Les propriétés des logarithmes permettent de transformer des expressions complexes en formes plus simples grâce aux règles du produit, du quotient et de la puissance. Cette série rassemble 20 exercices de difficulté progressive, chacun accompagné d'une solution détaillée et commentée.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
\[ \log_2(4 \cdot 8) \]
Résultat
\[ 5 \]
Solution
On applique la propriété du logarithme d'un produit:
\[ \log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 \]
On calcule chacun des logarithmes: \[ \log_2 4 = 2, \quad \log_2 8 = 3 \]
On additionne les résultats: \[ 2 + 3 = 5 \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
\[ \log_3\left(\frac{81}{3}\right) \]
Résultat
\[ 3 \]
Solution
On utilise la propriété du quotient:
\[ \log_3\left(\frac{81}{3}\right) = \log_3 81 - \log_3 3 \]
On calcule les logarithmes: \[ \log_3 81 = 4, \quad \log_3 3 = 1 \]
On soustrait: \[ 4 - 1 = 3 \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
\[ \log_5(25^3) \]
Résultat
\[ 6 \]
Solution
On applique la propriété de la puissance:
\[ \log_5(25^3) = 3\log_5 25 \]
Comme \(25 = 5^2\), on a:
\[ \log_5 25 = 2 \]
Par conséquent:
\[ 3 \cdot 2 = 6 \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
\[ \log_2\sqrt{32} \]
Résultat
\[ \frac{5}{2} \]
Solution
On réécrit la racine sous forme de puissance:
\[ \sqrt{32} = 32^{1/2} \]
On décompose 32:
\[ 32 = 2^5 \]
Ainsi:
\[ (2^5)^{1/2} = 2^{5/2} \]
On applique le logarithme:
\[ \log_2(2^{5/2}) = \frac{5}{2} \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
\[ \log_3\left(\frac{1}{27}\right) \]
Résultat
\[ -3 \]
Solution
On exprime 27 comme une puissance de 3:
\[ 27 = 3^3 \Rightarrow \frac{1}{27} = 3^{-3} \]
On applique le logarithme:
\[ \log_3(3^{-3}) = -3 \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
\[ \ln(e^2 \cdot \sqrt{e}) \]
Résultat
\[ \frac{5}{2} \]
Solution
On réécrit la racine sous forme de puissance:
\[ \sqrt{e} = e^{1/2} \]
On applique la propriété du produit:
\[ e^2 \cdot e^{1/2} = e^{5/2} \]
Enfin, on applique le logarithme népérien:
\[ \ln(e^{5/2}) = \frac{5}{2} \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
\[ \log(100x) \]
Résultat
\[ 2 + \log x \]
Solution
On applique la propriété du logarithme d'un produit:
\[ \log(100x) = \log 100 + \log x \]
On calcule la valeur du logarithme numérique:
\[ \log 100 = 2 \]
En substituant, on obtient:
\[ 2 + \log x \]
Exercice 8 — niveau ★★★☆☆
\[ 2\log a + 3\log b \]
Résultat
\[ \log(a^2 b^3) \]
Solution
On utilise la propriété de la puissance des logarithmes:
\[ 2\log a = \log(a^2), \quad 3\log b = \log(b^3) \]
On réécrit l'expression:
\[ \log(a^2) + \log(b^3) \]
On applique la propriété du produit:
\[ \log(a^2 b^3) \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
\[ \log_b\left(\frac{x^2}{y}\right) \]
Résultat
\[ 2\log_b x - \log_b y \]
Solution
On applique la propriété du quotient:
\[ \log_b\left(\frac{x^2}{y}\right) = \log_b(x^2) - \log_b(y) \]
On utilise la propriété de la puissance:
\[ \log_b(x^2) = 2\log_b x \]
On substitue:
\[ 2\log_b x - \log_b y \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
\[ \log_4 8 \]
Résultat
\[ \frac{3}{2} \]
Solution
On utilise la formule du changement de base:
\[ \log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} \]
On calcule les logarithmes:
\[ \log_2 8 = 3, \quad \log_2 4 = 2 \]
On divise:
\[ \frac{3}{2} \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
\[ \log_2 6 + \log_2 4 - \log_2 3 \]
Résultat
\[ 3 \]
Solution
On applique les propriétés de la somme et de la différence:
\[ \log_2 6 + \log_2 4 = \log_2(24) \]
On soustrait le troisième logarithme:
\[ \log_2\left(\frac{24}{3}\right) \]
On simplifie:
\[ \log_2 8 = 3 \]
Exercice 12 — niveau ★★★★☆
\[ \log_b \sqrt[3]{\frac{a}{b}} \]
Résultat
\[ \frac{1}{3}\log_b a - \frac{1}{3} \]
Solution
On réécrit la racine sous forme de puissance:
\[ \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{1/3} \]
On applique la propriété de la puissance:
\[ \log_b\left(\frac{a}{b}\right)^{1/3} = \frac{1}{3}\log_b\left(\frac{a}{b}\right) \]
On utilise la propriété du quotient:
\[ \log_b a - \log_b b \]
Comme \(\log_b b = 1\), on substitue:
\[ \frac{1}{3}(\log_b a - 1) \]
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
\[ \frac{1}{2}\log x - 2\log y - 3\log z \]
Résultat
\[ \log\left(\frac{\sqrt{x}}{y^2 z^3}\right) \]
Solution
On applique la propriété de la puissance:
\[ \frac{1}{2}\log x = \log(x^{1/2}), \quad 2\log y = \log(y^2), \quad 3\log z = \log(z^3) \]
On réécrit l'expression:
\[ \log(x^{1/2}) - \log(y^2) - \log(z^3) \]
On applique les propriétés des logarithmes:
\[ \log\left(\frac{x^{1/2}}{y^2 z^3}\right) \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
\[ \log_2(x^2 - 1) - \log_2(x - 1) \]
Résultat
\[ \log_2(x+1), \quad x>1 \]
Solution
On applique la propriété du quotient:
\[ \log_2\left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) \]
On reconnaît une différence de carrés:
\[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \]
On simplifie:
\[ \log_2(x+1) \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
\[ \log_{1/2} 16 \]
Résultat
\[ -4 \]
Solution
On utilise le changement de base:
\[ \log_{1/2} 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2(1/2)} \]
On calcule les valeurs:
\[ \log_2 16 = 4, \quad \log_2(1/2) = -1 \]
On divise:
\[ -4 \]
Exercice 16 — niveau ★★★★★
\[ e^{-2\ln x} \]
Résultat
\[ \frac{1}{x^2} \]
Solution
On utilise la propriété:
\[ -2\ln x = \ln(x^{-2}) \]
On réécrit l'expression:
\[ e^{\ln(x^{-2})} \]
On simplifie:
\[ x^{-2} = \frac{1}{x^2} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★★
\[ \log \sqrt{x\sqrt{x}} \]
Résultat
\[ \frac{3}{4}\log x \]
Solution
On réécrit la racine intérieure sous forme de puissance:
\[ \sqrt{x} = x^{1/2} \]
L'expression devient alors:
\[ \sqrt{x \cdot x^{1/2}} \]
On additionne les exposants:
\[ x \cdot x^{1/2} = x^{3/2} \]
On applique la racine:
\[ (x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4} \]
On applique le logarithme:
\[ \log(x^{3/4}) = \frac{3}{4}\log x \]
Exercice 18 — niveau ★★★★★
\[ (\log_3 5)(\log_5 9) \]
Résultat
\[ 2 \]
Solution
On utilise la formule du changement de base:
\[ \log_3 5 = \frac{\ln 5}{\ln 3}, \quad \log_5 9 = \frac{\ln 9}{\ln 5} \]
On multiplie les expressions:
\[ \frac{\ln 5}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 9}{\ln 5} \]
On simplifie le facteur commun \(\ln 5\):
\[ \frac{\ln 9}{\ln 3} \]
Comme \(9 = 3^2\), on obtient:
\[ \log_3 9 = 2 \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
\[ \ln\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right) \]
Résultat
\[ x - \ln(1+e^x) \]
Solution
On applique la propriété du logarithme d'un quotient:
\[ \ln\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right) = \ln(e^x) - \ln(1+e^x) \]
On simplifie le premier terme:
\[ \ln(e^x) = x \]
On obtient ainsi:
\[ x - \ln(1+e^x) \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
\[ \log_b\left(\frac{1}{\sqrt[n]{b^m}}\right) \]
Résultat
\[ -\frac{m}{n} \]
Solution
On réécrit la racine sous forme de puissance:
\[ \sqrt[n]{b^m} = b^{m/n} \]
Donc:
\[ \frac{1}{\sqrt[n]{b^m}} = b^{-m/n} \]
On applique le logarithme:
\[ \log_b(b^{-m/n}) = -\frac{m}{n} \]