La borne supérieure et la borne inférieure généralisent les notions de maximum et de minimum ; elles constituent l'un des outils fondamentaux pour l'étude des ensembles numériques.
Dans les exercices qui suivent, nous apprendrons à déterminer les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum, à travers des exemples résolus et commentés pas à pas.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer l'ensemble des majorants, l'ensemble des minorants, la borne supérieure et la borne inférieure de :
\[ A=(2,7). \]
Résultat
\[ \sup A=7,\qquad \inf A=2. \]
Ensemble des majorants :
\[ [7,+\infty). \]
Ensemble des minorants :
\[ (-\infty,2]. \]
Résolution
Les éléments de l'ensemble \(A=(2,7)\) sont tous les nombres réels — et eux seuls — strictement compris entre \(2\) et \(7\).
Par définition, un majorant de \(A\) est un nombre réel supérieur ou égal à tous les éléments de l'ensemble.
Puisque chaque élément de \(A\) est strictement inférieur à \(7\), le nombre \(7\) est un majorant.
Tout nombre supérieur à \(7\) est également un majorant. Par conséquent, l'ensemble de tous les majorants est :
\[ [7,+\infty). \]
La borne supérieure est le plus petit des majorants. Comme \(7\) est le premier élément de l'ensemble des majorants, il s'ensuit que :
\[ \sup A=7. \]
Considérons à présent les minorants.
Un minorant est un nombre réel inférieur ou égal à tous les éléments de l'ensemble.
Puisque chaque élément de \(A\) est strictement supérieur à \(2\), le nombre \(2\) est un minorant.
Tout nombre inférieur à \(2\) est lui aussi un minorant. Dès lors, l'ensemble de tous les minorants est :
\[ (-\infty,2]. \]
La borne inférieure est le plus grand des minorants. Par conséquent :
\[ \inf A=2. \]
Observons enfin que \(2\notin A\) et \(7\notin A\). C'est pourquoi l'ensemble ne possède ni minimum ni maximum, bien qu'il admette une borne inférieure et une borne supérieure.
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer l'ensemble des majorants, l'ensemble des minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de :
\[ A=[-3,4]. \]
Résultat
\[ \sup A=\max A=4. \]
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Ensemble des majorants :
\[ [4,+\infty). \]
Ensemble des minorants :
\[ (-\infty,-3]. \]
Résolution
Les éléments de l'ensemble \(A=[-3,4]\) sont tous les nombres réels compris entre \(-3\) et \(4\), bornes incluses.
Ainsi :
\[ -3\leq x\leq 4 \qquad \forall x\in A. \]
Puisque chaque élément de l'ensemble est inférieur ou égal à \(4\), le nombre \(4\) est un majorant de \(A\).
Tous les nombres supérieurs à \(4\) sont eux aussi des majorants. Il s'ensuit que l'ensemble des majorants est :
\[ [4,+\infty). \]
Le plus petit des majorants est \(4\). Par conséquent :
\[ \sup A=4. \]
De manière analogue, puisque chaque élément de \(A\) est supérieur ou égal à \(-3\), le nombre \(-3\) est un minorant.
Tous les nombres inférieurs à \(-3\) sont eux aussi des minorants. L'ensemble des minorants est donc :
\[ (-\infty,-3]. \]
Le plus grand des minorants est \(-3\), d'où :
\[ \inf A=-3. \]
Observons maintenant que \(4\) et \(-3\) appartiennent tous deux à l'ensemble.
Par conséquent :
\[ \max A=4, \qquad \min A=-3. \]
Cet exemple montre que, lorsque la borne supérieure appartient à l'ensemble, elle coïncide avec le maximum, et que, lorsque la borne inférieure appartient à l'ensemble, elle coïncide avec le minimum.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer l'ensemble des majorants, l'ensemble des minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de :
\[ A=[0,5). \]
Résultat
\[ \sup A=5, \qquad \inf A=\min A=0. \]
Le maximum n'existe pas.
Ensemble des majorants :
\[ [5,+\infty). \]
Ensemble des minorants :
\[ (-\infty,0]. \]
Résolution
Les éléments de \(A=[0,5)\) vérifient :
\[ 0\leq x<5. \]
Par conséquent, \(5\) est un majorant de l'ensemble.
De plus, tout nombre supérieur à \(5\) est encore un majorant. L'ensemble des majorants est donc :
\[ [5,+\infty). \]
Aucun nombre inférieur à \(5\) ne peut être un majorant, car il existe des éléments de l'ensemble arbitrairement proches de \(5\).
Par conséquent :
\[ \sup A=5. \]
Quant aux minorants, chaque élément de l'ensemble est supérieur ou égal à \(0\).
Ainsi :
\[ (-\infty,0] \]
est l'ensemble de tous les minorants.
Le plus grand d'entre eux est \(0\), c'est pourquoi :
\[ \inf A=0. \]
Comme \(0\in A\), il s'ensuit immédiatement :
\[ \min A=0. \]
En revanche, \(5\notin A\). C'est pourquoi l'ensemble ne possède pas de maximum.
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Résultat
\[ \sup A=\max A=1. \]
\[ \inf A=0. \]
Le minimum n'existe pas.
Résolution
Les éléments de l'ensemble sont :
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Il s'agit d'une suite strictement décroissante de nombres positifs.
La plus grande valeur est la première :
\[ 1=\frac11. \]
Par conséquent :
\[ \sup A=\max A=1. \]
Tous les éléments de l'ensemble sont positifs, donc \(0\) est un minorant.
Montrons qu'il s'agit du plus grand des minorants.
Soit \(\varepsilon>0\). D'après la propriété d'Archimède, il existe \(n\in\mathbb N\) tel que :
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Il en résulte :
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Nous avons donc trouvé un élément de \(A\) inférieur à \(0+\varepsilon\).
D'après la caractérisation de la borne inférieure :
\[ \inf A=0. \]
Toutefois, \(0\notin A\), de sorte que le minimum n'existe pas.
C'est l'un des exemples classiques où la borne inférieure existe sans appartenir à l'ensemble.
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Résultat
\[ \inf A=\min A=\frac12. \]
\[ \sup A=1. \]
Le maximum n'existe pas.
Résolution
Observons tout d'abord que :
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1}. \]
Les éléments de l'ensemble sont donc :
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
La suite est croissante, car le terme \(\displaystyle \frac1{n+1}\) diminue à mesure que \(n\) augmente.
Le premier élément est :
\[ \frac12. \]
La suite étant croissante, aucun élément ne peut être inférieur à \(\frac12\).
De plus, \(\displaystyle\frac12\in A\), de sorte que :
\[ \inf A=\min A=\frac12. \]
Pour tout \(n\), on a :
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Ainsi, \(1\) est un majorant de l'ensemble.
Montrons qu'il s'agit du plus petit des majorants.
Soit \(\varepsilon>0\).
D'après la propriété d'Archimède, il existe \(n\) tel que :
\[ \frac1{n+1}<\varepsilon. \]
Alors :
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1} > 1-\varepsilon. \]
D'après la caractérisation de la borne supérieure, il s'ensuit que :
\[ \sup A=1. \]
Toutefois, \(1\notin A\), de sorte que le maximum n'existe pas.
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Résultat
\[ \sup A=\max A=\frac32. \]
\[ \inf A=-1. \]
Le minimum n'existe pas.
Résolution
Il convient de distinguer les cas où \(n\) est pair de ceux où \(n\) est impair.
Si \(n\) est pair, alors :
\[ (-1)^n+\frac1n = 1+\frac1n. \]
Nous obtenons ainsi les valeurs :
\[ \frac32,\ \frac54,\ \frac76,\ldots \]
Ces nombres sont tous supérieurs à \(1\) et décroissent vers \(1\).
Le plus grand s'obtient pour \(n=2\) :
\[ 1+\frac12=\frac32. \]
Par conséquent :
\[ \sup A=\max A=\frac32. \]
Si, en revanche, \(n\) est impair :
\[ (-1)^n+\frac1n = -1+\frac1n. \]
Nous obtenons :
\[ 0,\ -\frac23,\ -\frac45,\ldots \]
La première valeur est \(0\), obtenue pour \(n=1\). Pour les indices impairs suivants, on obtient en revanche des valeurs négatives qui se rapprochent progressivement de \(-1\) sans jamais l'atteindre.
Le nombre \(-1\) est donc un minorant de l'ensemble.
De plus, pour tout \(\varepsilon>0\), en choisissant \(n\) impair suffisamment grand, on obtient :
\[ -1+\frac1n<-1+\varepsilon. \]
D'après la caractérisation de la borne inférieure :
\[ \inf A=-1. \]
Comme aucun élément de l'ensemble n'est égal à \(-1\), le minimum n'existe pas.
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2<9\right\}. \]
Résultat
\[ \sup A=3, \qquad \inf A=-3. \]
L'ensemble ne possède ni maximum ni minimum.
Résolution
La condition :
\[ x^2<9 \]
équivaut à :
\[ -3<x<3 \]
Par conséquent :
\[ A=(-3,3). \]
Tous les éléments de l'ensemble sont inférieurs à \(3\), donc \(3\) est un majorant.
De plus, il existe des éléments de l'ensemble arbitrairement proches de \(3\), par exemple :
\[ 3-\frac1n. \]
Aucun nombre inférieur à \(3\) ne peut donc être un majorant.
Ainsi :
\[ \sup A=3. \]
Par un raisonnement tout à fait analogue, on obtient :
\[ \inf A=-3. \]
Comme ni \(3\) ni \(-3\) n'appartiennent à l'ensemble, il n'existe ni maximum ni minimum.
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2\leq9\right\}. \]
Résultat
\[ \sup A=\max A=3. \]
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Résolution
L'inéquation :
\[ x^2\leq9 \]
équivaut à :
\[ -3\leq x\leq3. \]
Par conséquent :
\[ A=[-3,3]. \]
Le nombre \(3\) est un majorant de l'ensemble.
De plus, il appartient à l'ensemble lui-même.
Il s'ensuit que :
\[ \sup A=\max A=3. \]
De manière analogue, le nombre \(-3\) est un minorant et appartient à l'ensemble.
Par conséquent :
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Cet exercice met en évidence la différence entre intervalles ouverts et intervalles fermés : en ajoutant les bornes à l'ensemble, le maximum et le minimum apparaissent automatiquement.
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:1<x\leq 6\right\}. \]
Résultat
\[ \sup A=\max A=6. \]
\[ \inf A=1. \]
Le minimum n'existe pas.
Résolution
L'ensemble est formé de tous les nombres réels supérieurs à \(1\) et inférieurs ou égaux à \(6\).
Nous pouvons donc écrire :
\[ A=(1,6]. \]
Chaque élément de \(A\) est inférieur ou égal à \(6\), donc \(6\) est un majorant de l'ensemble.
Comme \(6\in A\), le nombre \(6\) est aussi le maximum de l'ensemble.
Par conséquent :
\[ \sup A=\max A=6. \]
Considérons à présent la borne inférieure.
Chaque élément de \(A\) est supérieur à \(1\), donc \(1\) est un minorant.
De plus, aucun nombre supérieur à \(1\) ne peut être un minorant, car les éléments de l'ensemble peuvent être choisis arbitrairement proches de \(1\) par la droite.
Ainsi :
\[ \inf A=1. \]
Toutefois, \(1\notin A\), car l'inégalité est stricte.
Le minimum n'existe donc pas.
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x>-2\right\}. \]
Résultat
\[ \inf A=-2. \]
\[ \sup A=+\infty. \]
L'ensemble ne possède ni maximum ni minimum.
Résolution
L'ensemble contient tous les nombres réels supérieurs à \(-2\). Donc :
\[ A=(-2,+\infty). \]
L'ensemble n'est pas majoré. En effet, quel que soit le nombre réel \(M\) choisi, nous pouvons prendre un nombre \(x\) supérieur à la fois à \(M\) et à \(-2\). De cette façon, \(x\in A\) et \(x>M\).
Il n'existe donc aucun majorant réel de \(A\).
Avec la convention usuelle :
\[ \sup A=+\infty. \]
Étudions maintenant les minorants.
Chaque élément de l'ensemble est supérieur à \(-2\), donc \(-2\) est un minorant.
De plus, aucun nombre supérieur à \(-2\) ne peut être un minorant, car les éléments de l'ensemble peuvent se rapprocher autant que l'on veut de \(-2\) par la droite.
Par conséquent :
\[ \inf A=-2. \]
Puisque \(-2\notin A\), le minimum n'existe pas.
De plus, l'ensemble n'étant pas majoré, le maximum n'existe pas non plus.
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{2-\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Résultat
\[ \inf A=\min A=1. \]
\[ \sup A=2. \]
Le maximum n'existe pas.
Résolution
Écrivons quelques éléments de l'ensemble :
\[ 1,\ \frac32,\ \frac53,\ \frac74,\ldots \]
En effet, pour \(n=1\), on obtient :
\[ 2-\frac11=1. \]
À mesure que \(n\) croît, le terme \(\displaystyle \frac1n\) diminue, de sorte que \(2-\frac1n\) augmente.
La plus petite valeur est donc la première, à savoir \(1\).
Comme \(1\in A\), il s'ensuit :
\[ \inf A=\min A=1. \]
De plus, pour tout \(n\geq1\), on a :
\[ 2-\frac1n<2. \]
Ainsi, \(2\) est un majorant de \(A\).
Montrons qu'il s'agit du plus petit des majorants.
Soit \(\varepsilon>0\). D'après la propriété d'Archimède, il existe \(n\in\mathbb N\) tel que :
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Alors :
\[ 2-\frac1n>2-\varepsilon. \]
Il existe donc un élément de \(A\) supérieur à \(2-\varepsilon\).
D'après la caractérisation de la borne supérieure :
\[ \sup A=2. \]
Puisque \(2\notin A\), le maximum n'existe pas.
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{\frac{2n+1}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Résultat
\[ \inf A=\min A=\frac32. \]
\[ \sup A=2. \]
Le maximum n'existe pas.
Résolution
Réécrivons le terme général sous une forme plus commode :
\[ \frac{2n+1}{n+1} = \frac{2n+2-1}{n+1} = 2-\frac1{n+1}. \]
Donc :
\[ A=\left\{2-\frac1{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Calculons le premier élément :
\[ 2-\frac12=\frac32. \]
À mesure que \(n\) croît, le terme \(\displaystyle \frac1{n+1}\) diminue, de sorte que \(2-\displaystyle \frac1{n+1}\) augmente.
Par conséquent, la plus petite valeur de l'ensemble est :
\[ \frac32. \]
Comme cette valeur appartient à l'ensemble, nous avons :
\[ \inf A=\min A=\frac32. \]
De plus, pour tout \(n\geq1\), on a :
\[ 2-\frac1{n+1}<2. \]
Ainsi, \(2\) est un majorant.
Pour démontrer que \(2\) est la borne supérieure, utilisons la caractérisation à l'aide de \(\varepsilon\).
Soit \(\varepsilon>0\). Choisissons \(n\) suffisamment grand pour que :
\[ \frac1{n+1}<\varepsilon. \]
Alors :
\[ 2-\frac1{n+1}>2-\varepsilon. \]
Il existe donc un élément de \(A\) supérieur à \(2-\varepsilon\).
Il en résulte :
\[ \sup A=2. \]
Enfin, \(2\notin A\), car \(\displaystyle \frac1{n+1}\) n'est jamais égal à \(0\). C'est pourquoi le maximum n'existe pas.
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{\frac{n}{n+2}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Résultat
\[ \inf A=\min A=\frac13. \]
\[ \sup A=1. \]
Le maximum n'existe pas.
Résolution
Réécrivons le terme général sous une forme plus lisible :
\[ \frac{n}{n+2} = \frac{n+2-2}{n+2} = 1-\frac{2}{n+2}. \]
Les éléments de l'ensemble sont :
\[ \frac13,\ \frac24,\ \frac35,\ \frac46,\ldots \]
À mesure que \(n\) croît, le terme \(\displaystyle \frac{2}{n+2}\) diminue ; donc \(1-\displaystyle \frac{2}{n+2}\) augmente.
La plus petite valeur s'obtient pour \(n=1\) :
\[ \frac{1}{1+2}=\frac13. \]
Comme \(\displaystyle \frac13\in A\), il s'ensuit :
\[ \inf A=\min A=\frac13. \]
De plus, pour tout \(n\geq1\), on a :
\[ \frac{n}{n+2}<1. \]
Ainsi, \(1\) est un majorant de \(A\).
Montrons que \(1\) est le plus petit des majorants.
Soit \(\varepsilon>0\). Nous voulons trouver un élément de \(A\) supérieur à \(1-\varepsilon\).
Comme :
\[ \frac{n}{n+2}=1-\frac{2}{n+2}, \]
il suffit de choisir \(n\) tel que :
\[ \frac{2}{n+2}<\varepsilon. \]
Cela est possible d'après la propriété d'Archimède.
Avec un tel choix, on obtient :
\[ \frac{n}{n+2} = 1-\frac{2}{n+2} > 1-\varepsilon. \]
D'après la caractérisation de la borne supérieure :
\[ \sup A=1. \]
Enfin, \(1\notin A\), car l'égalité \(\displaystyle \frac{n}{n+2}=1\) impliquerait \(n=n+2\), ce qui est impossible. Le maximum n'existe donc pas.
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{3+\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Résultat
\[ \sup A=\max A=4. \]
\[ \inf A=3. \]
Le minimum n'existe pas.
Résolution
Les éléments de l'ensemble sont :
\[ 4,\ \frac72,\ \frac{10}{3},\ \frac{13}{4},\ldots \]
En effet, pour \(n=1\), on obtient :
\[ 3+\frac11=4. \]
À mesure que \(n\) croît, le terme \(\displaystyle \frac1n\) diminue. Donc \(3+\displaystyle \frac1n\) diminue lui aussi.
Le premier élément est donc le plus grand de l'ensemble.
Par conséquent :
\[ \sup A=\max A=4. \]
De plus, pour tout \(n\geq1\), on a :
\[ 3+\frac1n>3. \]
Ainsi, \(3\) est un minorant de \(A\).
Montrons qu'il s'agit du plus grand des minorants.
Soit \(\varepsilon>0\). D'après la propriété d'Archimède, il existe \(n\in\mathbb N\) tel que :
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Alors :
\[ 3+\frac1n<3+\varepsilon. \]
Nous avons donc trouvé un élément de \(A\) inférieur à \(3+\varepsilon\).
D'après la caractérisation de la borne inférieure :
\[ \inf A=3. \]
Puisque \(3\notin A\), le minimum n'existe pas.
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{2+\frac{(-1)^n}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Résultat
\[ \inf A=\min A=1. \]
\[ \sup A=\max A=\frac52. \]
Résolution
Séparons les cas où \(n\) est pair de ceux où \(n\) est impair.
Si \(n\) est pair, alors \((-1)^n=1\), de sorte que les éléments correspondants sont :
\[ 2+\frac1n. \]
Pour \(n=2\), on obtient :
\[ 2+\frac12=\frac52. \]
Pour les autres valeurs paires de \(n\), le terme \(\displaystyle \frac1n\) est plus petit. La valeur maximale parmi les termes d'indice pair est donc \(\displaystyle \frac52\).
Si \(n\) est impair, alors \((-1)^n=-1\), de sorte que les éléments correspondants sont :
\[ 2-\frac1n. \]
Pour \(n=1\), on obtient :
\[ 2-1=1. \]
Pour les autres valeurs impaires de \(n\), le terme \(\displaystyle \frac1n\) est plus petit, et donc \(2-\displaystyle \frac1n\) est supérieur à \(1\).
Il s'ensuit que la plus petite valeur de tout l'ensemble est :
\[ 1. \]
Comme \(1\in A\), nous avons :
\[ \inf A=\min A=1. \]
La plus grande valeur de l'ensemble est, quant à elle :
\[ \frac52. \]
Cette valeur appartient elle aussi à \(A\), car elle s'obtient pour \(n=2\).
Par conséquent :
\[ \sup A=\max A=\frac52. \]
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:0<x<1\right\}\cup\{2\}. \]
Résultat
\[ \inf A=0. \]
\[ \sup A=\max A=2. \]
Le minimum n'existe pas.
Résolution
L'ensemble est formé de deux parties :
\[ (0,1) \]
et de l'unique élément :
\[ 2. \]
Tous les éléments de l'intervalle \((0,1)\) sont inférieurs à \(1\), tandis que \(2\) appartient à l'ensemble.
La plus grande valeur de l'ensemble est donc \(2\).
Par conséquent :
\[ \sup A=\max A=2. \]
Étudions maintenant le comportement inférieur.
Tous les éléments de l'ensemble sont positifs, donc \(0\) est un minorant.
De plus, les éléments de l'intervalle \((0,1)\) peuvent être choisis arbitrairement proches de \(0\) par la droite.
Aucun nombre supérieur à \(0\) ne peut donc être un minorant.
Par conséquent :
\[ \inf A=0. \]
Puisque \(0\notin A\), le minimum n'existe pas.
L'élément isolé \(2\) modifie la borne supérieure, mais ne modifie pas la borne inférieure de l'ensemble.
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2>4,\ -5<x<3\right\}. \]
Résultat
\[ \inf A=-5, \qquad \sup A=3. \]
L'ensemble ne possède ni maximum ni minimum.
Résolution
Étudions séparément les deux conditions qui définissent l'ensemble.
L'inéquation :
\[ x^2>4 \]
équivaut à :
\[ x<-2 \qquad\text{ou bien}\qquad x>2. \]
De plus, on doit avoir :
\[ -5<x<3. \]
En intersectant les conditions, nous obtenons :
\[ A=(-5,-2)\cup(2,3). \]
L'ensemble est donc formé de deux intervalles ouverts.
La plus petite valeur dont les éléments peuvent se rapprocher est \(-5\), mais \(-5\notin A\). C'est pourquoi :
\[ \inf A=-5. \]
La plus grande valeur dont les éléments peuvent se rapprocher est \(3\), mais \(3\notin A\). Donc :
\[ \sup A=3. \]
Puisque la borne inférieure n'appartient pas à l'ensemble, le minimum n'existe pas.
Puisque la borne supérieure n'appartient pas à l'ensemble, le maximum n'existe pas.
Observons que le « trou » entre \(-2\) et \(2\) ne modifie ni la borne inférieure ni la borne supérieure : celles-ci ne dépendent que du comportement le plus bas et le plus haut de l'ensemble.
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Déterminer la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum de l'ensemble :
\[ A=\left\{\frac{(-1)^n n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Résultat
\[ \sup A=1. \]
\[ \inf A=-1. \]
L'ensemble ne possède ni maximum ni minimum.
Résolution
Pour déterminer la borne supérieure et la borne inférieure, il convient de distinguer les termes d'indice pair de ceux d'indice impair.
Si \(n\) est pair, alors :
\[ (-1)^n=1. \]
Les éléments correspondants de l'ensemble sont donc :
\[ \frac{n}{n+1}. \]
Pour \(n=2,4,6,\ldots\), nous obtenons :
\[ \frac23,\ \frac45,\ \frac67,\ \frac89,\ldots \]
Nous pouvons réécrire ces termes sous la forme :
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1}. \]
Puisque \(\displaystyle \frac1{n+1}>0\), chaque terme est strictement inférieur à \(1\).
De plus, à mesure que \(n\) croît, le terme \(\displaystyle \frac1{n+1}\) devient de plus en plus petit et tend vers \(0\). Par conséquent, les valeurs
\[ \frac{n}{n+1} \]
se rapprochent arbitrairement de \(1\) sans jamais l'atteindre.
Le nombre \(1\) est donc un majorant de l'ensemble.
De plus, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un indice pair suffisamment grand tel que :
\[ \frac{n}{n+1}>1-\varepsilon. \]
D'après la caractérisation de la borne supérieure, il s'ensuit que :
\[ \sup A=1. \]
Comme aucun élément de l'ensemble n'est égal à \(1\), le maximum n'existe pas.
Considérons à présent les indices impairs.
Si \(n\) est impair, alors :
\[ (-1)^n=-1. \]
Les éléments correspondants de l'ensemble sont :
\[ -\frac{n}{n+1}. \]
Pour \(n=1,3,5,\ldots\), nous obtenons :
\[ -\frac12,\ -\frac34,\ -\frac56,\ -\frac78,\ldots \]
Réécrivons ces termes sous la forme :
\[ -\frac{n}{n+1} = -1+\frac1{n+1}. \]
Puisque \(\displaystyle \frac1{n+1}>0\), toutes ces valeurs sont strictement supérieures à \(-1\).
De plus, à mesure que \(n\) croît, le terme \(\frac1{n+1}\) tend vers \(0\), et donc les valeurs
\[ -\frac{n}{n+1} \]
se rapprochent arbitrairement de \(-1\) sans jamais l'atteindre.
Le nombre \(-1\) est donc un minorant de l'ensemble.
De plus, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un indice impair suffisamment grand tel que :
\[ -\frac{n}{n+1}< -1+\varepsilon. \]
D'après la caractérisation de la borne inférieure, il s'ensuit que :
\[ \inf A=-1. \]
Comme aucun élément de l'ensemble n'est égal à \(-1\), le minimum n'existe pas.
Nous concluons donc que :
\[ \sup A=1, \qquad \inf A=-1. \]
tandis que l'ensemble ne possède ni maximum ni minimum.
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Vérifier, en utilisant la caractérisation de la borne supérieure, que :
\[ \sup(2,7)=7. \]
Résultat
\[ \sup(2,7)=7. \]
Résolution
Pour démontrer que \(7\) est la borne supérieure de l'ensemble \(A=(2,7)\), nous devons vérifier deux conditions.
La première condition exige que \(7\) soit un majorant de \(A\).
En effet, si \(x\in(2,7)\), alors :
\[ x<7. \]
À plus forte raison :
\[ x\leq 7. \]
Donc \(7\) est un majorant.
La seconde condition exige que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un élément \(x\in A\) tel que :
\[ 7-\varepsilon<x. \]
Soit donc \(\varepsilon>0\).
Si \(0<\varepsilon<10\), considérons :
\[ x=7-\frac{\varepsilon}{2}. \]
Alors :
\[ 2<x<7 \]
de sorte que \(x\in(2,7)\).
De plus :
\[ x=7-\frac{\varepsilon}{2}>7-\varepsilon. \]
Nous avons donc trouvé un élément de l'ensemble supérieur à \(7-\varepsilon\).
Si, en revanche, \(\varepsilon\geq10\), il suffit de choisir \(x=3\).
En effet :
\[ 3\in(2,7) \]
et
\[ 3>7-\varepsilon. \]
Dans tous les cas, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(x\in A\) tel que :
\[ 7-\varepsilon<x. \]
D'après la caractérisation de la borne supérieure, nous concluons que :
\[ \sup(2,7)=7. \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Vérifier, en utilisant la caractérisation de la borne inférieure, que :
\[ \inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=0. \]
Résultat
\[ \inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=0. \]
Résolution
Posons :
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Pour démontrer que \(0\) est la borne inférieure de \(A\), nous devons vérifier deux conditions.
La première condition exige que \(0\) soit un minorant de \(A\).
En effet, pour tout \(n\geq1\), on a :
\[ \frac1n>0. \]
Donc :
\[ 0\leq \frac1n \qquad \forall n\geq1. \]
Ainsi, \(0\) est un minorant de l'ensemble.
La seconde condition exige que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un élément de \(A\) inférieur à :
\[ 0+\varepsilon=\varepsilon. \]
Soit donc \(\varepsilon>0\).
D'après la propriété d'Archimède, il existe \(n\in\mathbb N\) tel que :
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
De cette inégalité résulte :
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Or \(\frac1n\in A\). Donc, pour tout \(\varepsilon>0\), nous avons trouvé un élément \(x\in A\) tel que :
\[ x<0+\varepsilon. \]
D'après la caractérisation de la borne inférieure, il s'ensuit :
\[ \inf A=0. \]
Enfin, observons que \(0\notin A\), de sorte que \(A\) ne possède pas de minimum.