Les inéquations irrationnelles sont des inéquations dans lesquelles l'inconnue apparaît sous un signe radical. Il s'agit d'un sujet fondamental de l'algèbre, car sa résolution mobilise simultanément les propriétés des radicaux, l'étude du signe et les conditions d'existence.
Contrairement aux inéquations polynomiales ou rationnelles, il ne suffit pas ici de manipuler algébriquement l'expression : chaque étape doit respecter le domaine de définition des radicaux présents.
En particulier, lorsqu'on élève les deux membres au carré, il convient de vérifier avec soin que cette transformation est logiquement équivalente à l'inéquation de départ. Un recours mal justifié à l'élévation au carré peut en effet introduire des solutions parasites.
Nous étudierons :
- les conditions d'existence des radicaux ;
- la méthode générale de résolution ;
- les cas fondamentaux ;
- les inéquations contenant un seul radical ;
- les inéquations contenant plusieurs radicaux ;
- les erreurs les plus courantes à éviter.
Sommaire
- Qu'est-ce qu'une inéquation irrationnelle
- Conditions d'existence
- Inéquations du type \(\sqrt{A(x)}>B(x)\)
- Inéquations du type \(\sqrt{A(x)}<B(x)\)
- Inéquations avec des radicaux aux deux membres
- Inéquations avec plusieurs radicaux
- Méthode générale
- Erreurs à éviter
Qu'est-ce qu'une inéquation irrationnelle
Une inéquation irrationnelle est une inéquation dans laquelle l'inconnue figure sous un signe radical.
Par exemple :
\[ \sqrt{x-1}>2 \]
\[ \sqrt{2x+3}\le x \]
\[ \sqrt{x+1}>\sqrt{2x-3} \]
sont toutes des inéquations irrationnelles.
La principale difficulté tient au fait que les racines carrées réelles n'existent que lorsque le radicande est positif ou nul.
C'est pourquoi, avant toute manipulation algébrique, il est indispensable de déterminer les conditions d'existence.
Conditions d'existence
Lorsqu'une expression fait intervenir une racine carrée :
\[ \sqrt{A(x)}, \]
il est nécessaire que :
\[ A(x)\ge 0. \]
Telle est la condition fondamentale d'existence.
Exemple
Considérons :
\[ \sqrt{2x-5}>1. \]
Le radical existe seulement si :
\[ 2x-5\ge 0. \]
En résolvant :
\[ 2x\ge 5 \]
on obtient :
\[ x\ge \frac52. \]
Toute solution devra donc appartenir à l'intervalle :
\[ \left[\frac52,+\infty\right). \]
Inéquations du type \(\sqrt{A(x)}>B(x)\)
Considérons une inéquation de la forme :
\[ \sqrt{A(x)}>B(x). \]
La méthode varie selon le signe du second membre.
En effet, la racine carrée est toujours positive ou nulle :
\[ \sqrt{A(x)}\ge 0. \]
Il s'ensuit que :
- si \(B(x)<0\), l'inéquation est automatiquement vérifiée dès que le radical existe ;
- si \(B(x)\ge 0\), on peut élever les deux membres au carré.
Exemple
Résolvons :
\[ \sqrt{x+1}>3. \]
On commence par poser la condition d'existence :
\[ x+1\ge 0, \]
soit :
\[ x\ge -1. \]
Le second membre est positif ; on peut donc élever au carré :
\[ x+1>9. \]
D'où :
\[ x>8. \]
En intersectant avec la condition d'existence, on obtient :
\[ S=(8,+\infty). \]
Inéquations du type \(\sqrt{A(x)}<B(x)\)
Considérons à présent :
\[ \sqrt{A(x)}<B(x). \]
Il convient ici d'être encore plus vigilant.
Puisque la racine carrée est toujours positive ou nulle, pour qu'une quantité positive ou nulle soit inférieure à \(B(x)\), il faut nécessairement que :
\[ B(x)>0. \]
Ce n'est qu'après avoir imposé cette condition que l'on peut élever au carré.
Le système équivalent est donc :
\[ \begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)>0 \\ A(x)<B(x)^2 \end{cases} \]
Exemple
Résolvons :
\[ \sqrt{x-2}<x-4. \]
On pose les conditions :
\[ \begin{cases} x-2\ge 0 \\ x-4>0 \end{cases} \]
c'est-à-dire :
\[ \begin{cases} x\ge 2 \\ x>4 \end{cases} \]
La seconde condition implique la première ; il suffit donc de retenir :
\[ x>4. \]
On peut maintenant élever au carré :
\[ x-2<(x-4)^2. \]
En développant :
\[ x-2<x^2-8x+16. \]
En regroupant tous les termes à droite :
\[ 0<x^2-9x+18, \]
soit :
\[ x^2-9x+18>0. \]
On factorise :
\[ x^2-9x+18=(x-3)(x-6). \]
L'inéquation devient :
\[ (x-3)(x-6)>0. \]
L'étude du signe donne :
\[ x<3 \quad \text{ou} \quad x>6. \]
En intersectant avec la condition \(x>4\), il reste :
\[ S=(6,+\infty). \]
Inéquations avec des radicaux aux deux membres
Considérons des inéquations du type :
\[ \sqrt{A(x)}>\sqrt{B(x)}. \]
Les deux radicaux doivent exister, ce qui impose :
\[ \begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \end{cases} \]
Une fois ces conditions satisfaites, on peut élever au carré :
\[ A(x)>B(x). \]
Exemple
Résolvons :
\[ \sqrt{x+3}>\sqrt{2x-1}. \]
On pose les conditions d'existence :
\[ \begin{cases} x+3\ge 0 \\ 2x-1\ge 0 \end{cases} \]
c'est-à-dire :
\[ \begin{cases} x\ge -3 \\ x\ge \frac12 \end{cases} \]
D'où :
\[ x\ge \frac12. \]
On élève maintenant au carré :
\[ x+3>2x-1. \]
En résolvant :
\[ 4>x, \]
soit :
\[ x<4. \]
En intersectant avec \(x\ge \frac12\), on obtient :
\[ S=\left[\frac12,4\right). \]
Inéquations avec plusieurs radicaux
Lorsqu'une inéquation contient plusieurs radicaux dans la même expression, la résolution peut nécessiter plusieurs élévations successives au carré.
Dans ce cas, il importe de :
- isoler un radical à la fois ;
- imposer systématiquement les conditions d'existence ;
- vérifier les solutions finales.
Exemple
Résolvons :
\[ \sqrt{x+5}-\sqrt{x-1}>0. \]
On pose les conditions d'existence :
\[ \begin{cases} x+5\ge 0 \\ x-1\ge 0 \end{cases} \]
D'où :
\[ \begin{cases} x\ge -5 \\ x\ge 1 \end{cases} \]
Soit :
\[ x\ge 1. \]
On passe un radical au second membre :
\[ \sqrt{x+5}>\sqrt{x-1}. \]
Les deux membres étant positifs ou nuls, on peut élever au carré :
\[ x+5>x-1. \]
En simplifiant :
\[ 5>-1. \]
Cette inégalité est toujours vraie.
L'inéquation est donc vérifiée pour toute valeur appartenant au domaine :
\[ S=[1,+\infty). \]
Méthode générale
Pour résoudre correctement une inéquation irrationnelle, il est conseillé de suivre toujours la même démarche.
- Déterminer les conditions d'existence des radicaux.
- Isoler éventuellement un radical.
- Étudier le signe des membres de l'inéquation.
- Élever au carré uniquement lorsque l'équivalence est garantie.
- Résoudre l'inéquation obtenue.
- Intersecter avec les conditions initiales.
- Vérifier l'absence de solutions parasites.
La vérification finale est indispensable, en particulier lorsque la résolution a nécessité plusieurs élévations au carré.
Erreurs à éviter
Oublier les conditions d'existence
C'est l'erreur la plus fréquente.
Par exemple :
\[ \sqrt{x-2}>1 \]
exige nécessairement :
\[ x-2\ge 0. \]
Négliger cette condition peut conduire à des solutions invalides.
Élever au carré sans contrôler le signe
Les inéquations :
\[ a>b \]
et
\[ a^2>b^2 \]
ne sont pas équivalentes en général.
L'élévation au carré ne préserve l'équivalence que sous des conditions de signe appropriées.
Ne pas vérifier les solutions finales
Après une élévation au carré, des solutions parasites peuvent apparaître.
Il est donc indispensable de contrôler le résultat obtenu dans l'inéquation initiale.
Les inéquations irrationnelles exigent une approche rigoureuse et méthodique. Chaque étape doit respecter à la fois le domaine des radicaux et les conditions qui garantissent l'équivalence des transformations effectuées.
L'enjeu central n'est pas simplement de savoir élever au carré, mais de comprendre dans quelles circonstances cette opération est logiquement licite.
Une bonne maîtrise des inéquations irrationnelles est indispensable pour aborder l'étude des fonctions, les intersections de courbes et les inéquations plus avancées de l'analyse mathématique.