Une collection progressive d'exercices résolus pas à pas pour apprendre à transformer correctement les équations avec valeur absolue, distinguer les cas nécessaires et vérifier les solutions obtenues.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
\[ |x|=7 \]
Résultat
\[ x=-7 \quad \text{ou} \quad x=7 \]
Solution
Si la valeur absolue d'un nombre est égale à \(7\), alors ce nombre peut valoir \(7\) ou \(-7\).
\[ |x|=7 \iff x=7 \quad \text{ou} \quad x=-7 \]
Donc : \[ \boxed{x=-7 \quad \text{ou} \quad x=7} \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
\[ |x-3|=5 \]
Résultat
\[ x=-2 \quad \text{ou} \quad x=8 \]
Solution
Utilisons la propriété : \[ |A|=k \iff A=k \quad \text{ou} \quad A=-k \] avec \(k\ge 0\).
On obtient donc : \[ x-3=5 \quad \text{ou} \quad x-3=-5 \]
Résolvons la première équation : \[ x-3=5 \Rightarrow x=8 \]
Résolvons la seconde : \[ x-3=-5 \Rightarrow x=-2 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=-2 \quad \text{ou} \quad x=8} \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
\[ |2x-1|=9 \]
Résultat
\[ x=-4 \quad \text{ou} \quad x=5 \]
Solution
La valeur absolue est égale à \(9\), donc l'expression à l'intérieur peut valoir \(9\) ou \(-9\).
\[ 2x-1=9 \quad \text{ou} \quad 2x-1=-9 \]
Premier cas : \[ 2x-1=9 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5 \]
Deuxième cas : \[ 2x-1=-9 \Rightarrow 2x=-8 \Rightarrow x=-4 \]
Donc : \[ \boxed{x=-4 \quad \text{ou} \quad x=5} \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
\[ |x+2|=0 \]
Résultat
\[ x=-2 \]
Solution
Une valeur absolue est nulle uniquement lorsque l'expression qu'elle contient est nulle.
\[ |x+2|=0 \iff x+2=0 \]
Résolvons : \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Donc : \[ \boxed{x=-2} \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
\[ |3x+6|=12 \]
Résultat
\[ x=-6 \quad \text{ou} \quad x=2 \]
Solution
L'expression à l'intérieur de la valeur absolue peut valoir \(12\) ou \(-12\).
\[ 3x+6=12 \quad \text{ou} \quad 3x+6=-12 \]
Premier cas : \[ 3x+6=12 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2 \]
Deuxième cas : \[ 3x+6=-12 \Rightarrow 3x=-18 \Rightarrow x=-6 \]
Donc : \[ \boxed{x=-6 \quad \text{ou} \quad x=2} \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
\[ |x-4|=-3 \]
Résultat
\[ \varnothing \]
Solution
La valeur absolue d'une expression est toujours positive ou nulle : \[ |x-4|\ge 0 \]
Pour cette raison, elle ne peut jamais être égale à un nombre négatif.
Puisque : \[ -3<0 \] l'équation n'admet aucune solution.
Donc : \[ \boxed{\varnothing} \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
\[ |x-1|=x+3 \]
Résultat
\[ x=-1 \]
Solution
Le second membre doit être positif ou nul : \[ x+3\ge 0 \Rightarrow x\ge -3 \]
Résolvons en distinguant les deux cas de la valeur absolue.
Premier cas : \[ x-1=x+3 \] \[ -1=3 \] impossible.
Deuxième cas : \[ -(x-1)=x+3 \] \[ -x+1=x+3 \] \[ -2x=2 \] \[ x=-1 \]
La solution trouvée respecte la condition \(x\ge -3\), elle est donc acceptable.
Par conséquent : \[ \boxed{x=-1} \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
\[ |2x-5|=x+1 \]
Résultat
\[ x=\frac{4}{3} \quad \text{ou} \quad x=6 \]
Solution
Imposons d'abord que le second membre soit positif ou nul : \[ x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1 \]
Résolvons ensuite les deux cas.
Premier cas : \[ 2x-5=x+1 \] \[ x=6 \]
Deuxième cas : \[ -(2x-5)=x+1 \] \[ -2x+5=x+1 \] \[ -3x=-4 \] \[ x=\frac{4}{3} \]
Les deux solutions respectent \(x\ge -1\).
Donc : \[ \boxed{x=\frac{4}{3} \quad \text{ou} \quad x=6} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
\[ |x+4|=2x-1 \]
Résultat
\[ x=5 \]
Solution
Le second membre doit être positif ou nul : \[ 2x-1\ge 0 \] \[ x\ge \frac{1}{2} \]
Premier cas : \[ x+4=2x-1 \] \[ x=5 \]
Deuxième cas : \[ -(x+4)=2x-1 \] \[ -x-4=2x-1 \] \[ -3=3x \] \[ x=-1 \]
La solution \(x=-1\) ne respecte pas la condition \(x\ge \frac{1}{2}\), elle est donc rejetée.
Il reste : \[ \boxed{x=5} \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
\[ |x-2|=|x+6| \]
Résultat
\[ x=-2 \]
Solution
Deux valeurs absolues sont égales lorsque les expressions à l'intérieur sont égales ou opposées.
Premier cas : \[ x-2=x+6 \] \[ -2=6 \] impossible.
Deuxième cas : \[ x-2=-(x+6) \] \[ x-2=-x-6 \] \[ 2x=-4 \] \[ x=-2 \]
Donc : \[ \boxed{x=-2} \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
\[ |2x+3|=|x-5| \]
Résultat
\[ x=\frac{2}{3} \quad \text{ou} \quad x=-8 \]
Solution
Résolvons en imposant que les deux expressions soient égales ou opposées.
Premier cas : \[ 2x+3=x-5 \] \[ x=-8 \]
Deuxième cas : \[ 2x+3=-(x-5) \] \[ 2x+3=-x+5 \] \[ 3x=2 \] \[ x=\frac{2}{3} \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=\frac{2}{3} \quad \text{ou} \quad x=-8} \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
\[ |3x-2|=|x+4| \]
Résultat
\[ x=3 \quad \text{ou} \quad x=-\frac{1}{2} \]
Solution
Dans ce cas aussi, nous utilisons : \[ |A|=|B| \iff A=B \quad \text{ou} \quad A=-B \]
Premier cas : \[ 3x-2=x+4 \] \[ 2x=6 \] \[ x=3 \]
Deuxième cas : \[ 3x-2=-(x+4) \] \[ 3x-2=-x-4 \] \[ 4x=-2 \] \[ x=-\frac{1}{2} \]
Donc : \[ \boxed{x=3 \quad \text{ou} \quad x=-\frac{1}{2}} \]
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
\[ |x-1|+|x+3|=6 \]
Résultat
\[ x=-4 \quad \text{ou} \quad x=2 \]
Solution
Les points critiques sont ceux qui annulent les arguments des valeurs absolues : \[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \] \[ x+3=0 \Rightarrow x=-3 \]
Étudions donc les intervalles : \[ x<-3, \quad -3\le x<1, \quad x\ge 1 \]
Premier intervalle : \(x<-3\). Sur cet intervalle, les deux expressions sont négatives : \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |x+3|=-(x+3) \] On obtient : \[ -x+1-x-3=6 \] \[ -2x-2=6 \] \[ -2x=8 \] \[ x=-4 \] La solution appartient à l'intervalle \(x<-3\), elle est donc valable.
Deuxième intervalle : \(-3\le x<1\). Sur cet intervalle : \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |x+3|=x+3 \] On obtient : \[ -x+1+x+3=6 \] \[ 4=6 \] impossible.
Troisième intervalle : \(x\ge 1\). Sur cet intervalle, les deux expressions sont positives ou nulles : \[ |x-1|=x-1, \qquad |x+3|=x+3 \] On obtient : \[ x-1+x+3=6 \] \[ 2x+2=6 \] \[ 2x=4 \] \[ x=2 \] La solution appartient à l'intervalle \(x\ge 1\), elle est donc valable.
Par conséquent : \[ \boxed{x=-4 \quad \text{ou} \quad x=2} \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
\[ |x+2|+|x-4|=10 \]
Résultat
\[ x=-4 \quad \text{ou} \quad x=6 \]
Solution
Les points critiques sont : \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \] \[ x-4=0 \Rightarrow x=4 \]
Considérons les intervalles : \[ x<-2, \quad -2\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Premier intervalle : \(x<-2\). \[ |x+2|=-(x+2), \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ -x-2-x+4=10 \] \[ -2x+2=10 \] \[ -2x=8 \] \[ x=-4 \] Valable car \(x<-2\).
Deuxième intervalle : \(-2\le x<4\). \[ |x+2|=x+2, \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2-x+4=10 \] \[ 6=10 \] impossible.
Troisième intervalle : \(x\ge 4\). \[ |x+2|=x+2, \qquad |x-4|=x-4 \] \[ x+2+x-4=10 \] \[ 2x-2=10 \] \[ 2x=12 \] \[ x=6 \] Valable car \(x\ge 4\).
Donc : \[ \boxed{x=-4 \quad \text{ou} \quad x=6} \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
\[ |2x-1|+|x+2|=8 \]
Résultat
\[ x=-3 \quad \text{ou} \quad x=\frac{7}{3} \]
Solution
Cherchons les points critiques : \[ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \] \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Les intervalles à étudier sont : \[ x<-2, \quad -2\le x<\frac{1}{2}, \quad x\ge \frac{1}{2} \]
Premier intervalle : \(x<-2\). \[ |2x-1|=-(2x-1), \qquad |x+2|=-(x+2) \] \[ -2x+1-x-2=8 \] \[ -3x-1=8 \] \[ -3x=9 \] \[ x=-3 \] Valable car \(x<-2\).
Deuxième intervalle : \(-2\le x<\frac{1}{2}\). \[ |2x-1|=-(2x-1), \qquad |x+2|=x+2 \] \[ -2x+1+x+2=8 \] \[ -x+3=8 \] \[ x=-5 \] N'appartient pas à l'intervalle \(-2\le x<\frac{1}{2}\), elle est donc rejetée.
Troisième intervalle : \(x\ge \frac{1}{2}\). \[ |2x-1|=2x-1, \qquad |x+2|=x+2 \] \[ 2x-1+x+2=8 \] \[ 3x+1=8 \] \[ 3x=7 \] \[ x=\frac{7}{3} \] Valable car \(x\ge \frac{1}{2}\).
Par conséquent : \[ \boxed{x=-3 \quad \text{ou} \quad x=\frac{7}{3}} \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
\[ |x-2|+|x+1|=3 \]
Résultat
\[ -1\le x\le 2 \]
Solution
Les points critiques sont : \[ x=-1, \qquad x=2 \]
Étudions les trois intervalles : \[ x<-1, \quad -1\le x<2, \quad x\ge 2 \]
Premier intervalle : \(x<-1\). \[ |x-2|=-(x-2), \qquad |x+1|=-(x+1) \] \[ -x+2-x-1=3 \] \[ -2x+1=3 \] \[ -2x=2 \] \[ x=-1 \] Cette solution n'appartient pas à l'intervalle \(x<-1\), elle n'est donc pas acceptée dans ce cas.
Deuxième intervalle : \(-1\le x<2\). \[ |x-2|=-(x-2), \qquad |x+1|=x+1 \] \[ -x+2+x+1=3 \] \[ 3=3 \] L'identité est vraie pour toute valeur de l'intervalle.
Toutes les valeurs suivantes sont donc solutions : \[ -1\le x<2 \]
Troisième intervalle : \(x\ge 2\). \[ |x-2|=x-2, \qquad |x+1|=x+1 \] \[ x-2+x+1=3 \] \[ 2x-1=3 \] \[ 2x=4 \] \[ x=2 \] Valable car \(x\ge 2\).
En réunissant les résultats : \[ \boxed{-1\le x\le 2} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★★
\[ |x-3|-|x+1|=2 \]
Résultat
\[ x=0 \]
Solution
Les points critiques sont : \[ x=-1, \qquad x=3 \]
Étudions les intervalles : \[ x<-1, \quad -1\le x<3, \quad x\ge 3 \]
Premier intervalle : \(x<-1\). \[ |x-3|=-(x-3), \qquad |x+1|=-(x+1) \] \[ -x+3-(-x-1)=2 \] \[ -x+3+x+1=2 \] \[ 4=2 \] impossible.
Deuxième intervalle : \(-1\le x<3\). \[ |x-3|=-(x-3), \qquad |x+1|=x+1 \] \[ -x+3-(x+1)=2 \] \[ -2x+2=2 \] \[ -2x=0 \] \[ x=0 \] Valable car \(0\in[-1,3)\).
Troisième intervalle : \(x\ge 3\). \[ |x-3|=x-3, \qquad |x+1|=x+1 \] \[ x-3-(x+1)=2 \] \[ -4=2 \] impossible.
Vérifions la solution par substitution : \[ |0-3|-|0+1|=3-1=2 \;\checkmark \]
Donc : \[ \boxed{x=0} \]
Exercice 18 — niveau ★★★★★
\[ |2x+1|-|x-4|=3 \]
Résultat
\[ x=-8 \quad \text{ou} \quad x=2 \]
Solution
Les points critiques sont : \[ 2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \] \[ x-4=0 \Rightarrow x=4 \]
Étudions les intervalles : \[ x<-\frac{1}{2}, \quad -\frac{1}{2}\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Premier intervalle : \(x<-\frac{1}{2}\). \[ |2x+1|=-(2x+1), \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ -2x-1-(-x+4)=3 \] \[ -2x-1+x-4=3 \] \[ -x-5=3 \] \[ x=-8 \] Valable car \(-8<-\frac{1}{2}\).
Deuxième intervalle : \(-\frac{1}{2}\le x<4\). \[ |2x+1|=2x+1, \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ 2x+1-(-x+4)=3 \] \[ 2x+1+x-4=3 \] \[ 3x-3=3 \] \[ 3x=6 \] \[ x=2 \] Valable car \(2\in\left[-\frac{1}{2},4\right)\).
Troisième intervalle : \(x\ge 4\). \[ |2x+1|=2x+1, \qquad |x-4|=x-4 \] \[ 2x+1-(x-4)=3 \] \[ x+5=3 \] \[ x=-2 \] N'appartient pas à l'intervalle \(x\ge 4\), elle est donc rejetée.
Vérifions les solutions par substitution : \[ x=-8 : \quad |-15|-|-12|=15-12=3 \;\checkmark \] \[ x=2 : \quad |5|-|-2|=5-2=3 \;\checkmark \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=-8 \quad \text{ou} \quad x=2} \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
\[ |x-1|+|2x+4|=9 \]
Résultat
\[ x=-4 \quad \text{ou} \quad x=2 \]
Solution
Les points critiques sont : \[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \] \[ 2x+4=0 \Rightarrow x=-2 \]
Étudions les intervalles : \[ x<-2, \quad -2\le x<1, \quad x\ge 1 \]
Premier intervalle : \(x<-2\). \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |2x+4|=-(2x+4) \] \[ -x+1-2x-4=9 \] \[ -3x-3=9 \] \[ -3x=12 \] \[ x=-4 \] Valable car \(x<-2\).
Deuxième intervalle : \(-2\le x<1\). \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |2x+4|=2x+4 \] \[ -x+1+2x+4=9 \] \[ x+5=9 \] \[ x=4 \] N'appartient pas à l'intervalle \(-2\le x<1\), elle est donc rejetée.
Troisième intervalle : \(x\ge 1\). \[ |x-1|=x-1, \qquad |2x+4|=2x+4 \] \[ x-1+2x+4=9 \] \[ 3x+3=9 \] \[ 3x=6 \] \[ x=2 \] Valable car \(x\ge 1\).
Donc : \[ \boxed{x=-4 \quad \text{ou} \quad x=2} \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
\[ |x+2|+|x-1|+|x-4|=9 \]
Résultat
\[ x=-2 \quad \text{ou} \quad x=4 \]
Solution
Les points critiques sont : \[ x=-2, \qquad x=1, \qquad x=4 \]
Étudions les intervalles : \[ x<-2, \quad -2\le x<1, \quad 1\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Premier intervalle : \(x<-2\). \[ |x+2|=-(x+2), \quad |x-1|=-(x-1), \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ -x-2-x+1-x+4=9 \] \[ -3x+3=9 \] \[ -3x=6 \] \[ x=-2 \] Cette valeur n'appartient pas à l'intervalle \(x<-2\), mais elle sera prise en compte dans l'intervalle suivant si elle est valable.
Deuxième intervalle : \(-2\le x<1\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=-(x-1), \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2-x+1-x+4=9 \] \[ -x+7=9 \] \[ x=-2 \] Valable car \(-2\in[-2,1)\).
Troisième intervalle : \(1\le x<4\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=x-1, \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2+x-1-x+4=9 \] \[ x+5=9 \] \[ x=4 \] Cette valeur n'appartient pas à l'intervalle \(1\le x<4\), mais elle sera prise en compte dans l'intervalle suivant si elle est valable.
Quatrième intervalle : \(x\ge 4\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=x-1, \quad |x-4|=x-4 \] \[ x+2+x-1+x-4=9 \] \[ 3x-3=9 \] \[ 3x=12 \] \[ x=4 \] Valable car \(x\ge 4\).
Par conséquent : \[ \boxed{x=-2 \quad \text{ou} \quad x=4} \]