Une collection progressive de 20 exercices résolus sur les inéquations logarithmiques, conçue pour apprendre à traiter correctement le domaine de définition, la monotonie de la fonction logarithmique, le changement de sens de l'inéquation et l'intersection finale avec les conditions d'existence.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre :
\[\log_2(x-1)>3\]
Résultat
\[(9,+\infty)\]
Résolution
Domaine de définition. Le logarithme n'est défini que si son argument est strictement positif :
\(x - 1 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x > 1\).
Le domaine de définition est donc \(\mathcal{D} = (1, +\infty)\).
La base est \(2 > 1\), donc la fonction logarithmique est croissante. Le sens de l'inéquation est conservé :
\(\log_2(x-1) > 3 \quad \Longleftrightarrow \quad x-1 > 2^3 = 8 \quad \Longrightarrow \quad x > 9\).
Intersection avec le domaine : \(x > 9\) est déjà inclus dans \(x > 1\), donc la solution est \((9, +\infty)\).
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre :
\[\log_3(2x+1)\leq 2\]
Résultat
\[\left(-\frac{1}{2},4\right]\]
Résolution
Domaine de définition. L'argument doit être strictement positif :
\(2x + 1 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x > -\frac{1}{2}\).
Ainsi \(\mathcal{D} = \left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)\).
Base \(3 > 1\), donc fonction croissante, sens conservé :
\(\log_3(2x+1) \leq 2 \quad \Longleftrightarrow \quad 2x+1 \leq 3^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad 2x \leq 8 \quad \Longrightarrow \quad x \leq 4\).
Intersection avec le domaine : \(x > -\frac{1}{2}\) et \(x \leq 4\), soit \(\left(-\frac{1}{2}, 4\right]\).
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre :
\[\log_{1/2}(x+4)>-1\]
Résultat
\[(-4,-2)\]
Résolution
Domaine de définition. \(x + 4 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x > -4\).
Ainsi \(\mathcal{D} = (-4, +\infty)\).
Base \(\frac{1}{2} < 1\), donc fonction décroissante : le sens de l'inéquation s'inverse :
\(\log_{1/2}(x+4) > -1 \quad \Longleftrightarrow \quad x+4 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \quad \Longrightarrow \quad x < -2\).
Intersection avec le domaine : \(-4 < x < -2\), soit \((-4, -2)\).
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Résoudre :
\[\log_{1/3}(5-x)\leq 1\]
Résultat
\[\left(-\infty,\frac{14}{3}\right]\]
Résolution
Domaine de définition. \(5 - x > 0 \quad \Longrightarrow \quad x < 5\).
Base \(\frac{1}{3} < 1\), donc fonction décroissante, sens inversé :
\(\log_{1/3}(5-x) \leq 1 \quad \Longleftrightarrow \quad 5-x \geq \frac{1}{3}\).
\(-x \geq \frac{1}{3} - 5 = -\frac{14}{3}\). En multipliant par \(-1\) (changement de sens) : \(x \leq \frac{14}{3}\).
Intersection avec le domaine : \(\left(-\infty, \frac{14}{3}\right]\).
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[\log_2(x-1)+\log_2(x-3)>3\]
Résultat
\[(5,+\infty)\]
Résolution
Domaine de définition. Les deux arguments doivent être strictement positifs : \(x-1>0\) et \(x-3>0\), d'où \(x>3\).
Propriété du logarithme d'un produit : \(\log_2[(x-1)(x-3)] > 3\).
Base \(2>1\) : \((x-1)(x-3) > 8 \iff x^2 - 4x - 5 > 0 \iff (x-5)(x+1) > 0\).
Solutions : \(x < -1\) ou \(x > 5\).
Intersection avec le domaine (\(x>3\)) : \((5, +\infty)\).
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[\log_3(x+2)-\log_3(x-1)<1\]
Résultat
\[\left(\frac{5}{2},+\infty\right)\]
Résolution
Domaine de définition. \(x+2>0\) et \(x-1>0\), d'où \(x>1\).
Propriété du logarithme d'un quotient : \(\log_3\left(\frac{x+2}{x-1}\right) < 1\).
Base \(3>1\) : \(\frac{x+2}{x-1} < 3\).
Puisque \(x-1>0\), on peut multiplier les deux membres sans changer le sens : \(x+2 < 3(x-1) \iff x > \frac{5}{2}\).
Intersection avec le domaine : \(\left(\frac{5}{2}, +\infty\right)\).
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[\log_5(2x+1)\geq \log_5(x+4)\]
Résultat
\[[3,+\infty)\]
Résolution
Domaine de définition. \(x > -\frac{1}{2}\).
Base \(5>1\), fonction croissante : \(2x+1 \geq x+4 \iff x \geq 3\).
Intersection avec le domaine : \([3, +\infty)\).
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[\log_{1/2}(x+5) < \log_{1/2}(3x-1)\]
Résultat
\[\left(\frac{1}{3},3\right)\]
Résolution
Domaine de définition. \(x+5>0\) et \(3x-1>0\), d'où \(x > \frac{1}{3}\).
Base \(\frac{1}{2} < 1\), fonction décroissante : sens inversé.
\(x+5 > 3x-1 \iff 6 > 2x \iff x < 3\).
Intersection avec le domaine : \(\left(\frac{1}{3}, 3\right)\).
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[\log_2 x + \log_4 x \geq 6\]
Résultat
\[[16,+\infty)\]
Résolution
Domaine de définition. \(x > 0\).
\(\log_4 x = \frac{\log_2 x}{2}\). En posant \(t = \log_2 x\) :
\(t + \frac{t}{2} \geq 6 \iff \frac{3t}{2} \geq 6 \iff t \geq 4 \iff x \geq 16\).
Intersection avec le domaine : \([16, +\infty)\).
Exercice 10 — niveau ★★☆☆☆
Résoudre :
\[\log_3 x - \log_9 x < 2\]
Résultat
\[(0,81)\]
Résolution
Domaine de définition. \(x > 0\).
\(\log_9 x = \frac{\log_3 x}{2}\). En posant \(t = \log_3 x\) :
\(t - \frac{t}{2} < 2 \iff \frac{t}{2} < 2 \iff t < 4 \iff x < 81\).
Intersection avec le domaine : \((0, 81)\).
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 \leq 0\]
Résultat
\[[4,8]\]
Résolution
Domaine de définition. \(x > 0\).
En posant \(t = \log_2 x\) : \(t^2 - 5t + 6 = (t-2)(t-3) \leq 0\).
Le produit est négatif ou nul entre les racines : \(2 \leq t \leq 3\).
D'où \(4 \leq x \leq 8\).
Intersection avec le domaine : \([4, 8]\).
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[(\log_3 x)^2 - 1 > 0\]
Résultat
\[\left(0,\frac{1}{3}\right)\cup(3,+\infty)\]
Résolution
Domaine de définition. \(x > 0\).
En posant \(t = \log_3 x\) : \(t^2 - 1 > 0 \iff (t-1)(t+1) > 0\).
Solutions : \(t < -1\) ou \(t > 1\).
D'où \(x < \frac{1}{3}\) ou \(x > 3\).
Intersection avec le domaine : \(\left(0,\frac{1}{3}\right)\cup(3,+\infty)\).
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[2(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x - 2 \geq 0\]
Résultat
\[\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\cup[4,+\infty)\]
Résolution
Domaine de définition. \(x > 0\).
En posant \(t = \log_2 x\) : \(2t^2 - 3t - 2 = (2t+1)(t-2) \geq 0\).
Solutions : \(t \leq -\frac{1}{2}\) ou \(t \geq 2\).
D'où \(x \leq 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) ou \(x \geq 4\).
Intersection avec le domaine : \(\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\cup[4,+\infty)\).
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[\log_2(x^2-5x+6)\geq 1\]
Résultat
\[(-\infty,1]\cup[4,+\infty)\]
Résolution
Domaine de définition. \(x^2-5x+6 > 0 \iff (x-2)(x-3)>0 \iff (-\infty,2)\cup(3,+\infty)\).
Base \(2>1\) : \(x^2-5x+6 \geq 2 \iff x^2-5x+4 \geq 0 \iff (x-1)(x-4)\geq 0\).
Solutions : \(x\leq 1\) ou \(x\geq 4\).
Intersection avec le domaine : \((-\infty,1]\cup[4,+\infty)\).
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Résoudre :
\[\log_3(x^2-4)<2\]
Résultat
\[(-\sqrt{13},-2)\cup(2,\sqrt{13})\]
Résolution
Domaine de définition. \(x^2-4 > 0 \iff (-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\).
Base \(3>1\) : \(x^2-4 < 9 \iff x^2 < 13 \iff -\sqrt{13} < x < \sqrt{13}\).
Intersection avec le domaine : \((-\sqrt{13},-2)\cup(2,\sqrt{13})\).
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[\log_2(x+1)+\log_2(x-2)\leq \log_2(2x+3)\]
Résultat
\[\left(2,\dfrac{3+\sqrt{29}}{2}\right]\]
Résolution
Domaine de définition. \(x+1>0\), \(x-2>0\), \(2x+3>0\) : la condition la plus restrictive est \(x>2\).
Propriété du logarithme d'un produit : \(\log_2[(x+1)(x-2)] \leq \log_2(2x+3)\).
Base \(2>1\) : \((x+1)(x-2) \leq 2x+3 \iff x^2 - 3x - 5 \leq 0\).
Racines : \(\frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\). La solution est l'intervalle compris entre les deux racines.
Intersection avec \(x>2\) : \(\left(2, \frac{3+\sqrt{29}}{2}\right]\).
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[\log_{1/2}(x^2-1)\geq -2\]
Résultat
\[[-\sqrt{5},-1)\cup(1,\sqrt{5}]\]
Résolution
Domaine de définition. \(x^2-1 > 0 \iff x \in (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\).
Base \(\frac{1}{2} < 1\), fonction décroissante, sens inversé :
\[x^2-1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4 \iff x^2 \leq 5 \iff -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}.\]
Intersection avec le domaine : les valeurs \(\pm 1\) sont exclues car l'argument s'y annule, tandis que \(x = -\sqrt{5}\) et \(x = \sqrt{5}\) appartiennent au domaine (l'argument vaut alors 4) et vérifient l'inéquation avec égalité. L'ensemble des solutions est donc \([-\sqrt{5},-1)\cup(1,\sqrt{5}]\).
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[\log_2(x-1)<\log_4(3x+1)\]
Résultat
\[(1,5)\]
Résolution
Domaine de définition. \(x>1\).
\(\log_4(3x+1) = \frac{1}{2}\log_2(3x+1)\).
On aboutit à : \((x-1)^2 < 3x+1 \iff x^2 - 5x < 0 \iff x(x-5) < 0 \iff 0 < x < 5\).
Intersection avec le domaine : \((1,5)\).
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Résoudre :
\[\log_3(x+1)+\log_3(5-x)\geq 1\]
Résultat
\[[2-\sqrt{6},\ 2+\sqrt{6}]\]
Résolution
Domaine de définition. \(-1 < x < 5\).
Propriété du logarithme d'un produit : \(\log_3[(x+1)(5-x)] \geq 1 \iff (x+1)(5-x) \geq 3\).
\(-x^2 + 4x + 2 \geq 0 \iff x^2 - 4x - 2 \leq 0\).
Racines : \(2 \pm \sqrt{6}\). La solution est l'intervalle compris entre les deux racines, entièrement contenu dans le domaine.
D'où \([2-\sqrt{6}, 2+\sqrt{6}]\).
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Résoudre :
\[\log_2(x^2-4x+3)\leq \log_2(2x+3)\]
Résultat
\[[0,1)\cup(3,6]\]
Résolution
Domaine de définition. \(x^2-4x+3 > 0\) et \(2x+3 > 0\) \(\implies\) \(\left(-\frac{3}{2},1\right)\cup(3,+\infty)\).
Base \(2>1\) : \(x^2-4x+3 \leq 2x+3 \iff x^2-6x \leq 0 \iff x(x-6)\leq 0\).
Solution : \(0 \leq x \leq 6\).
Intersection avec le domaine : \([0,1)\cup(3,6]\).