Dans cette section, nous proposons une collection de 20 exercices résolus sur les fonctions, conçus pour approfondir de manière rigoureuse et progressive les concepts fondamentaux liés à la définition d'une fonction, au domaine, au codomaine et à l'image d'une fonction.
Les exercices sont classés par difficulté croissante et accompagnés d'une résolution complète pas à pas, avec des explications détaillées et une attention particulière aux raisonnements théoriques fondamentaux.
En particulier, nous apprendrons à :
- reconnaître quand une correspondance définit effectivement une fonction ;
- déterminer le domaine d'une fonction ;
- distinguer correctement codomaine et image ;
- étudier les valeurs effectivement prises par une fonction.
Rappelons qu'une fonction est une correspondance qui associe à chaque élément du domaine un et un seul élément du codomaine.
Il sera également essentiel de distinguer correctement :
- le domaine, c'est-à-dire l'ensemble des éléments pour lesquels la fonction est définie ;
- le codomaine, c'est-à-dire l'ensemble dans lequel la fonction prend ses valeurs ;
- l'image, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs effectivement prises par la fonction.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x-1. \]
Déterminer :
- le domaine ;
- le codomaine ;
- l'image de la fonction.
Résultat
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R} \]
Solution
La fonction considérée est :
\[ f(x)=2x-1. \]
Il s'agit d'une fonction polynomiale du premier degré. Les fonctions polynomiales sont définies sur l'ensemble des réels, car il n'apparaît ni dénominateurs, ni radicaux, ni logarithmes susceptibles d'imposer des restrictions.
Par conséquent :
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}. \]
D'après la notation :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]
nous déduisons que le codomaine choisi est :
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Étudions à présent l'image de la fonction.
Posons :
\[ y=2x-1. \]
En résolvant par rapport à \(x\), on obtient :
\[ x=\frac{y+1}{2}. \]
Cette valeur existe pour tout \(y\in\mathbb{R}\). Cela signifie que tout nombre réel est atteint par la fonction.
Par conséquent :
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}. \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Déterminer :
- le domaine ;
- le codomaine ;
- l'image de la fonction.
Résultat
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Solution
La fonction :
\[ f(x)=x^2 \]
est une fonction polynomiale, donc elle est définie sur l'ensemble des réels.
Par conséquent :
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}. \]
D'après la notation :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]
nous déduisons que le codomaine est :
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Déterminons à présent l'image de la fonction.
Puisque le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul, on a :
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
De plus :
- la valeur \(0\) est atteinte en \(x=0\) ;
- tout nombre positif \(y>0\) peut s'écrire sous la forme : \[ y=x^2 \] en choisissant : \[ x=\sqrt{y}. \]
La fonction prend donc exactement les valeurs positives ou nulles.
Par conséquent :
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty). \]
Observons enfin que :
\[ \mathrm{Im}(f)\subsetneq\mathrm{Cod}(f), \]
puisque la fonction ne prend jamais de valeurs négatives.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si la correspondance suivante définit une fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\pm\sqrt{x}. \]
Résultat
La correspondance considérée ne définit pas une fonction.
Solution
Pour être une fonction, une correspondance doit associer à chaque élément du domaine un et un seul élément du codomaine.
Dans notre cas :
\[ f(x)=\pm\sqrt{x}. \]
Le symbole \(\pm\) désigne deux valeurs possibles :
\[ +\sqrt{x} \qquad \text{et} \qquad -\sqrt{x}. \]
Par exemple, en choisissant \(x=4\), on obtient :
\[ f(4)=\pm2. \]
Ainsi, au même élément \(4\) sont associées deux valeurs distinctes :
\[ 2 \qquad \text{et} \qquad -2. \]
De plus, puisque le domaine est \(\mathbb{R}\), l'expression \(\sqrt{x}\) n'est pas définie dans les réels pour les valeurs négatives de \(x\). La correspondance n'associe donc pas non plus une valeur réelle à chaque élément du domaine indiqué.
Cela contredit la définition d'une fonction, car un élément du domaine ne peut pas avoir deux images distinctes.
Par conséquent, la correspondance considérée n'est pas une fonction.
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\sqrt{x}. \]
Déterminer :
- le domaine ;
- le codomaine ;
- l'image de la fonction.
Résultat
\[ \mathrm{Dom}(f)=[0,+\infty) \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Solution
La fonction considérée est :
\[ f(x)=\sqrt{x}. \]
Pour qu'une racine carrée soit définie dans les réels, le radicande doit être positif ou nul.
Il faut donc imposer :
\[ x\ge0. \]
Par conséquent :
\[ \mathrm{Dom}(f)=[0,+\infty). \]
D'après la notation :
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \]
nous observons que le codomaine choisi est :
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Déterminons à présent l'image de la fonction.
Puisque la racine carrée arithmétique est toujours positive ou nulle, on a :
\[ \sqrt{x}\ge0 \qquad \forall x\ge0. \]
La fonction ne prend donc que des valeurs positives ou nulles.
De plus, tout réel positif ou nul est effectivement atteint.
En effet, étant donné :
\[ y\ge0, \]
il suffit de choisir :
\[ x=y^2. \]
On obtient ainsi :
\[ f(y^2)=\sqrt{y^2}=y. \]
La fonction prend donc exactement les valeurs positives ou nulles.
Par conséquent :
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty). \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Déterminer :
- le domaine ;
- le codomaine ;
- l'image de la fonction.
Résultat
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\} \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\} \]
Solution
La fonction considérée est :
\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]
Dans une fraction, le dénominateur ne peut pas être nul.
Il faut donc imposer :
\[ x\neq0. \]
Par conséquent :
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
D'après la notation :
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R} \]
nous observons que le codomaine choisi est :
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Étudions à présent l'image.
La fonction :
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
ne peut jamais prendre la valeur \(0\).
En effet, l'équation :
\[ \frac{1}{x}=0 \]
n'admet pas de solution réelle, car une fraction à numérateur non nul ne peut être égale à zéro.
Montrons à présent que tout réel non nul est effectivement atteint par la fonction.
Soit :
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Cherchons un réel \(x\neq0\) tel que :
\[ \frac{1}{x}=y. \]
En résolvant par rapport à \(x\), on obtient :
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Puisque \(y\neq0\), la valeur :
\[ \frac{1}{y} \]
est bien définie et appartient au domaine.
Ainsi, tout réel non nul appartient à l'image de la fonction.
Par conséquent :
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3. \]
Déterminer si la fonction est injective.
Résultat
La fonction est injective.
Solution
Une fonction est injective si des éléments distincts du domaine ont des images distinctes.
De manière équivalente, il suffit de vérifier que :
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Supposons donc que :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Puisque :
\[ f(x)=x^3, \]
on obtient :
\[ x_1^3=x_2^3. \]
En extrayant la racine cubique des deux membres :
\[ x_1=x_2. \]
Nous avons ainsi montré que :
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Par conséquent, la fonction est injective.
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Déterminer si la fonction est injective.
Résultat
La fonction n'est pas injective.
Solution
Pour montrer qu'une fonction n'est pas injective, il suffit de trouver deux éléments distincts du domaine ayant la même image.
Considérons :
\[ x_1=2 \qquad \text{et} \qquad x_2=-2. \]
Il est clair que :
\[ 2\neq-2. \]
Cependant :
\[ f(2)=2^2=4 \]
et :
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Donc :
\[ f(2)=f(-2), \]
bien que :
\[ 2\neq-2. \]
Nous avons trouvé deux éléments distincts du domaine ayant la même image.
Par conséquent, la fonction n'est pas injective.
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Déterminer si la fonction est injective.
Résultat
La fonction est injective.
Solution
La règle de la fonction est la même que dans l'exercice précédent :
\[ f(x)=x^2. \]
Cependant, le domaine a changé.
La fonction est à présent définie uniquement sur :
\[ [0,+\infty). \]
Vérifions l'injectivité.
Supposons que :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
On obtient :
\[ x_1^2=x_2^2. \]
De cette égalité, il vient :
\[ x_1=x_2 \qquad \text{ou} \qquad x_1=-x_2. \]
Or, \(x_1\) et \(x_2\) appartiennent tous deux à l'intervalle :
\[ [0,+\infty), \]
ils sont donc tous deux positifs ou nuls.
Deux réels positifs ou nuls ayant le même carré sont nécessairement égaux.
Par conséquent :
\[ x_1=x_2. \]
Nous avons ainsi montré que :
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Par conséquent, la fonction est injective.
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Déterminer si la fonction est surjective.
Résultat
La fonction n'est pas surjective.
Solution
Une fonction est surjective lorsque tout élément du codomaine est l'image d'au moins un élément du domaine.
Ici, le codomaine est :
\[ \mathbb{R}. \]
Étudions les valeurs prises par la fonction :
\[ f(x)=x^2+1. \]
Puisque :
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}, \]
on a :
\[ x^2+1\ge1. \]
La fonction ne prend donc que des valeurs supérieures ou égales à \(1\).
Par exemple, le nombre \(0\) appartient au codomaine \(\mathbb{R}\), mais n'est jamais atteint par la fonction.
En effet, l'équation :
\[ x^2+1=0 \]
est équivalente à :
\[ x^2=-1, \]
qui n'admet pas de solution réelle.
Il existe donc au moins un élément du codomaine qui n'est l'image d'aucun élément du domaine.
Par conséquent, la fonction n'est pas surjective.
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty) \qquad,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Déterminer si la fonction est surjective.
Résultat
La fonction est surjective.
Solution
La règle de la fonction est :
\[ f(x)=x^2+1. \]
Par rapport à l'exercice précédent, le codomaine a changé.
On a à présent :
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty). \]
Pour vérifier la surjectivité, il faut montrer que tout élément du codomaine \([1,+\infty)\) est atteint par la fonction.
Soit donc :
\[ y\in[1,+\infty). \]
Cherchons un réel \(x\) tel que :
\[ f(x)=y. \]
Soit :
\[ x^2+1=y. \]
En soustrayant \(1\) des deux membres :
\[ x^2=y-1. \]
Puisque \(y\in[1,+\infty)\), on a :
\[ y-1\ge0. \]
On peut donc choisir :
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Ce nombre appartient à \(\mathbb{R}\), c'est-à-dire au domaine de la fonction.
De plus :
\[ f(\sqrt{y-1}) = (\sqrt{y-1})^2+1 = y-1+1 = y. \]
Nous avons montré que tout élément du codomaine est l'image d'au moins un élément du domaine.
Par conséquent, la fonction est surjective.
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x+3. \]
Déterminer si la fonction est bijective.
Résultat
La fonction est bijective.
Solution
Une fonction est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Vérifions d'abord l'injectivité.
Supposons que :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Alors :
\[ 2x_1+3=2x_2+3. \]
En soustrayant \(3\) des deux membres :
\[ 2x_1=2x_2. \]
En divisant par \(2\) :
\[ x_1=x_2. \]
La fonction est donc injective.
Vérifions à présent la surjectivité.
Soit :
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cherchons un \(x\in\mathbb{R}\) tel que :
\[ 2x+3=y. \]
En résolvant :
\[ x=\frac{y-3}{2}. \]
Cette valeur est réelle pour tout \(y\in\mathbb{R}\).
La fonction est donc surjective.
Étant à la fois injective et surjective, la fonction est bijective.
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3. \]
Déterminer si la fonction est bijective.
Résultat
La fonction est bijective.
Solution
Une fonction est bijective si elle est simultanément :
- injective ;
- surjective.
Vérifions tout d'abord l'injectivité.
Supposons que :
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
On obtient :
\[ x_1^3=x_2^3. \]
En extrayant la racine cubique des deux membres :
\[ x_1=x_2. \]
La fonction est donc injective.
Vérifions à présent la surjectivité.
Soit :
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cherchons un réel \(x\) tel que :
\[ x^3=y. \]
Il suffit de choisir :
\[ x=\sqrt[3]{y}. \]
En effet :
\[ \left(\sqrt[3]{y}\right)^3=y. \]
Tout réel est donc atteint par la fonction.
La fonction est surjective.
Étant à la fois injective et surjective, la fonction est bijective.
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Déterminer si la fonction est bijective.
Résultat
La fonction n'est pas bijective.
Solution
Une fonction est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Étudions séparément ces deux propriétés.
La fonction :
\[ f(x)=x^2 \]
n'est pas injective.
En effet :
\[ f(2)=4 \]
et :
\[ f(-2)=4. \]
Donc :
\[ f(2)=f(-2), \]
bien que :
\[ 2\neq-2. \]
La fonction n'est donc pas injective.
De plus, elle n'est pas surjective sur \(\mathbb{R}\).
En effet :
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}, \]
la fonction ne prend donc jamais de valeurs négatives.
Par exemple, le nombre :
\[ -1\in\mathbb{R} \]
n'est l'image d'aucun élément du domaine.
La fonction n'est donc pas surjective.
N'étant ni injective ni surjective, la fonction n'est pas bijective.
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Considérons la fonction :
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\ln(x). \]
Déterminer si la fonction est bijective.
Résultat
La fonction est bijective.
Solution
Étudions tout d'abord l'injectivité.
La fonction logarithme naturel est strictement croissante sur l'intervalle :
\[ (0,+\infty). \]
Une fonction strictement croissante associe toujours des images distinctes à des éléments distincts du domaine.
La fonction est donc injective.
Vérifions à présent la surjectivité.
Soit :
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cherchons un réel strictement positif \(x\) tel que :
\[ \ln(x)=y. \]
En appliquant l'exponentielle aux deux membres :
\[ x=e^y. \]
Puisque :
\[ e^y>0 \qquad \forall y\in\mathbb{R}, \]
la valeur trouvée appartient au domaine :
\[ (0,+\infty). \]
De plus :
\[ \ln(e^y)=y. \]
Tout réel appartient donc à l'image de la fonction.
La fonction est surjective.
Étant à la fois injective et surjective, la fonction est bijective.
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x-5. \]
Déterminer la fonction réciproque.
Résultat
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}. \]
Solution
Pour déterminer la fonction réciproque, posons :
\[ y=2x-5. \]
L'objectif est d'exprimer \(x\) en fonction de \(y\).
En ajoutant \(5\) aux deux membres :
\[ y+5=2x. \]
En divisant à présent par \(2\) :
\[ x=\frac{y+5}{2}. \]
Il ne reste plus qu'à échanger le rôle des variables pour obtenir :
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}. \]
Vérifions le résultat en calculant \(f(f^{-1}(x))\) :
\[ f\left(\frac{x+5}{2}\right) = 2\cdot\frac{x+5}{2}-5. \]
En simplifiant :
\[ x+5-5=x. \]
Donc :
\[ f(f^{-1}(x))=x. \]
La fonction réciproque trouvée est donc correcte.
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Considérons la fonction :
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty) \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Déterminer la fonction réciproque.
Résultat
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Solution
La fonction :
\[ f(x)=x^2 \]
est considérée avec le domaine :
\[ [0,+\infty) \]
et le codomaine :
\[ [0,+\infty). \]
Ce choix est fondamental : sur \(\mathbb{R}\) tout entier, la fonction \(x^2\) n'est pas injective ; en revanche, sur \([0,+\infty)\), elle le devient.
Pour déterminer la réciproque, posons :
\[ y=x^2. \]
En résolvant par rapport à \(x\), on obtient formellement :
\[ x=\pm\sqrt{y}. \]
Cependant, puisque le domaine de la fonction de départ est \([0,+\infty)\), on ne retient que la valeur positive ou nulle.
Donc :
\[ x=\sqrt{y}. \]
En échangeant le rôle des variables, on obtient :
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Vérifions :
\[ f(f^{-1}(x))=f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x, \qquad x\in[0,+\infty). \]
La fonction réciproque est donc correcte.
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=|x|. \]
Déterminer si la fonction est injective et, dans le cas contraire, trouver une restriction du domaine qui la rende injective.
Résultat
La fonction n'est pas injective sur \(\mathbb{R}\).
Une restriction possible du domaine est :
\[ [0,+\infty). \]
Solution
La fonction valeur absolue est :
\[ f(x)=|x|. \]
Pour vérifier si elle est injective sur \(\mathbb{R}\), cherchons deux éléments distincts du domaine ayant la même image.
Considérons :
\[ x_1=2 \qquad \text{et} \qquad x_2=-2. \]
On a :
\[ 2\neq-2. \]
Cependant :
\[ f(2)=|2|=2 \]
et :
\[ f(-2)=|-2|=2. \]
Donc :
\[ f(2)=f(-2), \]
bien que \(2\neq-2\).
La fonction n'est donc pas injective sur \(\mathbb{R}\) tout entier.
Pour la rendre injective, on peut restreindre le domaine à :
\[ [0,+\infty). \]
Sur cet intervalle, en effet, on a :
\[ |x|=x. \]
La fonction devient alors :
\[ f(x)=x, \]
qui est manifestement injective.
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Considérons la fonction :
\[ f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\tan(x). \]
Déterminer si la fonction est bijective.
Résultat
La fonction est bijective.
Solution
Pour établir si la fonction est bijective, il faut vérifier qu'elle est à la fois injective et surjective.
Étudions d'abord l'injectivité.
Sur l'intervalle :
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \]
la fonction tangente est strictement croissante.
Une fonction strictement croissante est injective, car à des éléments distincts du domaine correspondent des images distinctes.
Donc \(f\) est injective.
Vérifions à présent la surjectivité.
Le codomaine de la fonction est \(\mathbb{R}\). Il faut donc montrer que tout réel est atteint par la fonction.
On sait que :
\[ \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{+}}\tan(x)=-\infty \]
et :
\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}}\tan(x)=+\infty. \]
De plus, la fonction tangente est continue sur l'intervalle :
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
Ainsi, lorsque \(x\) parcourt l'intervalle \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), la fonction \(\tan(x)\) prend toutes les valeurs réelles.
Par conséquent :
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}. \]
Puisque l'image coïncide avec le codomaine, la fonction est surjective.
Étant à la fois injective et surjective, la fonction est bijective.
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3-1. \]
Déterminer si la fonction est inversible et, dans le cas affirmatif, trouver sa réciproque.
Résultat
La fonction est inversible.
Sa réciproque est :
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+1}. \]
Solution
Une fonction est inversible si et seulement si elle est bijective, c'est-à-dire à la fois injective et surjective.
Étudions la fonction :
\[ f(x)=x^3-1. \]
La fonction \(x^3\) est strictement croissante sur tout \(\mathbb{R}\). Soustraire \(1\) translate le graphe vers le bas, mais ne modifie pas la monotonie.
Donc \(f(x)=x^3-1\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Elle est donc injective.
Vérifions à présent la surjectivité.
Soit :
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cherchons un réel \(x\) tel que :
\[ x^3-1=y. \]
En ajoutant \(1\) aux deux membres :
\[ x^3=y+1. \]
En extrayant la racine cubique :
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
Cette valeur existe et est réelle pour tout \(y\in\mathbb{R}\).
Ainsi, tout réel \(y\) est l'image d'au moins un élément du domaine.
La fonction est donc surjective.
Étant à la fois injective et surjective, la fonction est bijective et donc inversible.
Déterminons à présent la réciproque.
Partons de :
\[ y=x^3-1. \]
Résolvons par rapport à \(x\) :
\[ y+1=x^3 \]
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
En échangeant le rôle des variables, on obtient :
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+1}. \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Considérons la fonction :
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Déterminer si la fonction est inversible sur \(\mathbb{R}\). Dans le cas contraire, trouver une restriction du domaine qui la rende inversible.
Résultat
La fonction n'est pas inversible sur \(\mathbb{R}\).
Une restriction possible du domaine qui la rend inversible est :
\[ [2,+\infty). \]
Solution
La fonction considérée est :
\[ f(x)=x^2-4x+3. \]
Il s'agit d'une fonction du second degré. Les fonctions du second degré, considérées sur \(\mathbb{R}\) tout entier, ne sont pas injectives, car leur graphe est une parabole.
Vérifions explicitement que cette fonction n'est pas injective.
Calculons :
\[ f(1)=1^2-4\cdot1+3=1-4+3=0. \]
De plus :
\[ f(3)=3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0. \]
Donc :
\[ f(1)=f(3), \]
mais :
\[ 1\neq3. \]
Nous avons trouvé deux éléments distincts du domaine ayant la même image.
Par conséquent, la fonction n'est pas injective et donc pas inversible sur \(\mathbb{R}\) tout entier.
Cherchons à présent une restriction du domaine qui la rende inversible.
Complétons le carré :
\[ x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
Sous cette forme, on constate que le sommet de la parabole a pour abscisse :
\[ x=2. \]
La fonction est décroissante pour :
\[ x\le2 \]
et croissante pour :
\[ x\ge2. \]
En restreignant le domaine à :
\[ [2,+\infty), \]
la fonction devient strictement croissante, donc injective.
De plus, sur cet intervalle, l'image est :
\[ [-1,+\infty). \]
Ainsi, la fonction :
\[ f:[2,+\infty)\to[-1,+\infty) \]
définie par :
\[ f(x)=x^2-4x+3 \]
est bijective et donc inversible.