0\in[0,1]\). Nous voulons montrer que tout voisinage de \(x_0\) contient des points de \(A\) distincts de \(x_0\).
Si \(x_0\in(0,1)\), alors tout voisinage de \(x_0\) contient une infinité de nombres rationnels. Comme le voisinage peut être choisi assez petit pour rester dans \([0,1]\), il contient une infinité d'éléments de \(\mathbb Q\cap[0,1]\).
Si \(x_0=0\), tout voisinage de \(0\) contient des rationnels positifs arbitrairement petits, et contient donc des éléments de \(A\) distincts de \(0\).
Si \(x_0=1\), tout voisinage de \(1\) contient des rationnels inférieurs à \(1\) et arbitrairement proches de lui, et contient donc des éléments de \(A\) distincts de \(1\).
Ainsi, tout point de \([0,1]\) est point d'accumulation de \(A\).
Si en revanche \(x_0<0\) ou \(x_0>1\), il existe un voisinage de \(x_0\) qui ne rencontre pas \([0,1]\), et qui ne rencontre donc pas \(A\). De tels points ne sont pas des points d'accumulation.
Nous concluons que
\[ A'=[0,1]. \]
De plus, \(A\) n'a aucun point isolé, car tout voisinage de l'un de ses points contient une infinité d'autres rationnels de l'intervalle.
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Déterminer si l'ensemble
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
est fermé dans \(\mathbb R\).
Résultat
L'ensemble \(A\) n'est pas fermé, car
\[ A'=\{0\} \]
mais \(0\notin A\).
Résolution
Un ensemble \(A\subseteq\mathbb R\) est fermé si et seulement s'il contient tous ses points d'accumulation.
Dans cet exercice, nous avons
\[ A=\left\{1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
Le point \(0\) est point d'accumulation de \(A\), car
\[ \frac1n\to0. \]
En effet, pour tout \(r>0\), il existe \(n\in\mathbb N\) tel que
\[ 0<\frac1n<r. \]
Donc tout voisinage de \(0\) contient des éléments de \(A\).
Cependant, \(0\notin A\), car les éléments de \(A\) sont tous positifs et de la forme \(\displaystyle \frac1n\), avec \(n\ge1\).
Ainsi, \(A\) ne contient pas tous ses points d'accumulation. Par conséquent, \(A\) n'est pas fermé dans \(\mathbb R\).
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Déterminer les points d'accumulation de
\[ A=\left\{\frac1n+\frac1m:n,m\in\mathbb N,\ n,m\ge1\right\}. \]
Résultat
L'ensemble dérivé est
\[ A'=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\{0\}. \]
Résolution
Les éléments de \(A\) sont des sommes de deux termes de la forme \(\displaystyle \frac1n\). Pour comprendre où ils peuvent s'accumuler, fixons d'abord l'un des indices.
À \(n\) fixé, considérons la suite obtenue en faisant varier \(m\) :
\[ \frac1n+\frac1m. \]
Comme \(\displaystyle \frac1m\to0\), nous obtenons
\[ \frac1n+\frac1m\to\frac1n. \]
Donc tout point de la forme \(\displaystyle \frac1n\) est point d'accumulation de \(A\).
De plus, en faisant tendre les deux indices vers l'infini, nous obtenons
\[ \frac1n+\frac1m\to0. \]
Ainsi, \(0\) est lui aussi point d'accumulation de \(A\).
Montrons à présent qu'il n'y a pas d'autres points d'accumulation. Si une suite d'éléments distincts de \(A\) converge, elle est de la forme
\[ x_k=\frac1{n_k}+\frac1{m_k}. \]
Si l'un au moins de \(n_k\) et \(m_k\) reste constant le long d'une sous-suite, alors — les éléments étant distincts — l'autre indice doit tendre vers l'infini, et la limite possible est de la forme \(\displaystyle \frac1n\). Si en revanche les deux indices tendent vers l'infini, alors les deux termes tendent vers \(0\), et la limite est \(0\).
Par conséquent, les seuls points d'accumulation sont
\[ \left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\{0\}. \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Déterminer l'ensemble dérivé de
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x=\frac1n+\frac{k}{m},\ n,m,k\in\mathbb N,\ 1\le k<m\right\}. \]
Résultat
L'ensemble dérivé est
\[ A'=[0,2]. \]
Résolution
Observons que les nombres de la forme \(\displaystyle \frac{k}{m}\), avec \(1\le k<m\), sont des rationnels appartenant à l'intervalle \((0,1)\) et y sont denses.
À \(n\in\mathbb N\) fixé, l'ensemble
\[ \left\{\frac1n+\frac{k}{m}:m,k\in\mathbb N,\ 1\le k<m\right\} \]
est donc dense dans l'intervalle
\[ \left(\frac1n,1+\frac1n\right). \]
Pour \(n=1\), nous obtenons un sous-ensemble dense dans \((1,2)\) ; pour \(n=2\), un sous-ensemble dense dans \(\left(\frac12,\frac32\right)\) ; et ainsi de suite.
Par conséquent, tous les points de l'intervalle \((0,2)\) sont des points d'accumulation de \(A\).
Le point \(0\) est lui aussi point d'accumulation. En effet, nous pouvons prendre \(n\) très grand et, par exemple, choisir \(\displaystyle \frac{k}{m}\) très petit. On obtient ainsi des éléments de \(A\) positifs et arbitrairement proches de \(0\).
Le point \(2\) est lui aussi point d'accumulation. En effet, en fixant \(n=1\), nous pouvons choisir des rationnels \(\displaystyle \frac{k}{m}\in(0,1)\) arbitrairement proches de \(1\). Alors
\[ 1+\frac{k}{m}\to2. \]
Donc tout voisinage de \(2\) contient des points de \(A\) distincts de \(2\).
Enfin, aucun point extérieur à \([0,2]\) ne peut être point d'accumulation. En effet, tout élément de \(A\) vérifie
\[ 0<\frac1n+\frac{k}{m}<2. \]
Ainsi, \(A\subseteq(0,2)\), et tout point \(x_0<0\) ou \(x_0>2\) peut être séparé de \(A\) par un voisinage approprié.
Nous concluons donc que
\[ A'=[0,2]. \]