Équations Logarithmiques : Cours, Méthode et Exercices Résolus

Une équation logarithmique est une équation dans laquelle l'inconnue apparaît comme argument d'au moins un logarithme. La résolution de telles équations exige non seulement la maîtrise du calcul algébrique, mais surtout le contrôle rigoureux des conditions d'existence : toute solution formellement obtenue doit être vérifiée au regard du domaine de l'équation, sous peine d'introduire des solutions étrangères.

Sommaire

• Rappels sur la Fonction Logarithmique
• Domaine d'une Équation Logarithmique
• Définition et Méthode Exponentielle
• Propriétés Opératoires des Logarithmes
• Équations Logarithmiques Élémentaires
• Équations avec Somme ou Différence de Logarithmes
• Équations avec des Logarithmes Égaux
• Équations avec des Logarithmes de Bases Différentes
• Équations Résolubles par Substitution
• Solutions Étrangères : Analyse et Prévention
• Méthode Générale de Résolution
• Exercices Résolus
• Interprétation Graphique

Avant d'aborder les équations logarithmiques, il est indispensable de rappeler avec précision les propriétés fondamentales de la fonction logarithmique, car toute la théorie de résolution en dépend directement.

Soient \( a \in \mathbb{R} \) avec \( a > 0 \) et \( a \neq 1 \). La fonction exponentielle \( e_a \colon \mathbb{R} \to (0, +\infty) \), définie par \( e_a(x) = a^x \), est strictement monotone — croissante si \( a > 1 \), décroissante si \( 0 < a < 1 \) — et donc bijective sur son codomaine \( (0, +\infty) \). Sa réciproque est la fonction logarithmique de base \( a \) :

\[ \log_a \colon (0, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad x \longmapsto \log_a x. \]

Le domaine naturel du logarithme est \( (0, +\infty) \) : le logarithme d'un nombre non strictement positif n'est pas défini dans \( \mathbb{R} \). Cette restriction est à l'origine de toutes les conditions d'existence dans les équations logarithmiques.

La fonction \( x \mapsto \log_a x \) hérite la monotonie stricte de la fonction exponentielle :

• elle est strictement croissante si \( a > 1 \) ;
• elle est strictement décroissante si \( 0 < a < 1 \).

La monotonie stricte implique l'injectivité : pour tout \( u, v \in (0, +\infty) \),

\[ \log_a u = \log_a v \quad \Longleftrightarrow \quad u = v. \]

Cette équivalence est le fondement logique de la méthode de résolution des équations à logarithmes égaux. Rappelons enfin les valeurs remarquables :

\[ \log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1, \qquad \log_a a^k = k \quad \forall\, k \in \mathbb{R}. \]

Le domaine d'une équation logarithmique est l'ensemble des valeurs réelles de l'inconnue pour lesquelles toute expression figurant dans l'équation est bien définie. Comme le logarithme réel n'est défini que pour des arguments strictement positifs, pour chaque terme \( \log_a f_i(x) \), lorsque \( i \) parcourt l'ensemble des indices désignant tous les logarithmes présents dans l'équation, on doit imposer la condition :

\[ f_i(x) > 0. \]

Le domaine de l'équation est l'intersection de toutes ces conditions :

\[ \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \bigl\{ x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0 \bigr\}, \]

où \( I \) est l'ensemble des indices des logarithmes présents dans l'équation.

Règle fondamentale. Une fois les solutions formelles déterminées par des transformations algébriques, on ne conserve que celles qui appartiennent à \( \mathcal{D} \). Les valeurs exclues de \( \mathcal{D} \) rendent au moins un logarithme indéfini et ne constituent pas des solutions de l'équation initiale, qu'elles satisfassent ou non les équations algébriques intermédiaires.

Il est méthodologiquement impératif de déterminer \( \mathcal{D} \) avant toute manipulation algébrique : on garde ainsi constamment à l'esprit l'ensemble dans lequel les solutions doivent être cherchées, et l'on évite de valider des étapes qui supposeraient la positivité des arguments sans l'avoir établie.

La définition même du logarithme fournit la méthode de résolution la plus directe. Pour \( a > 0 \), \( a \neq 1 \) et \( x > 0 \), on a par définition :

\[ \log_a x = b \quad \Longleftrightarrow \quad a^b = x. \]

Cette équivalence permet de transformer l'équation logarithmique \( \log_a f(x) = k \), avec \( k \in \mathbb{R} \), en l'équation exponentielle \( f(x) = a^k \), qui ne contient plus de logarithmes. On remarquera que la condition \( f(x) > 0 \) est automatiquement satisfaite par toute solution de \( f(x) = a^k \), puisque \( a^k > 0 \) pour tout \( k \in \mathbb{R} \) et toute base admissible \( a \). Cela n'exonère pas pour autant d'imposer et de vérifier les conditions de domaine établies dans \( \mathcal{D} \) : elles peuvent faire intervenir d'autres logarithmes présents dans l'équation initiale.

Exemple. Résoudre \( \log_3(x-1) = 2 \).

Domaine. La seule condition d'existence est \( x - 1 > 0 \), donc \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Résolution. En appliquant la définition du logarithme :

\[ x - 1 = 3^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad x = 10. \]

Vérification. \( 10 \in (1, +\infty) \). La solution est acceptée.

Ensemble des solutions : \( \{10\} \).

Les propriétés suivantes, valables pour \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), pour tout \( x, y > 0 \) et pour tout \( n \in \mathbb{R} \), découlent directement des propriétés correspondantes des puissances :

\[ \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \]

\[ \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y, \]

\[ \log_a(x^n) = n\log_a x. \]

Ces identités constituent le principal outil pour réduire les équations comportant plusieurs logarithmes à des formes canoniques résolubles. Leur application exige cependant le respect scrupuleux des hypothèses de validité.

Mise en garde essentielle. Chaque propriété n'est valable que pour des arguments strictement positifs :

• La propriété \( \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y \) requiert \( x > 0 \) et \( y > 0 \) séparément. Le produit \( xy \) peut être positif même lorsque les deux facteurs sont négatifs ; dans ce cas \( \log_a(xy) \) serait bien défini, mais \( \log_a x \) et \( \log_a y \) ne le seraient pas. L'identité ne peut donc pas être utilisée dans le sens inverse — de produit vers somme — sans avoir garanti la positivité de chaque facteur.
• La propriété \( \log_a(x^n) = n\log_a x \) requiert \( x > 0 \). Un cas paradigmatique est \( \log_a(x^2) = 2\log_a x \) : l'identité n'est valable que pour \( x > 0 \), alors que pour \( x < 0 \) le membre gauche est défini (car \( x^2 > 0 \)) et le membre droit ne l'est pas.

Rappelons également la formule de changement de base : pour tout \( b > 0 \), \( b \neq 1 \), et pour tout \( x > 0 \),

\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}. \]

Cette formule est indispensable lorsque l'équation fait intervenir des logarithmes de bases différentes que l'on souhaite ramener à une base commune afin d'appliquer les propriétés opératoires ou le principe d'injectivité. Son emploi systématique est illustré à la section §8.

Une équation logarithmique est dite élémentaire si elle est réductible, éventuellement après de simples manipulations algébriques, à la forme canonique :

\[ \log_a f(x) = k, \qquad k \in \mathbb{R}. \]

La méthode de résolution s'articule en les étapes suivantes :

1. Déterminer le domaine : \( \mathcal{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) > 0\} \).
2. Appliquer la définition du logarithme pour obtenir \( f(x) = a^k \).
3. Résoudre l'équation \( f(x) = a^k \).
4. Vérifier que les solutions appartiennent à \( \mathcal{D} \) et éliminer les éventuelles solutions étrangères.

Exemple. Résoudre \( \log_{1/2}(3x - 5) = -3 \).

Domaine. \( 3x - 5 > 0 \Rightarrow x > \tfrac{5}{3} \), donc \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{5}{3}, +\infty\bigr) \).

Résolution. En appliquant la définition :

\[ 3x - 5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 \quad \Longrightarrow \quad 3x = 13 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{13}{3}. \]

Vérification. \( \tfrac{13}{3} \approx 4{,}33 > \tfrac{5}{3} \). Solution acceptée.

Ensemble des solutions : \( \Bigl\{\dfrac{13}{3}\Bigr\} \).

Lorsque l'équation contient une somme ou une différence de logarithmes de même base, on applique les propriétés du produit et du quotient pour ramener l'équation à un seul logarithme, la réduisant ainsi à la forme élémentaire. Comme déjà signalé, les conditions de domaine doivent être imposées sur les arguments originaux, et non sur l'argument du logarithme résultant de la fusion.

Exemple 1. Résoudre \( \log_2 x + \log_2(x-2) = 3 \).

Domaine. \( x > 0 \) et \( x - 2 > 0 \), donc \( \mathcal{D} = (2, +\infty) \).

Résolution. En appliquant la propriété du produit :

\[ \log_2[x(x-2)] = 3 \quad \Longrightarrow \quad x(x-2) = 2^3 = 8. \]

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-4)(x+2) = 0. \]

Les solutions formelles sont \( x = 4 \) et \( x = -2 \).

Vérification. \( x = 4 \in (2, +\infty) \) : acceptée. \( x = -2 \notin (2, +\infty) \) : solution étrangère, rejetée.

Ensemble des solutions : \( \{4\} \).

Exemple 2. Résoudre \( \log_3(x+7) - \log_3(x-1) = 1 \).

Domaine. \( x + 7 > 0 \) et \( x - 1 > 0 \), donc \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Résolution. En appliquant la propriété du quotient :

\[ \log_3\!\left(\frac{x+7}{x-1}\right) = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{x+7}{x-1} = 3. \]

\[ x + 7 = 3(x-1) \quad \Longrightarrow \quad x + 7 = 3x - 3 \quad \Longrightarrow \quad x = 5. \]

Vérification. \( 5 \in (1, +\infty) \). Solution acceptée.

Ensemble des solutions : \( \{5\} \).

Si l'équation se présente sous la forme :

\[ \log_a f(x) = \log_a g(x), \]

l'injectivité de la fonction \( t \mapsto \log_a t \) sur \( (0, +\infty) \) permet d'affirmer que, pour tout \( u, v \in (0, +\infty) \) :

\[ \log_a u = \log_a v \quad \Longleftrightarrow \quad u = v. \]

Pourvu que \( f(x) > 0 \) et \( g(x) > 0 \), l'équation logarithmique est donc équivalente à l'équation algébrique \( f(x) = g(x) \). Une précision logique s'impose cependant : les conditions \( f(x) > 0 \) et \( g(x) > 0 \) ne sont pas équivalentes en général, mais elles le deviennent sous réserve de l'égalité \( f(x) = g(x) \). Plus précisément : si \( x_0 \) vérifie \( f(x_0) = g(x_0) \), alors \( f(x_0) > 0 \Longleftrightarrow g(x_0) > 0 \), de sorte que vérifier l'une des deux conditions suffit à garantir les deux. Du point de vue méthodologique, il reste cependant plus rigoureux d'imposer les deux conditions a priori lors de la détermination de \( \mathcal{D} \), sans s'appuyer sur cette implication.

Exemple. Résoudre \( \log_5(x+1) = \log_5(2x-3) \).

Domaine. \( x + 1 > 0 \) et \( 2x - 3 > 0 \), donc \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \).

Résolution. Par injectivité :

\[ x + 1 = 2x - 3 \quad \Longrightarrow \quad x = 4. \]

Vérification. \( 4 > \tfrac{3}{2} \). Solution acceptée.

Ensemble des solutions : \( \{4\} \).

Lorsqu'une équation contient des logarithmes de bases différentes, on ne peut pas appliquer directement le principe d'injectivité ni les propriétés opératoires. La méthode standard consiste à ramener tous les logarithmes à une même base à l'aide de la formule de changement de base :

\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}, \]

où la base auxiliaire \( b \) est choisie de façon à simplifier les calculs. Les choix les plus courants sont \( b = 10 \) (logarithme décimal, noté \( \lg \)) ou \( b = e \) (logarithme naturel ou népérien, noté \( \ln \)). Dans de nombreux cas, il est toutefois plus commode de prendre comme base commune l'une des bases déjà présentes dans l'équation.

Exemple 1. Résoudre \( \log_2 x + \log_4 x = 3 \).

Domaine. Les deux logarithmes requièrent \( x > 0 \), donc \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Résolution. On ramène \( \log_4 x \) à la base \( 2 \) par la formule de changement de base :

\[ \log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}. \]

En substituant dans l'équation et en posant \( t = \log_2 x \) pour abréger :

\[ t + \frac{t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad \frac{3t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad t = 2. \]

En revenant à la variable initiale : \( \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4 \).

Vérification. \( 4 \in (0, +\infty) \). Solution acceptée.

Ensemble des solutions : \( \{4\} \).

Exemple 2. Résoudre \( \log_3 x \cdot \log_9 x = 4 \).

Domaine. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Résolution. On ramène \( \log_9 x \) à la base \( 3 \) :

\[ \log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}. \]

En posant \( t = \log_3 x \) :

\[ t \cdot \frac{t}{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad \frac{t^2}{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad t^2 = 8 \quad \Longrightarrow \quad t = \pm 2\sqrt{2}. \]

En revenant à la variable initiale :

\[ \log_3 x = 2\sqrt{2} \;\Rightarrow\; x = 3^{2\sqrt{2}}, \qquad \log_3 x = -2\sqrt{2} \;\Rightarrow\; x = 3^{-2\sqrt{2}}. \]

Vérification. Les deux valeurs sont positives et appartiennent à \( \mathcal{D} \). Les deux solutions sont acceptées.

Ensemble des solutions : \( \bigl\{3^{-2\sqrt{2}},\; 3^{2\sqrt{2}}\bigr\} \).

Une classe importante d'équations logarithmiques est celle dans laquelle le logarithme apparaît comme argument d'une expression polynomiale. La forme typique est :

\[ P\!\bigl(\log_a f(x)\bigr) = 0, \]

où \( P \) est un polynôme. La méthode consiste à poser \( t = \log_a f(x) \), à résoudre l'équation algébrique \( P(t) = 0 \) en \( t \), puis, pour chaque racine \( t_k \), à résoudre l'équation élémentaire \( \log_a f(x) = t_k \).

Attention. Chacune des équations \( \log_a f(x) = t_k \) doit être résolue séparément avec sa propre vérification du domaine. La substitution \( t = \log_a f(x) \) n'introduit pas en elle-même de solutions étrangères, mais l'étape finale de retour à la variable initiale peut le faire si l'on ne vérifie pas que les solutions trouvées appartiennent à \( \mathcal{D} \).

Exemple 1. Résoudre \( (\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 = 0 \).

Domaine. \( x > 0 \), donc \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Substitution. Posons \( t = \log_2 x \). L'équation devient :

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-2)(t-3) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \;\text{ ou }\; t = 3. \]

Retour à la variable initiale.

\[ \log_2 x = 2 \;\Rightarrow\; x = 4, \qquad \log_2 x = 3 \;\Rightarrow\; x = 8. \]

Vérification. \( 4, 8 \in (0, +\infty) \). Les deux solutions sont acceptées.

Ensemble des solutions : \( \{4, 8\} \).

Exemple 2. Résoudre \( (\log_3 x)^2 - \log_3(x^4) + 3 = 0 \).

Domaine. \( x > 0 \), donc \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Simplification. Pour \( x > 0 \), la propriété de la puissance est applicable : \( \log_3(x^4) = 4\log_3 x \). L'équation devient :

\[ (\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 3 = 0. \]

Substitution. Posons \( t = \log_3 x \) :

\[ t^2 - 4t + 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-1)(t-3) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 1 \;\text{ ou }\; t = 3. \]

Retour à la variable initiale.

\[ \log_3 x = 1 \;\Rightarrow\; x = 3, \qquad \log_3 x = 3 \;\Rightarrow\; x = 27. \]

Vérification. \( 3, 27 \in (0, +\infty) \). Les deux solutions sont acceptées.

Ensemble des solutions : \( \{3, 27\} \).

Exemple 3. Résoudre \( 2(\log_5 x)^2 + 3\log_5 x - 2 = 0 \).

Domaine. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Substitution. Posons \( t = \log_5 x \) :

\[ 2t^2 + 3t - 2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}. \]

On obtient ainsi \( t_1 = \tfrac{1}{2} \) et \( t_2 = -2 \).

Retour à la variable initiale.

\[ \log_5 x = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = 5^{1/2} = \sqrt{5}, \qquad \log_5 x = -2 \;\Rightarrow\; x = 5^{-2} = \frac{1}{25}. \]

Vérification. \( \sqrt{5}, \tfrac{1}{25} \in (0, +\infty) \). Les deux solutions sont acceptées.

Ensemble des solutions : \( \Bigl\{\dfrac{1}{25},\; \sqrt{5}\Bigr\} \).

On appelle solution étrangère une valeur \( x_0 \) qui satisfait une équation algébrique obtenue au cours des transformations, mais qui n'appartient pas au domaine \( \mathcal{D} \) de l'équation logarithmique initiale. Une telle valeur rend au moins un logarithme indéfini et ne constitue donc pas une solution valide.

Les solutions étrangères apparaissent typiquement dans les trois circonstances suivantes.

1. Application de la propriété du produit. Écrire \( \log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a[f(x)g(x)] \) requiert \( f(x) > 0 \) et \( g(x) > 0 \) séparément. Le produit \( f(x)g(x) \) peut être positif même lorsque les deux facteurs sont négatifs ; dans ce cas, le logarithme du produit serait défini dans l'équation transformée, mais les logarithmes des facteurs individuels ne le seraient pas dans l'équation initiale.
2. Application de la propriété de la puissance. L'écriture \( \log_a[f(x)^n] = n\log_a f(x) \) n'est valable que si \( f(x) > 0 \). Pour \( f(x) < 0 \) et \( n \) pair, le membre gauche est défini tandis que le membre droit ne l'est pas : l'application de l'identité introduit donc des arguments inadmissibles.
3. Réduction à une équation polynomiale. La résolution d'une équation de degré deux ou plus produit en général plusieurs racines ; certaines d'entre elles peuvent se trouver en dehors du domaine \( \mathcal{D} \).

Exemple illustratif. Considérons l'équation :

\[ \log_2(x^2 - 5x + 6) = \log_2(x - 2) + 1. \]

Domaine. Les conditions d'existence sont \( x^2 - 5x + 6 > 0 \) et \( x - 2 > 0 \). En factorisant : \( (x-2)(x-3) > 0 \) si \( x < 2 \) ou \( x > 3 \). En intersectant avec \( x > 2 \), on obtient \( \mathcal{D} = (3, +\infty) \).

Résolution. On réécrit le membre droit en utilisant \( 1 = \log_2 2 \) :

\[ \log_2(x^2 - 5x + 6) = \log_2[2(x-2)]. \]

Par injectivité :

\[ x^2 - 5x + 6 = 2x - 4 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 7x + 10 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-2)(x-5) = 0. \]

Solutions formelles : \( x = 2 \) et \( x = 5 \).

Vérification. \( x = 2 \notin (3, +\infty) \) : solution étrangère, rejetée. \( x = 5 \in (3, +\infty) \) : acceptée.

Ensemble des solutions : \( \{5\} \).

Le protocole suivant est complet et rigoureux ; il s'applique à tout type d'équation logarithmique traité dans cet article.

1. Détermination du domaine. Pour chaque logarithme \( \log_a f_i(x) \) présent dans l'équation, où \( i \) parcourt l'ensemble des indices \( I \) de tous les logarithmes présents, imposer \( f_i(x) > 0 \). Calculer \( \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \{x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0\} \).
2. Ramener à une base commune (si nécessaire). Si l'équation contient des logarithmes de bases différentes, appliquer la formule de changement de base pour les uniformiser.
3. Simplification à l'aide des propriétés des logarithmes. Appliquer les propriétés du produit, du quotient et de la puissance — en rappelant qu'elles ne sont valables que pour des arguments positifs — afin de réduire l'équation à l'une des formes canoniques : \( \log_a f(x) = k \), ou \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \), ou \( P(\log_a f(x)) = 0 \).
4. Élimination du logarithme. Dans la première forme, passer à la forme exponentielle \( f(x) = a^k \). Dans la deuxième, exploiter l'injectivité : \( f(x) = g(x) \). Dans la troisième, appliquer la substitution \( t = \log_a f(x) \) et résoudre l'équation algébrique en \( t \), puis revenir à la variable initiale.
5. Résolution de l'équation algébrique obtenue.
6. Vérification des conditions de domaine. Ne conserver que les solutions appartenant à \( \mathcal{D} \). Rejeter explicitement les solutions étrangères en indiquant le motif de leur exclusion.
7. Écriture de l'ensemble des solutions.

Exercice 1. Résoudre \( \log_2(x+3) = 4 \).

Domaine. \( x + 3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (-3, +\infty) \).

Résolution. \( x + 3 = 2^4 = 16 \Rightarrow x = 13 \).

Vérification. \( 13 \in (-3, +\infty) \). Solution acceptée.

Ensemble des solutions : \( \{13\} \).

Exercice 2. Résoudre \( \log_3 x + \log_3(x-1) = 1 \).

Domaine. \( x > 0 \) et \( x - 1 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Résolution.

\[ \log_3[x(x-1)] = 1 \quad \Longrightarrow \quad x(x-1) = 3 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - x - 3 = 0. \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}. \]

Vérification. \( x_1 = \dfrac{1+\sqrt{13}}{2} \approx 2{,}30 > 1 \) : acceptée. \( x_2 = \dfrac{1-\sqrt{13}}{2} < 0 \) : solution étrangère, rejetée.

Ensemble des solutions : \( \Bigl\{\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\Bigr\} \).

Exercice 3. Résoudre \( \log_5(x+1) = \log_5(2x-3) \).

Domaine. \( x+1 > 0 \) et \( 2x-3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \).

Résolution. Par injectivité : \( x + 1 = 2x - 3 \Rightarrow x = 4 \).

Vérification. \( 4 > \tfrac{3}{2} \). Solution acceptée.

Ensemble des solutions : \( \{4\} \).

Exercice 4. Résoudre \( \log_2(x-1) + \log_2(x-5) = 3 \).

Domaine. \( x-1 > 0 \) et \( x-5 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (5, +\infty) \).

Résolution.

\[ \log_2[(x-1)(x-5)] = 3 \quad \Longrightarrow \quad (x-1)(x-5) = 8. \]

\[ x^2 - 6x - 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 3 \pm 2\sqrt{3}. \]

Vérification. \( x_1 = 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46 > 5 \) : acceptée. \( x_2 = 3 - 2\sqrt{3} \approx -0{,}46 < 5 \) : solution étrangère, rejetée.

Ensemble des solutions : \( \{3 + 2\sqrt{3}\} \).

Exercice 5. Résoudre \( \log_4(x^2 - 3x) = \log_4(x + 7) \).

Domaine. \( x^2 - 3x > 0 \) et \( x+7 > 0 \). La première condition donne \( x < 0 \) ou \( x > 3 \) ; la seconde donne \( x > -7 \). Donc \( \mathcal{D} = (-7, 0) \cup (3, +\infty) \).

Résolution. Par injectivité : \( x^2 - 3x = x + 7 \Rightarrow x^2 - 4x - 7 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{11} \).

Vérification. \( x_1 = 2+\sqrt{11} \approx 5{,}32 \in (3, +\infty) \) : acceptée. \( x_2 = 2-\sqrt{11} \approx -1{,}32 \in (-7, 0) \) : acceptée.

Ensemble des solutions : \( \{2-\sqrt{11},\; 2+\sqrt{11}\} \).

Exercice 6. Résoudre \( (\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 = 0 \).

Domaine. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Résolution. Posons \( t = \log_2 x \) :

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \;\text{ ou }\; t = 3. \]

\[ \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4, \qquad \log_2 x = 3 \Rightarrow x = 8. \]

Vérification. \( 4, 8 \in (0, +\infty) \). Les deux acceptées.

Ensemble des solutions : \( \{4, 8\} \).

Exercice 7. Résoudre \( \log_2 x + \log_4 x = 3 \).

Domaine. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Résolution. \( \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{2} \). Posons \( t = \log_2 x \) :

\[ t + \frac{t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \quad \Longrightarrow \quad x = 4. \]

Vérification. \( 4 \in (0, +\infty) \). Solution acceptée.

Ensemble des solutions : \( \{4\} \).

L'interprétation graphique des équations logarithmiques fournit une vision qualitative du nombre et de la position des solutions, en complément du traitement analytique.

Résoudre l'équation \( \log_a f(x) = k \) revient géométriquement à déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de \( y = \log_a f(x) \) avec la droite horizontale \( y = k \). Comme la fonction logarithmique est strictement monotone, sur chaque sous-intervalle connexe du domaine sur lequel \( f \) est elle-même strictement monotone, la composée \( \log_a \circ f \) l'est également, de sorte que l'équation admet au plus une solution sur chacun de ces intervalles. Ce fait permet d'établir a priori un majorant du nombre de solutions, avant même d'effectuer les calculs.

Résoudre \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \) revient quant à lui à trouver les points où les courbes de \( y = \log_a f(x) \) et \( y = \log_a g(x) \) se croisent. Ces points doivent appartenir au domaine commun \( \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g \) des deux fonctions ; d'éventuelles intersections en dehors de ce domaine ne correspondent pas à des solutions de l'équation initiale.

L'interprétation graphique rend également évidente la raison pour laquelle les solutions étrangères ne sont pas des solutions : elles correspondent à des valeurs de l'inconnue pour lesquelles une ou plusieurs branches de la courbe n'existent tout simplement pas, la fonction logarithmique n'étant pas définie en dehors de \( (0, +\infty) \). Une solution étrangère n'est pas un point de la courbe : c'est un artefact algébrique dépourvu de contenu géométrique dans le cadre de l'équation initiale.