La division de polynômes est l'une des opérations fondamentales de l'algèbre. Elle permet d'écrire un polynôme comme le produit d'un autre polynôme par un quotient, auquel peut s'ajouter un reste.
À première vue, cette opération peut sembler purement mécanique.En réalité, la division de polynômes est un outil théorique central : elle permet d'étudier la divisibilité, d'identifier des facteurs, d'appliquer le théorème du reste, de comprendre la règle de Ruffini et de relier les racines d'un polynôme à sa factorisation.
L'idée de fond est analogue à celle de la division euclidienne des entiers : étant donné un dividende et un diviseur, on cherche un quotient et un reste. Dans le cas des polynômes, cependant, la grandeur qui guide le processus n'est pas la valeur numérique, mais le degré.
Sommaire
- Définition formelle
- Sens du quotient et du reste
- Division longue des polynômes
- Exemple développé avec schéma
- Théorème de la division euclidienne
- Divisibilité des polynômes
- Théorème du reste
- Règle de Ruffini
- La règle de Ruffini pas à pas
- Erreurs fréquentes
- Exercices résolus
- Conclusion
Définition formelle
Soient \(A(x)\) et \(B(x)\) deux polynômes, avec \(B(x)\neq 0\). Diviser \(A(x)\) par \(B(x)\) consiste à trouver deux polynômes \(Q(x)\) et \(R(x)\), appelés respectivement quotient et reste, tels que \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\), sous la condition :
\[ R(x)=0 \quad \text{ou} \quad \deg R(x)<\deg B(x) \]
Le polynôme \(A(x)\) s'appelle le dividende, le polynôme \(B(x)\) s'appelle le diviseur, \(Q(x)\) est le quotient et \(R(x)\) est le reste.
La condition sur le degré du reste est essentielle. Si le reste avait un degré supérieur ou égal à celui du diviseur, il serait encore possible de poursuivre la division. Le processus se termine uniquement lorsque ce qui subsiste a un degré strictement inférieur à celui du diviseur, c'est-à-dire lorsqu'il ne peut plus être divisé selon le même procédé.
Par exemple, \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)+0\). Dans cette égalité, le dividende est \(x^2+3x+2\), le diviseur est \(x+1\), le quotient est \(x+2\) et le reste est \(0\). Le reste étant nul, la division est exacte.
Sens du quotient et du reste
L'identité \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\) exprime que le polynôme \(A(x)\) se décompose en deux parties : une partie multiple du diviseur \(B(x)\), c'est-à-dire \(B(x)Q(x)\), et une partie résiduelle, c'est-à-dire \(R(x)\).
Le quotient \(Q(x)\) représente la partie du dividende que l'on obtient en multipliant le diviseur par un autre polynôme. Le reste \(R(x)\), quant à lui, représente ce qui subsiste après avoir soustrait du dividende toutes les contributions possibles construites à partir du diviseur.
L'analogie avec la division euclidienne des entiers est éclairante. Par exemple, \(17=5\cdot 3+2\). Ici \(17\) est le dividende, \(5\) est le diviseur, \(3\) est le quotient et \(2\) est le reste. Le reste doit être inférieur au diviseur.
Dans la division de polynômes, il se passe quelque chose d'analogue, mais la condition ne porte pas sur la valeur numérique du reste — elle porte sur son degré :
\[ \deg R(x)<\deg B(x) \]
C'est ce principe qui fait de la division de polynômes une véritable division euclidienne.
Division longue des polynômes
La méthode générale pour diviser deux polynômes est la division longue. C'est le procédé à utiliser lorsque le diviseur est de degré quelconque, pas nécessairement égal à \(1\).
Avant de commencer, il est important d'écrire les polynômes ordonnés selon les puissances décroissantes de \(x\). Si un terme est absent, on l'introduit avec un coefficient nul.
Par exemple, le polynôme :
\[ x^4-3x+2 \]
doit s'écrire :
\[ x^4+0x^3+0x^2-3x+2 \]
Cette écriture ne modifie pas le polynôme, mais rend le schéma de la division plus lisible et évite les erreurs d'alignement.
L'idée de la division longue est d'éliminer progressivement le terme de plus haut degré du dividende. À chaque étape, on examine le terme dominant du polynôme restant et on le divise par le terme dominant du diviseur.
Si \(\deg A(x)<\deg B(x)\), la division est déjà terminée : \(Q(x)=0\) et \(R(x)=A(x)\). Si au contraire \(\deg A(x)\geq \deg B(x)\), on procède en divisant le terme dominant du dividende par le terme dominant du diviseur. Le résultat obtenu devient le premier terme du quotient. On multiplie ensuite le diviseur par ce terme et on soustrait le produit du dividende.
Exemple développé avec schéma
Divisons \(2x^3+3x^2-5x+1\) par \(x-2\). Le dividende est déjà écrit avec les termes dans l'ordre décroissant :
\[ 2x^3+3x^2-5x+1 \]
On cherche deux polynômes \(Q(x)\) et \(R(x)\) tels que :
\[ 2x^3+3x^2-5x+1=(x-2)Q(x)+R(x) \]
Première étape
On divise le terme dominant du dividende par le terme dominant du diviseur :
\[ \frac{2x^3}{x}=2x^2 \]
Le premier terme du quotient est \(2x^2\). On multiplie le diviseur par \(2x^2\) :
\[ 2x^2(x-2)=2x^3-4x^2 \]
Pour soustraire ce polynôme du dividende, on change le signe de chacun de ses termes et on additionne :
\[ -(2x^3-4x^2)=-2x^3+4x^2 \]
On complète avec les termes manquants afin de maintenir l'alignement des colonnes :
\[ -2x^3+4x^2+0x+0 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) |
Après addition, le terme \(2x^3\) s'annule et il reste le reste partiel :
\[ 7x^2-5x+1 \]
Deuxième étape
On répète le procédé sur le reste partiel. On divise son terme dominant par le terme dominant du diviseur :
\[ \frac{7x^2}{x}=7x \]
Le deuxième terme du quotient est \(7x\), de sorte que le quotient partiel devient :
\[ 2x^2+7x \]
On multiplie le diviseur par \(7x\) :
\[ 7x(x-2)=7x^2-14x \]
On change les signes pour effectuer la soustraction :
\[ -(7x^2-14x)=-7x^2+14x \]
On complète avec le terme constant absent :
\[ -7x^2+14x+0 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2+7x\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | |
| \(-7x^2\) | \(+14x\) | \(0\) | ||
| \(0x^2\) | \(+9x\) | \(+1\) |
Après addition, il reste le nouveau reste partiel :
\[ 9x+1 \]
Troisième étape
On divise le terme dominant du nouveau reste partiel par le terme dominant du diviseur :
\[ \frac{9x}{x}=9 \]
Le troisième terme du quotient est \(9\), de sorte que le quotient devient :
\[ 2x^2+7x+9 \]
On multiplie le diviseur par \(9\) :
\[ 9(x-2)=9x-18 \]
On change les signes pour soustraire :
\[ -(9x-18)=-9x+18 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2+7x+9\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | |
| \(-7x^2\) | \(+14x\) | \(0\) | ||
| \(0x^2\) | \(+9x\) | \(+1\) | ||
| \(-9x\) | \(+18\) | |||
| \(0x\) | \(+19\) |
Le reste final est :
\[ R(x)=19 \]
Comme le diviseur \(x-2\) est de degré \(1\) et le reste \(19\) est de degré \(0\), on a :
\[ \deg 19=0<1=\deg(x-2) \]
La division est donc terminée.
Résultat final
On lit dans le schéma le quotient :
\[ Q(x)=2x^2+7x+9 \]
et le reste :
\[ R(x)=19 \]
On obtient donc :
\[ 2x^3+3x^2-5x+1=(x-2)(2x^2+7x+9)+19 \]
On vérifie le résultat en développant le membre droit :
\[ (x-2)(2x^2+7x+9)+19 \]
\[ =2x^3+7x^2+9x-4x^2-14x-18+19 \]
\[ =2x^3+3x^2-5x+1 \]
La division est donc correcte.
Théorème de la division euclidienne
Théorème. Soient \(A(x)\) et \(B(x)\) deux polynômes, avec \(B(x)\neq 0\). Il existe alors des polynômes \(Q(x)\) et \(R(x)\), uniques, tels que \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\), avec :
\[ R(x)=0 \quad \text{ou} \quad \deg R(x)<\deg B(x) \]
Ce résultat s'appelle le théorème de la division euclidienne des polynômes (également désigné sous le nom d'algorithme de la division). L'existence est garantie par l'algorithme de la division longue ; l'unicité signifie que, pour un dividende et un diviseur fixés, il ne peut exister deux quotients ou deux restes distincts satisfaisant les conditions du théorème.
Idée de la démonstration de l'unicité
Supposons qu'il existe deux décompositions :
\[ A(x)=B(x)Q_1(x)+R_1(x) \]
et :
\[ A(x)=B(x)Q_2(x)+R_2(x) \]
avec \(\deg R_1(x)<\deg B(x)\) et \(\deg R_2(x)<\deg B(x)\). En soustrayant membre à membre, on obtient :
\[ B(x)(Q_1(x)-Q_2(x))=R_2(x)-R_1(x) \]
Si \(Q_1(x)\neq Q_2(x)\), le membre gauche serait de degré au moins \(\deg B(x)\), tandis que le membre droit serait de degré strictement inférieur à \(\deg B(x)\), ce qui est impossible. Donc \(Q_1(x)=Q_2(x)\), et par suite \(R_1(x)=R_2(x)\).
Divisibilité des polynômes
La division permet de définir rigoureusement la divisibilité des polynômes. On dit que \(B(x)\) divise \(A(x)\), et on écrit \(B(x)\mid A(x)\), s'il existe un polynôme \(Q(x)\) tel que :
\[ A(x)=B(x)Q(x) \]
En termes de division :
\[ B(x)\mid A(x) \quad \iff \quad R(x)=0 \]
Lorsque le reste est nul, la division est dite exacte. Dans ce cas, \(B(x)\) est un facteur de \(A(x)\) et \(A(x)\) est un multiple de \(B(x)\).
Théorème du reste
Théorème du reste. Lorsqu'un polynôme \(P(x)\) est divisé par \(x-a\), le reste de la division est égal à \(P(a)\).
En effet, d'après le théorème de la division euclidienne, on peut écrire :
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+R(x) \]
Or le diviseur \(x-a\) est de degré \(1\), donc le reste est une constante, que l'on note \(r\) :
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+r \]
En substituant \(x=a\), on obtient :
\[ P(a)=(a-a)Q(a)+r=r \]
Ainsi, le reste de la division par \(x-a\) est \(P(a)\). Il s'ensuit immédiatement :
\[ x-a\mid P(x) \quad \iff \quad P(a)=0 \]
Autrement dit, \(a\) est une racine de \(P(x)\) si et seulement si \(x-a\) est un facteur de \(P(x)\).
Règle de Ruffini
La règle de Ruffini est une méthode abrégée pour diviser un polynôme par un binôme de degré un de la forme :
\[ x-a \]
Il ne s'agit pas d'une technique distincte de la division longue : la règle de Ruffini est simplement une écriture plus compacte du même algorithme. Au lieu de manipuler explicitement tous les monômes, on n'utilise que les coefficients du polynôme.
Avant d'appliquer la règle de Ruffini, le polynôme doit être écrit en forme complète selon les puissances décroissantes de \(x\). Tout terme absent doit être introduit avec un coefficient nul.
Par exemple :
\[ x^3-4x+1=x^3+0x^2-4x+1 \]
Les coefficients à utiliser sont :
\[ 1,\ 0,\ -4,\ 1 \]
Si le diviseur est \(x-a\), le nombre placé à gauche dans le schéma est \(a\). Ainsi, \(x-3\Rightarrow 3\), tandis que \(x+3=x-(-3)\Rightarrow -3\).
La règle de Ruffini pas à pas
Divisons \( P(x)=x^3-6x^2+11x-6 \) par \( x-1 \).
Le diviseur étant \(x-1\), le nombre à écrire à gauche du schéma est \(1\). Le polynôme est complet et ses coefficients sont :
\[ 1,\ -6,\ 11,\ -6 \]
Schéma initial
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array} \]
Première étape
On abaisse le premier coefficient sans le modifier :
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & 1 & & & \end{array} \]
Deuxième étape
On multiplie \(1\cdot 1=1\), on écrit le résultat sous le coefficient suivant et on additionne :
\[ -6+1=-5 \]
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & & \\ \hline & 1 & -5 & & \end{array} \]
Troisième étape
On multiplie \(1\cdot(-5)=-5\), on écrit le résultat sous le coefficient suivant et on additionne :
\[ 11+(-5)=6 \]
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & \\ \hline & 1 & -5 & 6 & \end{array} \]
Quatrième étape
On multiplie \(1\cdot 6=6\), on écrit le résultat sous le dernier coefficient et on additionne :
\[ -6+6=0 \]
Le schéma complet est :
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Lecture du résultat
Les valeurs de la ligne inférieure, sauf la dernière, sont les coefficients du polynôme quotient :
\[ Q(x)=x^2-5x+6 \]
La dernière valeur est le reste de la division :
\[ R=0 \]
Le reste étant nul, la division est exacte :
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6) \]
Erreurs fréquentes
1. Oublier les termes manquants
Lorsqu'on utilise la division longue ou la règle de Ruffini, le polynôme doit être complet. Si une puissance de \(x\) est absente, il faut l'introduire avec un coefficient nul.
2. Se tromper de signe dans le diviseur
Si le diviseur est \(x-a\), le nombre utilisé dans le schéma de Ruffini est \(a\). Ainsi, \(x-3\Rightarrow 3\), tandis que \(x+3=x-(-3)\Rightarrow -3\).
3. S'arrêter trop tôt
Dans la division longue, on doit poursuivre jusqu'à ce que le reste soit de degré strictement inférieur à celui du diviseur. Si le reste est encore de degré supérieur ou égal, la division n'est pas terminée.
4. Confondre le reste avec un coefficient du quotient
Dans le schéma de Ruffini, le dernier nombre de la ligne inférieure est le reste, non un coefficient du quotient. C'est pourquoi il est utile de le séparer visuellement par un trait vertical.
5. Appliquer la règle de Ruffini à des diviseurs inadaptés
La règle de Ruffini, dans sa forme standard, s'applique directement uniquement aux diviseurs de la forme \(x-a\). Pour des diviseurs tels que \(x^2+1\), on doit recourir à la division longue.
Exercices résolus
Exercice 1. Diviser \(x^2+5x+6\) par \(x+2\).
Solution. Comme \(x+2=x-(-2)\), on applique la règle de Ruffini avec \(-2\) :
\[ \begin{array}{r|rr|r} -2 & 1 & 5 & 6 \\ & & -2 & -6 \\ \hline & 1 & 3 & 0 \end{array} \]
Donc \(Q(x)=x+3\) et \(R=0\). On a ainsi \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\).
Exercice 2. Diviser \(x^2+1\) par \(x-1\).
Solution. On complète le polynôme : \(x^2+1=x^2+0x+1\). On applique la règle de Ruffini avec \(1\) :
\[ \begin{array}{r|rr|r} 1 & 1 & 0 & 1 \\ & & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 2 \end{array} \]
Donc \(Q(x)=x+1\) et \(R=2\). En effet, \(x^2+1=(x-1)(x+1)+2\).
Exercice 3. Utiliser le théorème du reste pour déterminer le reste de la division de \(P(x)=x^3-4x+7\) par \(x-2\).
Solution. Le reste est \(P(2)\). Comme \(P(x)=x^3+0x^2-4x+7\), on calcule :
\[ P(2)=2^3+0\cdot 2^2-4\cdot 2+7=8-8+7=7 \]
Le reste est donc \(7\).
Exercice 4. Déterminer si \(x-3\) divise \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\).
Solution. D'après le théorème du reste, \(x-3\) divise \(P(x)\) si et seulement si \(P(3)=0\). On calcule :
\[ P(3)=27-54+33-6=0 \]
Donc \(x-3\mid P(x)\).
Exercice 5. Diviser \(2x^3-x^2+4x-3\) par \(x+1\).
Solution. Comme \(x+1=x-(-1)\), on applique la règle de Ruffini avec \(-1\) :
\[ \begin{array}{r|rrr|r} -1 & 2 & -1 & 4 & -3 \\ & & -2 & 3 & -7 \\ \hline & 2 & -3 & 7 & -10 \end{array} \]
Donc \(Q(x)=2x^2-3x+7\) et \(R=-10\). On a ainsi :
\[ 2x^3-x^2+4x-3=(x+1)(2x^2-3x+7)-10 \]
Exercice 6. Déterminer la valeur de \(k\) pour que \(x-2\) divise \(P(x)=x^3+kx^2-4x+4\).
Solution. Il faut que \(P(2)=0\). On calcule :
\[ P(2)=8+4k-8+4=4k+4 \]
En posant \(4k+4=0\), on obtient \(k=-1\).
Exercice 7. Diviser \(x^4-1\) par \(x^2+1\).
Solution. Le diviseur n'étant pas de la forme \(x-a\), la règle de Ruffini ne s'applique pas directement. On utilise la division longue. On complète le dividende :
\[ x^4-1=x^4+0x^3+0x^2+0x-1 \]
On obtient :
\[ Q(x)=x^2-1,\qquad R(x)=0 \]
Donc :
\[ x^4-1=(x^2+1)(x^2-1) \]
Exercice 8. Diviser \(x^3-4x+1\) par \(x+2\) à l'aide de la règle de Ruffini.
Solution. On complète le polynôme :
\[ x^3-4x+1=x^3+0x^2-4x+1 \]
Comme \(x+2=x-(-2)\), on applique la règle de Ruffini avec \(-2\) :
\[ \begin{array}{r|rrr|r} -2 & 1 & 0 & -4 & 1 \\ & & -2 & 4 & 0 \\ \hline & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \]
Donc \(Q(x)=x^2-2x\) et \(R=1\). On obtient :
\[ x^3-4x+1=(x+2)(x^2-2x)+1 \]
Exercice 9. Soit \(P(x)\) un polynôme. Montrer que \(x-a\) divise \(P(x)-P(a)\).
Démonstration. Posons \(H(x)=P(x)-P(a)\). D'après le théorème du reste, \(x-a\) divise \(H(x)\) si et seulement si \(H(a)=0\). Or :
\[ H(a)=P(a)-P(a)=0 \]
Donc :
\[ x-a\mid P(x)-P(a) \]
Conclusion
La division de polynômes est bien plus qu'une procédure de calcul. À travers la division longue, on comprend comment un polynôme peut être progressivement réduit en éliminant ses termes de plus haut degré ; à travers la règle de Ruffini, on voit comment le même procédé peut être simplifié lorsque le diviseur est de la forme \(x-a\).
Le théorème de la division euclidienne garantit que le quotient et le reste existent et sont uniques. Le théorème du reste montre ensuite que, lors de la division par \(x-a\), le reste est simplement \(P(a)\). C'est de là que naît le lien fondamental entre racines, facteurs et divisibilité.
C'est pourquoi maîtriser la division de polynômes, c'est comprendre l'un des mécanismes centraux de l'algèbre : la possibilité de décomposer, d'analyser et de reconstruire les polynômes à partir de leur structure interne.