Une collection progressive de 20 exercices corrigés sur les inéquations irrationnelles, conçu pour apprendre à résoudre correctement des inéquations contenant des radicaux, en prêtant attention aux conditions d'existence, au signe des membres et aux éventuelles solutions parasites.
Dans chaque exercice, nous ne nous contenterons pas d'élever au carré, mais nous justifierons pourquoi cette étape est légitime. C'est là le point central des inéquations irrationnelles : élever au carré n'est pas toujours une transformation équivalente si l'on ne vérifie pas au préalable les conditions appropriées.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre :
\[ \sqrt{x-2}\gt 3. \]
Résultat
\[ S=(11,+\infty). \]
Solution
La racine est définie si :
\[ x-2\ge 0. \]
Donc :
\[ x\ge 2. \]
Le second membre étant positif, on peut élever au carré :
\[ x-2\gt 9. \]
D'où :
\[ x\gt 11. \]
En intersectant avec le domaine, on obtient :
\[ S=(11,+\infty). \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre :
\[ \sqrt{2x+1}\le 5. \]
Résultat
\[ S=\left[-\frac{1}{2},12\right]. \]
Solution
La condition d'existence est :
\[ 2x+1\ge 0. \]
Donc :
\[ x\ge -\frac{1}{2}. \]
Le second membre étant positif, on peut élever au carré :
\[ 2x+1\le 25. \]
D'où :
\[ 2x\le 24. \]
Soit :
\[ x\le 12. \]
en intersectant les conditions, on obtient :
\[ S=\left[-\frac{1}{2},12\right]. \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre :
\[ \sqrt{x+4}\lt 2. \]
Résultat
\[ S=[-4,0). \]
Solution
La racine est définie si :
\[ x+4\ge 0. \]
Donc :
\[ x\ge -4. \]
Le second membre étant positif, on peut élever au carré :
\[ x+4\lt 4. \]
D'où :
\[ x\lt 0. \]
En intersectant avec le domaine :
\[ S=[-4,0). \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ \sqrt{x+1}\ge x-1. \]
Résultat
\[ S=[-1,3]. \]
Solution
La racine est définie si :
\[ x+1\ge 0. \]
Donc :
\[ x\ge -1. \]
Le membre de gauche est toujours positif ou nul. On étudie donc le signe du membre de droite \(x-1\).
Premier cas : \(x-1\le 0\)
Si :
\[ x-1\le 0, \]
alors :
\[ x\le 1. \]
Dans ce cas, le second membre est négatif ou nul, tandis que la racine est positive ou nulle. L'inéquation est donc vérifiée pour :
\[ -1\le x\le 1. \]
Second cas : \(x-1\gt 0\)
Si :
\[ x-1\gt 0, \]
alors :
\[ x\gt 1. \]
Les deux membres étant positifs ou nuls, on peut élever au carré :
\[ x+1\ge (x-1)^2. \]
En développant :
\[ x+1\ge x^2-2x+1. \]
En ramenant tout au second membre :
\[ 0\ge x^2-3x. \]
Soit encore :
\[ x^2-3x\le 0. \]
Factorisons :
\[ x^2-3x=x(x-3). \]
On résout :
\[ x(x-3)\le 0. \]
On obtient :
\[ 0\le x\le 3. \]
En intersectant avec \(x\gt 1\), on a :
\[ 1\lt x\le 3. \]
En réunissant les deux cas :
\[ [-1,1]\cup(1,3]=[-1,3]. \]
Donc :
\[ S=[-1,3]. \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ \sqrt{x-2}\lt x-4. \]
Résultat
\[ S=(6,+\infty). \]
Solution
La racine est définie si :
\[ x-2\ge 0. \]
Donc :
\[ x\ge 2. \]
Le membre de gauche étant positif ou nul, il est nécessaire que :
\[ x-4\gt 0. \]
Donc :
\[ x\gt 4. \]
On peut à présent élever au carré :
\[ x-2\lt (x-4)^2. \]
En développant :
\[ x-2\lt x^2-8x+16. \]
En ramenant tout au second membre :
\[ 0\lt x^2-9x+18. \]
Factorisons :
\[ x^2-9x+18=(x-3)(x-6). \]
Donc :
\[ (x-3)(x-6)\gt 0. \]
On obtient :
\[ x\lt 3 \quad \text{ou} \quad x\gt 6. \]
En intersectant avec \(x\gt 4\), il reste :
\[ S=(6,+\infty). \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ \sqrt{2x-1}\le x+1. \]
Résultat
\[ S=\left[\frac{1}{2},+\infty\right). \]
Solution
La condition d'existence est :
\[ 2x-1\ge 0. \]
Donc :
\[ x\ge \frac{1}{2}. \]
Sur ce domaine, on a \(x+1\gt 0\). On peut donc élever au carré :
\[ 2x-1\le (x+1)^2. \]
En développant :
\[ 2x-1\le x^2+2x+1. \]
En soustrayant \(2x-1\) des deux membres :
\[ 0\le x^2+2. \]
Cette inéquation est toujours vérifiée. Il ne reste donc que la condition de domaine :
\[ S=\left[\frac{1}{2},+\infty\right). \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ \sqrt{x+3}\ge 2x-1. \]
Résultat
\[ S=\left[-3,\frac{5+\sqrt{57}}{8}\right]. \]
Solution
La racine est définie si :
\[ x+3\ge 0. \]
Donc :
\[ x\ge -3. \]
Si \(2x-1\le 0\), c'est-à-dire \(x\le \frac{1}{2}\), l'inéquation est automatiquement vérifiée sur le domaine :
\[ -3\le x\le \frac{1}{2}. \]
Si en revanche \(2x-1\gt 0\), c'est-à-dire \(x\gt \frac{1}{2}\), on peut élever au carré :
\[ x+3\ge (2x-1)^2. \]
En développant :
\[ x+3\ge 4x^2-4x+1. \]
En ramenant tout au second membre :
\[ 4x^2-5x-2\le 0. \]
Résolvons l'équation associée :
\[ 4x^2-5x-2=0. \]
Le discriminant est :
\[ \Delta=57. \]
Les racines sont :
\[ x=\frac{5-\sqrt{57}}{8} \quad \text{et} \quad x=\frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
Donc :
\[ \frac{5-\sqrt{57}}{8}\le x\le \frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
En intersectant avec \(x\gt \frac{1}{2}\), on obtient :
\[ \frac{1}{2}\lt x\le \frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
En réunissant les deux cas :
\[ S=\left[-3,\frac{5+\sqrt{57}}{8}\right]. \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ \sqrt{x+5}\gt \sqrt{2x-1}. \]
Résultat
\[ S=\left[\frac{1}{2},6\right). \]
Solution
Les conditions d'existence sont :
\[ \begin{cases} x+5\ge 0,\\ 2x-1\ge 0. \end{cases} \]
Donc :
\[ x\ge \frac{1}{2}. \]
Les deux membres étant des racines carrées (donc positifs ou nuls), on peut élever au carré :
\[ x+5\gt 2x-1. \]
D'où :
\[ x\lt 6. \]
En intersectant avec le domaine :
\[ S=\left[\frac{1}{2},6\right). \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ \sqrt{x^2-1}\le 2. \]
Résultat
\[ S=[-\sqrt{5},-1]\cup[1,\sqrt{5}]. \]
Solution
La racine est définie si :
\[ x^2-1\ge 0. \]
C'est-à-dire :
\[ x\le -1 \quad \text{ou} \quad x\ge 1. \]
On peut élever au carré :
\[ x^2-1\le 4. \]
Donc :
\[ x^2\le 5. \]
D'où :
\[ -\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}. \]
En intersectant avec le domaine :
\[ S=[-\sqrt{5},-1]\cup[1,\sqrt{5}]. \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ \sqrt{x^2-4x}\ge x-2. \]
Résultat
\[ S=(-\infty,0]. \]
Solution
La racine est définie si :
\[ x^2-4x\ge 0. \]
Factorisons :
\[ x^2-4x=x(x-4). \]
Donc :
\[ x\le 0 \quad \text{ou} \quad x\ge 4. \]
Si \(x\le 0\), alors \(x-2\lt 0\), tandis que la racine est positive ou nulle. Toutes ces valeurs sont donc solutions.
Si \(x\ge 4\), on peut élever au carré :
\[ x^2-4x\ge (x-2)^2. \]
En développant :
\[ x^2-4x\ge x^2-4x+4. \]
D'où :
\[ 0\ge 4, \]
ce qui est absurde. Par conséquent :
\[ S=(-\infty,0]. \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ \sqrt{x^2-4x}\le x-2. \]
Résultat
\[ S=[4,+\infty). \]
Solution
Le domaine s'obtient en résolvant :
\[ x^2-4x\ge 0, \]
ce qui donne :
\[ x\le 0 \quad \text{ou} \quad x\ge 4. \]
De plus, le membre de gauche étant positif ou nul, il est nécessaire que :
\[ x-2\ge 0. \]
Donc :
\[ x\ge 2. \]
En faisant l'intersection, il reste :
\[ x\ge 4. \]
On élève au carré :
\[ x^2-4x\le (x-2)^2. \]
Donc :
\[ x^2-4x\le x^2-4x+4. \]
D'où :
\[ 0\le 4. \]
Toujours vrai. Par conséquent :
\[ S=[4,+\infty). \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ \sqrt{3x+1}\gt x+1. \]
Résultat
\[ S=(0,1). \]
Solution
La racine est définie si :
\[ 3x+1\ge 0. \]
Donc :
\[ x\ge -\frac{1}{3}. \]
Sur ce domaine, on a \(x+1\gt 0\). On peut donc élever au carré :
\[ 3x+1\gt (x+1)^2. \]
En développant :
\[ 3x+1\gt x^2+2x+1. \]
En ramenant tout au second membre :
\[ x^2-x\lt 0. \]
Factorisons :
\[ x(x-1)\lt 0. \]
Donc :
\[ 0\lt x\lt 1. \]
Par conséquent :
\[ S=(0,1). \]
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ \sqrt{x+2}+1\gt x. \]
Résultat
\[ S=\left[-2,\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right). \]
Solution
La racine est définie si :
\[ x+2\ge 0. \]
Donc :
\[ x\ge -2. \]
Passons le \(1\) au second membre :
\[ \sqrt{x+2}\gt x-1. \]
Si \(x-1\lt 0\), c'est-à-dire \(x\lt 1\), l'inéquation est vérifiée pour :
\[ -2\le x\lt 1. \]
Si \(x\ge 1\), on élève au carré :
\[ x+2\gt (x-1)^2. \]
Donc :
\[ x+2\gt x^2-2x+1. \]
En ramenant tout au second membre :
\[ x^2-3x-1\lt 0. \]
Les racines sont :
\[ x=\frac{3-\sqrt{13}}{2} \quad \text{et} \quad x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
Donc :
\[ \frac{3-\sqrt{13}}{2}\lt x\lt \frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
En intersectant avec \(x\ge 1\), on obtient :
\[ 1\le x\lt \frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
En réunissant les deux cas :
\[ S=\left[-2,\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right). \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ \sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}\gt 5. \]
Résultat
\[ S=(5,+\infty). \]
Solution
Les conditions d'existence sont :
\[ \begin{cases} x+4\ge 0,\\ x-1\ge 0. \end{cases} \]
Donc :
\[ x\ge 1. \]
La fonction :
\[ f(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1} \]
est croissante sur le domaine. Résolvons l'équation :
\[ \sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=5. \]
Isolons :
\[ \sqrt{x+4}=5-\sqrt{x-1}. \]
En élevant au carré :
\[ x+4=25-10\sqrt{x-1}+x-1. \]
Donc :
\[ x+4=x+24-10\sqrt{x-1}. \]
D'où :
\[ \sqrt{x-1}=2. \]
Donc :
\[ x=5. \]
La fonction étant croissante et l'inéquation étant stricte :
\[ S=(5,+\infty). \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ \sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}\le 1. \]
Résultat
\[ S=[5,+\infty). \]
Solution
Le domaine est :
\[ x\ge 1. \]
Passons la seconde racine au second membre :
\[ \sqrt{x+4}\le 1+\sqrt{x-1}. \]
Le second membre étant positif, on peut élever au carré :
\[ x+4\le \left(1+\sqrt{x-1}\right)^2. \]
En développant :
\[ x+4\le x+2\sqrt{x-1}. \]
En soustrayant \(x\) :
\[ 4\le 2\sqrt{x-1}. \]
Donc :
\[ 2\le \sqrt{x-1}. \]
En élevant au carré :
\[ 4\le x-1. \]
D'où :
\[ x\ge 5. \]
Par conséquent :
\[ S=[5,+\infty). \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ \sqrt{2x+3}\ge \sqrt{x+1}+1. \]
Résultat
\[ S=\{-1\}\cup[3,+\infty). \]
Solution
Le domaine est :
\[ x\ge -1. \]
On élève au carré :
\[ 2x+3\ge \left(\sqrt{x+1}+1\right)^2. \]
Donc :
\[ 2x+3\ge x+2+2\sqrt{x+1}. \]
D'où :
\[ x+1\ge 2\sqrt{x+1}. \]
Posons :
\[ t=\sqrt{x+1}. \]
On a \(t\ge 0\) et :
\[ t^2\ge 2t. \]
Donc :
\[ t(t-2)\ge 0. \]
Puisque \(t\ge 0\), on obtient :
\[ t=0 \quad \text{ou} \quad t\ge 2. \]
Donc :
\[ x=-1 \quad \text{ou} \quad x\ge 3. \]
Par conséquent :
\[ S=\{-1\}\cup[3,+\infty). \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ \sqrt{x+6}\gt x. \]
Résultat
\[ S=[-6,3). \]
Solution
Le domaine est :
\[ x\ge -6. \]
Si \(x\lt 0\), l'inéquation est vérifiée :
\[ -6\le x\lt 0. \]
Si \(x\ge 0\), on élève au carré :
\[ x+6\gt x^2. \]
Donc :
\[ x^2-x-6\lt 0. \]
Factorisons :
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
On obtient :
\[ -2\lt x\lt 3. \]
En intersectant avec \(x\ge 0\) :
\[ 0\le x\lt 3. \]
En réunissant :
\[ S=[-6,3). \]
Exercice 18 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}\le 5. \]
Résultat
\[ S=\left[-1,\frac{96}{25}\right]. \]
Solution
Le domaine est :
\[ x\ge -1. \]
La fonction :
\[ f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4} \]
est croissante sur le domaine. Résolvons :
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}=5. \]
Isolons :
\[ \sqrt{x+4}=5-\sqrt{x+1}. \]
En élevant au carré :
\[ x+4=25-10\sqrt{x+1}+x+1. \]
Donc :
\[ x+4=x+26-10\sqrt{x+1}. \]
D'où :
\[ \sqrt{x+1}=\frac{11}{5}. \]
En élevant au carré :
\[ x+1=\frac{121}{25}. \]
Donc :
\[ x=\frac{96}{25}. \]
\(f\) étant croissante :
\[ S=\left[-1,\frac{96}{25}\right]. \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ \sqrt{x+2}\ge x. \]
Résultat
\[ S=[-2,2]. \]
Solution
Le domaine est :
\[ x\ge -2. \]
Si \(x\lt 0\), l'inéquation est vérifiée :
\[ -2\le x\lt 0. \]
Si \(x\ge 0\), on élève au carré :
\[ x+2\ge x^2. \]
Donc :
\[ x^2-x-2\le 0. \]
Factorisons :
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
On obtient :
\[ -1\le x\le 2. \]
En intersectant avec \(x\ge 0\) :
\[ 0\le x\le 2. \]
En réunissant :
\[ S=[-2,2]. \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}\ge 1. \]
Résultat
\[ S=\left[1,\frac{13}{4}\right]. \]
Solution
Le domaine est :
\[ x\ge 1. \]
Passons la seconde racine au second membre :
\[ \sqrt{x+3}\ge 1+\sqrt{x-1}. \]
On élève au carré :
\[ x+3\ge \left(1+\sqrt{x-1}\right)^2. \]
En développant :
\[ x+3\ge x+2\sqrt{x-1}. \]
En soustrayant \(x\) :
\[ 3\ge 2\sqrt{x-1}. \]
Donc :
\[ \sqrt{x-1}\le \frac{3}{2}. \]
En élevant au carré :
\[ x-1\le \frac{9}{4}. \]
D'où :
\[ x\le \frac{13}{4}. \]
En intersectant avec le domaine :
\[ S=\left[1,\frac{13}{4}\right]. \]