Une collection progressive de 20 exercices résolus sur la valeur absolue, conçue pour apprendre à utiliser correctement la définition du module, sa signification géométrique et ses principales propriétés opératoires.
Dans chaque exercice, la valeur absolue n'est pas traitée comme une simple règle mécanique pour « supprimer le signe moins », mais comme une grandeur qui mesure une distance. C'est pourquoi chaque étape est justifiée avec soin, en distinguant les cas où l'expression à l'intérieur du module est positive, nulle ou négative.
Les exercices débutent par le calcul direct de valeurs absolues numériques et progressent graduellement vers des expressions littérales, des distances sur la droite réelle, des simplifications avec des modules et les premières équations avec valeur absolue.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer :
\[ |7| \]
Résultat
\[ |7|=7 \]
Solution
La valeur absolue d'un nombre réel mesure sa distance à \(0\) sur la droite réelle. Comme une distance ne peut pas être négative, la valeur absolue est toujours un nombre supérieur ou égal à zéro.
Dans ce cas, le nombre à l'intérieur de la valeur absolue est \(7\). Comme :
\[ 7>0, \]
on doit appliquer le premier cas de la définition :
\[ |x|=x \qquad \text{si } x\geq 0. \]
Donc :
\[ |7|=7. \]
Géométriquement, cela signifie que le nombre \(7\) se trouve à une distance \(7\) de \(0\) sur la droite réelle.
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer :
\[ |-9| \]
Résultat
\[ |-9|=9 \]
Solution
Le nombre à l'intérieur de la valeur absolue est \(-9\), c'est-à-dire un nombre négatif.
Dans ce cas, on doit appliquer la deuxième branche de la définition de la valeur absolue :
\[ |x|=-x \qquad \text{si } x<0. \]
Ici \(x=-9\). Donc :
\[ |-9|=-(-9). \]
L'opposé de \(-9\) étant \(9\), on obtient :
\[ |-9|=9. \]
Cela ne signifie pas que la valeur absolue « change toujours le signe ». Cela signifie plutôt qu'elle renvoie la distance du nombre à \(0\). Le nombre \(-9\) se trouve à \(9\) unités de \(0\), donc sa valeur absolue est \(9\).
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer :
\[ |0| \]
Résultat
\[ |0|=0 \]
Solution
La valeur absolue de \(0\) est \(0\), car \(0\) est à distance nulle de lui-même.
On peut également le vérifier directement à partir de la définition. Comme :
\[ 0\geq 0, \]
on applique le premier cas :
\[ |x|=x \qquad \text{si } x\geq 0. \]
En substituant \(x=0\), on obtient :
\[ |0|=0. \]
Cet exemple est important car il montre que la valeur absolue ne renvoie pas toujours un nombre positif, mais un nombre non négatif. En effet, \(0\) n'est pas positif : il est nul.
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer :
\[ |3-8| \]
Résultat
\[ |3-8|=5 \]
Solution
Avant d'appliquer la valeur absolue, on doit calculer l'expression qui se trouve à l'intérieur.
On a :
\[ 3-8=-5. \]
L'expression devient donc :
\[ |3-8|=|-5|. \]
Le nombre \(-5\) est négatif. Par définition, si \(x<0\), alors :
\[ |x|=-x. \]
En appliquant cette règle à \(x=-5\), on obtient :
\[ |-5|=-(-5)=5. \]
Donc :
\[ |3-8|=5. \]
L'erreur à éviter est d'écrire directement \(|3-8|=3-8\). Cela serait incorrect, car il faut d'abord déterminer si l'expression intérieure est positive, nulle ou négative.
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Calculer :
\[ |-4|+|6|-|{-2}| \]
Résultat
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=8 \]
Solution
L'expression contient plusieurs valeurs absolues. Il convient de les calculer une à une, en observant le signe des nombres qui apparaissent à l'intérieur des modules.
Considérons la première valeur absolue :
\[ |-4|. \]
Comme \(-4\) est négatif, sa valeur absolue est son opposé :
\[ |-4|=4. \]
Considérons maintenant :
\[ |6|. \]
Comme \(6\) est positif, la valeur absolue coïncide avec le nombre lui-même :
\[ |6|=6. \]
Enfin :
\[ |{-2}|. \]
Comme \(-2\) est négatif, on a :
\[ |{-2}|=2. \]
Substituons ces valeurs dans l'expression initiale :
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=4+6-2. \]
Effectuons maintenant les calculs :
\[ 4+6-2=10-2=8. \]
Donc :
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=8. \]
Cet exercice montre que la valeur absolue doit être calculée avant les opérations extérieures. Ce n'est qu'après avoir correctement éliminé les modules que l'on peut effectuer les additions et les soustractions.
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Calculer :
\[ |2-7|+|-3| \]
Résultat
\[ |2-7|+|-3|=8 \]
Solution
Pour calculer correctement l'expression, on doit d'abord simplifier ce qui se trouve à l'intérieur des valeurs absolues.
Considérons le premier module :
\[ |2-7|. \]
Effectuons la soustraction :
\[ 2-7=-5. \]
Donc :
\[ |2-7|=|-5|. \]
Comme \(-5\) est négatif, sa valeur absolue est :
\[ |-5|=5. \]
Considérons maintenant la deuxième valeur absolue :
\[ |-3|. \]
\(-3\) est également négatif, donc :
\[ |-3|=3. \]
En substituant ces résultats dans l'expression initiale, on obtient :
\[ |2-7|+|-3|=5+3. \]
En effectuant l'addition :
\[ 5+3=8. \]
Donc :
\[ |2-7|+|-3|=8. \]
Du point de vue géométrique, les valeurs absolues représentent des distances sur la droite réelle. Les distances étant toujours des grandeurs non négatives, les modules sont ainsi transformés en nombres positifs ou nuls.
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Simplifier :
\[ |x| \qquad \text{sachant que } x<0 \]
Résultat
\[ |x|=-x \]
Solution
L'expression contient une variable, donc on ne peut pas calculer directement la valeur absolue comme dans les exercices numériques. On doit plutôt utiliser la définition.
L'énoncé nous indique que :
\[ x<0. \]
Cela signifie que \(x\) est un nombre négatif.
Par définition :
\[ |x|= \begin{cases} x & \text{si } x\geq 0,\\ -x & \text{si } x<0. \end{cases} \]
Puisqu'on se trouve dans le cas \(x<0\), on doit appliquer la deuxième branche de la définition :
\[ |x|=-x. \]
Il est important de comprendre la signification de cette écriture. Si \(x\) est négatif, alors \(-x\) est positif. Par exemple, si :
\[ x=-4, \]
alors :
\[ |x|=-(-4)=4. \]
Donc :
\[ |x|=-x \qquad \text{lorsque } x<0. \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Simplifier :
\[ |x-3| \qquad \text{sachant que } x>3 \]
Résultat
\[ |x-3|=x-3 \]
Solution
Pour lever la valeur absolue, on doit étudier le signe de l'expression qui se trouve à l'intérieur.
À l'intérieur du module apparaît :
\[ x-3. \]
L'énoncé nous indique que :
\[ x>3. \]
En soustrayant \(3\) des deux membres de l'inégalité, on obtient :
\[ x-3>0. \]
L'expression à l'intérieur de la valeur absolue est donc positive.
Lorsqu'une grandeur est positive ou nulle, la valeur absolue coïncide avec la grandeur elle-même :
\[ |a|=a \qquad \text{si } a\geq 0. \]
En appliquant cette propriété avec \(a=x-3\), on obtient :
\[ |x-3|=x-3. \]
Géométriquement, cela signifie que pour des valeurs de \(x\) supérieures à \(3\), la distance entre \(x\) et \(3\) est simplement égale à \(x-3\).
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Simplifier :
\[ |x-3| \qquad \text{sachant que } x<3 \]
Résultat
\[ |x-3|=3-x \]
Solution
Dans cet exercice également, on doit étudier le signe de l'expression qui apparaît à l'intérieur du module.
L'expression est :
\[ x-3. \]
L'énoncé nous indique que :
\[ x<3. \]
En soustrayant \(3\) des deux membres, on obtient :
\[ x-3<0. \]
L'expression à l'intérieur de la valeur absolue est donc négative.
Lorsqu'une grandeur est négative, la valeur absolue est égale à son opposé :
\[ |a|=-a \qquad \text{si } a<0. \]
En appliquant cette règle à \(a=x-3\), on obtient :
\[ |x-3|=-(x-3). \]
Développons maintenant en changeant le signe de chaque terme :
\[ -(x-3)=-x+3. \]
On peut aussi écrire :
\[ -x+3=3-x. \]
Donc :
\[ |x-3|=3-x. \]
Ce résultat est cohérent avec l'interprétation géométrique de la valeur absolue. Si \(x\) se trouve à gauche de \(3\) sur la droite réelle, la distance entre \(x\) et \(3\) est donnée par \(3-x\).
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Calculer :
\[ |{-3}\cdot 4| \]
Résultat
\[ |{-3}\cdot 4|=12 \]
Solution
On peut résoudre cet exercice de deux manières différentes.
La première méthode consiste à calculer d'abord le produit à l'intérieur de la valeur absolue.
On a :
\[ -3\cdot 4=-12. \]
Donc :
\[ |{-3}\cdot 4|=|-12|. \]
Comme \(-12\) est négatif :
\[ |-12|=12. \]
On obtient donc :
\[ |{-3}\cdot 4|=12. \]
On peut toutefois utiliser également la propriété de la valeur absolue d'un produit :
\[ |ab|=|a|\cdot |b|. \]
En l'appliquant, on obtient :
\[ |{-3}\cdot 4|=|{-3}|\cdot |4|. \]
Maintenant :
\[ |{-3}|=3 \qquad \text{et} \qquad |4|=4. \]
Donc :
\[ |{-3}\cdot 4|=3\cdot 4=12. \]
Les deux méthodes conduisent au même résultat :
\[ |{-3}\cdot 4|=12. \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Calculer :
\[ \left|\frac{-12}{3}\right| \]
Résultat
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4 \]
Solution
Dans cet exercice également, on peut procéder de deux manières différentes.
La première méthode consiste à calculer d'abord la division qui apparaît à l'intérieur de la valeur absolue.
On a :
\[ \frac{-12}{3}=-4. \]
L'expression devient donc :
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=|-4|. \]
Comme \(-4\) est négatif, sa valeur absolue est son opposé :
\[ |-4|=4. \]
Donc :
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4. \]
On peut toutefois utiliser également la propriété de la valeur absolue d'un quotient :
\[ \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|} \qquad \text{avec } b\neq 0. \]
En appliquant cette propriété, on obtient :
\[ \left|\frac{-12}{3}\right| = \frac{|-12|}{|3|}. \]
Maintenant :
\[ |-12|=12 \qquad \text{et} \qquad |3|=3. \]
Donc :
\[ \frac{|-12|}{|3|} = \frac{12}{3}=4. \]
Avec cette méthode également, on obtient :
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4. \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Simplifier :
\[ \sqrt{(-5)^2} \]
Résultat
\[ \sqrt{(-5)^2}=5 \]
Solution
Cet exercice est très important car il permet de clarifier l'une des propriétés fondamentales de la valeur absolue :
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
De nombreux élèves écrivent à tort :
\[ \sqrt{x^2}=x, \]
mais cette égalité n'est pas vraie pour tous les nombres réels. La racine carrée principale renvoie toujours un nombre non négatif.
Dans notre cas :
\[ \sqrt{(-5)^2}=|-5|. \]
Calculons maintenant la valeur absolue :
\[ |-5|=5. \]
Donc :
\[ \sqrt{(-5)^2}=5. \]
On peut aussi vérifier le résultat directement :
\[ (-5)^2=25. \]
Par conséquent :
\[ \sqrt{25}=5. \]
Le résultat est \(5\), et non \(-5\), car la racine carrée principale est toujours non négative.
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Calculer la distance entre les nombres :
\[ -2 \qquad \text{et} \qquad 5 \]
Résultat
\[ 7 \]
Solution
La distance entre deux nombres réels \(a\) et \(b\) se calcule au moyen de la valeur absolue de leur différence :
\[ |a-b|. \]
Dans cet exercice, les deux nombres sont :
\[ a=-2 \qquad \text{et} \qquad b=5. \]
On peut donc écrire :
\[ |-2-5|. \]
Effectuons la soustraction :
\[ -2-5=-7. \]
On obtient :
\[ |-7|. \]
Comme \(-7\) est négatif :
\[ |-7|=7. \]
Donc la distance entre \(-2\) et \(5\) est :
\[ 7. \]
Géométriquement, cela signifie que sur la droite réelle, il faut \(7\) unités pour aller de \(-2\) à \(5\).
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Simplifier :
\[ |x|^2 \]
Résultat
\[ |x|^2=x^2 \]
Solution
Une propriété fondamentale de la valeur absolue affirme que :
\[ |x|^2=x^2. \]
Cette égalité est vraie pour tout nombre réel \(x\).
Pour comprendre pourquoi, on doit distinguer deux cas.
Premier cas : \(x\geq 0\).
Dans ce cas :
\[ |x|=x. \]
En élevant au carré :
\[ |x|^2=x^2. \]
Deuxième cas : \(x<0\).
Dans ce cas :
\[ |x|=-x. \]
En élevant au carré :
\[ |x|^2=(-x)^2. \]
Mais le carré d'un nombre et le carré de son opposé coïncident :
\[ (-x)^2=x^2. \]
Donc dans ce cas également :
\[ |x|^2=x^2. \]
On peut donc conclure que :
\[ |x|^2=x^2 \]
pour tout nombre réel \(x\).
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ |x|=4 \]
Résultat
\[ S=\{-4,4\} \]
Solution
L'équation :
\[ |x|=4 \]
demande de trouver tous les nombres qui sont à distance \(4\) de \(0\) sur la droite réelle.
Il existe deux nombres ayant cette propriété :
\[ 4 \qquad \text{et} \qquad -4. \]
En effet :
\[ |4|=4 \]
et :
\[ |-4|=4. \]
On peut donc écrire :
\[ x=4 \qquad \text{ou} \qquad x=-4. \]
L'ensemble des solutions est donc :
\[ S=\{-4,4\}. \]
En général, lorsque :
\[ |x|=a \qquad \text{avec } a>0, \]
les solutions sont :
\[ x=\pm a. \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ |x|=0 \]
Résultat
\[ S=\{0\} \]
Solution
La valeur absolue d'un nombre représente sa distance à \(0\) sur la droite réelle.
L'équation :
\[ |x|=0 \]
demande donc de trouver tous les nombres qui sont à distance nulle de \(0\).
Il n'existe qu'un seul nombre ayant cette propriété :
\[ x=0. \]
En effet :
\[ |0|=0. \]
Aucun autre nombre ne satisfait l'équation, car la valeur absolue d'un nombre différent de zéro est toujours strictement positive.
On peut donc conclure que :
\[ S=\{0\}. \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ |x|=-3 \]
Résultat
\[ S=\varnothing \]
Solution
La valeur absolue d'un nombre réel est toujours supérieure ou égale à zéro. En effet :
\[ |x|\geq 0 \]
pour tout nombre réel \(x\).
Dans l'équation :
\[ |x|=-3 \]
le membre de droite est négatif.
Cela est impossible, car une distance ne peut pas être négative.
Il n'existe donc aucun nombre réel dont la valeur absolue soit égale à \(-3\).
Par conséquent, l'équation n'a pas de solution :
\[ S=\varnothing. \]
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[ |x-2|=5 \]
Résultat
\[ S=\{-3,7\} \]
Solution
L'équation :
\[ |x-2|=5 \]
exprime une distance. En particulier, \(|x-2|\) représente la distance entre \(x\) et \(2\) sur la droite réelle.
L'équation demande donc de trouver tous les nombres qui sont à \(5\) unités de \(2\).
Sur la droite réelle, il y a deux possibilités :
- le nombre se trouve à \(5\) unités à droite de \(2\) ;
- le nombre se trouve à \(5\) unités à gauche de \(2\).
Du point de vue algébrique, cela revient à résoudre les deux équations :
\[ x-2=5 \]
ou :
\[ x-2=-5. \]
Résolvons la première :
\[ x-2=5. \]
En ajoutant \(2\) aux deux membres :
\[ x=7. \]
Résolvons maintenant la seconde :
\[ x-2=-5. \]
En ajoutant \(2\) aux deux membres :
\[ x=-3. \]
Les solutions de l'équation sont donc :
\[ x=-3 \qquad \text{ou} \qquad x=7. \]
Par conséquent :
\[ S=\{-3,7\}. \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ |2x-1|=7 \]
Résultat
\[ S=\left\{-3,4\right\} \]
Solution
Lorsqu'une équation est de la forme :
\[ |A|=k \qquad \text{avec } k>0, \]
on doit envisager deux possibilités :
\[ A=k \]
ou :
\[ A=-k. \]
Dans notre cas :
\[ A=2x-1 \qquad \text{et} \qquad k=7. \]
On doit donc résoudre les deux équations :
\[ 2x-1=7 \]
ou :
\[ 2x-1=-7. \]
Résolvons la première :
\[ 2x-1=7. \]
Ajoutons \(1\) aux deux membres :
\[ 2x=8. \]
En divisant par \(2\) :
\[ x=4. \]
Passons maintenant à la seconde équation :
\[ 2x-1=-7. \]
Ajoutons \(1\) :
\[ 2x=-6. \]
En divisant par \(2\) :
\[ x=-3. \]
Les solutions de l'équation sont donc :
\[ x=-3 \qquad \text{ou} \qquad x=4. \]
Par conséquent :
\[ S=\left\{-3,4\right\}. \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[ |x+4|=|x-2| \]
Résultat
\[ S=\{-1\} \]
Solution
L'équation :
\[ |x+4|=|x-2| \]
met en comparaison deux distances.
Le terme :
\[ |x+4|=|x-(-4)| \]
représente la distance entre \(x\) et \(-4\).
Le terme :
\[ |x-2| \]
représente quant à lui la distance entre \(x\) et \(2\).
L'équation demande donc de trouver le point de la droite réelle qui est équidistant de \(-4\) et de \(2\).
Intuitivement, ce point est le milieu du segment entre \(-4\) et \(2\).
Calculons maintenant la solution de manière algébrique.
Élevons les deux membres au carré :
\[ |x+4|^2=|x-2|^2. \]
Comme :
\[ |a|^2=a^2, \]
on obtient :
\[ (x+4)^2=(x-2)^2. \]
Développons les deux carrés :
\[ x^2+8x+16=x^2-4x+4. \]
Éliminons \(x^2\) des deux membres :
\[ 8x+16=-4x+4. \]
Regroupons les termes en \(x\) au premier membre et les termes constants au second :
\[ 8x+4x=4-16. \]
On obtient :
\[ 12x=-12. \]
En divisant par \(12\) :
\[ x=-1. \]
Vérifions :
\[ |-1+4|=|3|=3 \]
et :
\[ |-1-2|=|-3|=3. \]
Les deux membres coïncident, donc la solution est correcte.
Par conséquent :
\[ S=\{-1\}. \]