Un système d'inéquations est un ensemble de deux inéquations ou plus qui doivent être vérifiées simultanément.
Résoudre un système d'inéquations consiste à déterminer l'ensemble des valeurs de l'inconnue qui satisfont à la fois chacune des conditions imposées par le système.
Du point de vue des ensembles, la solution d'un système s'obtient en calculant l'intersection des ensembles solutions de chaque inéquation.
Sommaire
- Définition d'un système d'inéquations
- Principe fondamental
- Intersection des ensembles solutions
- Représentation graphique sur la droite réelle
- Systèmes d'inéquations du premier degré
- Systèmes avec inéquations du second degré
- Systèmes avec inéquations rationnelles
- Exemple complet avec étude du signe
- Systèmes sans solution et systèmes toujours vérifiés
- Erreurs les plus fréquentes
- Méthode générale de résolution
Définition d'un système d'inéquations
Un système d'inéquations est un ensemble de conditions exprimées sous forme d'inéquations qui doivent être vérifiées simultanément par la même inconnue.
Par exemple :
\[ \begin{cases} x-1>0,\\ 2x+3\le 7. \end{cases} \]
Une solution du système est un nombre réel qui rend vraies les deux inéquations à la fois.
Il ne suffit donc pas de satisfaire une seule condition : toutes les inéquations du système doivent être vérifiées simultanément.
En notant :
\[ S_1 \]
l'ensemble solution de la première inéquation et :
\[ S_2 \]
celui de la seconde, la solution du système est alors :
\[ S=S_1\cap S_2. \]
Principe fondamental
Le principe fondamental des systèmes d'inéquations énonce que :
l'ensemble solution d'un système est l'intersection des ensembles solutions des inéquations qui le composent.
Ce principe découle directement du sens du mot « système » : toutes les conditions doivent être vraies en même temps.
Pour résoudre correctement un système, on procède donc ainsi :
- on résout séparément chaque inéquation ;
- on détermine les ensembles solutions correspondants ;
- on calcule leur intersection.
L'erreur la plus fréquente consiste précisément à omettre cette dernière étape.
Intersection des ensembles solutions
Considérons le système :
\[ \begin{cases} x>1,\\ x\le 4. \end{cases} \]
La première inéquation a pour ensemble solution :
\[ S_1=(1,+\infty). \]
La seconde inéquation a pour ensemble solution :
\[ S_2=(-\infty,4]. \]
La solution du système est :
\[ S=S_1\cap S_2. \]
On cherche donc les nombres appartenant simultanément aux deux ensembles.
On obtient :
\[ S=(1,4]. \]
En effet :
- les nombres doivent être strictement supérieurs à \(1\) ;
- ils doivent simultanément être inférieurs ou égaux à \(4\).
L'intersection représente ainsi la partie commune aux deux ensembles solutions.
Représentation graphique sur la droite réelle
Dans les systèmes d'inéquations, il est très utile de représenter les ensembles solutions sur la droite réelle.
Cela permet de visualiser immédiatement la partie commune des solutions.
Considérons :
\[ \begin{cases} x\ge -2,\\ x<3. \end{cases} \]
La première inéquation représente l'ensemble des nombres supérieurs ou égaux à \(-2\).
Le symbole :
\[ \ge \]
indique en effet que la borne appartient à l'ensemble solution.
La seconde inéquation représente l'ensemble des nombres strictement inférieurs à \(3\).
Le symbole :
\[ < \]
indique que \(3\) n'appartient pas à la solution.
En prenant l'intersection, on obtient :
\[ [-2,3). \]
Graphiquement, cette solution correspond à la partie de la droite réelle comprise entre \(-2\) et \(3\), la première borne étant incluse et la seconde exclue.
Systèmes d'inéquations du premier degré
Les systèmes les plus simples sont ceux composés d'inéquations du premier degré.
Considérons :
\[ \begin{cases} 2x-1>3,\\ x+4\le 9. \end{cases} \]
Résolvons la première inéquation :
\[ 2x-1>3. \]
En ajoutant \(1\) aux deux membres :
\[ 2x>4. \]
En divisant par \(2\), on obtient :
\[ x>2. \]
Résolvons maintenant la seconde inéquation :
\[ x+4\le 9. \]
En soustrayant \(4\), on obtient :
\[ x\le 5. \]
Il s'agit alors de calculer l'intersection de :
\[ x>2 \]
avec :
\[ x\le 5. \]
On obtient :
\[ S=(2,5]. \]
La solution est donc l'ensemble des nombres strictement supérieurs à \(2\) et simultanément inférieurs ou égaux à \(5\).
Systèmes avec inéquations du second degré
Un système peut également contenir des inéquations du second degré.
Considérons :
\[ \begin{cases} x^2-4>0,\\ x-1\le 0. \end{cases} \]
Résolvons la première inéquation :
\[ x^2-4>0. \]
On factorise à l'aide de l'identité remarquable :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
On est ainsi ramené à :
\[ (x-2)(x+2)>0. \]
Un produit est strictement positif lorsque ses deux facteurs sont de même signe.
On étudie donc le signe du produit dans chacun des intervalles délimités par les racines des facteurs.
- si \(x<-2\), les deux facteurs sont négatifs, donc le produit est positif ;
- si \(-2
2\), les="" deux="" facteurs="" sont="" de="" signes="" opposés,="" donc="" le="" produit="" est="" négatif="" ;="" ="" li=""> - si \(x>2\), les deux facteurs sont positifs, donc le produit est positif.
L'ensemble solution de la première inéquation est donc :
\[ (-\infty,-2)\cup(2,+\infty). \]
Résolvons maintenant la seconde inéquation :
\[ x-1\le 0. \]
On obtient :
\[ x\le 1. \]
On calcule l'intersection des deux ensembles solutions :
\[ \left[(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\right]\cap(-\infty,1]. \]
L'intersection vaut :
\[ S=(-\infty,-2). \]
En effet, les nombres supérieurs à \(2\) ne peuvent pas appartenir à la solution, car ils devraient être simultanément inférieurs ou égaux à \(1\).
Systèmes avec inéquations rationnelles
Dans les systèmes contenant des inéquations rationnelles, il convient de porter une attention particulière aux conditions d'existence.
Considérons :
\[ \begin{cases} \dfrac{x+1}{x-2}>0,\\ x<5. \end{cases} \]
La fraction n'est pas définie lorsque le dénominateur est nul.
On doit donc imposer :
\[ x\ne 2. \]
Étudions maintenant le signe de la fraction :
\[ \frac{x+1}{x-2}>0. \]
Les racines du numérateur et du dénominateur sont respectivement :
\[ x=-1, \qquad x=2. \]
Une fraction est strictement positive lorsque le numérateur et le dénominateur sont tous deux de même signe.
On obtient donc :
\[ x<-1 \qquad \text{ou} \qquad x>2. \]
La seconde inéquation impose :
\[ x<5. \]
En intersectant :
\[ (-\infty,-1)\cup(2,+\infty) \]
avec :
\[ (-\infty,5), \]
on obtient :
\[ S=(-\infty,-1)\cup(2,5). \]
La valeur :
\[ x=5 \]
n'appartient pas à la solution, car la seconde inéquation impose une inégalité stricte :
\[ x<5. \]
De plus, la valeur :
\[ x=2 \]
doit être exclue, car elle annule le dénominateur.
Exemple complet avec étude du signe
Considérons le système :
\[ \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-1}\ge 0,\\ x<3. \end{cases} \]
On factorise le numérateur :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
On obtient :
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-1}\ge 0. \]
Les points critiques sont :
\[ x=-2, \qquad x=1, \qquad x=2. \]
La valeur :
\[ x=1 \]
doit être exclue, car elle annule le dénominateur.
On étudie maintenant le signe de la fraction dans chacun des intervalles délimités par les points critiques.
- pour \(x<-2\), la fraction est négative ;
- pour \(-2
1\), la="" fraction="" est="" positive="" ;="" ="" li=""> - pour \(1
2\), la="" fraction="" est="" négative="" ;="" ="" li=""> - pour \(x>2\), la fraction est positive.
Puisque l'inéquation est :
\[ \ge 0, \]
on doit également inclure les racines du numérateur :
\[ x=-2, \qquad x=2. \]
L'ensemble solution de la première inéquation est donc :
\[ [-2,1)\cup[2,+\infty). \]
La seconde inéquation impose :
\[ x<3. \]
En prenant l'intersection, on obtient :
\[ S=[-2,1)\cup[2,3). \]
Systèmes sans solution et systèmes toujours vérifiés
Un système peut être :
- impossible, s'il n'admet aucune solution ;
- toujours vérifié, si tout nombre réel satisfait le système.
Considérons :
\[ \begin{cases} x>3,\\ x<1. \end{cases} \]
Aucun nombre réel ne peut être à la fois strictement supérieur à \(3\) et strictement inférieur à \(1\).
L'intersection est donc vide :
\[ S=\varnothing. \]
Considérons en revanche :
\[ \begin{cases} x^2+1>0,\\ x^2+2>0. \end{cases} \]
Puisque :
\[ x^2\ge 0 \]
pour tout nombre réel, les deux inéquations sont toujours vérifiées.
La solution est donc :
\[ S=\mathbb{R}. \]
Erreurs les plus fréquentes
Dans les systèmes d'inéquations, les erreurs les plus courantes sont :
- oublier de calculer l'intersection des ensembles solutions ;
- réunir les solutions au lieu de les intersecter ;
- inverser à tort le sens de l'inéquation ;
- omettre les conditions d'existence dans les inéquations rationnelles ;
- commettre des erreurs lors de l'étude du signe.
Une erreur très répandue consiste à oublier que le sens de l'inéquation s'inverse lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre strictement négatif.
Par exemple :
\[ -2x>4. \]
En divisant par \(-2\), on doit inverser le sens :
\[ x<-2. \]
Écrire :
\[ x>-2 \]
serait incorrect.
Méthode générale de résolution
En général, pour résoudre correctement un système d'inéquations, il est conseillé de suivre la démarche suivante :
- résoudre séparément chaque inéquation ;
- déterminer avec précision les ensembles solutions ;
- représenter éventuellement les solutions sur la droite réelle ;
- calculer l'intersection des ensembles obtenus ;
- exprimer le résultat final sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.
Cette démarche permet de traiter correctement la grande majorité des systèmes d'inéquations rencontrés en algèbre.