Une collection progressive de 20 exercices résolus sur les équations de degré supérieur, conçue pour apprendre à reconnaître la structure de l'équation avant même de commencer les calculs. Chaque exercice présente non seulement les étapes algébriques, mais aussi la raison pour laquelle une technique donnée peut être appliquée.
Rappelons qu'une équation de degré supérieur est une équation polynomiale de degré au moins \(3\). Dans la plupart des cas, elle ne se résout pas en appliquant une formule générale, mais en cherchant à transformer le polynôme en un produit de facteurs plus simples.
Le principe fondamental est :
\[ A\cdot B=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \ \text{ou} \ B=0 \]
C'est pourquoi l'objectif principal sera toujours le même : factoriser le polynôme puis annuler chaque facteur.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre :
\[ x^3-5x^2=0 \]
Résultat
\[ S=\{0,5\} \]
Solution
Observation préliminaire
L'équation est du troisième degré, car l'exposant maximal de la variable est \(3\). Cependant, il ne faut pas chercher immédiatement des formules compliquées : il convient d'abord d'examiner la structure du polynôme.
On a :
\[ x^3-5x^2=0 \]
Les deux termes \(x^3\) et \(-5x^2\) ont un facteur commun. En effet :
\[ x^3=x^2\cdot x \]
et :
\[ -5x^2=x^2\cdot(-5) \]
Mise en facteur commun
Puisque les deux termes contiennent \(x^2\), on peut mettre \(x^2\) en facteur :
\[ x^3-5x^2=x^2(x-5) \]
L'équation devient :
\[ x^2(x-5)=0 \]
Application de la règle du produit nul
On a désormais un produit égal à zéro. Un produit est nul si au moins l'un de ses facteurs est nul.
Donc :
\[ x^2=0 \]
ou :
\[ x-5=0 \]
Résolution des équations obtenues
De la première équation :
\[ x^2=0 \]
on déduit nécessairement :
\[ x=0 \]
De la deuxième équation :
\[ x-5=0 \]
on obtient :
\[ x=5 \]
Conclusion
Les solutions de l'équation sont :
\[ S=\{0,5\} \]
On remarque que \(x=0\) provient du facteur \(x^2\). En tant qu'ensemble des solutions, on ne l'écrit cependant qu'une seule fois.
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre :
\[ x^4-9x^2=0 \]
Résultat
\[ S=\{-3,0,3\} \]
Solution
Analyse de la structure
L'équation est :
\[ x^4-9x^2=0 \]
Ici aussi, les deux termes ont un facteur commun. En effet :
\[ x^4=x^2\cdot x^2 \]
et :
\[ -9x^2=x^2\cdot(-9) \]
On peut donc mettre \(x^2\) en facteur.
Première mise en facteur
En mettant \(x^2\) en évidence, on obtient :
\[ x^4-9x^2=x^2(x^2-9) \]
L'équation devient :
\[ x^2(x^2-9)=0 \]
Factorisation complémentaire
Le facteur :
\[ x^2-9 \]
n'est pas encore complètement factorisé. En effet \(9=3^2\), donc :
\[ x^2-9=x^2-3^2 \]
On applique la formule de la différence de deux carrés :
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
Ici \(a=x\) et \(b=3\), donc :
\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
Forme factorisée complète
L'équation devient :
\[ x^2(x-3)(x+3)=0 \]
Le polynôme est à présent écrit comme un produit de facteurs.
Annulation des facteurs
Par la règle du produit nul, on annule chaque facteur :
\[ x^2=0 \]
ou :
\[ x-3=0 \]
ou :
\[ x+3=0 \]
Résolution
De la première équation :
\[ x^2=0 \]
on déduit :
\[ x=0 \]
De la deuxième :
\[ x-3=0 \]
on déduit :
\[ x=3 \]
De la troisième :
\[ x+3=0 \]
on déduit :
\[ x=-3 \]
Conclusion
Les solutions sont :
\[ S=\{-3,0,3\} \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre :
\[ x^3-8=0 \]
Résultat
\[ S=\{2\} \]
Solution
Identification de la structure
L'équation est :
\[ x^3-8=0 \]
Il n'y a pas ici de facteur commun à mettre en évidence. On peut cependant reconnaître une différence de deux cubes, car :
\[ 8=2^3 \]
Donc :
\[ x^3-8=x^3-2^3 \]
Formule de la différence de deux cubes
On rappelle la formule :
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]
Dans notre cas :
\[ a=x,\qquad b=2 \]
Donc :
\[ x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4) \]
Équation factorisée
L'équation devient :
\[ (x-2)(x^2+2x+4)=0 \]
On peut maintenant annuler chaque facteur séparément.
Premier facteur
Du facteur :
\[ x-2=0 \]
on obtient :
\[ x=2 \]
Deuxième facteur
On considère à présent :
\[ x^2+2x+4=0 \]
Il s'agit d'une équation du second degré. Pour savoir si elle admet des solutions réelles, on calcule le discriminant :
\[ \Delta=b^2-4ac \]
Ici :
\[ a=1,\qquad b=2,\qquad c=4 \]
donc :
\[ \Delta=2^2-4\cdot1\cdot4 \]
soit :
\[ \Delta=4-16=-12 \]
Le discriminant étant négatif, cette équation n'a pas de solution réelle.
Conclusion
La seule solution réelle de l'équation initiale est :
\[ S=\{2\} \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ x^4-16=0 \]
Résultat
\[ S=\{-2,2\} \]
Solution
Première observation
L'équation est :
\[ x^4-16=0 \]
On remarque que \(x^4\) peut s'écrire comme un carré :
\[ x^4=(x^2)^2 \]
De plus :
\[ 16=4^2 \]
Le polynôme est donc une différence de deux carrés :
\[ x^4-16=(x^2)^2-4^2 \]
Première factorisation
On applique :
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
avec :
\[ a=x^2,\qquad b=4 \]
On obtient :
\[ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4) \]
Vérification de la factorisation
Il ne faut pas s'arrêter trop tôt. Le facteur :
\[ x^2-4 \]
est encore une différence de deux carrés, car :
\[ 4=2^2 \]
Donc :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Forme finale
L'équation devient :
\[ (x-2)(x+2)(x^2+4)=0 \]
Annulation des facteurs
On annule chaque facteur séparément.
Du premier facteur :
\[ x-2=0 \]
on obtient :
\[ x=2 \]
Du deuxième facteur :
\[ x+2=0 \]
on obtient :
\[ x=-2 \]
Il reste :
\[ x^2+4=0 \]
soit :
\[ x^2=-4 \]
Cette équation n'a pas de solution réelle, car le carré d'un nombre réel ne peut pas être négatif.
Conclusion
Les solutions réelles sont :
\[ S=\{-2,2\} \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ x^4-5x^2+4=0 \]
Résultat
\[ S=\{-2,-1,1,2\} \]
Solution
Identification de l'équation bicarrée
L'équation est :
\[ x^4-5x^2+4=0 \]
On remarque qu'elle ne fait intervenir que :
\[ x^4,\qquad x^2,\qquad 1 \]
Aucune puissance impaire de \(x\), telle que \(x^3\) ou \(x\), n'y apparaît. Cela invite à procéder par changement de variable.
Changement de variable
On pose :
\[ y=x^2 \]
Alors :
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
En substituant dans l'équation initiale, on obtient :
\[ y^2-5y+4=0 \]
On a ainsi transformé une équation du quatrième degré en une équation du second degré en \(y\).
Résolution de l'équation en \(y\)
On doit résoudre :
\[ y^2-5y+4=0 \]
On cherche deux nombres dont le produit est \(4\) et la somme est \(-5\). Ces nombres sont \(-1\) et \(-4\), car :
\[ (-1)(-4)=4 \]
et :
\[ -1-4=-5 \]
Donc :
\[ y^2-5y+4=(y-1)(y-4) \]
L'équation devient :
\[ (y-1)(y-4)=0 \]
Par conséquent :
\[ y-1=0 \]
ou :
\[ y-4=0 \]
soit :
\[ y=1 \qquad \text{ou} \qquad y=4 \]
Retour à la variable initiale
On rappelle que :
\[ y=x^2 \]
Les deux valeurs de \(y\) donnent donc deux équations en \(x\).
De :
\[ y=1 \]
on obtient :
\[ x^2=1 \]
donc :
\[ x=\pm1 \]
De :
\[ y=4 \]
on obtient :
\[ x^2=4 \]
donc :
\[ x=\pm2 \]
Conclusion
Les solutions sont :
\[ x=-2,\quad x=-1,\quad x=1,\quad x=2 \]
Soit :
\[ S=\{-2,-1,1,2\} \]
Remarque importante
Dans les équations bicarrées, il faut être attentif au retour de \(y\) à \(x\). De \(x^2=4\), par exemple, on ne tire pas seulement \(x=2\), mais aussi \(x=-2\).
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ x^6-9x^3=0 \]
Résultat
\[ S=\left\{0,\sqrt[3]{9}\right\} \]
Solution
Analyse préliminaire
L'équation est :
\[ x^6-9x^3=0 \]
Le degré de l'équation est \(6\), car l'exposant maximal de la variable est \(6\). Cependant la structure est assez simple : les deux termes contiennent une puissance commune de \(x\).
En effet :
\[ x^6=x^3\cdot x^3 \]
et :
\[ -9x^3=x^3\cdot(-9) \]
Mise en facteur commun
On peut donc mettre \(x^3\) en facteur :
\[ x^6-9x^3=x^3(x^3-9) \]
L'équation devient :
\[ x^3(x^3-9)=0 \]
Règle du produit nul
On a un produit égal à zéro, donc au moins l'un des facteurs est nul :
\[ x^3=0 \]
ou :
\[ x^3-9=0 \]
Résolution du premier facteur
De la première équation :
\[ x^3=0 \]
on déduit :
\[ x=0 \]
En effet, le seul réel dont le cube est zéro est \(0\).
Résolution du deuxième facteur
On considère maintenant :
\[ x^3-9=0 \]
On passe \(9\) au membre de droite :
\[ x^3=9 \]
On extrait la racine cubique :
\[ x=\sqrt[3]{9} \]
C'est bien une solution réelle, car tout nombre réel admet une racine cubique réelle.
Conclusion
Les solutions réelles de l'équation sont :
\[ S=\left\{0,\sqrt[3]{9}\right\} \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ x^4+2x^2-3=0 \]
Résultat
\[ S=\{-1,1\} \]
Solution
Identification de la forme
L'équation est :
\[ x^4+2x^2-3=0 \]
On remarque qu'elle ne fait intervenir que des puissances paires de la variable :
\[ x^4,\qquad x^2,\qquad x^0 \]
Cela invite à la traiter comme une équation bicarrée, c'est-à-dire comme une équation du second degré en \(x^2\).
Changement de variable
On pose :
\[ y=x^2 \]
Alors :
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
En substituant dans l'équation initiale, on obtient :
\[ y^2+2y-3=0 \]
Résolution de l'équation en \(y\)
On doit résoudre :
\[ y^2+2y-3=0 \]
On cherche deux nombres dont le produit est \(-3\) et la somme est \(2\). Ces nombres sont \(3\) et \(-1\), car :
\[ 3\cdot(-1)=-3 \]
et :
\[ 3+(-1)=2 \]
Donc :
\[ y^2+2y-3=(y+3)(y-1) \]
L'équation devient :
\[ (y+3)(y-1)=0 \]
Par conséquent :
\[ y+3=0 \]
ou :
\[ y-1=0 \]
soit :
\[ y=-3 \qquad \text{ou} \qquad y=1 \]
Retour à la variable \(x\)
On rappelle que :
\[ y=x^2 \]
La valeur \(y=-3\) conduit à :
\[ x^2=-3 \]
Cette équation n'a pas de solution réelle, car le carré d'un nombre réel ne peut pas être négatif.
La valeur \(y=1\), en revanche, conduit à :
\[ x^2=1 \]
d'où :
\[ x=\pm1 \]
Conclusion
Les solutions réelles sont :
\[ S=\{-1,1\} \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[ x^3+3x^2-4x-12=0 \]
Résultat
\[ S=\{-3,-2,2\} \]
Solution
Observation préliminaire
L'équation est :
\[ x^3+3x^2-4x-12=0 \]
Il n'y a pas de facteur commun à tous les termes. En revanche, les termes peuvent être regroupés deux par deux de façon utile.
On écrit :
\[ x^3+3x^2-4x-12=(x^3+3x^2)+(-4x-12) \]
Factorisation par regroupement
Dans le premier groupe :
\[ x^3+3x^2 \]
on met \(x^2\) en facteur :
\[ x^3+3x^2=x^2(x+3) \]
Dans le deuxième groupe :
\[ -4x-12 \]
on met \(-4\) en facteur :
\[ -4x-12=-4(x+3) \]
Donc :
\[ x^3+3x^2-4x-12=x^2(x+3)-4(x+3) \]
Mise en facteur du binôme commun
On constate que le même facteur \((x+3)\) apparaît dans les deux termes :
\[ x^2(x+3)-4(x+3) \]
On met \((x+3)\) en facteur :
\[ x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x^2-4) \]
Factorisation complémentaire
Le facteur :
\[ x^2-4 \]
est une différence de deux carrés :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
On a donc :
\[ x^3+3x^2-4x-12=(x+3)(x-2)(x+2) \]
Équation factorisée
L'équation devient :
\[ (x+3)(x-2)(x+2)=0 \]
Annulation des facteurs
On annule chaque facteur :
\[ x+3=0 \]
ou :
\[ x-2=0 \]
ou :
\[ x+2=0 \]
On obtient respectivement :
\[ x=-3,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Conclusion
Les solutions sont :
\[ S=\{-3,-2,2\} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ x^3-6x^2+11x-6=0 \]
Résultat
\[ S=\{1,2,3\} \]
Solution
Observation préliminaire
L'équation est :
\[ x^3-6x^2+11x-6=0 \]
Elle n'est pas immédiatement factorisable par mise en facteur commun ou par identités remarquables. Pour un polynôme à coefficients entiers, une stratégie naturelle consiste à rechercher d'éventuelles racines rationnelles.
Recherche d'une racine rationnelle
Si un polynôme à coefficients entiers admet une racine entière, celle-ci est nécessairement un diviseur du terme constant. Le terme constant est \(-6\), donc on teste les diviseurs de \(6\) :
\[ \pm1,\quad \pm2,\quad \pm3,\quad \pm6 \]
On note :
\[ P(x)=x^3-6x^2+11x-6 \]
On calcule \(P(1)\) :
\[ P(1)=1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6 \]
soit :
\[ P(1)=1-6+11-6=0 \]
Donc \(x=1\) est une racine du polynôme.
Interprétation de la racine trouvée
Si \(x=1\) est une racine, alors le polynôme est divisible par :
\[ x-1 \]
On peut donc écrire :
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)Q(x) \]
où \(Q(x)\) est un polynôme du second degré.
Division par la règle de Ruffini
On divise le polynôme par \(x-1\). Les coefficients du polynôme sont :
\[ 1,\quad -6,\quad 11,\quad -6 \]
En appliquant la règle de Ruffini avec la racine \(1\), on obtient comme quotient :
\[ x^2-5x+6 \]
Donc :
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6) \]
Factorisation du trinôme du second degré
On doit maintenant factoriser :
\[ x^2-5x+6 \]
On cherche deux nombres dont le produit est \(6\) et la somme est \(-5\). Ces nombres sont \(-2\) et \(-3\), car :
\[ (-2)(-3)=6 \]
et :
\[ -2-3=-5 \]
Donc :
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Forme complètement factorisée
L'équation initiale devient :
\[ (x-1)(x-2)(x-3)=0 \]
Application de la règle du produit nul
Un produit est nul si au moins l'un de ses facteurs est nul. Donc :
\[ x-1=0 \]
ou :
\[ x-2=0 \]
ou :
\[ x-3=0 \]
D'où :
\[ x=1,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Conclusion
Les solutions de l'équation sont :
\[ S=\{1,2,3\} \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ x^6-13x^3+36=0 \]
Résultat
\[ S=\left\{\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{9}\right\} \]
Solution
Identification de la structure trinomiale
L'équation est :
\[ x^6-13x^3+36=0 \]
Les exposants présents sont \(6\), \(3\) et \(0\). En particulier :
\[ x^6=(x^3)^2 \]
Cela suggère un changement de variable analogue à celui utilisé pour les équations du second degré.
Changement de variable
On pose :
\[ y=x^3 \]
Alors :
\[ x^6=(x^3)^2=y^2 \]
En substituant dans l'équation, on obtient :
\[ y^2-13y+36=0 \]
Résolution de l'équation en \(y\)
On factorise le trinôme :
\[ y^2-13y+36 \]
On cherche deux nombres dont le produit est \(36\) et la somme est \(-13\). Ces nombres sont \(-4\) et \(-9\), car :
\[ (-4)(-9)=36 \]
et :
\[ -4-9=-13 \]
Donc :
\[ y^2-13y+36=(y-4)(y-9) \]
L'équation devient :
\[ (y-4)(y-9)=0 \]
Par conséquent :
\[ y=4 \qquad \text{ou} \qquad y=9 \]
Retour à la variable initiale
Puisqu'on a posé :
\[ y=x^3 \]
on doit résoudre :
\[ x^3=4 \]
ou :
\[ x^3=9 \]
Dans les réels, toute équation de la forme \(x^3=a\) admet une unique solution réelle :
\[ x=\sqrt[3]{a} \]
On obtient donc :
\[ x=\sqrt[3]{4} \]
ou :
\[ x=\sqrt[3]{9} \]
Conclusion
Les solutions réelles sont :
\[ S=\left\{\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{9}\right\} \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ x^5-4x^3=0 \]
Résultat
\[ S=\{-2,0,2\} \]
Solution
Analyse préliminaire
L'équation est :
\[ x^5-4x^3=0 \]
L'exposant maximal est \(5\), il s'agit donc d'une équation du cinquième degré. Il ne faut cependant pas se laisser impressionner par le degré : le polynôme possède un facteur commun évident.
En effet :
\[ x^5=x^3\cdot x^2 \]
et :
\[ -4x^3=x^3\cdot(-4) \]
Mise en facteur commun
On met \(x^3\) en facteur :
\[ x^5-4x^3=x^3(x^2-4) \]
L'équation devient :
\[ x^3(x^2-4)=0 \]
Factorisation du deuxième facteur
Le facteur :
\[ x^2-4 \]
est une différence de deux carrés, car \(4=2^2\). Donc :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Par conséquent :
\[ x^5-4x^3=x^3(x-2)(x+2) \]
Forme factorisée de l'équation
L'équation s'écrit :
\[ x^3(x-2)(x+2)=0 \]
Annulation des facteurs
On annule chaque facteur :
\[ x^3=0 \]
ou :
\[ x-2=0 \]
ou :
\[ x+2=0 \]
De la première équation :
\[ x=0 \]
De la deuxième :
\[ x=2 \]
De la troisième :
\[ x=-2 \]
Conclusion
Les solutions sont :
\[ S=\{-2,0,2\} \]
Bien que \(x=0\) provienne du facteur \(x^3\), on ne l'écrit qu'une seule fois dans l'ensemble des solutions.
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ x^4-10x^2+9=0 \]
Résultat
\[ S=\{-3,-1,1,3\} \]
Solution
Identification de la structure
L'équation est :
\[ x^4-10x^2+9=0 \]
Elle ne fait intervenir que des puissances paires de \(x\) : \(x^4\), \(x^2\) et le terme constant. Il s'agit donc d'une équation bicarrée.
Changement de variable
On pose :
\[ y=x^2 \]
Alors :
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
En substituant, on obtient :
\[ y^2-10y+9=0 \]
Résolution de l'équation en \(y\)
On cherche deux nombres dont le produit est \(9\) et la somme est \(-10\). Ces nombres sont \(-1\) et \(-9\), car :
\[ (-1)(-9)=9 \]
et :
\[ -1-9=-10 \]
Donc :
\[ y^2-10y+9=(y-1)(y-9) \]
L'équation devient :
\[ (y-1)(y-9)=0 \]
D'où :
\[ y=1 \qquad \text{ou} \qquad y=9 \]
Retour à la variable initiale
Puisque \(y=x^2\), on doit résoudre :
\[ x^2=1 \]
ou :
\[ x^2=9 \]
De la première équation :
\[ x=\pm1 \]
De la seconde :
\[ x=\pm3 \]
Conclusion
Les solutions sont :
\[ S=\{-3,-1,1,3\} \]
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[ x^3+x^2-4x-4=0 \]
Résultat
\[ S=\{-2,-1,2\} \]
Solution
Observation préliminaire
L'équation est :
\[ x^3+x^2-4x-4=0 \]
Il n'existe pas de facteur commun aux quatre termes. On peut cependant tenter une factorisation par regroupement, en groupant les termes de façon à faire apparaître un même facteur.
Regroupement des termes
On écrit :
\[ x^3+x^2-4x-4=(x^3+x^2)+(-4x-4) \]
Dans le premier groupe, on met \(x^2\) en facteur :
\[ x^3+x^2=x^2(x+1) \]
Dans le deuxième groupe, on met \(-4\) en facteur :
\[ -4x-4=-4(x+1) \]
Donc :
\[ x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1) \]
Mise en facteur du binôme commun
Les deux termes contiennent maintenant le facteur \((x+1)\) :
\[ x^2(x+1)-4(x+1) \]
On met \((x+1)\) en facteur :
\[ x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4) \]
Factorisation de la différence de deux carrés
Le facteur :
\[ x^2-4 \]
est une différence de deux carrés :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
On a donc :
\[ x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2) \]
Équation factorisée
L'équation devient :
\[ (x+1)(x-2)(x+2)=0 \]
Annulation des facteurs
On annule chaque facteur :
\[ x+1=0 \]
ou :
\[ x-2=0 \]
ou :
\[ x+2=0 \]
On obtient :
\[ x=-1,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Conclusion
Les solutions sont :
\[ S=\{-2,-1,2\} \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ x^3-3x^2-4x+12=0 \]
Résultat
\[ S=\{-2,2,3\} \]
Solution
Analyse du polynôme
L'équation est :
\[ x^3-3x^2-4x+12=0 \]
Il n'y a pas de facteur commun à tous les termes. On cherche donc à regrouper les termes de façon à faire apparaître un facteur binomial commun.
Factorisation par regroupement
On regroupe ainsi :
\[ x^3-3x^2-4x+12=(x^3-3x^2)+(-4x+12) \]
Dans le premier groupe, on met \(x^2\) en facteur :
\[ x^3-3x^2=x^2(x-3) \]
Dans le deuxième groupe, on met \(-4\) en facteur :
\[ -4x+12=-4(x-3) \]
Donc :
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
Mise en facteur du binôme commun
Le facteur commun est \((x-3)\). On le met en évidence :
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
Factorisation complète
Puisque :
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
on obtient :
\[ x^3-3x^2-4x+12=(x-3)(x-2)(x+2) \]
Résolution
L'équation devient :
\[ (x-3)(x-2)(x+2)=0 \]
Par la règle du produit nul :
\[ x-3=0 \]
ou :
\[ x-2=0 \]
ou :
\[ x+2=0 \]
Donc :
\[ x=3,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Conclusion
En écrivant les solutions par ordre croissant :
\[ S=\{-2,2,3\} \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ x^4+x^2-6=0 \]
Résultat
\[ S=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\} \]
Solution
Identification de la forme bicarrée
L'équation est :
\[ x^4+x^2-6=0 \]
Elle ne fait intervenir que \(x^4\), \(x^2\) et le terme constant. On peut donc introduire une nouvelle variable :
\[ y=x^2 \]
De cette substitution découle :
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Équation dans la nouvelle variable
En remplaçant \(x^2\) par \(y\) et \(x^4\) par \(y^2\), l'équation devient :
\[ y^2+y-6=0 \]
On a ainsi transformé une équation du quatrième degré en une équation du second degré.
Factorisation du trinôme
On cherche deux nombres dont le produit est \(-6\) et la somme est \(1\). Ces nombres sont \(3\) et \(-2\), car :
\[ 3\cdot(-2)=-6 \]
et :
\[ 3+(-2)=1 \]
Donc :
\[ y^2+y-6=(y+3)(y-2) \]
L'équation devient :
\[ (y+3)(y-2)=0 \]
Solutions en \(y\)
Par la règle du produit nul :
\[ y+3=0 \]
ou :
\[ y-2=0 \]
Donc :
\[ y=-3 \qquad \text{ou} \qquad y=2 \]
Retour à la variable \(x\)
On rappelle que :
\[ y=x^2 \]
La valeur \(y=-3\) conduit à :
\[ x^2=-3 \]
Cette équation n'a pas de solution réelle, car le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.
La valeur \(y=2\) conduit en revanche à :
\[ x^2=2 \]
d'où :
\[ x=\pm\sqrt{2} \]
Conclusion
Les solutions réelles de l'équation initiale sont :
\[ S=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\} \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ x^3-2x^2-x+2=0 \]
Résultat
\[ S=\{-1,1,2\} \]
Solution
Observation préliminaire
L'équation est :
\[ x^3-2x^2-x+2=0 \]
On ne peut pas mettre un facteur commun en évidence sur tous les termes. On regroupe donc :
\[ x^3-2x^2-x+2=(x^3-2x^2)+(-x+2) \]
Factorisation par regroupement
Dans le premier groupe, on met \(x^2\) en facteur :
\[ x^3-2x^2=x^2(x-2) \]
Dans le deuxième groupe, on met \(-1\) en facteur :
\[ -x+2=-(x-2) \]
Donc :
\[ x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-(x-2) \]
Mise en facteur du binôme commun
Les deux termes contiennent le facteur \((x-2)\). On le met en évidence :
\[ x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1) \]
Factorisation de la différence de deux carrés
Le facteur :
\[ x^2-1 \]
est une différence de deux carrés, car :
\[ 1=1^2 \]
Donc :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Il vient :
\[ x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1) \]
Équation factorisée
L'équation devient :
\[ (x-2)(x-1)(x+1)=0 \]
Annulation des facteurs
On annule chaque facteur :
\[ x-2=0 \]
ou :
\[ x-1=0 \]
ou :
\[ x+1=0 \]
On obtient :
\[ x=2,\qquad x=1,\qquad x=-1 \]
Conclusion
En écrivant les solutions par ordre croissant :
\[ S=\{-1,1,2\} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12=0 \]
Résultat
\[ S=\{-2,-1,2,3\} \]
Solution
Choix de la stratégie
Le polynôme :
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
ne présente pas de facteur commun évident et ne se ramène pas directement à une identité remarquable. On cherche donc des racines rationnelles.
On note :
\[ P(x)=x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
Recherche d'une racine entière
Le terme constant étant \(12\), les racines entières éventuelles sont à chercher parmi les diviseurs de \(12\) :
\[ \pm1,\quad \pm2,\quad \pm3,\quad \pm4,\quad \pm6,\quad \pm12 \]
On teste \(x=2\) :
\[ P(2)=2^4-2\cdot2^3-7\cdot2^2+8\cdot2+12 \]
On calcule terme à terme :
\[ 2^4=16,\qquad -2\cdot2^3=-16,\qquad -7\cdot2^2=-28,\qquad 8\cdot2=16 \]
Donc :
\[ P(2)=16-16-28+16+12=0 \]
Donc \(x=2\) est une racine et le polynôme est divisible par \(x-2\).
Première division par la règle de Ruffini
En divisant :
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
par \(x-2\), on obtient :
\[ x^3-7x-6 \]
Donc :
\[ P(x)=(x-2)(x^3-7x-6) \]
Factorisation du polynôme cubique
On doit maintenant factoriser :
\[ x^3-7x-6 \]
On cherche une autre racine entière. On teste \(x=3\) :
\[ 3^3-7\cdot3-6=27-21-6=0 \]
Donc \(x=3\) est une racine du polynôme cubique et on peut diviser par \(x-3\).
Deuxième division par la règle de Ruffini
En divisant :
\[ x^3-7x-6 \]
par \(x-3\), on obtient :
\[ x^2+3x+2 \]
Donc :
\[ x^3-7x-6=(x-3)(x^2+3x+2) \]
Factorisation finale
On factorise :
\[ x^2+3x+2 \]
On cherche deux nombres dont le produit est \(2\) et la somme est \(3\). Ce sont \(1\) et \(2\), donc :
\[ x^2+3x+2=(x+1)(x+2) \]
Le polynôme initial est donc :
\[ P(x)=(x-2)(x-3)(x+1)(x+2) \]
Résolution de l'équation
L'équation devient :
\[ (x-2)(x-3)(x+1)(x+2)=0 \]
Donc :
\[ x=2,\qquad x=3,\qquad x=-1,\qquad x=-2 \]
Conclusion
Par ordre croissant :
\[ S=\{-2,-1,2,3\} \]
Exercice 18 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ x^6-7x^3-8=0 \]
Résultat
\[ S=\{-1,2\} \]
Solution
Identification de la structure
L'équation est :
\[ x^6-7x^3-8=0 \]
Les exposants présents sont \(6\), \(3\) et \(0\). Puisque :
\[ x^6=(x^3)^2 \]
on peut traiter l'équation comme une équation du second degré en \(x^3\).
Changement de variable
On pose :
\[ y=x^3 \]
Alors :
\[ x^6=y^2 \]
L'équation devient :
\[ y^2-7y-8=0 \]
Résolution de l'équation en \(y\)
On factorise :
\[ y^2-7y-8 \]
On cherche deux nombres dont le produit est \(-8\) et la somme est \(-7\). Ces nombres sont \(-8\) et \(1\), car :
\[ (-8)\cdot1=-8 \]
et :
\[ -8+1=-7 \]
Donc :
\[ y^2-7y-8=(y-8)(y+1) \]
L'équation devient :
\[ (y-8)(y+1)=0 \]
Par conséquent :
\[ y=8 \]
ou :
\[ y=-1 \]
Retour à la variable \(x\)
Puisque :
\[ y=x^3 \]
on obtient deux équations :
\[ x^3=8 \]
ou :
\[ x^3=-1 \]
De la première :
\[ x=\sqrt[3]{8}=2 \]
De la seconde :
\[ x=\sqrt[3]{-1}=-1 \]
Conclusion
Les solutions réelles sont :
\[ S=\{-1,2\} \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ (x-1)^2(x+2)=0 \]
Résultat
\[ S=\{-2,1\} \]
Solution
Équation déjà factorisée
L'équation est :
\[ (x-1)^2(x+2)=0 \]
Le polynôme est ici déjà écrit sous forme de produit de facteurs. Il n'est donc pas nécessaire de factoriser davantage : on peut appliquer directement la règle du produit nul.
Annulation des facteurs
Le produit est nul si au moins l'un des facteurs est nul. Donc :
\[ (x-1)^2=0 \]
ou :
\[ x+2=0 \]
Premier facteur
De la première équation :
\[ (x-1)^2=0 \]
on déduit que :
\[ x-1=0 \]
et donc :
\[ x=1 \]
La puissance au carré indique que la racine \(x=1\) apparaît deux fois dans la factorisation. On dit alors que \(x=1\) est une racine double.
Deuxième facteur
De la deuxième équation :
\[ x+2=0 \]
on obtient :
\[ x=-2 \]
Conclusion
On écrit chaque valeur une seule fois dans l'ensemble des solutions :
\[ S=\{-2,1\} \]
La multiplicité de la racine \(1\) est importante dans l'étude du graphe du polynôme, mais ne modifie pas l'ensemble des solutions.
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ x^4-4x^3+4x^2=0 \]
Résultat
\[ S=\{0,2\} \]
Solution
Analyse préliminaire
L'équation est :
\[ x^4-4x^3+4x^2=0 \]
Tous les termes contiennent au moins le facteur \(x^2\). En effet :
\[ x^4=x^2\cdot x^2 \]
\[ -4x^3=x^2\cdot(-4x) \]
\[ 4x^2=x^2\cdot4 \]
Mise en facteur commun
On met \(x^2\) en facteur :
\[ x^4-4x^3+4x^2=x^2(x^2-4x+4) \]
L'équation devient :
\[ x^2(x^2-4x+4)=0 \]
Identification du carré parfait
On examine le trinôme :
\[ x^2-4x+4 \]
Il s'agit d'un carré parfait, car :
\[ x^2-4x+4=x^2-2\cdot x\cdot2+2^2 \]
donc :
\[ x^2-4x+4=(x-2)^2 \]
Forme factorisée complète
L'équation devient :
\[ x^2(x-2)^2=0 \]
Annulation des facteurs
On annule chaque facteur :
\[ x^2=0 \]
ou :
\[ (x-2)^2=0 \]
De la première équation :
\[ x=0 \]
De la seconde :
\[ x-2=0 \]
donc :
\[ x=2 \]
Conclusion
Les solutions sont :
\[ S=\{0,2\} \]
Les deux racines sont de multiplicité \(2\), car les facteurs \(x^2\) et \((x-2)^2\) sont tous les deux des carrés.