Une collection progressive de 20 exercices résolus sur les systèmes d'équations du second degré, conçue pour apprendre à résoudre des systèmes non linéaires par substitution, par comparaison et à l'aide d'identités remarquables.
Les exercices sont classés par ordre de difficulté croissante : on commence par des systèmes très simples pour arriver à des problèmes plus élaborés comportant plusieurs solutions, des radicaux et des systèmes sans solution.
Chaque résolution présente toutes les étapes essentielles, en veillant aussi bien à la rigueur des calculs qu'à la vérification finale des solutions obtenues.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ y=4. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(-2,4),(2,4)\}. \]
Résolution
Les deux équations expriment la valeur de \(y\). Pour que le système soit vérifié, ces deux valeurs doivent coïncider.
Égalisons donc les seconds membres :
\[ x^2=4. \]
Cherchons les nombres dont le carré est égal à \(4\). On obtient :
\[ x=2 \qquad \text{ou} \qquad x=-2. \]
D'après la deuxième équation :
\[ y=4. \]
Les couples solutions sont donc :
\[ (2,4) \qquad \text{et} \qquad (-2,4). \]
Par conséquent :
\[ S=\{(-2,4),(2,4)\}. \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ y=x+2. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(-1,1),(2,4)\}. \]
Résolution
Ici aussi, les deux équations fournissent la valeur de \(y\). Égalisons donc les seconds membres :
\[ x^2=x+2. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ x^2-x-2=0. \]
Factorisons le trinôme :
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
On obtient donc :
\[ (x-2)(x+1)=0. \]
Un produit est nul lorsqu'au moins l'un des facteurs est nul. Donc :
\[ x=2 \qquad \text{ou} \qquad x=-1. \]
Calculons maintenant la valeur de \(y\) à l'aide de :
\[ y=x+2. \]
Pour \(x=2\) :
\[ y=2+2=4. \]
Pour \(x=-1\) :
\[ y=-1+2=1. \]
Par conséquent :
\[ S=\{(-1,1),(2,4)\}. \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=6. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(2,3),(3,2)\}. \]
Résolution
De la première équation, on tire \(y\) :
\[ y=5-x. \]
Substituons cette expression dans la deuxième équation :
\[ x(5-x)=6. \]
Développons le produit :
\[ 5x-x^2=6. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ x^2-5x+6=0. \]
Factorisons :
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Donc :
\[ x=2 \qquad \text{ou} \qquad x=3. \]
Déterminons les valeurs correspondantes de \(y\).
Pour \(x=2\) :
\[ y=5-2=3. \]
Pour \(x=3\) :
\[ y=5-3=2. \]
Par conséquent :
\[ S=\{(2,3),(3,2)\}. \]
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x-y=1,\\ xy=12. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(-3,-4),(4,3)\}. \]
Résolution
De la première équation, on tire :
\[ x=y+1. \]
Substituons dans la deuxième équation :
\[ (y+1)y=12. \]
En développant :
\[ y^2+y=12. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ y^2+y-12=0. \]
Factorisons :
\[ y^2+y-12=(y+4)(y-3). \]
Donc :
\[ y=-4 \qquad \text{ou} \qquad y=3. \]
Calculons maintenant \(x\).
Pour \(y=-4\) :
\[ x=-4+1=-3. \]
Pour \(y=3\) :
\[ x=3+1=4. \]
Donc :
\[ S=\{(-3,-4),(4,3)\}. \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ x+y=7. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(3,4),(4,3)\}. \]
Résolution
De la deuxième équation, on tire :
\[ y=7-x. \]
Substituons dans la première :
\[ x^2+(7-x)^2=25. \]
Développons le carré :
\[ (7-x)^2=x^2-14x+49. \]
On obtient donc :
\[ x^2+x^2-14x+49=25. \]
Réduisons :
\[ 2x^2-14x+49=25. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ 2x^2-14x+24=0. \]
Divisons par \(2\) :
\[ x^2-7x+12=0. \]
Factorisons :
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4). \]
D'où :
\[ x=3 \qquad \text{ou} \qquad x=4. \]
Déterminons les valeurs de \(y\).
Pour \(x=3\) :
\[ y=7-3=4. \]
Pour \(x=4\) :
\[ y=7-4=3. \]
Par conséquent :
\[ S=\{(3,4),(4,3)\}. \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x^2+y=12,\\ x+y=6. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(-2,8),(3,3)\}. \]
Résolution
De la deuxième équation, on tire \(y\) :
\[ y=6-x. \]
Substituons dans la première équation :
\[ x^2+(6-x)=12. \]
En simplifiant :
\[ x^2-x+6=12. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ x^2-x-6=0. \]
Factorisons :
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
Donc :
\[ x=3 \qquad \text{ou} \qquad x=-2. \]
Calculons les valeurs correspondantes de \(y\).
Pour \(x=3\) :
\[ y=6-3=3. \]
Pour \(x=-2\) :
\[ y=6-(-2)=8. \]
Par conséquent :
\[ S=\{(-2,8),(3,3)\}. \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} y=x^2-1,\\ y=2x+2. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(-1,0),(3,8)\}. \]
Résolution
Les deux équations expriment \(y\). Égalisons donc les seconds membres :
\[ x^2-1=2x+2. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ x^2-2x-3=0. \]
Factorisons :
\[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1). \]
Donc :
\[ x=3 \qquad \text{ou} \qquad x=-1. \]
Calculons \(y\) à l'aide de l'équation linéaire :
\[ y=2x+2. \]
Pour \(x=3\) :
\[ y=2\cdot 3+2=8. \]
Pour \(x=-1\) :
\[ y=2\cdot(-1)+2=0. \]
Donc :
\[ S=\{(-1,0),(3,8)\}. \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=13,\\ x-y=1. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(-2,-3),(3,2)\}. \]
Résolution
De la deuxième équation, on tire :
\[ x=y+1. \]
Substituons dans la première équation :
\[ (y+1)^2+y^2=13. \]
Développons :
\[ y^2+2y+1+y^2=13. \]
Réduisons :
\[ 2y^2+2y+1=13. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ 2y^2+2y-12=0. \]
Divisons par \(2\) :
\[ y^2+y-6=0. \]
Factorisons :
\[ y^2+y-6=(y+3)(y-2). \]
Donc :
\[ y=-3 \qquad \text{ou} \qquad y=2. \]
Calculons \(x\) à partir de \(x=y+1\).
Pour \(y=-3\) :
\[ x=-3+1=-2. \]
Pour \(y=2\) :
\[ x=2+1=3. \]
Par conséquent :
\[ S=\{(-2,-3),(3,2)\}. \]
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x^2-y=8,\\ x+y=4. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(-4,8),(3,1)\}. \]
Résolution
De la deuxième équation, on obtient :
\[ y=4-x. \]
Substituons dans la première équation :
\[ x^2-(4-x)=8. \]
Attention au signe moins devant la parenthèse :
\[ x^2-4+x=8. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ x^2+x-12=0. \]
Factorisons :
\[ x^2+x-12=(x+4)(x-3). \]
Donc :
\[ x=-4 \qquad \text{ou} \qquad x=3. \]
Calculons \(y\) à l'aide de \(y=4-x\).
Pour \(x=-4\) :
\[ y=4-(-4)=8. \]
Pour \(x=3\) :
\[ y=4-3=1. \]
Par conséquent :
\[ S=\{(-4,8),(3,1)\}. \]
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=10,\\ y=x+2. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(-3,-1),(1,3)\}. \]
Résolution
La deuxième équation donne déjà \(y\) en fonction de \(x\) :
\[ y=x+2. \]
Substituons dans la première :
\[ x^2+(x+2)^2=10. \]
Développons le carré :
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4. \]
Donc :
\[ x^2+x^2+4x+4=10. \]
Réduisons :
\[ 2x^2+4x+4=10. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ 2x^2+4x-6=0. \]
Divisons par \(2\) :
\[ x^2+2x-3=0. \]
Factorisons :
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1). \]
Donc :
\[ x=-3 \qquad \text{ou} \qquad x=1. \]
Déterminons \(y\).
Pour \(x=-3\) :
\[ y=-3+2=-1. \]
Pour \(x=1\) :
\[ y=1+2=3. \]
Par conséquent :
\[ S=\{(-3,-1),(1,3)\}. \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=20,\\ x-y=2. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(-2,-4),(4,2)\}. \]
Résolution
De la deuxième équation, on tire :
\[ x=y+2. \]
Substituons dans la première équation :
\[ (y+2)^2+y^2=20. \]
Développons le carré :
\[ (y+2)^2=y^2+4y+4. \]
Donc :
\[ y^2+4y+4+y^2=20. \]
Réduisons :
\[ 2y^2+4y+4=20. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ 2y^2+4y-16=0. \]
Divisons par \(2\) :
\[ y^2+2y-8=0. \]
Factorisons :
\[ y^2+2y-8=(y+4)(y-2). \]
D'où :
\[ y=-4 \qquad \text{ou} \qquad y=2. \]
Tirons \(x\) à partir de \(x=y+2\).
Pour \(y=-4\) :
\[ x=-4+2=-2. \]
Pour \(y=2\) :
\[ x=2+2=4. \]
Par conséquent :
\[ S=\{(-2,-4),(4,2)\}. \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x+y=1,\\ x^2+y^2=13. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(-2,3),(3,-2)\}. \]
Résolution
De la première équation, on tire :
\[ y=1-x. \]
Substituons dans la deuxième équation :
\[ x^2+(1-x)^2=13. \]
Développons :
\[ (1-x)^2=x^2-2x+1. \]
Donc :
\[ x^2+x^2-2x+1=13. \]
Réduisons :
\[ 2x^2-2x+1=13. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ 2x^2-2x-12=0. \]
Divisons par \(2\) :
\[ x^2-x-6=0. \]
Factorisons :
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
D'où :
\[ x=3 \qquad \text{ou} \qquad x=-2. \]
Calculons \(y\) à l'aide de \(y=1-x\).
Pour \(x=3\) :
\[ y=1-3=-2. \]
Pour \(x=-2\) :
\[ y=1-(-2)=3. \]
Par conséquent :
\[ S=\{(-2,3),(3,-2)\}. \]
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} y=x^2-4x,\\ y=-3. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(1,-3),(3,-3)\}. \]
Résolution
La deuxième équation fournit directement la valeur de \(y\) :
\[ y=-3. \]
Substituons cette valeur dans la première équation :
\[ -3=x^2-4x. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ x^2-4x+3=0. \]
Factorisons :
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Donc :
\[ x=1 \qquad \text{ou} \qquad x=3. \]
Dans les deux cas, la valeur de \(y\) est la même, à savoir :
\[ y=-3. \]
On obtient ainsi les couples :
\[ (1,-3) \qquad \text{et} \qquad (3,-3). \]
Par conséquent :
\[ S=\{(1,-3),(3,-3)\}. \]
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x^2+y=10,\\ y=x+4. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(-3,1),(2,6)\}. \]
Résolution
La deuxième équation donne déjà \(y\) en fonction de \(x\) :
\[ y=x+4. \]
Substituons dans la première :
\[ x^2+(x+4)=10. \]
On obtient :
\[ x^2+x+4=10. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ x^2+x-6=0. \]
Factorisons :
\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2). \]
Donc :
\[ x=-3 \qquad \text{ou} \qquad x=2. \]
Calculons les valeurs correspondantes de \(y\).
Pour \(x=-3\) :
\[ y=-3+4=1. \]
Pour \(x=2\) :
\[ y=2+4=6. \]
Par conséquent :
\[ S=\{(-3,1),(2,6)\}. \]
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ xy=2. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(-2,-1),(-1,-2),(1,2),(2,1)\}. \]
Résolution
Le système fait intervenir la somme des carrés et le produit \(xy\). Utilisons l'identité remarquable :
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]
Puisque :
\[ x^2+y^2=5 \qquad \text{et} \qquad xy=2, \]
on obtient :
\[ (x+y)^2=5+2\cdot 2=9. \]
Donc :
\[ x+y=3 \qquad \text{ou} \qquad x+y=-3. \]
Étudions séparément les deux cas.
Si :
\[ x+y=3 \qquad \text{et} \qquad xy=2, \]
les deux nombres sont \(1\) et \(2\). On obtient donc :
\[ (1,2) \qquad \text{et} \qquad (2,1). \]
Si en revanche :
\[ x+y=-3 \qquad \text{et} \qquad xy=2, \]
les deux nombres sont \(-1\) et \(-2\). On obtient donc :
\[ (-1,-2) \qquad \text{et} \qquad (-2,-1). \]
Par conséquent :
\[ S=\{(-2,-1),(-1,-2),(1,2),(2,1)\}. \]
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x+y=4,\\ x^2+y^2=10. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(1,3),(3,1)\}. \]
Résolution
De la première équation, on tire :
\[ y=4-x. \]
Substituons cette expression dans la deuxième équation :
\[ x^2+(4-x)^2=10. \]
Développons le carré :
\[ (4-x)^2=x^2-8x+16. \]
Donc :
\[ x^2+x^2-8x+16=10. \]
Réduisons les termes semblables :
\[ 2x^2-8x+16=10. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ 2x^2-8x+6=0. \]
Divisons par \(2\) :
\[ x^2-4x+3=0. \]
Factorisons le trinôme :
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Par conséquent :
\[ x=1 \qquad \text{ou} \qquad x=3. \]
Calculons les valeurs correspondantes de \(y\) à l'aide de \(y=4-x\).
Pour \(x=1\) :
\[ y=4-1=3. \]
Pour \(x=3\) :
\[ y=4-3=1. \]
Donc :
\[ S=\{(1,3),(3,1)\}. \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ xy=12. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(-4,-3),(-3,-4),(3,4),(4,3)\}. \]
Résolution
Le système fait intervenir \(x^2+y^2\) et \(xy\). Pour obtenir des informations sur la somme \(x+y\), utilisons l'identité remarquable :
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]
D'après le système :
\[ x^2+y^2=25 \qquad \text{et} \qquad xy=12. \]
Donc :
\[ (x+y)^2=25+2\cdot 12=49. \]
On obtient ainsi deux possibilités :
\[ x+y=7 \qquad \text{ou} \qquad x+y=-7. \]
Étudions séparément les deux cas.
Si :
\[ x+y=7 \qquad \text{et} \qquad xy=12, \]
les deux nombres sont \(3\) et \(4\). On obtient donc :
\[ (3,4) \qquad \text{et} \qquad (4,3). \]
Si en revanche :
\[ x+y=-7 \qquad \text{et} \qquad xy=12, \]
les deux nombres sont \(-3\) et \(-4\). On obtient donc :
\[ (-3,-4) \qquad \text{et} \qquad (-4,-3). \]
Par conséquent :
\[ S=\{(-4,-3),(-3,-4),(3,4),(4,3)\}. \]
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=8,\\ x-y=2. \end{cases} \]
Résultat
\[ S= \left\{ \left(1+\sqrt{3},-1+\sqrt{3}\right), \left(1-\sqrt{3},-1-\sqrt{3}\right) \right\}. \]
Résolution
De la deuxième équation, on tire :
\[ x=y+2. \]
Substituons dans la première équation :
\[ (y+2)^2+y^2=8. \]
Développons le carré :
\[ (y+2)^2=y^2+4y+4. \]
Donc :
\[ y^2+4y+4+y^2=8. \]
Réduisons :
\[ 2y^2+4y+4=8. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ 2y^2+4y-4=0. \]
Divisons par \(2\) :
\[ y^2+2y-2=0. \]
Ce trinôme ne se factorise pas à coefficients entiers ; appliquons donc la formule quadratique :
\[ y=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot(-2)}}{2}. \]
Calculons le discriminant :
\[ \Delta=4+8=12. \]
Donc :
\[ y=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}. \]
Puisque \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), on obtient :
\[ y=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2} = -1\pm\sqrt{3}. \]
Tirons maintenant \(x\) à partir de \(x=y+2\).
Pour :
\[ y=-1+\sqrt{3}, \]
on a :
\[ x=-1+\sqrt{3}+2=1+\sqrt{3}. \]
Pour :
\[ y=-1-\sqrt{3}, \]
on a :
\[ x=-1-\sqrt{3}+2=1-\sqrt{3}. \]
Par conséquent :
\[ S= \left\{ \left(1+\sqrt{3},-1+\sqrt{3}\right), \left(1-\sqrt{3},-1-\sqrt{3}\right) \right\}. \]
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=1,\\ x+y=3. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\varnothing. \]
Résolution
De la deuxième équation, on tire :
\[ y=3-x. \]
Substituons dans la première équation :
\[ x^2+(3-x)^2=1. \]
Développons le carré :
\[ (3-x)^2=x^2-6x+9. \]
Donc :
\[ x^2+x^2-6x+9=1. \]
Réduisons :
\[ 2x^2-6x+9=1. \]
Ramenons tout au premier membre :
\[ 2x^2-6x+8=0. \]
Divisons par \(2\) :
\[ x^2-3x+4=0. \]
Calculons le discriminant :
\[ \Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7. \]
Comme \(\Delta<0\), l'équation n'a pas de solutions réelles.
Par conséquent, le système n'admet aucune solution réelle :
\[ S=\varnothing. \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Résoudre le système :
\[ \begin{cases} x^2+y^2=13,\\ x^2-y^2=5. \end{cases} \]
Résultat
\[ S=\{(-3,-2),(-3,2),(3,-2),(3,2)\}. \]
Résolution
Le système fait apparaître \(x^2+y^2\) et \(x^2-y^2\). Il est judicieux d'additionner et de soustraire les deux équations membre à membre, de façon à obtenir séparément \(x^2\) et \(y^2\).
Additionnons membre à membre :
\[ (x^2+y^2)+(x^2-y^2)=13+5. \]
Au premier membre, \(+y^2\) et \(-y^2\) s'éliminent :
\[ 2x^2=18. \]
Donc :
\[ x^2=9. \]
D'où :
\[ x=3 \qquad \text{ou} \qquad x=-3. \]
Soustrayons maintenant la deuxième équation de la première :
\[ (x^2+y^2)-(x^2-y^2)=13-5. \]
Au premier membre, \(x^2\) s'élimine et on obtient :
\[ 2y^2=8. \]
Donc :
\[ y^2=4. \]
D'où :
\[ y=2 \qquad \text{ou} \qquad y=-2. \]
Comme les équations du système ne font intervenir que \(x^2\) et \(y^2\), toutes les combinaisons de signes sont admissibles.
Par conséquent :
\[ S=\{(-3,-2),(-3,2),(3,-2),(3,2)\}. \]