Les inéquations de degré supérieur sont des inéquations polynomiales dans lesquelles figure un polynôme de degré au moins \(3\). Les résoudre consiste à déterminer pour quelles valeurs de la variable ce polynôme prend des valeurs positives, négatives, positives ou nulles, ou négatives ou nulles.
À la différence des inéquations du premier ou du second degré, il n'existe pas de formule générale immédiate permettant d'obtenir la solution en une seule étape. Le problème repose en revanche sur l'étude du signe d'un produit de facteurs.
C'est pourquoi l'étape fondamentale consiste presque toujours en la factorisation du polynôme :
\[ \text{factoriser le polynôme} \]
Une fois la factorisation obtenue, l'inéquation se ramène à l'étude du signe de chaque facteur et à la construction du tableau de signes.
Sommaire
- Qu'est-ce qu'une inéquation de degré supérieur
- Forme générale
- Principe fondamental de l'étude du signe
- Méthode générale de résolution
- Multiplicité des racines et changement de signe
- Inéquations factorisables
- Inéquations avec racines multiples
- Inéquations avec facteurs quadratiques
- Inéquations de degré impair
- Inéquations de degré pair
- Méthode du tableau de signes
- Erreurs les plus fréquentes
- Exercices résolus
Qu'est-ce qu'une inéquation de degré supérieur
Une inéquation de degré supérieur est une inéquation de la forme :
\[ P(x)>0, \qquad P(x)\geq0, \qquad P(x)<0, \qquad P(x)\leq0 \]
où \(P(x)\) est un polynôme de degré au moins \(3\).
Par exemple :
\[ x^3-4x>0 \]
ou encore :
\[ x^4-5x^2+4\leq0 \]
ou bien :
\[ x^5-2x^4-3x^3\geq0. \]
Dans tous ces cas, il s'agit de déterminer sur quels intervalles de la droite réelle le polynôme prend le signe requis.
Forme générale
Une inéquation polynomiale de degré \(n\) peut s'écrire sous la forme :
\[ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 \gtrless 0 \]
avec :
\[ a_n\neq0. \]
Le degré de l'inéquation coïncide avec le degré du polynôme.
Par exemple :
\[ x^5-3x^2+1>0 \]
est une inéquation du cinquième degré.
Principe fondamental de l'étude du signe
Le principe fondamental est le suivant :
le signe d'un produit dépend du signe de chacun de ses facteurs.
Par conséquent, pour résoudre une inéquation polynomiale, il est indispensable de comprendre comment varie le signe de chaque facteur sur les différents intervalles de la droite réelle.
Par exemple :
\[ (x-2)(x+1)>0 \]
est vérifiée lorsque :
- les deux facteurs sont positifs ;
- ou bien les deux sont négatifs.
C'est pourquoi la stratégie générale consiste à :
- factoriser le polynôme ;
- étudier le signe de chaque facteur ;
- combiner les signes obtenus.
Méthode générale de résolution
La procédure standard pour résoudre une inéquation de degré supérieur s'articule en cinq étapes fondamentales.
1. Ramener tout à gauche
On réécrit l'inéquation sous la forme :
\[ P(x)\gtrless0. \]
2. Factoriser le polynôme
On cherche à factoriser le polynôme :
\[ P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\dots \]
Les principales techniques sont :
- mise en facteur commun ;
- identités remarquables ;
- règle de Ruffini ;
- recherche des racines ;
- substitutions.
3. Déterminer les zéros
On détermine les valeurs qui annulent chaque facteur.
4. Construire le tableau de signes
Les zéros divisent la droite réelle en intervalles. Sur chaque intervalle, le signe du polynôme reste constant.
5. Sélectionner les intervalles requis
On retient enfin les intervalles sur lesquels le polynôme satisfait l'inéquation donnée.
Multiplicité des racines et changement de signe
Un aspect fondamental dans l'étude des inéquations polynomiales concerne la multiplicité des racines.
Considérons :
\[ (x-1)^2. \]
La racine :
\[ x=1 \]
est de multiplicité \(2\).
Dans ce cas, le signe du polynôme ne change pas en traversant cette racine.
En effet :
\[ (x-1)^2\geq0 \]
aussi bien à gauche qu'à droite de \(1\).
En revanche, une racine de multiplicité impaire entraîne un changement de signe.
Par exemple :
\[ (x-1)^3 \]
change de signe en traversant :
\[ x=1. \]
De manière générale :
- racine de multiplicité paire \(\Rightarrow\) le signe ne change pas ;
- racine de multiplicité impaire \(\Rightarrow\) le signe change.
Inéquations factorisables
Considérons l'inéquation :
\[ x^3-4x>0. \]
Factorisation
On met \(x\) en facteur :
\[ x(x^2-4)>0. \]
On factorise ensuite la différence de carrés :
\[ x(x-2)(x+2)>0. \]
Étude du signe
Les zéros du polynôme sont :
\[ -2,\qquad0,\qquad2. \]
On dresse le tableau de signes :
| Intervalle | Signe |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,0)\) | \(+\) |
| \((0,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
Puisqu'on cherche :
\[ x(x-2)(x+2)>0, \]
on obtient :
\[ (-2,0)\cup(2,+\infty). \]
Inéquations avec racines multiples
Considérons :
\[ (x-1)^2(x+3)\geq0. \]
Les zéros sont :
\[ x=1 \]
de multiplicité \(2\), et :
\[ x=-3 \]
de multiplicité \(1\).
En traversant \(x=-3\), le signe change ; en traversant \(x=1\), le signe reste inchangé.
Le tableau de signes est donc le suivant :
| Intervalle | Signe |
|---|---|
| \((-\infty,-3)\) | \(-\) |
| \((-3,1)\) | \(+\) |
| \((1,+\infty)\) | \(+\) |
Comme l'inéquation est :
\[ (x-1)^2(x+3)\geq0, \]
on inclut également les zéros :
\[ [-3,+\infty). \]
Inéquations avec facteurs quadratiques
Les facteurs d'un polynôme ne sont pas nécessairement tous linéaires.
Considérons :
\[ (x^2-4)(x^2+1)>0. \]
Le second facteur :
\[ x^2+1 \]
est strictement positif pour tout réel :
\[ x^2+1>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
Le signe de l'inéquation dépend donc exclusivement du facteur :
\[ x^2-4. \]
On factorise :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
On est ainsi ramené à :
\[ (x-2)(x+2)>0, \]
dont la solution est :
\[ (-\infty,-2)\cup(2,+\infty). \]
Inéquations de degré impair
Les polynômes de degré impair à coefficient dominant positif vérifient :
\[ P(x)\to-\infty \qquad \text{lorsque} \qquad x\to-\infty \]
et :
\[ P(x)\to+\infty \qquad \text{lorsque} \qquad x\to+\infty. \]
Ce comportement permet souvent de prévoir le signe global du polynôme.
Par exemple :
\[ x^3-1 \]
est négatif à gauche de la racine \(x=1\) et positif à droite.
Inéquations de degré pair
Les polynômes de degré pair à coefficient dominant positif vérifient en revanche :
\[ P(x)\to+\infty \]
aussi bien lorsque :
\[ x\to-\infty \]
que lorsque :
\[ x\to+\infty. \]
Cela explique pourquoi le tableau de signes de tels polynômes commence et se termine généralement par le même signe.
Méthode du tableau de signes
Le tableau de signes est l'outil central dans la résolution des inéquations polynomiales.
La procédure consiste à :
- ordonner les zéros du polynôme ;
- diviser la droite réelle en intervalles correspondants ;
- déterminer le signe de chaque facteur ;
- multiplier les signes obtenus.
Il est important de retenir que :
- une racine de multiplicité impaire entraîne un changement de signe ;
- une racine de multiplicité paire n'entraîne pas de changement de signe.
Erreurs les plus fréquentes
Factorisation incomplète
De nombreuses erreurs proviennent d'une factorisation incomplète du polynôme.
Négliger la multiplicité des racines
Une racine double n'entraîne pas de changement de signe.
Se tromper de signe sur un intervalle
Il est conseillé de toujours vérifier le signe à l'aide d'une valeur test.
Inclure incorrectement les zéros
Dans les inéquations strictes :
\[ >,\qquad< \]
les zéros n'appartiennent pas à la solution.
Dans les inéquations larges :
\[ \geq,\qquad\leq \]
les zéros doivent en revanche être inclus.
Exercices résolus
Exemple 1. Résoudre :
\[ x^3-x^2-6x>0. \]
Factorisation
On met \(x\) en facteur :
\[ x(x^2-x-6)>0. \]
On factorise le trinôme :
\[ x(x-3)(x+2)>0. \]
Étude du signe
Les zéros sont :
\[ -2,\qquad0,\qquad3. \]
Le tableau de signes donne :
\[ (-2,0)\cup(3,+\infty). \]
Exemple 2. Résoudre :
\[ x^4-5x^2+4\leq0. \]
Substitution
On pose :
\[ y=x^2. \]
On obtient :
\[ y^2-5y+4\leq0. \]
On factorise :
\[ (y-1)(y-4)\leq0. \]
D'où :
\[ 1\leq y\leq4. \]
En revenant à la variable initiale :
\[ 1\leq x^2\leq4. \]
On obtient :
\[ x\in[-2,-1]\cup[1,2]. \]
Les inéquations de degré supérieur se résolvent grâce à l'étude du signe des polynômes.
L'idée fondamentale consiste à transformer le polynôme en un produit de facteurs, puis à analyser le comportement du signe sur chaque intervalle de la droite réelle.
C'est pourquoi les outils suivants sont indispensables :
- la factorisation des polynômes ;
- l'étude des racines ;
- la multiplicité des zéros ;
- le tableau de signes.
Une fois ces outils bien maîtrisés, même des inéquations en apparence très complexes peuvent être abordées de façon systématique, rigoureuse et méthodique.