Les fractions algébriques sont des expressions dans lesquelles figurent des polynômes au numérateur et au dénominateur. Elles constituent un prolongement naturel des fractions numériques : de même qu'une fraction numérique exprime le rapport de deux nombres, une fraction algébrique exprime le rapport de deux expressions algébriques.
Cependant, à la différence des fractions numériques, les fractions algébriques exigent une précaution supplémentaire : le dénominateur peut dépendre d'une ou plusieurs variables et peut donc s'annuler pour certaines valeurs. C'est pourquoi il ne suffit pas de savoir calculer ; il faut d'abord déterminer pour quelles valeurs l'expression a un sens.
Sommaire
- Qu'est-ce qu'une fraction algébrique
- Conditions d'existence et ensemble de définition
- Fractions algébriques équivalentes
- Simplification des fractions algébriques
- Réduction au même dénominateur
- Opérations sur les fractions algébriques
- Expressions contenant des fractions algébriques
- Équations avec fractions algébriques
- Erreurs à éviter
Qu'est-ce qu'une fraction algébrique
On appelle fraction algébrique toute expression de la forme
\[ \frac{A}{B} \]
où \(A\) et \(B\) sont des expressions algébriques avec \(B\neq 0\). Dans les cas les plus courants, \(A\) et \(B\) sont des polynômes. L'expression \(A\) s'appelle le numérateur et \(B\) le dénominateur.
Par exemple,
\[ \frac{x+1}{x-2}, \qquad \frac{x^2-1}{x^2+3x+2}, \qquad \frac{2a-b}{a^2-b^2} \]
sont des fractions algébriques.
Le dénominateur est l'élément central de la théorie. En effet, une fraction — numérique ou algébrique — n'a pas de sens lorsque le dénominateur est nul. C'est pourquoi, avant de transformer ou de simplifier une fraction algébrique, il est indispensable d'identifier les valeurs pour lesquelles le dénominateur s'annule.
Conditions d'existence et ensemble de définition
Une fraction algébrique
\[ \frac{A(x)}{B(x)} \]
est définie pour toutes les valeurs de la variable pour lesquelles le dénominateur est non nul :
\[ B(x)\neq 0. \]
Cette contrainte s'appelle la condition d'existence. L'ensemble de toutes les valeurs qui la satisfont est l'ensemble de définition de la fraction algébrique.
Exemple
Considérons la fraction
\[ \frac{x+3}{x-5}. \]
Le dénominateur est \(x-5\). On impose qu'il soit non nul :
\[ x-5\neq 0, \]
d'où
\[ x\neq 5. \]
La fraction est donc définie pour toutes les valeurs réelles de \(x\) sauf \(5\). L'ensemble de définition est
\[ \mathbb{R}\setminus\{5\}. \]
Exemple avec dénominateur factorisable
Considérons
\[ \frac{x+1}{x^2-4}. \]
Le dénominateur s'annule lorsque
\[ x^2-4=0. \]
Comme
\[ x^2-4=(x-2)(x+2), \]
on doit avoir
\[ (x-2)(x+2)\neq 0. \]
Un produit est non nul si et seulement si chacun de ses facteurs est non nul. Donc
\[ x\neq 2 \quad \text{et} \quad x\neq -2. \]
L'ensemble de définition est
\[ \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}. \]
Fractions algébriques équivalentes
Deux fractions algébriques sont équivalentes si elles prennent la même valeur pour tout élément de leur ensemble de définition commun.
La propriété fondamentale est analogue à celle des fractions numériques : en multipliant le numérateur et le dénominateur par une même expression non nulle, on obtient une fraction équivalente.
Si \(C\neq 0\), alors
\[ \frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}, \qquad B\neq 0,\ C\neq 0. \]
Cette propriété est à la base aussi bien de la simplification que de la réduction au même dénominateur. La condition \(C\neq 0\) n'est pas un simple détail formel : multiplier ou diviser par une expression susceptible de s'annuler peut modifier l'ensemble de définition de la fraction.
Simplification des fractions algébriques
Simplifier une fraction algébrique consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par un même facteur commun non nul. Pour procéder correctement, il faut au préalable factoriser le numérateur et le dénominateur.
On ne peut pas supprimer des termes liés par des additions ou des soustractions. Seuls les facteurs communs peuvent être simplifiés.
Exemple
Simplifions
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1}. \]
On factorise le numérateur et le dénominateur :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
\[ x^2+2x+1=(x+1)^2. \]
Donc
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}. \]
Le facteur \(x+1\) est commun au numérateur et au dénominateur. On peut le simplifier, en gardant à l'esprit que \(x+1\neq 0\), c'est-à-dire \(x\neq -1\) :
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{x+1}. \]
On obtient ainsi
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1} = \frac{x-1}{x+1}, \qquad x\neq -1. \]
Il est important de remarquer que la fraction simplifiée coïncide avec la fraction de départ uniquement sur l'ensemble de définition de cette dernière. La simplification n'autorise pas à oublier les conditions d'existence.
Réduction au même dénominateur
Pour additionner ou soustraire des fractions algébriques, il faut les ramener au même dénominateur. Le dénominateur commun le plus commode est en général le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs, calculé après les avoir factorisés.
La méthode est la suivante :
- on factorise complètement les dénominateurs ;
- on détermine le plus petit commun multiple des dénominateurs ;
- on transforme chaque fraction en une fraction équivalente ayant ce dénominateur ;
- on additionne ou on soustrait les numérateurs.
Exemple
Réduisons au même dénominateur
\[ \frac{1}{x-1} \quad \text{et} \quad \frac{2}{x+1}. \]
Les dénominateurs sont déjà factorisés. Le plus petit dénominateur commun est
\[ (x-1)(x+1). \]
On a donc
\[ \frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} \]
et
\[ \frac{2}{x+1} = \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Les conditions d'existence sont
\[ x\neq 1, \qquad x\neq -1. \]
Opérations sur les fractions algébriques
Addition et soustraction
Pour additionner ou soustraire deux fractions algébriques de même dénominateur, on additionne ou on soustrait les numérateurs en conservant le dénominateur :
\[ \frac{A}{B}+\frac{C}{B} = \frac{A+C}{B}, \qquad B\neq 0. \]
De même,
\[ \frac{A}{B}-\frac{C}{B} = \frac{A-C}{B}, \qquad B\neq 0. \]
Exemple
Calculons
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}. \]
Le dénominateur commun est \((x-1)(x+1)\). On écrit
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
On peut à présent additionner les numérateurs :
\[ \frac{x+1+2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
En développant le numérateur :
\[ x+1+2x-2=3x-1. \]
On obtient donc
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1} = \frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}. \]
Les conditions d'existence sont
\[ x\neq 1,\qquad x\neq -1. \]
Produit
Le produit de deux fractions algébriques s'obtient en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
\[ \frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}, \qquad B\neq 0,\ D\neq 0. \]
Avant d'effectuer les multiplications, il est souvent judicieux de factoriser et de simplifier les éventuels facteurs communs.
Exemple
Calculons
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1}. \]
On factorise :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Donc
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1}. \]
On simplifie le facteur \(x+1\) et un facteur \(x\), en tenant compte des conditions \(x\neq 0\) et \(x\neq -1\) :
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x}. \]
On a donc
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x}, \qquad x\neq 0,\ x\neq -1. \]
Quotient
Diviser par une fraction algébrique revient à multiplier par son inverse, à condition que le diviseur soit non nul :
\[ \frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}. \]
Les conditions requises sont
\[ B\neq 0,\qquad D\neq 0,\qquad C\neq 0. \]
La condition \(C\neq 0\) est indispensable car la fraction \(\frac{C}{D}\), étant le diviseur, ne peut être égale à zéro.
Expressions contenant des fractions algébriques
Lorsqu'on travaille avec des expressions contenant des fractions algébriques, il convient de procéder de façon méthodique. On commence par établir les conditions d'existence, puis on effectue les opérations en respectant la hiérarchie des parenthèses et des opérateurs.
Exemple
Simplifions
\[ \left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\cdot \frac{x^2-1}{x}. \]
On détermine d'abord les conditions d'existence :
\[ x-1\neq 0,\qquad x+1\neq 0,\qquad x\neq 0, \]
soit
\[ x\neq 1,\qquad x\neq -1,\qquad x\neq 0. \]
On traite à présent l'expression entre parenthèses :
\[ \frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}. \]
Le dénominateur commun est \((x-1)(x+1)\), donc
\[ \frac{x}{x-1} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} \]
et
\[ \frac{1}{x+1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}. \]
On obtient ainsi
\[ \frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1} = \frac{x(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
En développant le numérateur :
\[ x(x+1)-(x-1)=x^2+x-x+1=x^2+1. \]
L'expression complète devient alors
\[ \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x^2-1}{x}. \]
Comme
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
on a
\[ \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x}. \]
En simplifiant les facteurs communs,
\[ \frac{x^2+1}{x}. \]
On conclut donc que
\[ \left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\cdot \frac{x^2-1}{x} = \frac{x^2+1}{x}, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1. \]
Équations avec fractions algébriques
Les équations contenant des fractions algébriques sont souvent appelées équations rationnelles. Leur résolution demande une attention particulière, car toutes les solutions obtenues algébriquement ne sont pas nécessairement acceptables.
La marche à suivre est la suivante :
- déterminer les conditions d'existence ;
- résoudre l'équation en respectant ces conditions ;
- rejeter les valeurs qui annulent l'un des dénominateurs de départ.
Exemple
Résolvons
\[ \frac{x+1}{x-2}=3. \]
La condition d'existence est
\[ x-2\neq 0, \]
soit
\[ x\neq 2. \]
On multiplie les deux membres par \(x-2\), qui est non nul sur l'ensemble de définition de l'équation :
\[ x+1=3(x-2). \]
En développant :
\[ x+1=3x-6. \]
On regroupe les termes en \(x\) d'un côté et les termes constants de l'autre :
\[ 1+6=3x-x. \]
Donc
\[ 7=2x, \]
d'où
\[ x=\frac{7}{2}. \]
Comme \(\frac{7}{2}\neq 2\), cette solution est acceptable :
\[ S=\left\{\frac{7}{2}\right\}. \]
Exemple avec solution étrangère
Résolvons
\[ \frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}. \]
La condition d'existence est
\[ x-1\neq 0, \]
soit
\[ x\neq 1. \]
Les deux fractions ayant le même dénominateur, non nul sur l'ensemble de définition, on peut égaliser les numérateurs :
\[ x=1. \]
Or \(x=1\) ne satisfait pas la condition d'existence, car il annule le dénominateur. Cette valeur doit donc être rejetée.
L'équation n'admet aucune solution :
\[ S=\varnothing. \]
Erreurs à éviter
La première erreur consiste à simplifier des termes au lieu de facteurs. Par exemple,
\[ \frac{x+2}{x} \]
ne peut pas être simplifiée en supprimant \(x\), car \(x\) n'est pas un facteur de l'ensemble du numérateur : il n'apparaît que comme terme de la somme \(x+2\).
La deuxième erreur consiste à oublier les conditions d'existence après une simplification. Par exemple,
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1, \]
mais cette égalité n'est valable que pour
\[ x\neq 1. \]
En effet, la fraction de départ n'est pas définie en \(x=1\), alors que l'expression \(x+1\) le serait. En tant qu'expressions munies d'un ensemble de définition, les deux écritures ne sont pas identiques si l'on ne conserve pas la condition \(x\neq 1\).
La troisième erreur consiste à multiplier les deux membres d'une équation par une expression susceptible d'être nulle sans avoir préalablement établi l'ensemble de définition. Dans une équation rationnelle, toute transformation doit être justifiée dans le cadre des conditions d'existence.
Les fractions algébriques ne sont pas de simples fractions avec des lettres. Ce sont des expressions rationnelles dont le sens dépend de façon essentielle du dénominateur. C'est pourquoi tout calcul doit s'accompagner d'une vérification des conditions d'existence.
Simplifier, additionner, multiplier ou diviser des fractions algébriques revient à appliquer les mêmes propriétés que pour les fractions numériques, mais avec une attention accrue à l'ensemble de définition. La règle fondamentale est toujours la même : les expressions ne peuvent être transformées que d'une manière compatible avec les valeurs pour lesquelles elles sont définies.
Une maîtrise rigoureuse des fractions algébriques est indispensable pour aborder les équations rationnelles, les inéquations rationnelles, les fonctions rationnelles et de nombreux sujets ultérieurs de l'algèbre et de l'analyse mathématique.