Une collection progressive de 20 exercices résolus sur les monômes et les polynômes, conçue pour comprendre de façon rigoureuse les structures fondamentales de l'algèbre élémentaire. Les exercices abordent progressivement la reconnaissance des monômes, le calcul du degré, les opérations sur les monômes et les polynômes, les identités remarquables et les premières techniques de factorisation.
Chaque résolution est construite étape par étape, avec des explications qui précisent non seulement les calculs à effectuer, mais aussi la raison pour laquelle certaines règles peuvent être appliquées.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si l'expression suivante est un monôme :
\[ 5x^2y^3 \]
Résultat
Oui, c'est un monôme.
Résolution
Un monôme est une expression obtenue comme produit d'un coefficient numérique et de puissances de variables dont les exposants sont des entiers naturels, c'est-à-dire positifs ou nuls.
Dans l'expression :
\[ 5x^2y^3 \]
le coefficient numérique est \(5\), et les variables sont \(x\) et \(y\).
Les exposants des variables sont :
\[ 2 \qquad \text{et} \qquad 3. \]
Ce sont tous deux des entiers positifs ou nuls. Il n'apparaît ni radical, ni exposant négatif ou fractionnaire.
L'expression satisfait donc toutes les conditions requises pour être un monôme.
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si :
\[ \frac{3}{x} \]
est un monôme.
Résultat
Non, ce n'est pas un monôme.
Résolution
Pour vérifier si une expression est un monôme, il convient de la réécrire en utilisant les propriétés des puissances.
On observe en effet que :
\[ \frac{3}{x}=3x^{-1}. \]
Apparaît alors la puissance :
\[ x^{-1}, \]
dont l'exposant est négatif.
Un monôme ne peut contenir que des exposants entiers positifs ou nuls. La présence d'un exposant négatif viole donc la définition même de monôme.
Pour cette raison :
\[ \frac{3}{x} \]
n'est pas un monôme.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer le degré du monôme :
\[ -7x^3y^2z \]
Résultat
Le degré du monôme est \(6\).
Résolution
Le degré total d'un monôme non nul s'obtient en additionnant les exposants de toutes les variables présentes dans la partie littérale.
Dans le monôme :
\[ -7x^3y^2z \]
les variables apparaissent avec les exposants suivants :
\[ x^3, \qquad y^2, \qquad z^1. \]
L'exposant de la variable \(z\) est implicitement \(1\), puisque :
\[ z=z^1. \]
On additionne alors les exposants :
\[ 3+2+1=6. \]
Le monôme est donc de degré total :
\[ 6. \]
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Déterminer si les monômes suivants sont semblables :
\[ 4x^2y^3 \qquad \text{et} \qquad -9x^2y^3 \]
Résultat
Oui, les deux monômes sont semblables.
Résolution
Deux monômes sont dits semblables lorsqu'ils ont exactement la même partie littérale, c'est-à-dire les mêmes variables élevées aux mêmes exposants.
La partie littérale du premier monôme est :
\[ x^2y^3. \]
Le second monôme présente exactement la même partie littérale :
\[ x^2y^3. \]
Seuls les coefficients numériques diffèrent ; ils valent respectivement :
\[ 4 \qquad \text{et} \qquad -9. \]
Les parties littérales étant identiques, les deux monômes sont bien semblables.
Exercice 5 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer :
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4) \]
Résultat
\[ -10x^5y^5 \]
Résolution
Dans le produit de monômes, on multiplie d'abord les coefficients numériques, puis on applique les propriétés des puissances aux variables identiques.
On calcule donc les coefficients :
\[ 2\cdot(-5)=-10. \]
Pour les variables, on utilise la propriété :
\[ x^a\cdot x^b=x^{a+b}. \]
Pour la variable \(x\) :
\[ x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5. \]
Pour la variable \(y\) :
\[ y\cdot y^4=y^{1+4}=y^5. \]
En rassemblant tous les facteurs :
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4)=-10x^5y^5. \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Calculer :
\[ \frac{12x^5y^3}{3x^2y} \]
Résultat
\[ 4x^3y^2 \]
Résolution
Dans la division de monômes, on divise d'abord les coefficients numériques, puis on applique la propriété des puissances :
\[ \frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}. \]
On commence par les coefficients :
\[ \frac{12}{3}=4. \]
Pour la variable \(x\) :
\[ \frac{x^5}{x^2}=x^{5-2}=x^3. \]
Pour la variable \(y\) :
\[ \frac{y^3}{y}=y^{3-1}=y^2. \]
Tous les exposants obtenus restent positifs ou nuls, donc le résultat est à nouveau un monôme.
On obtient ainsi :
\[ \frac{12x^5y^3}{3x^2y}=4x^3y^2. \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Réduire le polynôme suivant :
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1 \]
Résultat
\[ 5x^2-x+6 \]
Résolution
Réduire un polynôme consiste à regrouper les termes semblables, c'est-à-dire ceux qui ont la même partie littérale.
On remarque que :
\[ 3x^2 \qquad \text{et} \qquad 2x^2 \]
sont des termes semblables, car ils contiennent tous deux \(x^2\). Leur somme vaut :
\[ 3x^2+2x^2=5x^2. \]
De même :
\[ -5x \qquad \text{et} \qquad 4x \]
sont des termes semblables. En additionnant leurs coefficients :
\[ -5x+4x=-x. \]
On additionne enfin les termes constants :
\[ 7-1=6. \]
Le polynôme réduit est donc :
\[ 5x^2-x+6. \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer le degré du polynôme :
\[ 4x^5-2x^3+x-9 \]
Résultat
Le degré du polynôme est \(5\).
Résolution
Le degré d'un polynôme non nul est le plus grand des degrés de ses monômes constitutifs.
Dans le polynôme :
\[ 4x^5-2x^3+x-9 \]
le terme de plus haut degré est :
\[ 4x^5, \]
car il contient la puissance \(x^5\).
Les autres termes sont de degré inférieur :
\[ -2x^3 \]
est de degré \(3\),
\[ x \]
est de degré \(1\), tandis que :
\[ -9 \]
est un terme constant, donc de degré \(0\).
Le degré maximal présent est donc :
\[ 5. \]
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Développer :
\[ (x+3)(x+5) \]
Résultat
\[ x^2+8x+15 \]
Résolution
Pour développer le produit de deux binômes, on applique la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition.
On multiplie chaque terme du premier binôme par chaque terme du second :
\[ (x+3)(x+5)=x(x+5)+3(x+5). \]
On effectue ensuite les produits :
\[ x(x+5)=x^2+5x, \]
et :
\[ 3(x+5)=3x+15. \]
En additionnant les résultats :
\[ x^2+5x+3x+15. \]
Les termes :
\[ 5x \qquad \text{et} \qquad 3x \]
sont semblables et peuvent être regroupés :
\[ 5x+3x=8x. \]
On obtient ainsi :
\[ (x+3)(x+5)=x^2+8x+15. \]
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Développer :
\[ (2x-1)(x+4) \]
Résultat
\[ 2x^2+7x-4 \]
Résolution
Ici encore, on applique la propriété distributive.
On multiplie chaque terme du premier binôme par chaque terme du second :
\[ (2x-1)(x+4)=2x(x+4)-1(x+4). \]
On développe maintenant les produits :
\[ 2x(x+4)=2x^2+8x, \]
tandis que :
\[ -1(x+4)=-x-4. \]
En additionnant le tout :
\[ 2x^2+8x-x-4. \]
Les termes :
\[ 8x \qquad \text{et} \qquad -x \]
sont semblables. Leur somme vaut :
\[ 8x-x=7x. \]
Le résultat final est donc :
\[ 2x^2+7x-4. \]
Exercice 11 — niveau ★★☆☆☆
Développer :
\[ (x+2)^2 \]
Résultat
\[ x^2+4x+4 \]
Résolution
L'expression :
\[ (x+2)^2 \]
représente le carré d'un binôme.
Il est important de rappeler que le carré d'une somme ne s'obtient pas en élevant au carré chaque terme séparément. L'identité remarquable correcte est :
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]
Dans notre cas :
\[ a=x, \qquad b=2. \]
En substituant dans l'identité :
\[ (x+2)^2=x^2+2\cdot x\cdot2+2^2. \]
On calcule maintenant les termes un par un :
\[ 2\cdot x\cdot2=4x, \]
et :
\[ 2^2=4. \]
On obtient donc :
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4. \]
Exercice 12 — niveau ★★☆☆☆
Développer :
\[ (x-5)^2 \]
Résultat
\[ x^2-10x+25 \]
Résolution
L'expression :
\[ (x-5)^2 \]
est le carré d'une différence.
On applique l'identité remarquable :
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
Ici :
\[ a=x, \qquad b=5. \]
En substituant :
\[ (x-5)^2=x^2-2\cdot x\cdot5+5^2. \]
On effectue les calculs :
\[ 2\cdot x\cdot5=10x, \]
et :
\[ 5^2=25. \]
D'où :
\[ (x-5)^2=x^2-10x+25. \]
Exercice 13 — niveau ★★☆☆☆
Développer :
\[ (x+3)(x-3) \]
Résultat
\[ x^2-9 \]
Résolution
Le produit :
\[ (x+3)(x-3) \]
est formé par la somme et la différence des deux mêmes termes.
Dans ce cas, on reconnaît l'identité remarquable appelée différence de deux carrés :
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \]
Ici :
\[ a=x, \qquad b=3. \]
En appliquant directement l'identité :
\[ (x+3)(x-3)=x^2-3^2. \]
Comme :
\[ 3^2=9, \]
on obtient :
\[ x^2-9. \]
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Développer :
\[ (2x-3)^2 \]
Résultat
\[ 4x^2-12x+9 \]
Résolution
Cette expression est à nouveau le carré d'une différence.
On applique donc :
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
Ici :
\[ a=2x, \qquad b=3. \]
En substituant :
\[ (2x-3)^2=(2x)^2-2(2x)(3)+3^2. \]
On calcule maintenant les différents termes.
Le carré du premier terme vaut :
\[ (2x)^2=4x^2. \]
Le double produit vaut :
\[ 2(2x)(3)=12x. \]
Enfin :
\[ 3^2=9. \]
D'où :
\[ (2x-3)^2=4x^2-12x+9. \]
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Calculer la valeur numérique du polynôme :
\[ P(x)=2x^2-3x+1 \]
pour :
\[ x=4. \]
Résultat
\[ 21 \]
Résolution
Calculer la valeur numérique d'un polynôme consiste à substituer la valeur donnée à la variable.
On substitue donc :
\[ x=4 \]
dans l'expression :
\[ P(x)=2x^2-3x+1. \]
On obtient :
\[ P(4)=2\cdot4^2-3\cdot4+1. \]
On calcule d'abord la puissance :
\[ 4^2=16. \]
Donc :
\[ P(4)=2\cdot16-12+1. \]
On effectue les opérations :
\[ 2\cdot16=32, \]
puis :
\[ 32-12+1=21. \]
La valeur numérique cherchée est donc :
\[ 21. \]
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Déterminer les racines du polynôme :
\[ x^2-7x+12 \]
Résultat
\[ x=3, \qquad x=4 \]
Résolution
Déterminer les racines d'un polynôme consiste à trouver les valeurs de la variable qui annulent ce polynôme.
Il faut donc résoudre l'équation :
\[ x^2-7x+12=0. \]
On cherche une factorisation du trinôme sous la forme :
\[ (x-a)(x-b). \]
En développant ce produit, on obtient :
\[ x^2-(a+b)x+ab. \]
Par identification avec :
\[ x^2-7x+12, \]
il faut trouver deux nombres vérifiant simultanément :
\[ a+b=7 \]
et :
\[ ab=12. \]
Les nombres satisfaisant ces deux conditions sont :
\[ 3 \qquad \text{et} \qquad 4. \]
On a donc :
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4). \]
Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. On obtient :
\[ x-3=0 \qquad \text{ou} \qquad x-4=0. \]
Les solutions sont :
\[ x=3, \qquad x=4. \]
Exercice 17 — niveau ★★★☆☆
Vérifier que :
\[ x=2 \]
est une racine du polynôme :
\[ P(x)=x^3-4x^2+x+6. \]
Résultat
Oui, \(2\) est une racine du polynôme.
Résolution
Un nombre réel est une racine d'un polynôme si, en le substituant à la variable, la valeur du polynôme est égale à zéro.
Il faut donc calculer :
\[ P(2). \]
On substitue \(x=2\) :
\[ P(2)=2^3-4\cdot2^2+2+6. \]
On calcule les puissances :
\[ 2^3=8, \qquad 2^2=4. \]
Donc :
\[ P(2)=8-4\cdot4+2+6. \]
On effectue le produit :
\[ 4\cdot4=16. \]
On obtient alors :
\[ P(2)=8-16+2+6. \]
En additionnant :
\[ 8-16=-8, \]
puis :
\[ -8+2+6=0. \]
Comme :
\[ P(2)=0, \]
le nombre \(2\) est bien une racine du polynôme.
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Effectuer la division par la règle de Ruffini :
\[ x^3-6x^2+11x-6 \]
divisé par :
\[ x-1. \]
Résultat
Quotient :
\[ x^2-5x+6 \]
Reste :
\[ 0 \]
Résolution
Dans la règle de Ruffini, on utilise la valeur :
\[ r=1, \]
puisque le diviseur est :
\[ x-1. \]
On écrit les coefficients du polynôme :
\[ 1, \qquad -6, \qquad 11, \qquad -6. \]
On construit alors le tableau de Ruffini :
\[ \begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Le dernier nombre obtenu est :
\[ 0, \]
qui représente le reste de la division.
Les coefficients :
\[ 1, \qquad -5, \qquad 6 \]
forment le polynôme quotient :
\[ x^2-5x+6. \]
On a donc :
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6). \]
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Factoriser :
\[ x^2-9x+20 \]
Résultat
\[ (x-4)(x-5) \]
Résolution
On cherche à écrire le trinôme sous la forme :
\[ (x-a)(x-b). \]
En développant ce produit :
\[ (x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab. \]
Par identification avec :
\[ x^2-9x+20, \]
il faut trouver deux nombres tels que :
\[ a+b=9 \]
et :
\[ ab=20. \]
Ces deux nombres sont :
\[ 4 \qquad \text{et} \qquad 5. \]
On obtient donc :
\[ x^2-9x+20=(x-4)(x-5). \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Factoriser complètement :
\[ x^3-6x^2+11x-6. \]
Résultat
\[ (x-1)(x-2)(x-3) \]
Résolution
On commence par chercher d'éventuelles racines entières du polynôme.
Le terme constant étant :
\[ -6, \]
toute racine entière doit appartenir à l'ensemble des diviseurs de \(6\) :
\[ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6. \]
On vérifie que :
\[ P(1)=0. \]
Cela signifie que :
\[ x-1 \]
est un facteur du polynôme.
En appliquant la règle de Ruffini, on obtient :
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6). \]
Il reste à factoriser le trinôme :
\[ x^2-5x+6. \]
On cherche deux nombres dont la somme est \(5\) et le produit \(6\). Ces nombres sont :
\[ 2 \qquad \text{et} \qquad 3. \]
Donc :
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
La factorisation complète du polynôme est ainsi :
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3). \]