Nous proposons un recueil de 20 exercices résolus sur les fonctions injectives, surjectives et bijectives, conçus pour comprendre de manière rigoureuse et progressive trois propriétés fondamentales des fonctions.
Rappelons brièvement qu'une fonction \(f:A\to B\) est dite :
- injective si des éléments distincts de l'ensemble de départ ont des images distinctes ;
- surjective si tout élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'au moins un élément de l'ensemble de départ ;
- bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Formellement :
\[ f \text{ est injective} \iff \forall x_1,x_2\in A,\; f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2. \]
\[ f \text{ est surjective} \iff \mathrm{Im}(f)=\mathrm{Cod}(f). \]
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x+1. \]
Déterminer si \(f\) est injective.
Résultat
La fonction est injective.
Résolution
Pour vérifier si une fonction est injective, il faut s'assurer que deux éléments de l'ensemble de départ ayant la même image coïncident nécessairement.
Supposons donc que :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Puisque \(f(x)=2x+1\), nous obtenons :
\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]
Retranchons \(1\) des deux membres :
\[ 2x_1=2x_2. \]
Divisons par \(2\) :
\[ x_1=x_2. \]
Nous avons montré que :
\[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2. \]
Par conséquent, la fonction est injective.
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Déterminer si \(f\) est injective.
Résultat
La fonction n'est pas injective.
Résolution
Pour montrer qu'une fonction n'est pas injective, il suffit d'exhiber deux éléments distincts de l'ensemble de départ ayant la même image.
Considérons :
\[ x_1=2, \qquad x_2=-2. \]
Clairement :
\[ 2\ne -2. \]
Calculons à présent les images :
\[ f(2)=2^2=4. \]
De plus :
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Ainsi :
\[ f(2)=f(-2), \]
bien que \(2\ne -2\).
Il existe donc deux éléments distincts de l'ensemble de départ ayant la même image.
Par conséquent, la fonction n'est pas injective.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Déterminer si \(f\) est injective.
Résultat
La fonction est injective.
Résolution
L'expression de la fonction est \(f(x)=x^2\), mais l'ensemble de départ n'est plus \(\mathbb{R}\) tout entier. Il vaut désormais :
\[ [0,+\infty). \]
Ce détail est essentiel. Sur \(\mathbb{R}\) tout entier, la fonction carrée n'est pas injective ; restreinte aux seuls nombres positifs ou nuls, en revanche, elle le devient.
Supposons que :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Alors :
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Comme \(x_1\) et \(x_2\) appartiennent tous deux à \([0,+\infty)\), ils sont tous deux positifs ou nuls.
Deux nombres positifs ou nuls ayant le même carré sont nécessairement égaux.
Donc :
\[ x_1=x_2. \]
Par conséquent :
\[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2. \]
La fonction est donc injective.
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^3. \]
Déterminer si \(f\) est injective.
Résultat
La fonction est injective.
Résolution
Vérifions l'injectivité à l'aide de la définition.
Supposons que :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Puisque \(f(x)=x^3\), nous obtenons :
\[ x_1^3=x_2^3. \]
La fonction racine cubique est définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier. Nous pouvons donc prendre la racine cubique des deux membres :
\[ \sqrt[3]{x_1^3}=\sqrt[3]{x_2^3}. \]
Par suite :
\[ x_1=x_2. \]
Nous avons montré que deux éléments ayant la même image coïncident nécessairement.
Par conséquent, la fonction est injective.
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2+1. \]
Déterminer si \(f\) est surjective.
Résultat
La fonction n'est pas surjective.
Résolution
Une fonction \(f:A\to B\) est surjective si tout élément de l'ensemble d'arrivée \(B\) est effectivement atteint par la fonction.
Ici, l'ensemble d'arrivée est :
\[ \mathbb{R}. \]
Étudions les valeurs prises par :
\[ f(x)=x^2+1. \]
Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a :
\[ x^2\ge 0. \]
Donc :
\[ x^2+1\ge 1. \]
La fonction ne prend que des valeurs supérieures ou égales à \(1\).
Par exemple, le nombre \(0\) appartient à l'ensemble d'arrivée \(\mathbb{R}\), mais n'est jamais atteint par la fonction.
En effet, l'équation :
\[ x^2+1=0 \]
équivaut à :
\[ x^2=-1, \]
qui n'admet aucune solution réelle.
Il existe donc au moins un élément de l'ensemble d'arrivée qui n'est l'image d'aucun élément de l'ensemble de départ.
Par conséquent, la fonction n'est pas surjective.
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty), \qquad f(x)=x^2+1. \]
Déterminer si \(f\) est surjective.
Résultat
La fonction est surjective.
Résolution
L'expression de la fonction est la même qu'à l'exercice précédent :
\[ f(x)=x^2+1. \]
En revanche, l'ensemble d'arrivée a changé. Nous avons à présent :
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty). \]
Pour établir la surjectivité, il faut montrer que tout élément de \([1,+\infty)\) est atteint par la fonction.
Soit donc :
\[ y\in[1,+\infty). \]
Cherchons \(x\in\mathbb{R}\) tel que :
\[ f(x)=y. \]
C'est-à-dire :
\[ x^2+1=y. \]
En retranchant \(1\) des deux membres :
\[ x^2=y-1. \]
Comme \(y\ge 1\), nous avons :
\[ y-1\ge 0. \]
Nous pouvons donc choisir :
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Cette valeur appartient à \(\mathbb{R}\). De plus :
\[ f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Nous avons montré que tout élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'au moins un élément de l'ensemble de départ.
Par conséquent, la fonction est surjective.
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x-5. \]
Déterminer si \(f\) est bijective.
Résultat
La fonction est bijective.
Résolution
Une fonction est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Vérifions d'abord l'injectivité.
Supposons que :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Alors :
\[ 2x_1-5=2x_2-5. \]
En ajoutant \(5\) aux deux membres :
\[ 2x_1=2x_2. \]
En divisant par \(2\) :
\[ x_1=x_2. \]
Donc \(f\) est injective.
Vérifions à présent la surjectivité.
Soit :
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cherchons \(x\in\mathbb{R}\) tel que :
\[ 2x-5=y. \]
En résolvant :
\[ 2x=y+5, \]
d'où :
\[ x=\frac{y+5}{2}. \]
Cette valeur est réelle pour tout \(y\in\mathbb{R}\). Tout élément de l'ensemble d'arrivée est donc atteint.
La fonction est surjective.
Étant à la fois injective et surjective, la fonction est bijective.
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Déterminer si \(f\) est bijective.
Résultat
La fonction n'est pas bijective.
Résolution
Une fonction est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Étudions les deux propriétés séparément.
La fonction n'est pas injective. En effet :
\[ f(2)=2^2=4 \]
et :
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Ainsi :
\[ f(2)=f(-2), \]
bien que \(2\ne -2\).
Donc \(f\) n'est pas injective.
De plus, elle n'est pas surjective sur \(\mathbb{R}\), car :
\[ x^2\ge 0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
La fonction ne prend jamais de valeurs négatives.
Par exemple :
\[ -1\in\mathbb{R} \]
appartient à l'ensemble d'arrivée, mais n'est l'image d'aucun élément de l'ensemble de départ.
La fonction n'est donc pas surjective.
N'étant ni injective ni surjective, elle n'est pas bijective.
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\ln(x). \]
Déterminer si \(f\) est bijective.
Résultat
La fonction est bijective.
Résolution
Étudions séparément l'injectivité et la surjectivité.
Vérifions d'abord l'injectivité.
Supposons que :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Alors :
\[ \ln(x_1)=\ln(x_2). \]
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l'intervalle :
\[ (0,+\infty). \]
Par conséquent, l'égalité de deux logarithmes entraîne nécessairement :
\[ x_1=x_2. \]
La fonction est donc injective.
Vérifions à présent la surjectivité.
Soit :
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cherchons \(x\gt0\) tel que :
\[ \ln(x)=y. \]
En prenant l'exponentielle des deux membres :
\[ x=e^y. \]
Comme :
\[ e^y\gt0 \]
pour tout \(y\in\mathbb{R}\), la valeur trouvée appartient à l'ensemble de départ.
De plus :
\[ \ln(e^y)=y. \]
Tout élément de l'ensemble d'arrivée est donc effectivement atteint.
La fonction est surjective.
Étant à la fois injective et surjective, la fonction est bijective.
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Déterminer si \(f\) est surjective.
Résultat
La fonction est surjective.
Résolution
L'ensemble d'arrivée de la fonction est :
\[ [0,+\infty). \]
Pour vérifier la surjectivité, il faut montrer que tout élément de cet ensemble est atteint par la fonction.
Soit donc :
\[ y\in[0,+\infty). \]
Cherchons \(x\in\mathbb{R}\) tel que :
\[ x^2=y. \]
Comme :
\[ y\ge0, \]
nous pouvons choisir :
\[ x=\sqrt{y}. \]
Cette valeur appartient à \(\mathbb{R}\). De plus :
\[ f(\sqrt{y})=(\sqrt{y})^2=y. \]
Tout élément de l'ensemble d'arrivée est donc atteint par la fonction.
Par conséquent, la fonction est surjective.
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}, \qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Déterminer si \(f\) est bijective.
Résultat
La fonction est bijective.
Résolution
Vérifions tout d'abord l'injectivité.
Supposons que :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Nous obtenons :
\[ \frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}. \]
En multipliant par \(x_1x_2\), qui est non nul, nous obtenons :
\[ x_2=x_1. \]
La fonction est donc injective.
Vérifions à présent la surjectivité.
Soit :
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Cherchons \(x\ne0\) tel que :
\[ \frac{1}{x}=y. \]
En résolvant :
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Comme \(y\ne0\), cette valeur est bien définie et appartient à l'ensemble de départ.
De plus :
\[ f\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y. \]
La fonction est donc surjective.
Étant à la fois injective et surjective, la fonction est bijective.
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=|x|. \]
Déterminer si \(f\) est injective.
Résultat
La fonction n'est pas injective.
Résolution
Pour montrer qu'une fonction n'est pas injective, il suffit d'exhiber deux éléments distincts de l'ensemble de départ ayant la même image.
Considérons :
\[ x_1=3, \qquad x_2=-3. \]
Clairement :
\[ 3\ne -3. \]
Cependant :
\[ f(3)=|3|=3 \]
et :
\[ f(-3)=|-3|=3. \]
Ainsi :
\[ f(3)=f(-3), \]
bien que :
\[ 3\ne -3. \]
La fonction n'est donc pas injective.
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
Considérons la fonction :
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x|. \]
Déterminer si \(f\) est bijective.
Résultat
La fonction est bijective.
Résolution
Sur l'intervalle :
\[ [0,+\infty), \]
la valeur absolue coïncide avec la fonction identité :
\[ |x|=x. \]
La fonction devient alors :
\[ f(x)=x. \]
Vérifions l'injectivité.
Si :
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
alors :
\[ x_1=x_2. \]
La fonction est donc injective.
Vérifions à présent la surjectivité.
Soit :
\[ y\in[0,+\infty). \]
Il suffit de choisir :
\[ x=y. \]
En effet :
\[ f(y)=y. \]
Tout élément de l'ensemble d'arrivée est donc atteint.
La fonction est surjective.
Par conséquent, la fonction est bijective.
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x|. \]
Déterminer si \(f\) est surjective.
Résultat
La fonction est surjective.
Résolution
Pour vérifier la surjectivité, il faut s'assurer que tout élément de l'ensemble d'arrivée est atteint par la fonction.
L'ensemble d'arrivée est :
\[ [0,+\infty). \]
Soit donc :
\[ y\in[0,+\infty). \]
Nous devons trouver au moins un \(x\in\mathbb{R}\) tel que :
\[ |x|=y. \]
Comme \(y\ge 0\), nous pouvons choisir :
\[ x=y. \]
En effet :
\[ f(y)=|y|=y. \]
Tout élément de l'ensemble d'arrivée \([0,+\infty)\) est donc effectivement atteint par la fonction.
Par conséquent, \(f\) est surjective.
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^3-1. \]
Déterminer si \(f\) est bijective.
Résultat
La fonction est bijective.
Résolution
Pour déterminer si \(f\) est bijective, il faut vérifier qu'elle est à la fois injective et surjective.
Étudions d'abord l'injectivité.
Supposons que :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Puisque \(f(x)=x^3-1\), nous obtenons :
\[ x_1^3-1=x_2^3-1. \]
En ajoutant \(1\) aux deux membres :
\[ x_1^3=x_2^3. \]
En prenant la racine cubique :
\[ x_1=x_2. \]
Donc \(f\) est injective.
Vérifions à présent la surjectivité.
Soit :
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cherchons \(x\in\mathbb{R}\) tel que :
\[ x^3-1=y. \]
En ajoutant \(1\) aux deux membres :
\[ x^3=y+1. \]
En prenant la racine cubique :
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
Cette valeur est réelle pour tout \(y\in\mathbb{R}\).
De plus :
\[ f\left(\sqrt[3]{y+1}\right) = \left(\sqrt[3]{y+1}\right)^3-1 = y+1-1 = y. \]
Tout élément de l'ensemble d'arrivée est donc atteint par la fonction.
La fonction est surjective.
Étant à la fois injective et surjective, \(f\) est bijective.
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Considérons la fonction :
\[ f:[0,+\infty)\to[1,+\infty), \qquad f(x)=x^2+1. \]
Déterminer si \(f\) est bijective.
Résultat
La fonction est bijective.
Résolution
Vérifions d'abord l'injectivité.
Supposons que :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Alors :
\[ x_1^2+1=x_2^2+1. \]
En retranchant \(1\) des deux membres :
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Comme \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\), tous deux sont positifs ou nuls.
Deux nombres positifs ou nuls ayant le même carré sont égaux.
Donc :
\[ x_1=x_2. \]
La fonction est injective.
Vérifions à présent la surjectivité.
Soit :
\[ y\in[1,+\infty). \]
Cherchons \(x\in[0,+\infty)\) tel que :
\[ x^2+1=y. \]
Nous obtenons :
\[ x^2=y-1. \]
Comme \(y\ge 1\), nous avons \(y-1\ge 0\). Nous pouvons donc choisir :
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Cette valeur appartient à \([0,+\infty)\). De plus :
\[ f(\sqrt{y-1}) = (\sqrt{y-1})^2+1 = y. \]
La fonction est donc surjective.
Étant à la fois injective et surjective, \(f\) est bijective.
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Déterminer si \(f\) est injective.
Résultat
La fonction n'est pas injective.
Résolution
Pour vérifier si la fonction est injective, cherchons deux éléments distincts de l'ensemble de départ ayant la même image.
Calculons :
\[ f(1)=1^2-4\cdot1+3=1-4+3=0. \]
Calculons également :
\[ f(3)=3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0. \]
Ainsi :
\[ f(1)=f(3), \]
mais :
\[ 1\ne 3. \]
Nous avons trouvé deux éléments distincts de l'ensemble de départ ayant la même image.
Par conséquent, la fonction n'est pas injective.
Observons également la raison géométrique : en complétant le carré, nous obtenons :
\[ x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
Le graphe est une parabole d'axe de symétrie \(x=2\). C'est pourquoi, sur \(\mathbb{R}\) tout entier, la fonction prend souvent la même valeur en deux points distincts.
Exercice 18 — niveau ★★★★★
Considérons la fonction :
\[ f:[2,+\infty)\to[-1,+\infty), \qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Déterminer si \(f\) est bijective.
Résultat
La fonction est bijective.
Résolution
Réécrivons la fonction en complétant le carré :
\[ f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
L'ensemble de départ est :
\[ [2,+\infty). \]
Sur cet intervalle, \(x-2\ge 0\). La fonction :
\[ (x-2)^2-1 \]
est strictement croissante pour \(x\ge 2\).
Vérifions l'injectivité de façon directe.
Supposons que :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Alors :
\[ (x_1-2)^2-1=(x_2-2)^2-1. \]
En ajoutant \(1\) aux deux membres :
\[ (x_1-2)^2=(x_2-2)^2. \]
Comme \(x_1,x_2\in[2,+\infty)\), nous avons :
\[ x_1-2\ge 0 \qquad\text{et}\qquad x_2-2\ge 0. \]
Deux nombres positifs ou nuls ayant le même carré sont égaux. Donc :
\[ x_1-2=x_2-2. \]
D'où :
\[ x_1=x_2. \]
La fonction est injective.
Vérifions à présent la surjectivité.
Soit :
\[ y\in[-1,+\infty). \]
Cherchons \(x\in[2,+\infty)\) tel que :
\[ (x-2)^2-1=y. \]
Nous obtenons :
\[ (x-2)^2=y+1. \]
Comme \(y\ge -1\), nous avons :
\[ y+1\ge 0. \]
De plus, comme \(x\ge 2\), nous devons retenir la racine positive ou nulle :
\[ x-2=\sqrt{y+1}. \]
D'où :
\[ x=2+\sqrt{y+1}. \]
Cette valeur appartient à \([2,+\infty)\). En effet :
\[ 2+\sqrt{y+1}\ge 2. \]
De plus :
\[ f(2+\sqrt{y+1}) = (2+\sqrt{y+1}-2)^2-1 = (\sqrt{y+1})^2-1 = y. \]
Tout élément de l'ensemble d'arrivée est donc atteint.
La fonction est surjective.
Étant à la fois injective et surjective, \(f\) est bijective.
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\}, \qquad f(x)=\frac{2x+1}{x-1}. \]
Déterminer si \(f\) est bijective.
Résultat
La fonction est bijective.
Résolution
Pour déterminer si \(f\) est bijective, il faut vérifier qu'elle est à la fois injective et surjective.
Vérifions d'abord l'injectivité.
Supposons que :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Alors :
\[ \frac{2x_1+1}{x_1-1} = \frac{2x_2+1}{x_2-1}. \]
Comme \(x_1\ne1\) et \(x_2\ne1\), nous pouvons effectuer le produit en croix :
\[ (2x_1+1)(x_2-1)=(2x_2+1)(x_1-1). \]
Développons le premier membre :
\[ (2x_1+1)(x_2-1)=2x_1x_2-2x_1+x_2-1. \]
Développons le second membre :
\[ (2x_2+1)(x_1-1)=2x_1x_2-2x_2+x_1-1. \]
Ainsi :
\[ 2x_1x_2-2x_1+x_2-1 = 2x_1x_2-2x_2+x_1-1. \]
En retranchant \(2x_1x_2\) et en ajoutant \(1\) aux deux membres :
\[ -2x_1+x_2=-2x_2+x_1. \]
Regroupons les termes en \(x_1\) d'un côté et ceux en \(x_2\) de l'autre :
\[ -3x_1=-3x_2. \]
En divisant par \(-3\), nous obtenons :
\[ x_1=x_2. \]
Donc \(f\) est injective.
Vérifions à présent la surjectivité.
Soit :
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{2\}. \]
Cherchons \(x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) tel que :
\[ \frac{2x+1}{x-1}=y. \]
Multiplions par \(x-1\) :
\[ 2x+1=y(x-1). \]
Développons :
\[ 2x+1=yx-y. \]
Regroupons les termes contenant \(x\) d'un même côté :
\[ 2x-yx=-y-1. \]
Mettons \(x\) en facteur :
\[ x(2-y)=-(y+1). \]
Comme \(y\ne2\), nous pouvons diviser par \(2-y\) :
\[ x=\frac{-(y+1)}{2-y}. \]
De façon équivalente :
\[ x=\frac{y+1}{y-2}. \]
Cette valeur est réelle pour tout \(y\ne2\). Il reste à vérifier qu'elle appartient à l'ensemble de départ, c'est-à-dire qu'elle est différente de \(1\).
Si l'on avait :
\[ \frac{y+1}{y-2}=1, \]
il viendrait :
\[ y+1=y-2, \]
c'est-à-dire :
\[ 1=-2, \]
ce qui est impossible.
La valeur trouvée appartient donc toujours à l'ensemble de départ.
De plus, en la substituant dans la fonction, on retrouve précisément \(y\).
Tout élément de l'ensemble d'arrivée admet donc au moins un antécédent.
La fonction est surjective.
Étant à la fois injective et surjective, \(f\) est bijective.
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Considérons la fonction :
\[ f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\tan(x). \]
Déterminer si \(f\) est bijective.
Résultat
La fonction est bijective.
Résolution
Pour déterminer si \(f\) est bijective, il faut vérifier qu'elle est à la fois injective et surjective.
Étudions d'abord l'injectivité.
Sur l'intervalle :
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \]
la fonction tangente est strictement croissante.
Une fonction strictement croissante associe à des éléments distincts de l'ensemble de départ des images distinctes.
Donc \(f\) est injective.
Vérifions à présent la surjectivité.
L'ensemble d'arrivée est :
\[ \mathbb{R}. \]
Nous devons montrer que tout nombre réel est atteint par la fonction.
Soit :
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cherchons \(x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) tel que :
\[ \tan(x)=y. \]
Le choix naturel est :
\[ x=\arctan(y). \]
Par définition, la fonction arctangente prend ses valeurs dans l'intervalle :
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
Donc :
\[ \arctan(y)\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
De plus :
\[ \tan(\arctan(y))=y. \]
Nous avons donc trouvé, pour tout \(y\in\mathbb{R}\), au moins un élément de l'ensemble de départ dont l'image est \(y\).
La fonction est surjective.
Étant à la fois injective et surjective, \(f\) est bijective.