Un recueil progressif pour apprendre à résoudre les équations comportant des radicaux. Dans chaque exercice nous isolons les racines, élevons au carré avec attention et vérifions toujours les solutions trouvées. Cette étape de vérification est essentielle, car l'élévation au carré peut introduire des solutions étrangères : il s'agit de valeurs qui apparaissent correctement à partir des calculs algébriques mais qui ne satisfont pas l'équation initiale et doivent donc être écartées.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{x}=3 \]
Résultat
\[ x=9 \]
Résolution
Idée de résolution
La racine est déjà isolée. Pour l'éliminer, élevons les deux membres au carré.
Étape 1
\[ \sqrt{x}=3 \]
La racine carrée est isolée dans le premier membre.
\[ (\sqrt{x})^2=3^2 \]
Élevons les deux membres au carré pour éliminer la racine.
\[ x=9 \]
Le carré de la racine redonne le radicande.
Vérification
\[ \sqrt{9}=3 \]
L'égalité est vraie, donc la solution est acceptable.
Résultat
\[ \boxed{x=9} \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{x+1}=4 \]
Résultat
\[ x=15 \]
Résolution
Idée de résolution
La racine est déjà isolée. Élevons au carré, puis résolvons l'équation linéaire obtenue.
Étape 1
\[ \sqrt{x+1}=4 \]
Le radical contient \(x+1\) ; il faut donc éliminer la racine.
\[ (\sqrt{x+1})^2=4^2 \]
Élevons les deux membres au carré.
\[ x+1=16 \]
Après l'élévation au carré, il reste une équation du premier degré.
Étape 2
\[ x=16-1 \]
Soustrayons \(1\) aux deux membres pour isoler \(x\).
\[ x=15 \]
Vérification
\[ \sqrt{15+1}=\sqrt{16}=4 \]
La solution satisfait l'équation initiale.
Résultat
\[ \boxed{x=15} \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{2x-1}=3 \]
Résultat
\[ x=5 \]
Résolution
Idée de résolution
La racine est isolée. Élevons au carré, puis résolvons l'équation linéaire.
Étape 1
\[ \sqrt{2x-1}=3 \]
Le radicande est \(2x-1\). Pour l'extraire de la racine, élevons au carré.
\[ 2x-1=9 \]
Le second membre devient \(3^2=9\).
Étape 2
\[ 2x=10 \]
Ajoutons \(1\) aux deux membres.
\[ x=5 \]
Divisons les deux membres par \(2\).
Vérification
\[ \sqrt{2\cdot5-1}=\sqrt{9}=3 \]
La solution est correcte.
Résultat
\[ \boxed{x=5} \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x}=x-2 \]
Résultat
\[ x=4 \]
Résolution
Idée de résolution
La racine est isolée. Comme \(\sqrt{x}\ge0\), le second membre doit lui aussi être positif ou nul : \(x-2\ge0\), c'est-à-dire \(x\ge2\).
Étape 1
\[ \sqrt{x}=x-2 \]
Nous pouvons élever au carré, puisque la racine est déjà isolée.
\[ x=(x-2)^2 \]
Le premier membre devient \(x\), et le second se développe comme un carré de binôme.
Étape 2
\[ x=x^2-4x+4 \]
Nous avons développé \((x-2)^2=x^2-4x+4\).
\[ x^2-5x+4=0 \]
Regroupons tous les termes dans un même membre, afin d'obtenir une équation du second degré.
Étape 3
\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) \]
Factorisons le trinôme en cherchant deux nombres dont le produit vaut \(4\) et la somme \(-5\) : ce sont \(-1\) et \(-4\).
\[ (x-1)(x-4)=0 \]
Un produit est nul lorsque l'un au moins de ses facteurs est nul.
\[ x=1 \quad \text{ou} \quad x=4 \]
Vérification
Pour \(x=1\): \[ \sqrt{1}=1,\qquad 1-2=-1 \]
Les deux membres ne sont pas égaux, donc \(x=1\) est une solution étrangère.
Pour \(x=4\): \[ \sqrt{4}=2,\qquad 4-2=2 \]
Les deux membres coïncident, donc \(x=4\) est acceptable.
Résultat
\[ \boxed{x=4} \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x+2}=x \]
Résultat
\[ x=2 \]
Résolution
Idée de résolution
Le second membre est \(x\). Comme une racine carrée est toujours positive ou nulle, on doit avoir \(x\ge0\).
Étape 1
\[ \sqrt{x+2}=x \]
La racine est isolée, on peut donc élever au carré.
\[ x+2=x^2 \]
Le carré de la racine fait disparaître le symbole radical.
Étape 2
\[ x^2-x-2=0 \]
Regroupons les termes dans un même membre pour obtenir un trinôme du second degré ordonné.
\[ (x-2)(x+1)=0 \]
Factorisons le trinôme : le produit vaut \(-2\) et la somme \(-1\).
\[ x=2 \quad \text{ou} \quad x=-1 \]
Appliquons la règle du produit nul.
Vérification
\(x=-1\) ne peut être retenu car il ne respecte pas la condition \(x\ge0\).
Pour \(x=2\): \[ \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2 \]
La solution satisfait l'équation initiale.
Résultat
\[ \boxed{x=2} \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x+4}=x-2 \]
Résultat
\[ x=5 \]
Résolution
Idée de résolution
La racine est déjà isolée. Comme une racine carrée est toujours positive ou nulle, on doit aussi avoir \(x-2\ge0\), c'est-à-dire \(x\ge2\).
Étape 1
\[ \sqrt{x+4}=x-2 \]
Nous pouvons élever les deux membres au carré pour éliminer la racine.
\[ x+4=(x-2)^2 \]
Le premier membre devient le radicande \(x+4\), tandis que le second est un carré de binôme.
Étape 2
\[ x+4=x^2-4x+4 \]
Développons \((x-2)^2\) à l'aide de l'identité \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
\[ x^2-5x=0 \]
Regroupons les termes dans un même membre et simplifions \(+4\) avec \(+4\).
Étape 3
\[ x(x-5)=0 \]
Mettons en facteur le terme commun \(x\).
\[ x=0 \quad \text{ou} \quad x=5 \]
Un produit est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul.
Vérification
\(x=0\) ne satisfait pas la condition \(x\ge2\), il faut donc l'écarter.
Pour \(x=5\): \[ \sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3 \]
Le second membre vaut : \[ 5-2=3 \]
Les deux membres coïncident, donc \(x=5\) est acceptable.
Résultat
\[ \boxed{x=5} \]
Exercice 7 — niveau ★★★☆☆
\[ \sqrt{2x+3}=x \]
Résultat
\[ x=3 \]
Résolution
Idée de résolution
Le second membre est \(x\). Comme le premier membre est une racine carrée, on doit avoir \(x\ge0\). Après élévation au carré, nous vérifierons les solutions.
Étape 1
\[ \sqrt{2x+3}=x \]
La racine est isolée, nous pouvons donc élever les deux membres au carré.
\[ 2x+3=x^2 \]
Le carré de la racine élimine le radical.
Étape 2
\[ x^2-2x-3=0 \]
Regroupons les termes dans un même membre afin d'obtenir une équation du second degré sous forme normale.
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
Factorisons le trinôme : il faut deux nombres de produit \(-3\) et de somme \(-2\), à savoir \(-3\) et \(+1\).
Étape 3
\[ x-3=0 \quad \text{ou} \quad x+1=0 \]
Appliquons la règle du produit nul.
\[ x=3 \quad \text{ou} \quad x=-1 \]
Vérification
\(x=-1\) ne satisfait pas la condition \(x\ge0\), il faut donc l'écarter.
Pour \(x=3\): \[ \sqrt{2\cdot3+3}=\sqrt{9}=3 \]
Le second membre vaut bien \(x=3\), l'équation est donc satisfaite.
Résultat
\[ \boxed{x=3} \]
Exercice 8 — niveau ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+5}=x-1 \]
Résultat
\[ x=4 \]
Résolution
Idée de résolution
Le second membre doit être positif ou nul, puisqu'il est égal à une racine carrée. On a donc \(x-1\ge0\), soit \(x\ge1\).
Étape 1
\[ \sqrt{x+5}=x-1 \]
La racine est isolée : élevons les deux membres au carré.
\[ x+5=(x-1)^2 \]
Le radical disparaît et le second membre devient un carré de binôme.
Étape 2
\[ x+5=x^2-2x+1 \]
Développons \((x-1)^2=x^2-2x+1\).
\[ x^2-3x-4=0 \]
Regroupons les termes dans un même membre afin d'obtenir un trinôme du second degré ordonné.
Étape 3
\[ x^2-3x-4=(x-4)(x+1) \]
Factorisons le trinôme : le produit doit valoir \(-4\) et la somme \(-3\), donc les deux nombres sont \(-4\) et \(+1\).
\[ (x-4)(x+1)=0 \]
Un produit est nul lorsque l'un au moins de ses facteurs est nul.
\[ x=4 \quad \text{ou} \quad x=-1 \]
Vérification
\(x=-1\) ne satisfait pas la condition \(x\ge1\), il faut donc l'écarter.
Pour \(x=4\): \[ \sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3 \]
Le second membre vaut : \[ 4-1=3 \]
Les deux membres coïncident, donc \(x=4\) est acceptable.
Résultat
\[ \boxed{x=4} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x}=3 \]
Résultat
\[ x=\dfrac{16}{9} \]
Résolution
Idée de résolution
Le domaine impose \(x\ge0\). Comme il y a deux radicaux, isolons une racine puis élevons au carré.
Étape 1
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x}=3 \]
Isolons \(\sqrt{x+1}\) en faisant passer \(\sqrt{x}\) dans le second membre.
\[ \sqrt{x+1}=3-\sqrt{x} \]
Une racine est désormais isolée et nous pouvons élever au carré.
Étape 2
\[ x+1=(3-\sqrt{x})^2 \]
Élevons les deux membres au carré. À droite apparaît un carré de binôme.
\[ x+1=9-6\sqrt{x}+x \]
En effet, \((3-\sqrt{x})^2=9-6\sqrt{x}+x\).
Étape 3
\[ 1=9-6\sqrt{x} \]
Soustrayons \(x\) aux deux membres.
\[ 6\sqrt{x}=8 \]
Faisons passer le terme contenant la racine dans le premier membre et le terme constant dans le second.
\[ \sqrt{x}=\dfrac{4}{3} \]
Divisons les deux membres par \(6\).
Étape 4
\[ x=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 \]
Élevons à nouveau au carré pour éliminer la dernière racine.
\[ x=\dfrac{16}{9} \]
Vérification
Substituons \(x=\dfrac{16}{9}\) dans l'équation initiale : \[ \sqrt{\dfrac{16}{9}+1}+\sqrt{\dfrac{16}{9}} \]
Effectuons la somme sous la première racine : \[ \sqrt{\dfrac{25}{9}}+\sqrt{\dfrac{16}{9}} \]
Calculons les deux racines : \[ \dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{3}=3 \]
L'égalité est vraie, donc la solution est acceptable.
Résultat
\[ \boxed{x=\dfrac{16}{9}} \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}=1 \]
Résultat
\[ x=3 \]
Résolution
Idée de résolution
Les deux radicandes imposent \(x+6\ge0\) et \(x+1\ge0\) ; le domaine est donc \(x\ge-1\). Isolons une racine, puis élevons au carré.
Étape 1
\[ \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}=1 \]
Faisons passer \(-\sqrt{x+1}\) dans le second membre.
\[ \sqrt{x+6}=1+\sqrt{x+1} \]
La racine \(\sqrt{x+6}\) est désormais isolée.
Étape 2
\[ x+6=(1+\sqrt{x+1})^2 \]
Élevons les deux membres au carré.
\[ x+6=1+2\sqrt{x+1}+x+1 \]
Développons le carré du binôme \((1+\sqrt{x+1})^2\).
Étape 3
\[ x+6=x+2+2\sqrt{x+1} \]
Sommons les termes constants \(1+1=2\).
\[ 4=2\sqrt{x+1} \]
Soustrayons \(x+2\) aux deux membres.
\[ \sqrt{x+1}=2 \]
Divisons les deux membres par \(2\).
Étape 4
\[ x+1=4 \]
Élevons au carré pour éliminer la dernière racine.
\[ x=3 \]
Soustrayons \(1\) aux deux membres.
Vérification
Substituons \(x=3\) : \[ \sqrt{3+6}-\sqrt{3+1} \]
Calculons les radicandes : \[ \sqrt{9}-\sqrt{4} \]
Calculons les racines : \[ 3-2=1 \]
L'égalité est vraie, donc la solution est acceptable.
Résultat
\[ \boxed{x=3} \]
Exercice 11 — niveau ★★★★☆
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3 \]
Résultat
\[ x=3 \]
Résolution
Idée de résolution
Le domaine impose \(x\ge2\). Isolons une racine et élevons deux fois au carré.
Étape 1
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3 \]
Faisons passer \(\sqrt{x-2}\) dans le second membre afin d'isoler une racine.
\[ \sqrt{x+1}=3-\sqrt{x-2} \]
Étape 2
\[ x+1=(3-\sqrt{x-2})^2 \]
Élevons au carré pour éliminer la première racine.
\[ x+1=9-6\sqrt{x-2}+x-2 \]
Étape 3
\[ x+1=x+7-6\sqrt{x-2} \]
Réduisons les termes semblables.
\[ 6\sqrt{x-2}=6 \]
\[ \sqrt{x-2}=1 \]
Étape 4
\[ x-2=1 \]
Élevons au carré pour éliminer la racine.
\[ x=3 \]
Vérification
\[ \sqrt{3+1}+\sqrt{3-2}=2+1=3 \]
La solution est correcte.
Résultat
\[ \boxed{x=3} \]
Exercice 12 — niveau ★★★★☆
\[ \sqrt{x+5}+\sqrt{x}=5 \]
Résultat
\[ x=4 \]
Résolution
Idée de résolution
Le domaine est \(x\ge0\). Isolons une racine et élevons au carré.
Étape 1
\[ \sqrt{x+5}=5-\sqrt{x} \]
Isolons une racine afin d'éliminer le radical.
Étape 2
\[ x+5=(5-\sqrt{x})^2 \]
Élevons les deux membres au carré.
\[ x+5=25-10\sqrt{x}+x \]
Étape 3
\[ 5=25-10\sqrt{x} \]
Simplifions en soustrayant \(x\) des deux membres.
\[ 10\sqrt{x}=20 \]
\[ \sqrt{x}=2 \]
Étape 4
\[ x=4 \]
Élevons au carré pour éliminer la racine.
Vérification
\[ \sqrt{4+5}+\sqrt{4}=3+2=5 \]
Résultat
\[ \boxed{x=4} \]
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
\[ \sqrt{3x+4}=x+2 \]
Résultat
\[ x=-1 \quad \text{ou} \quad x=0 \]
Résolution
Idée de résolution
Comme le second membre est \(x+2\), on doit avoir \(x+2\ge0\). La racine est déjà isolée.
Étape 1
\[ 3x+4=(x+2)^2 \]
Élevons les deux membres au carré.
Étape 2
\[ 3x+4=x^2+4x+4 \]
\[ x^2+x=0 \]
Regroupons les termes dans un même membre.
Étape 3
\[ x(x+1)=0 \]
\[ x=0 \quad \text{ou} \quad x=-1 \]
Vérification
Les deux solutions satisfont l'équation initiale.
Résultat
\[ \boxed{x=-1 \quad \text{ou} \quad x=0} \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
\[ \sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=4 \]
Résultat
\[ x=\dfrac{17}{4} \]
Résolution
Idée de résolution
Le domaine impose \(x\ge2\). Isolons une racine et élevons au carré.
Étape 1
\[ \sqrt{x+2}=4-\sqrt{x-2} \]
Étape 2
\[ x+2=(4-\sqrt{x-2})^2 \]
\[ x+2=16-8\sqrt{x-2}+x-2 \]
Étape 3
\[ x+2=x+14-8\sqrt{x-2} \]
\[ 8\sqrt{x-2}=12 \]
\[ \sqrt{x-2}=\dfrac{3}{2} \]
Étape 4
\[ x-2=\dfrac{9}{4} \]
\[ x=\dfrac{17}{4} \]
Vérification
\[ \dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}=4 \]
Résultat
\[ \boxed{x=\dfrac{17}{4}} \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
\[ \sqrt{x+9}-\sqrt{x}=1 \]
Résultat
\[ x=16 \]
Résolution
Idée de résolution
Le domaine impose \(x\ge0\). Isolons une racine et élevons au carré.
Étape 1
\[ \sqrt{x+9}=1+\sqrt{x} \]
Étape 2
\[ x+9=(1+\sqrt{x})^2 \]
\[ x+9=1+2\sqrt{x}+x \]
Étape 3
\[ 9=1+2\sqrt{x} \]
\[ 2\sqrt{x}=8 \]
\[ \sqrt{x}=4 \]
Étape 4
\[ x=16 \]
Vérification
\[ 5-4=1 \]
Résultat
\[ \boxed{x=16} \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
\[ \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=4 \]
Résultat
\[ x=\dfrac{13}{4} \]
Résolution
Idée de résolution
Le domaine impose \(x-1\ge0\), c'est-à-dire \(x\ge1\). Isolons l'une des deux racines, puis élevons au carré.
Étape 1
\[ \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=4 \]
Faisons passer \(\sqrt{x-1}\) dans le second membre pour isoler la racine \(\sqrt{x+3}\).
\[ \sqrt{x+3}=4-\sqrt{x-1} \]
Une racine est désormais isolée, nous pouvons donc élever au carré.
Étape 2
\[ x+3=(4-\sqrt{x-1})^2 \]
Élevons les deux membres au carré. À droite apparaît un carré de binôme.
\[ x+3=16-8\sqrt{x-1}+x-1 \]
Développons \((4-\sqrt{x-1})^2\) : le double produit vaut \(-8\sqrt{x-1}\).
Étape 3
\[ x+3=x+15-8\sqrt{x-1} \]
Sommons les termes constants \(16-1=15\).
\[ 3=15-8\sqrt{x-1} \]
Soustrayons \(x\) aux deux membres.
\[ 8\sqrt{x-1}=12 \]
Faisons passer le terme contenant la racine dans le premier membre et le terme constant dans le second.
\[ \sqrt{x-1}=\dfrac{3}{2} \]
Divisons les deux membres par \(8\).
Étape 4
\[ x-1=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \]
Élevons au carré pour éliminer la dernière racine.
\[ x-1=\dfrac{9}{4} \]
Calculons le carré de \(\dfrac{3}{2}\).
\[ x=1+\dfrac{9}{4}=\dfrac{13}{4} \]
Ajoutons \(1\) aux deux membres.
Vérification
Substituons \(x=\dfrac{13}{4}\) : \[ \sqrt{\dfrac{13}{4}+3}+\sqrt{\dfrac{13}{4}-1} \]
Calculons les radicandes : \[ \sqrt{\dfrac{25}{4}}+\sqrt{\dfrac{9}{4}} \]
Calculons les racines : \[ \dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}=4 \]
L'égalité est vraie, donc la solution est acceptable.
Résultat
\[ \boxed{x=\dfrac{13}{4}} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★★
\[ \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=4 \]
Résultat
\[ x=4 \]
Résolution
Idée de résolution
Le domaine impose \(x-3\ge0\), c'est-à-dire \(x\ge3\). Isolons une racine : après le premier carré une racine subsistera, il faudra donc élever une seconde fois au carré.
Étape 1
\[ \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=4 \]
Faisons passer \(\sqrt{x-3}\) dans le second membre.
\[ \sqrt{2x+1}=4-\sqrt{x-3} \]
La racine \(\sqrt{2x+1}\) est ainsi isolée.
Étape 2
\[ 2x+1=(4-\sqrt{x-3})^2 \]
Élevons les deux membres au carré.
\[ 2x+1=16-8\sqrt{x-3}+x-3 \]
Développons le carré du binôme.
Étape 3
\[ 2x+1=x+13-8\sqrt{x-3} \]
Sommons les termes constants \(16-3=13\).
\[ 8\sqrt{x-3}=12-x \]
Isolons la racine restante.
Étape 4
\[ 64(x-3)=(12-x)^2 \]
Élevons les deux membres au carré pour éliminer la deuxième racine.
Étape 5
\[ 64x-192=x^2-24x+144 \]
Développons les deux membres : à gauche, distribuons \(64\) ; à droite, développons le carré \((12-x)^2\).
\[ x^2-88x+336=0 \]
Regroupons tous les termes dans un même membre et réduisons les termes semblables.
Étape 6
\[ x^2-88x+336=(x-4)(x-84) \]
Factorisons le trinôme : \(4\cdot84=336\) et \(4+84=88\).
\[ (x-4)(x-84)=0 \]
Appliquons la règle du produit nul.
\[ x=4 \quad \text{ou} \quad x=84 \]
Vérification
Pour \(x=4\): \[ \sqrt{2\cdot4+1}+\sqrt{4-3} = \sqrt{9}+\sqrt{1} = 3+1=4 \]
Donc \(x=4\) est acceptable.
Pour \(x=84\): \[ \sqrt{2\cdot84+1}+\sqrt{84-3} = \sqrt{169}+\sqrt{81} = 13+9=22 \]
Le résultat n'est pas \(4\), donc \(x=84\) est une solution étrangère.
Résultat
\[ \boxed{x=4} \]
Exercice 18 — niveau ★★★★★
\[ \sqrt{x+13}-\sqrt{x+4}=1 \]
Résultat
\[ x=12 \]
Résolution
Idée de résolution
Le domaine impose \(x+4\ge0\), c'est-à-dire \(x\ge-4\). Isolons une racine et élevons au carré.
Étape 1
\[ \sqrt{x+13}-\sqrt{x+4}=1 \]
Faisons passer \(-\sqrt{x+4}\) dans le second membre.
\[ \sqrt{x+13}=1+\sqrt{x+4} \]
La racine \(\sqrt{x+13}\) est désormais isolée.
Étape 2
\[ x+13=(1+\sqrt{x+4})^2 \]
Élevons les deux membres au carré.
\[ x+13=1+2\sqrt{x+4}+x+4 \]
Développons le carré du binôme \((1+\sqrt{x+4})^2\).
Étape 3
\[ x+13=x+5+2\sqrt{x+4} \]
Sommons les termes constants \(1+4=5\).
\[ 8=2\sqrt{x+4} \]
Soustrayons \(x+5\) aux deux membres.
\[ \sqrt{x+4}=4 \]
Divisons les deux membres par \(2\).
Étape 4
\[ x+4=16 \]
Élevons au carré pour éliminer la dernière racine.
\[ x=12 \]
Soustrayons \(4\) aux deux membres.
Vérification
Substituons \(x=12\) : \[ \sqrt{12+13}-\sqrt{12+4} \]
Calculons les radicandes : \[ \sqrt{25}-\sqrt{16} \]
Calculons les racines : \[ 5-4=1 \]
L'égalité est vraie, donc la solution est acceptable.
Résultat
\[ \boxed{x=12} \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
\[ \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1 \]
Résultat
\[ x=-1 \quad \text{ou} \quad x=3 \]
Résolution
Idée de résolution
Le domaine impose \(x+1\ge0\), c'est-à-dire \(x\ge-1\). Isolons une racine et élevons au carré.
Étape 1
\[ \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1 \]
Faisons passer \(-\sqrt{x+1}\) dans le second membre.
\[ \sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+1} \]
La racine \(\sqrt{2x+3}\) est désormais isolée.
Étape 2
\[ 2x+3=(1+\sqrt{x+1})^2 \]
Élevons les deux membres au carré.
\[ 2x+3=1+2\sqrt{x+1}+x+1 \]
Développons le carré du binôme.
Étape 3
\[ 2x+3=x+2+2\sqrt{x+1} \]
Sommons les termes constants.
\[ x+1=2\sqrt{x+1} \]
Soustrayons \(x+2\) aux deux membres et isolons l'expression radicale.
Étape 4
Posons : \[ t=\sqrt{x+1} \]
Ce changement de variable est utile car l'équation contient à la fois \(x+1\) et \(\sqrt{x+1}\). De plus, \(t\) étant une racine carrée, on a \(t\ge0\).
Comme : \[ t=\sqrt{x+1} \]
on a alors : \[ t^2=x+1 \]
Substituons \(x+1\) par \(t^2\) et \(\sqrt{x+1}\) par \(t\).
\[ t^2=2t \]
Étape 5
\[ t^2-2t=0 \]
Regroupons les termes dans le premier membre.
\[ t(t-2)=0 \]
Mettons en facteur le terme commun \(t\).
\[ t=0 \quad \text{ou} \quad t=2 \]
Appliquons la règle du produit nul.
Étape 6
Si \(t=0\), alors : \[ \sqrt{x+1}=0 \]
En élevant au carré : \[ x+1=0 \implies x=-1 \]
Si \(t=2\), alors : \[ \sqrt{x+1}=2 \]
En élevant au carré : \[ x+1=4 \implies x=3 \]
Vérification
Pour \(x=-1\): \[ \sqrt{2(-1)+3}-\sqrt{-1+1} = \sqrt{1}-\sqrt{0} = 1-0=1 \]
Donc \(x=-1\) est acceptable.
Pour \(x=3\): \[ \sqrt{2\cdot3+3}-\sqrt{3+1} = \sqrt{9}-\sqrt{4} = 3-2=1 \]
Donc \(x=3\) est, lui aussi, acceptable.
Résultat
\[ \boxed{x=-1 \quad \text{ou} \quad x=3} \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
\[ \sqrt{x+9}+\sqrt{x-3}=6 \]
Résultat
\[ x=7 \]
Résolution
Idée de résolution
Le domaine impose \(x-3\ge0\), c'est-à-dire \(x\ge3\). Isolons une racine et élevons au carré.
Étape 1
\[ \sqrt{x+9}+\sqrt{x-3}=6 \]
Faisons passer \(\sqrt{x-3}\) dans le second membre.
\[ \sqrt{x+9}=6-\sqrt{x-3} \]
La racine \(\sqrt{x+9}\) est désormais isolée.
Étape 2
\[ x+9=(6-\sqrt{x-3})^2 \]
Élevons les deux membres au carré.
\[ x+9=36-12\sqrt{x-3}+x-3 \]
Développons le carré du binôme \((6-\sqrt{x-3})^2\).
Étape 3
\[ x+9=x+33-12\sqrt{x-3} \]
Sommons les termes constants \(36-3=33\).
\[ 9=33-12\sqrt{x-3} \]
Soustrayons \(x\) aux deux membres.
\[ 12\sqrt{x-3}=24 \]
Isolons le terme radical.
\[ \sqrt{x-3}=2 \]
Divisons les deux membres par \(12\).
Étape 4
\[ x-3=4 \]
Élevons au carré pour éliminer la dernière racine.
\[ x=7 \]
Ajoutons \(3\) aux deux membres.
Vérification
Substituons \(x=7\) : \[ \sqrt{7+9}+\sqrt{7-3} \]
Calculons les radicandes : \[ \sqrt{16}+\sqrt{4} \]
Calculons les racines : \[ 4+2=6 \]
L'égalité est vraie, donc la solution est acceptable.
Résultat
\[ \boxed{x=7} \]